1、信息論第四章第1頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一信源編碼：以提高通信有效性為目的的編碼。通常通過壓縮信源的冗余度來實(shí)現(xiàn)。采用的一般方法是壓縮每個(gè)信源符號(hào)的平均比特?cái)?shù)或信源的碼率。即同樣多的信息用較少的碼率傳送，使單位時(shí)間內(nèi)傳送的平均信息量增加，從而提高通信的有效性。信道編碼：是以提高信息傳輸?shù)目煽啃詾槟康牡木幋a。通常通過增加信源的冗余度來實(shí)現(xiàn)。采用的一般方法是增大碼率/帶寬。與信源編碼正好相反。密碼：是以提高通信系統(tǒng)的安全性為目的的編碼。通常通過加密和解密來實(shí)現(xiàn)。從信息論的觀點(diǎn)出發(fā)，“加密”可視為增熵的過程，“解密”可視為減熵的過程。第一節(jié) 引言第2頁，共78頁，202

2、2年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一信源編碼理論是信息論的一個(gè)重要分支，其理論基礎(chǔ)是信源編碼的兩個(gè)定理。無失真信源編碼定理：是離散信源/數(shù)字信號(hào)編碼的基礎(chǔ)；限失真信源編碼定理：是連續(xù)信源/模擬信號(hào)編碼的基礎(chǔ)。信源編碼的分類：離散信源編碼、連續(xù)信源編碼和相關(guān)信源編碼三類。離散信源編碼：獨(dú)立信源編碼，可做到無失真編碼；連續(xù)信源編碼：獨(dú)立信源編碼，只能做到限失真信源編碼；相關(guān)信源編碼：非獨(dú)立信源編碼。第一節(jié) 引言第3頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第二節(jié) 碼的分類 編碼器可以看作這樣一個(gè)系統(tǒng)，它的輸入端為原始信源S，其符號(hào)集為 ；而信道所能傳輸?shù)姆?hào)集為 編碼器的功能是用符號(hào)

3、集X中的元素，將原始信源的符號(hào) 變換為相應(yīng)的碼字符號(hào) ，所以編碼器輸出端的符號(hào)集為 稱為碼字， 為碼字 的碼元個(gè)數(shù)，稱為碼字 的碼字長度，簡稱碼長。 編碼器第4頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一1、二元碼： 碼符號(hào)集X=0,1，如果要將信源通過二元信道傳輸，必須將信源編成二元碼，這也是最常用的一種碼。2、等長碼： 若一組碼中所有碼字的長度都相同，稱為等長碼。3、變長碼： 若一組碼中所有碼字的長度各不相同，稱為變長碼。4、非奇異碼： 若一組碼中所有碼字都不相同，稱為非奇異碼。第二節(jié) 碼的分類第5頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一5、奇異碼： 若一組碼中

4、有相同的碼字，稱為奇異碼。6、碼的N次擴(kuò)展： 若碼 ， 碼 則稱碼B為碼C的N次擴(kuò)展碼。7、唯一可譯碼： 若碼的任意一串有限長的碼符號(hào)序列只能被唯一的譯成所對應(yīng)的信源符號(hào)序列，則稱此碼為唯一可譯碼。 第二節(jié) 碼的分類第6頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一例：如果有四個(gè)信源符號(hào)s1，s2，s3，s4，采用二元編碼，l=2，則可以編成s1=00，s2=01，s3=10，s4=11。第三節(jié) 等長信源編碼定理如果我們要對信源的N次擴(kuò)展信源進(jìn)行編碼，也必須滿足 ， 兩邊取對數(shù)得：表示平均每個(gè)信源符號(hào)所需的碼符號(hào)個(gè)數(shù)。若對信源進(jìn)行等長編碼，則必須滿足其中，l是碼長，r是碼符號(hào)集中的碼

