1、高中數學精品資料群 284110736妙用平幾知識解決解幾高考試題眾所周知,圓錐曲線試題是高考的一大“攔路虎”.不管是教師還是學生,在解決方法上往往過分強調“純代數”的解法.即通過引進坐標系,建立點與坐標,曲線與方程之間的對應關系,將幾何問題轉化為代數問題,從而用代數方法研究幾何問題.這些方法屬于通性通法,固然是必須重點講解和掌握的,但是它們的計算量偏大,很多考生就是因為冗長的計算半途而廢.因此,如何另辟蹊徑,減少運算量是高三一線老師必須認真思考的問題.圓錐曲線屬于解析幾何的內容,幾何是學生在初中就已經接觸到的知識.學生在初中就已經學習了平面幾何的一些性質,再加上高中幾何知識的補充與強化,學生

2、有了較為全面的平面幾何知識,較好的應用平面幾何的能力.因此,在解決圓錐曲線的相關問題中,如果我們能夠將平面幾何的知識應用上去,抓住解析幾何問題的本質特征“幾何性”,結合圓錐曲線的知識進行求解,那么可以使問題的解決變得清爽簡明,自然簡約,收到事半功倍的效果.二舉例類型1:三角形或梯形中位線的性質例1:2019年浙江卷理科第15題已知橢圓的左焦點為,點在橢圓上且在軸的上方.若線段的中點在以原點為圓心,為半徑的圓上,則直線的斜率是圖1解析:如圖1,設橢圓的右焦點為,線段的中點為,連接.由已知有,.由可得.故.作,則,所以直線的斜率是.分析:觀察圖形不難發(fā)現是三角形的中位線,結合中位線的性質和橢圓的性

3、質,將直線的斜率轉化成例2.2017年全國II卷第16已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點若為的中點，則 圖2解析:如圖2所示,不妨設點位于第一象限,設拋物線的準線與軸交于點,作 于點,于點,由拋物線的解析式可得準線方程為,則,在直角梯形中,中位線,由拋物線的定義有,結合題意有 ,故分析:借助梯形中位線的性質,充分運用平幾知識,結合拋物線性質求解.類型2:等腰三角形的性質或判定例3:2019年江蘇卷理科第17題如圖3,在平面直角坐標系中,橢圓:()的焦點為,.過作軸的垂線,在軸的上方,與圓交于點,與橢圓交于點.連接并延長交圓于點,連接交橢圓于點,連接.已知.(1)求橢圓的標準方程;(

4、2)求點的坐標. 圖3解析:由(1)知橢圓方程為.如圖3,連接.由于,所以,故.又,所以,故有,所以,故軸,所以點.分析:充分挖掘圖形中隱含的幾何關系,緊扣三角形和是等腰三角形,等量代換得到,從而有例4:2016年全國I卷理科解幾壓軸試題設圓的圓心為,直線過點且與軸不重合.交圓于,兩點,過作的平行線交于點.(1)證明為定值,并寫出點的軌跡方程.(2)略.圖4解析:顯然圓的圓心為,半徑為.如圖4所示,由于,故為等腰三角形,所以.又,所以,因此有,故.此時為定值.因為,為定點,為動點,根據橢圓的定義,點的軌跡是以,為焦點,為長軸長的橢圓.即,點的軌跡方程為.分析:本題既運用等腰三角形的性質,又運用

5、等腰三角形的判定,結合橢圓性質求解.類型3:圓的性質例5:2019年全國I卷文科第21題已知關于坐標原點對稱,圓過點且與直線相切.(1)略.(2)是否存在定點,使得當運動時,為定值?并說明理由.解析:設.由已知有,.在直角三角形中,由得.故圓心的軌跡是拋物線,軌跡方程為.分析:對于第二問,解決的關鍵在于求出動圓圓心的軌跡方程.要抓住題目所給的幾何特征.由題目條件可知兩點是圓直徑的兩個端點,是運動的.由于圓經過所以圓心必定在線段的垂直平分線上.又圓與直線相切,所以動圓必須滿足以下三個條件:1圓心在線段的垂直平分線上;2圓過點;3圓與直線相切.例6.2018年江蘇卷第12題在平面直角坐標系中,為直

