1、6.3.1平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示一二一、平面向量基本定理1.思考(1)如圖,已知向量e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,給定向量a,請將a分解為與e1,e2平行的兩個(gè)向量.一二一二(2)既然a可以分解成與e1,e2平行的兩個(gè)向量,那么a是否可以用含有e1,e2的式子表示出來?(3)a=1e1+2e2中的一對實(shí)數(shù)1、2是否唯一?提示由作圖中分解結(jié)果的唯一,決定了兩個(gè)分解向量的唯一.由共線向量定理可知,有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)1,使得 =1e1成立,同理2也唯一,即一組數(shù)1、2唯一確定.即任一向量a都可以唯一表示成1e1+2e2的形式.一二2.填空:平面向量基本定理一二

2、3.做一做下列說法正確的是()A.平面內(nèi)的任一向量a,都可以用平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量e1,e2線性表示B.當(dāng)a與兩個(gè)不共線的非零向量e1,e2之一平行時(shí),a不能用e1,e2線性表示C.零向量可以作為基底中的向量D.平面內(nèi)的基底是不唯一的答案:D解析:根據(jù)平面向量基本定理可知,只要是不共線的兩個(gè)向量就可以作為基底,因此基底是不唯一的.一二二、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1.思考(1)我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,每一個(gè)點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示.對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量,如何表示呢?提示如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.對于平面內(nèi)的一

3、個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實(shí)數(shù)x、y,使得a=xi+yj.一二一二一二2.填空(1)平面向量的正交分解把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(2)平面向量的坐標(biāo)表示基底:在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底.坐標(biāo):對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj,我們把有序?qū)崝?shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫做向量a在 x軸上的坐標(biāo),y叫做向量a在 y軸上的坐標(biāo).坐標(biāo)表示:a=(x,y)就叫做向量的坐標(biāo)表示.特殊向量的坐標(biāo):i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

4、一二3.做一做在平面直角坐標(biāo)系中,若i,j是與x軸、y軸正方向相同的單位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,則向量a,b,c的坐標(biāo)分別是,.答案:(2,-6)(0,5)(-4,0)探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練對平面向量基本定理的理解例1給出下列命題:若向量e1,e2不共線,則空間中的任一向量a均可表示為a=1e1+2e2(1,2R); 若向量e1,e2不共線,則平面內(nèi)的零向量不能用e1,e2線性表示;若向量e1,e2共線,則平面內(nèi)任一向量a都不能用e1,e2表示為a=1e1+2e2(1,2R)的形式;若向量e1,e2是一組基底,則e1+e2與e1-e2也可以作為一組基底.其中正

5、確命題的序號(hào)是.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:解析:錯(cuò)誤.當(dāng)e1,e2不共線時(shí),平面向量可用e1,e2唯一地線性表示,但空間中的向量則不一定.錯(cuò)誤.零向量也可以用一組基底來線性表示.錯(cuò)誤.當(dāng)e1,e2共線時(shí),平面內(nèi)的有些向量可以表示為1e1+2e2(1,2R)的形式,有些向量則不可以.正確.當(dāng)e1,e2不共線時(shí),e1+e2與e1-e2一定不共線,可以作為基底.反思感悟 平面向量基本定理的四個(gè)要點(diǎn)不共線的向量e1,e2;平面內(nèi)的任意向量a;存在唯一一對實(shí)數(shù)1,2;a=1e1+2e2.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練1如圖,設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點(diǎn),有下列向量組:

6、 .其中可作為該平面內(nèi)的其他向量的基底的是()A.B.C.D.答案:B探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練平面向量基本定理的應(yīng)用例2在ABC中.分析根據(jù)平面向量基本定理,結(jié)合向量的三種線性運(yùn)算進(jìn)行求解.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 用基底表示向量的方法將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練向量的坐標(biāo)表示例3(1)已知i,j分別

7、是與x軸、y軸正方向相同的單位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐標(biāo).(2)已知邊長為2的正三角形ABC,頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB邊在x軸上,點(diǎn)C在第一象限,D為AC的中點(diǎn),分別求向量 的坐標(biāo).分析(1)將a+4b先用i,j表示,再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的形式;(2)先求出點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的關(guān)系求出向量坐標(biāo).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:(1)因?yàn)閍=3i-2j,b=-i+5j,所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b的坐標(biāo)為(-1,18).(2)如圖,正三角形ABC的邊長為2,則頂點(diǎn)

8、A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 求平面向量坐標(biāo)的方法(1)若i,j是分別與x軸、y軸同方向的單位向量,則當(dāng)a=xi+yj時(shí),向量a的坐標(biāo)即為(x,y).(2)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo),只有當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo).(3)求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo).解題時(shí),常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練巧用直線的向量參數(shù)方程式解題 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨

9、析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練答案:C 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一個(gè)基底,則()A.零向量不能用e1,e2表示B.對實(shí)數(shù)1,2,1e1+2e2不一定在該平面內(nèi)C.對平面內(nèi)任一向量a,使a=1e1+2e2的實(shí)數(shù)1,2有無數(shù)對D.若實(shí)數(shù)1,2使1e1+2e2=0,則1=2=0答案:D解析:由平面向量基本定理可知D項(xiàng)正確,這是由于0=0e1+0e2,而1,2是唯一的,所以1=2=0.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練2.已知 =(-2,4),則下面說法正確的是()A.點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,4)B.點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4)C.當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,4)D.當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4)答案:D解析:由任一向