5、元數(shù)，q信源符號(hào)個(gè)數(shù)。第7頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第二節(jié) 等長碼例：對英文電報(bào)得32個(gè)符號(hào)進(jìn)行二元編碼，根據(jù)上述關(guān)系： 我們繼續(xù)討論上面得例子，我們已經(jīng)知道英文的極限熵是1.4bit,遠(yuǎn)小于5bit，也就是說，5個(gè)二元碼符號(hào)只攜帶1.4bit的信息量，實(shí)際上，5個(gè)二元符號(hào)最多可以攜帶5bit信息量。我們可以做到讓平均碼長縮短，提高信息傳輸率第8頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第二節(jié) 等長碼 我們舉例說明： 設(shè)信源而其依賴關(guān)系為：第9頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第二節(jié) 等長碼若不考慮符號(hào)間的依賴關(guān)系，可得碼長l2

6、若考慮符號(hào)間的依賴關(guān)系，則對此信源作二次擴(kuò)展 可見，由于符號(hào)間依賴關(guān)系的存在，擴(kuò)展后許多符號(hào)出現(xiàn)的概率為0，此信源只有4個(gè)字符，可得碼長 ，但平均每個(gè)信源符號(hào)所需碼符號(hào)為第10頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第二節(jié) 等長碼 我們?nèi)砸杂⑽碾妶?bào)為例，在考慮了英文字母間的相關(guān)性之后，我們對信源作N次擴(kuò)展，在擴(kuò)展后形成的信源（也就是句子）中，有些句子是有意義的，而有些句子是沒有意義的，我們可以只對有意義的句子編碼，而對那些沒有意義的句子不進(jìn)行編碼，這樣就可以縮短每個(gè)信源符號(hào)所需的碼長。 等長信源編碼定理給出了進(jìn)行等長信源編碼所需碼長的極限值。第11頁，共78頁，2022年，5月

7、20日，1點(diǎn)23分，星期一定理4.3（等長信源編碼定理） 一個(gè)熵為H(S)的離散無記憶信源，若對其N次擴(kuò)展信源進(jìn)行等長r元編碼，碼長為l，對于任意 大于0，只要滿足當(dāng)N無窮大時(shí)，則可以實(shí)現(xiàn)幾乎無失真編碼，反之，若：則不可能實(shí)現(xiàn)無失真編碼，當(dāng)N趨向于無窮大是，譯碼錯(cuò)誤率接近于1。第三節(jié) 等長信源編碼定理第12頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一定理4.3的條件式可寫成：左邊表示長為 的碼符號(hào)所能載荷的最大信息量，而右邊代表長為N的序列平均攜帶的信息量。因此，只要碼字傳輸?shù)男畔⒘看笥谛旁葱蛄袛y帶的信息量，總可以實(shí)現(xiàn)無失真編碼 。 第三節(jié) 等長信源編碼定理定理4.3的條件式也可寫

8、成：令： 稱之為編碼信息率。可見，編碼信息率大于信源的熵，才能實(shí)現(xiàn)無失真編碼。第13頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一最佳編碼效率為：第三節(jié) 等長信源編碼定理為了衡量編碼效果，引進(jìn)稱為編碼效率。第14頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一例：設(shè)離散無記憶信源：若采用等長二元編碼，要求編碼效率 ，允許錯(cuò)誤率，則：也就是長度要達(dá)到4130萬以上。第三節(jié) 等長信源編碼定理第15頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一1、唯一可譯變長碼與及時(shí)碼信源符號(hào)出現(xiàn)概率碼1碼2碼3碼4s1s2s3s41/21/41/81/80110011010000111

9、010010001010010001第四節(jié) 變長信源編碼定理第16頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第五節(jié) 變長碼 碼1是一個(gè)奇異碼，不是唯一可譯碼；碼2也不是唯一可譯碼，因?yàn)槭盏揭淮蛄惺?，無法唯一譯出對應(yīng)的原符號(hào)序列，如0100，即可譯作s4s3s1,也可譯作s4s1s3,s1s2s3或s1s2s1s1；碼3和碼4都是唯一可譯的。 但碼3和碼4也不太一樣，碼4稱作逗點(diǎn)碼，只要收到1，就可以立即作出譯碼；而碼3不同，當(dāng)受到一個(gè)或幾個(gè)碼是，必須參考后面的碼才能作出判斷。 定義，在唯一可譯碼中，有一類碼，它在譯碼是無須參考后面的碼字就可以作出判斷，這種碼稱為即時(shí)碼。第17頁