6、線:上再等一象限內的點,以為直徑的圓與直線交于另一點.若,則點的橫坐標為 圖5解析:如圖5所示,由已知可得.設直線的傾斜角為,則且,故,因而直線方程為,與直線:聯立得點的橫坐標為3.分析:結合圖形運用平幾知識可知為等腰直角三角形.觀察圖形發(fā)現直線的傾斜角與直線的傾斜角滿足關系式,從而巧妙求出直線方程.本題充分運用平幾知識,解題思路十分簡潔,大道至簡.類型4:三角形內角平分線定理例7:2013年山東高考理科第22題橢圓的左,右焦點分別是,離心率為,過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.()求橢圓的方程()()點是橢圓上除長軸端點外的任一點,連接,設的角平分線交的長軸于點,求的取值范圍; 圖6

7、解析:如圖6所示,在中,因為平分,所以由三角形內角平分線定理可得解得又點是橢圓上除長軸端點外的任一點,所以即,解得分析:抓住圖形特征,將幾何中的“內角平分線定理”,“合分比定理”,“橢圓上的點到焦點的距離范圍”巧妙地聯系起來.類型5:正弦定理或余弦定理例8:2012年遼寧高考理科第20題設橢圓 的右焦點為,過點的直線與相交于,兩點,直線的傾斜角為,求橢圓的離心率.(2)如果,求橢圓方程(略)圖7解析:設為橢圓的左焦點.由已知有,=設,則在中,由余弦定理有,解得在中,由余弦定理有,解得故,解得分析:本題巧妙地在兩個三角形中運用余弦定理,得到和的關系式,從而求出.整個解題過程避開了復雜的坐標運算,

8、聯立直線方程與橢圓方程等等,給人一種耳目一新,清新脫俗的感覺.這就啟發(fā)我們,當用常規(guī)解法比較難以入手時,不妨轉而觀察圖形的幾何特征,將幾何元素研究清楚,運用相關的幾何知識加以解決,這樣往往會有出其不意的效果.類型6:三角形三邊長的關系例9:2012年四川高考理科第19題已知橢圓的左焦點為,直線與橢圓相交于點,當的周長最大時,的面積是 圖8 解析:設橢圓的右焦點為,根據橢圓的定義有,解得的周長=觀察圖形,有,當且僅當直線過右焦點時取等號.故,即的周長的最大值為.此時,因此面積為分析:本題用到幾何中“三角形的兩邊之和大于第三邊”這個重要結論來做.整個過程沒有很復雜煩瑣的計算,但是卻處處洋溢著思維的

9、火花. 整個過程自然明了,大道至簡. 類型7:綜合性問題例10.2017年全國I卷第15題已知雙曲線的右頂點為,以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點.若,則的離心率為 . 圖9 解析:如圖9所示,作,因為圓與雙曲線的一條漸近線 交于兩點,則為雙曲線的漸近線上的點,且， ,而,所以,點到直線的 距離.在中，代入計算得， 即,由得,所以.例11:2013年全國卷高考理科第21題已知雙曲線的左右焦點分別為,離心率為,與的兩個交點間的距離為.（1）求,(略)（2）設過的直線與的左右兩支分別相交于,兩點,且.證明:成等比數列圖10解析:由第一步可知,雙曲線的方程為.根據雙曲線的定義,有,(1)+(2)得.觀察圖形可知.作,則為中點.故由(1)有=在直角中, =即,解得故=顯然,得證.分析:本題涉及眾多幾何元素,將平面幾何元素的特征發(fā)揮得淋漓盡致.求解過程精彩紛呈,環(huán)環(huán)相