10、，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一定義：如果一個(gè)碼組中的任一個(gè)碼字都不是另一個(gè)碼字的續(xù)長，或者說，任何一個(gè)碼字后加上若干碼元后都不是碼組中另一個(gè)碼字，則稱為即時(shí)碼。 所有的碼非奇異碼唯一可譯碼即時(shí)碼第四節(jié) 變長信源編碼定理第18頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一2、即時(shí)碼的樹圖構(gòu)造法我們可以用樹圖的形式構(gòu)造即時(shí)碼，如01001111010010001碼4的樹圖10110000101001000碼3的樹圖第四節(jié) 變長信源編碼定理樹根碼字的起點(diǎn)樹枝數(shù)碼的數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)碼字的一部分節(jié)數(shù)碼長端點(diǎn)碼字滿樹等長碼非滿樹變長碼第19頁，共78頁，2022年，5月20日，1

11、點(diǎn)23分，星期一 在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上都有r個(gè)分枝的樹稱為整樹，否則稱為非整樹。 即時(shí)碼的樹圖還可以用來譯碼第四節(jié) 變長信源編碼定理第20頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一3、克拉夫特（Kraft）不等式定理4.4 對于碼符號(hào)為 的任意即時(shí)碼，所對應(yīng)的碼長為 ，則必定滿足： 反之，若碼長滿足上式，則一定存在這樣的即時(shí)碼 。 可以根據(jù)即時(shí)碼的樹圖構(gòu)造法來證明。 后來，B.McMillan證明了對于唯一可譯碼也必須滿足上面的不等式，第四節(jié) 變長信源編碼定理第21頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一定理4.6 若存在一個(gè)碼長為 唯一可譯碼，則一定存在一個(gè)同樣長度的即

12、時(shí)碼。 這說明，其他唯一可譯碼在碼長方面并不比即時(shí)碼占優(yōu)。所以在討論唯一可譯碼時(shí)，只需要討論即時(shí)碼就可以了。第四節(jié) 變長信源編碼定理第22頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一設(shè)信源編碼后的碼字為：碼長為：則這個(gè)碼的平均長度為：平均每個(gè)碼元攜帶的信息量即編碼后的信息傳輸率為：若有一個(gè)唯一可譯碼，它的平均碼長小于其他唯一可譯碼的長度，則稱此碼為緊致碼或最佳碼，無失真信源編碼的基本問題就是尋找緊致碼。第四節(jié) 變長信源編碼定理第23頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一定理4.8 無失真變長信源編碼定理（香農(nóng)第一定理）離散無記憶信源S的N次擴(kuò)展信源 ，其熵為 ，并

13、且編碼器的碼元符號(hào)集為A： 對信源 進(jìn)行編碼，總可以找到一種編碼方法，構(gòu)成單義可譯碼，使信源S中每個(gè)符號(hào)si所需要的平均碼長滿足 當(dāng) 則得：第四節(jié) 變長信源編碼定理第24頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一 這個(gè)定理是香農(nóng)信息論中非常重要得一個(gè)定理，它指出，要做到無失真得信源編碼，信源每個(gè)符號(hào)所需要的平均碼元數(shù)就是信源的熵值，如果小于這個(gè)值，則唯一可譯碼不存在，可見，熵是無失真信源編碼的極限值。定理還指出，通過對擴(kuò)展信源進(jìn)行編碼，當(dāng)N趨向于無窮時(shí)，平均碼長可以趨進(jìn)該極限值。 還可以證明，如果我們不確切知道信源的概率分布，我們用估計(jì)的概率分布去進(jìn)行編碼時(shí)，平均碼長會(huì)加長，但是

14、如果估計(jì)的偏差不大的話，平均碼長也不會(huì)增加太多（定理4.9的內(nèi)容）。 第四節(jié) 變長信源編碼定理第25頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一由得：就是編碼后每個(gè)信源符號(hào)所攜帶的平均信息量第一定理可以表述如下：若 就存在唯一可譯變長碼，若 則不存在唯一可譯變長碼。第四節(jié) 變長信源編碼定理定義：若從信道角度講，信道的信息傳輸率因?yàn)椋核援?dāng)平均碼長達(dá)到極限值時(shí)，編碼后信道的信息傳輸率為：第26頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一無噪信道編碼定理 若信道的信息傳輸率R不大于信道容量C，總能對信源的輸出進(jìn)行適當(dāng)?shù)木幋a，使的在無噪無損信道上能無差錯(cuò)的以最大信息傳輸率C傳

15、輸信息，若R小于C，則無差錯(cuò)傳輸是不可能的。第四節(jié) 變長信源編碼定理 編碼效率：碼的剩余度：在二元無噪無損信道中：在二元無噪無損信道中信息傳輸率：第27頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一例：其熵為：H(S)=0.811我們令s1=0，s2=1，這時(shí)平均碼長 ，編碼的效率為 。第四節(jié) 變長信源編碼定理二次擴(kuò)展信源進(jìn)行編碼：即時(shí)碼s1s19/160s1s23/1610s2s13/16110s2s21/16111第28頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第五節(jié) 香農(nóng)編碼設(shè)離散無記憶信源二進(jìn)制香農(nóng)碼的編碼步驟如下：將信源符號(hào)按概率從大到小的順序排列，為方便起見

16、，令 p(x1) p(x2) p(xn)令p(x0)=0，用pa(xj)，j=i+1表示第i個(gè)碼字的累加概率，則：確定滿足下列不等式的整數(shù)ki ，并令ki為第i個(gè)碼字的長度log2 p(xn)ki log2 p(xn)+1將pa(xj) 用二進(jìn)制表示，并取小數(shù)點(diǎn)后ki 位作為符號(hào)xi的編碼。第29頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第五節(jié) 香農(nóng)編碼例 有一單符號(hào)離散無記憶信源對該信源編二進(jìn)制香農(nóng)碼。其編碼過程如下表所示。第30頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第五節(jié) 香農(nóng)編碼計(jì)算出給定信源香農(nóng)碼的平均碼長若對上述信源采用等長編碼，要做到無失真譯碼，每個(gè)

17、符號(hào)至少要用3個(gè)比特表示。相比較，香農(nóng)編碼對信源進(jìn)行了壓縮。由離散無記憶信源熵定義，可計(jì)算出：對上述信源采用香農(nóng)編碼的信息率為編碼效率為信源熵和信息率之比。則可以看出，編碼效率并不是很高。第31頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第六節(jié) 費(fèi)諾編碼費(fèi)諾編碼也是一種常見的信源編碼方法。編碼步驟如下：將概率按從大到小的順序排列，令p(x1) p(x2) p(xn)按編碼進(jìn)制數(shù)將概率分組，使每組概率盡可能接近或相等。如編二進(jìn)制碼就分成兩組，編m進(jìn)制碼就分成m組。給每一組分配一位碼元。將每一分組再按同樣原則劃分，重復(fù)步驟2和3，直至概率不再可分為止。第32頁，共78頁，2022年，5

18、月20日，1點(diǎn)23分，星期一第六節(jié) 費(fèi)諾編碼例 設(shè)有一單符號(hào)離散信源對該信源編二進(jìn)制費(fèi)諾碼。編碼過程如下表。第33頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第六節(jié) 費(fèi)諾編碼該信源的熵為平均碼長為編碼效率為本例中費(fèi)諾編碼有較高的編碼效率。費(fèi)諾碼比較適合于每次分組概率都很接近的信源。特別是對每次分組概率都相等的信源進(jìn)行編碼時(shí)，可達(dá)到理想的編碼效率。第34頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第六節(jié) 費(fèi)諾編碼題中碼字還可用碼樹來表示，如圖所示。第35頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第七節(jié) 霍夫曼編碼 霍夫曼(Huffman)編碼是一種效率比較高

19、的變長無失真信源編碼方法。編碼步驟二進(jìn)制哈夫曼編碼m進(jìn)制哈夫曼編碼第36頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第七節(jié) 霍夫曼編碼編碼步驟將信源符號(hào)按概率從大到小的順序排列，令p(x1) p(x2) p(xn)給兩個(gè)概率最小的信源符號(hào)p(xn-1)和p(xn)各分配一個(gè)碼位“0”和“1”，將這兩個(gè)信源符號(hào)合并成一個(gè)新符號(hào)，并用這兩個(gè)最小的概率之和作為新符號(hào)的概率，結(jié)果得到一個(gè)只包含(n1)個(gè)信源符號(hào)的新信源。稱為信源的第一次縮減信源，用S1表示。將縮減信源S1的符號(hào)仍按概率從大到小順序排列，重復(fù)步驟2，得到只含(n2)個(gè)符號(hào)的縮減信源S2。重復(fù)上述步驟，直至縮減信源只剩兩個(gè)符號(hào)

20、為止，此時(shí)所剩兩個(gè)符號(hào)的概率之和必為1。然后從最后一級(jí)縮減信源開始，依編碼路徑向前返回，就得到各信源符號(hào)所對應(yīng)的碼字。第37頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第七節(jié) 霍夫曼編碼二進(jìn)制哈夫曼編碼例 設(shè)單符號(hào)離散無記憶信源如下，要求對信源編二進(jìn)制 霍夫曼碼。編碼過程如下圖（后頁）。在圖中讀取碼字的時(shí)候，一定要從后向前讀，此時(shí)編出來的碼字才是可分離的異前置碼。若從前向后讀取碼字，則碼字不可分離。第38頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第七節(jié) 霍夫曼編碼二進(jìn)制哈夫曼編碼第39頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第七節(jié) 霍夫曼編碼二進(jìn)制哈夫

21、曼編碼將上圖左右顛倒過來重畫一下，即可得到二進(jìn)制哈夫曼碼的碼樹。第40頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一信源熵為：平均碼長為編碼效率為若采用定長編碼，碼長K=3，則編碼效率可見哈夫曼的編碼效率提高了12.7%。第七節(jié) 霍夫曼編碼二進(jìn)制哈夫曼編碼第41頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第七節(jié) 霍夫曼編碼二進(jìn)制哈夫曼編碼注意：哈夫曼的編法并不惟一。每次對縮減信源兩個(gè)概率最小的符號(hào)分配“0”和“1”碼元是任意的，所以可得到不同的碼字。只要在各次縮減信源中保持碼元分配的一致性，即能得到可分離碼字。不同的碼元分配，得到的具體碼字不同，但碼長ki不變，平均碼長

22、也不變，所以沒有本質(zhì)區(qū)別；縮減信源時(shí)，若合并后的新符號(hào)概率與其他符號(hào)概率相等，從編碼方法上來說，這幾個(gè)符號(hào)的次序可任意排列，編出的碼都是正確的，但得到的碼字不相同。不同的編法得到的碼字長度ki也不盡相同。第42頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一例：單符號(hào)離散無記憶信源 ，用兩種不同的方法對其編二進(jìn)制哈夫曼碼。siliWi概率s1s2s3s4s512344101000001000110.40.20.20.10.1 0.4 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.2 0.6 0.4010101方法一：合并后的新符號(hào)排在其它相同概率符號(hào)的后面。第七節(jié) 霍夫曼編碼二進(jìn)制哈夫曼

23、編碼第43頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一siliWi概率s1s2s3s4s512344101000001000110.40.20.20.10.1 0.4 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.2 0.6 0.4010101 這兩種編碼哪一種更好呢，我們來計(jì)算一下二者的碼長。方法二：合并后的新符號(hào)排在其它相同概率符號(hào)的前面。第七節(jié) 霍夫曼編碼二進(jìn)制哈夫曼編碼第44頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一兩種編碼的平均碼長是一樣的，都是2.2，那一種更好呢，我們可以計(jì)算一下平均碼長的方差。定義碼字長度的方差2：第七節(jié) 霍夫曼編碼二進(jìn)制哈夫曼編碼第45

24、頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第七節(jié) 霍夫曼編碼二進(jìn)制哈夫曼編碼可見：第二種編碼方法的碼長方差要小許多。意味著第二種編碼方法的碼長變化較小，比較接近于平均碼長。第一種方法編出的5個(gè)碼字有4種不同的碼長；第二種方法編出的碼長只有兩種不同的碼長；顯然，第二種編碼方法更簡單、更容易實(shí)現(xiàn)，所以更好。結(jié)論：在哈夫曼編碼過程中，對縮減信源符號(hào)按概率由大到小的順序重新排列時(shí)，應(yīng)使合并后的新符號(hào)盡可能排在靠前的位置，這樣可使合并后的新符號(hào)重復(fù)編碼次數(shù)減少，使短碼得到充分利用。第46頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第七節(jié) 霍夫曼編碼m進(jìn)制哈夫曼編碼“全樹”概念定

25、義：碼樹圖中每個(gè)中間節(jié)點(diǎn)后續(xù)的枝數(shù)為m時(shí)稱為全樹；若有些節(jié)點(diǎn)的后續(xù)枝數(shù)不足m，就稱為非全樹。二進(jìn)制碼不存在非全樹的情況，因?yàn)楹罄m(xù)枝數(shù)是一時(shí)，這個(gè)枝就可以去掉使碼字長度縮短。對m進(jìn)制編碼：若所有碼字構(gòu)成全樹，可分離的碼字?jǐn)?shù)（信源個(gè)數(shù)）必為 m+k(m1)。k為信源縮減次數(shù)。若信源所含的符號(hào)數(shù)n不能構(gòu)成m進(jìn)制全樹，必須增加s個(gè)不用的碼字形成全樹。顯然s0(i=1,2, ,n)信源符號(hào)的累積分布函數(shù)為： 所得累積分布函數(shù)為每臺(tái)級(jí)的下界值，則其區(qū)間為0,1)左閉右開區(qū)間。 F (a1)=0 F (a2)=P (a1) F (a3)=P (a1)+P (a2) 當(dāng)A=0,1二元信源時(shí)： F (0)= 0

26、，F(xiàn) (1)=P (0)第62頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼計(jì)算二元無記憶信源序列的累積分布函數(shù)初始時(shí)：在0,1)區(qū)間內(nèi)由F (1)劃分成二個(gè)子區(qū)間0,F (1)和F (1),1)， F (1)= P (0)。子區(qū)間0,F (1)的寬度為A(0)= P (0)，對應(yīng)于信源符號(hào)“0”；子區(qū)間F (1),1)的寬度為A(1)= P (1)，對應(yīng)于信源符號(hào)“1”；若輸入符號(hào)序列的第一個(gè)符號(hào)為s=“0”，落入0,F (1)區(qū)間，得累積分布函數(shù)F (s=“0”)= F (0)=0； 第63頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23

27、分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼輸入第二個(gè)符號(hào)為“1”，s=“01”s=“01”所對應(yīng)的區(qū)間是在區(qū)間0,F (1)中進(jìn)行分割；符號(hào)序列“00”對應(yīng)的區(qū)間寬度為: A(00)=A(0)P (0)=P (0)P (0)=P (00)；對應(yīng)的區(qū)間為0,F (s=“01”)。符號(hào)序列“01”對應(yīng)的區(qū)間寬度為 A(01)=A(0)P (1)=P (0)P (1)=P (01)= A(0)A(00)；對應(yīng)的區(qū)間為F (s=“01”),F (1)。累積分布函數(shù)F (s=“01”)=P (00)= P (0)P (0)第64頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié)

28、游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼第65頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼 輸入第三個(gè)符號(hào)為“1”：輸入序列可記做s1=“011”（若第三個(gè)符號(hào)輸入為“0”，可記做s0=“010”）；現(xiàn)在，輸入序列s1=“011”對應(yīng)的區(qū)間是對區(qū)間F(s),F(1)進(jìn)行分割；序列s0=“010”對應(yīng)的區(qū)間寬度為 A(s=“010”)=A(s=“01”)P(0)=A(s)P(0) 其對應(yīng)的區(qū)間為F(s), F(s)+ A(s)P(0)；序列s1=“011”對應(yīng)的區(qū)間寬度為 A(s=“011”)=A(s)P(1)=A(s=“01”)A(s=“01

29、0”)= A(s )A(s0) 其對應(yīng)的區(qū)間為F(s)+A(s)P(0),F(1)；符號(hào)序列s1=“011”的累積分布函數(shù)為F(s1)=F(s)+A(s)P(0)；若第三個(gè)符號(hào)輸入為“0”，符號(hào)序列s0=“010”的區(qū)間下界值仍為F(s)，得符號(hào)序列s0=“010”的累積分布函數(shù)為F(s0)=F(s)。第66頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼歸納當(dāng)已知前面輸入符號(hào)序列為s，若接著再輸入一個(gè)符號(hào)“0”，序列s0的累積分布函數(shù)為： F(s0)=F(s)對應(yīng)區(qū)間寬度為： A(s0)=A(s)P(0)若接著輸入的一個(gè)符號(hào)是“1”，序列的

30、累積分布函數(shù)為：F(s1)=F(s)+A(s)P(0)對應(yīng)區(qū)間寬度為： A(s1)=A(s)P(1)=A(s)A(s0)第67頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼符號(hào)序列對應(yīng)的區(qū)間寬度A(s=“0”)=P(0)A(s=“1”)=1A(s=“0”)=P(1)A(s=“00”)=P(00)=A(0)P(0)=P(0)P(0)A(s=“01”)=A(s=“0”)A(s=“00”)=P(01)=A(0)P(1)=P(0)P(1)A(s=“10”)=P(10)=A(1)P(0)=P(1)P(0)A(s=“11”)=A(s=“1”)A(s=“

31、10”)=P(11)= A(s=“1”)P(1)=P(1)P(1)A(s=“010”)=A(s=“01”)P(0)=P(01)P(0)P(010)A(s=“011”)=A(s=“01”)-A(s=“010”)=A(s=“01”)P(1)=P(01)P(1)=P(011) 信源符號(hào)序列s所對應(yīng)區(qū)間的寬度等于符號(hào)序列s的概率P(s)。第68頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼二元信源符號(hào)序列的累積分布函數(shù)的遞推公式F(sr)=F(s)+P(s)F(r) (r=0,1) sr表示已知前面信源符號(hào)序列為s，接著再輸入符號(hào)為rF(0)=0，

32、 F(1)=P(0)F(s0)=F(s)F(s1)=F(s)+P(s)F(1)= F(s)+P(s)P(0)A(sr)=P(sr)=P(s)P(r) (r=0,1) A(s0)=P(s0)=P(s)P(0) A(s1)=P(s1)=P(s)P(1)第69頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼舉例：已輸入二元符號(hào)序列為s=“011”，接著再輸入符號(hào)為“1”，得序列累積分布函數(shù)為： F(s1)=F(0111)=F(s=“011”)+P(011)P(0) =F(s=“01”)+P(01)P(0)+P(011)P(0) =F(s=“0”)+

33、P(0)P(0) +P(01)P(0)+P(011)P(0) =0+P(00)+P(010)+P(0110) 對應(yīng)的區(qū)間寬度為 A(s1)=P(s=“011”)P(1)=P(011)P(1)=P(0111)上述整個(gè)分析過程可用圖5.6.1描述式(5.6.1)和(5.6.2)是可遞推運(yùn)算，在實(shí)際中，只需兩個(gè)存儲(chǔ)器，把P(s)和F(s)存下來，然后，根據(jù)輸入符號(hào)和式(5.6.1)、(5.6.2)更新兩個(gè)存儲(chǔ)器中的數(shù)值。因此在編碼過程中，每輸入一個(gè)符號(hào)要進(jìn)行乘法和加法運(yùn)算，所以稱為算術(shù)編碼。第70頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼第71頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼 通過關(guān)于信源符號(hào)序列的累積分布函數(shù)的計(jì)算，把區(qū)間分割成許多小區(qū)間，不同的信源符號(hào)序列對應(yīng)不同的區(qū)間為F(s),F(s)+P(s) 。可取小區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)來代表這序列。編碼方法：將符號(hào)序列的累積分布函數(shù)寫成二進(jìn)位的小數(shù)，取小數(shù)點(diǎn)后k位，若后面有尾數(shù)，就進(jìn)位到第k位，這樣得到的一個(gè)數(shù)C，并使k滿足舉例第72頁，共78頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)23分，星期一第八節(jié) 游程編碼、算術(shù)編碼、冗余編碼算術(shù)編碼編碼效率這樣選取的數(shù)值C，一般根據(jù)二進(jìn)小數(shù)