1、知識框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個模塊，其中一塊是容斥原理問題。 在公務(wù)員考試中，根據(jù)集合的個數(shù)，容斥原理問題一般只有兩集合容斥關(guān)系和三集合容斥關(guān)系兩種類型，兩集合容斥關(guān)系一般只要采用公式法就可輕松解決，三集合容斥關(guān)系又可分為原則型、圖示標(biāo)數(shù)型、整體反復(fù)型三類，相應(yīng)解題措施分別是公式法、文氏圖法、方程法。無論集合中的元素怎么變化，同窗只要牢牢把握這兩類型，就能輕松搞定容斥原理問題。 核心點(diǎn)撥1、題型簡介 容斥原理是在不考慮重疊的狀況下，先將所有對象的數(shù)目相加，然后再減去反復(fù)的部分，從而使得計(jì)算的成果既無漏掉又無反復(fù)。掌握容斥原理問題，可以協(xié)助同窗們解決多集合元素個數(shù)的問題。 2、核心知識 （1

2、）兩個集合容斥關(guān)系 （2）三個集合容斥關(guān)系 A、原則型公式 B、圖示標(biāo)數(shù)型（文氏圖法） 畫圖法核心環(huán)節(jié)： 1 畫圈圖； 2 數(shù)字(先填最外一層，再填最內(nèi)一層，然后填中間層)； 做計(jì)算。 C、整體反復(fù)型 A、B、C分別代表三個集合（例如“分別滿足三個條件的元素?cái)?shù)量”）； W代表元素總量（例如“至少滿足三個條件之一的元素的總量”）； x代表元素?cái)?shù)量1（例如“滿足一種條件的元素?cái)?shù)量”）； y代表元素?cái)?shù)量2（例如“滿足兩個條件的元素?cái)?shù)量”）； z代表元素?cái)?shù)量3（例如“滿足三個條件的元素?cái)?shù)量”）。 3、核心知識使用詳解 （1）容斥原理問題要清晰容斥原理公式中各項(xiàng)的實(shí)際含義，與題中的數(shù)據(jù)精確相應(yīng)。 （2）

3、容斥原理問題的核心在于把文字轉(zhuǎn)化為文氏圖，在圖中應(yīng)準(zhǔn)備反映題中集合之間的關(guān)系。 （3）容斥問題的難度在于題中集合也許較多，某些集合之間的關(guān)系也許不擬定，這需要仔細(xì)的分析，抓住不擬定的。 夯實(shí)基本1. 兩個集合容斥關(guān)系 例1：(中央第50題) 小明和小強(qiáng)參與同一次考試，如果小明答對的題目占題目總數(shù)的，小強(qiáng)答對了27道題，她們兩人都答對的題目占題目總數(shù)的，那么兩人都沒有答對的題目共有（ ）。 A. 3道B. 4道C. 5道D. 6道【答案】 D【解析】 題鑰 由于不懂得這次考試題目的總數(shù)，因此可先設(shè)題目總數(shù)即元素總量為。 “小明答對的題目占題目總數(shù)的”，相稱于集合A為。 “小強(qiáng)答對了27道題”，相

4、稱于集合B為27。 “她們兩人都答對的題目占題目總數(shù)的”，相稱于集合。 “兩人都沒有答對的題目”，相稱于求集合。 解析 根據(jù)題意， 擬定元素總量W：； 擬定集合A：； 擬定集合B：27； 擬定集合：； 代入兩集合公式： 由于和均為題數(shù)，須均為正整數(shù)，因此必須為12的倍數(shù)，并且由選項(xiàng)知：36 當(dāng)W12時(shí)，16，不合題意； 當(dāng)W24時(shí)，5，不合題意； 當(dāng)W36時(shí)，6，符合題意。 因此，兩人都沒答對的題目為6道。 因此，選B。2. 三個集合容斥關(guān)系 例2：（浙江行測真題預(yù)測） 某專業(yè)有學(xué)生50人，現(xiàn)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課的有2

5、8人，兼選甲、丙兩門課的有26人，兼選乙、丙門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三課均未選的有多少人？( ) A. 1人B. 2人C. 3人D. 4人【答案】 B【解析】 題鑰 “某專業(yè)有學(xué)生50人”，相稱于元素總量W為50。 “有40人選修甲課程”，相稱于集合A為40。 “36選修乙課程”，相稱于集合B為36。 “30人選修丙課程”，相稱于集合C為30。 “兼選甲、乙兩門課的有28人”，相稱于集合=28。 “兼選甲、丙兩門課的有26人”，相稱于集合=26。 “兼選乙、丙門課程的有24人”，相稱于集合=24。 “甲、乙、丙三門課程均選的有20人”，相稱于集合=20。 “問三課

6、均未選的有多少人?”相稱于求集合。 解析 根據(jù)題意， 擬定元素總量W：50 擬定集合A：40 擬定集合B：36 擬定集合C：30 擬定集合：28 擬定集合：26 擬定集合：24 擬定集合：20 代入三集合原則型公式： 50-（40+36+30-28-24-26+20） 2 因此，選B。例3：（國家行測真題預(yù)測） 某高校對某些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參與注冊會計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參與英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參與計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參與的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參與的有46人，不參與其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？( ) A. 1

7、20B. 144C. 177D. 192【答案】 A【解析】 題鑰 觀測題目，屬于三個集合容斥關(guān)系中的標(biāo)數(shù)型問題，可采用文氏圖法求解。 解析 本題屬于標(biāo)數(shù)型問題，可采用文氏圖法求解，如下圖所示。 圖中，黑色部分是準(zhǔn)備參與兩種考試的學(xué)生，灰色部分是準(zhǔn)備參與三種考試的學(xué)生。計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)，黑色部分反復(fù)計(jì)算了一次，灰色部分反復(fù)計(jì)算了兩次，因此接受調(diào)查的學(xué)生共有： 6389472424615120人。 因此，選A。例4：(浙江20) 某班有35個學(xué)生，每個學(xué)生至少參與英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的一種課外活動小組?，F(xiàn)已知參與英語小組的有17人，參與語文小組的有30人，參與數(shù)學(xué)小組的有13人。如果有5個

8、學(xué)生三個小組全參與了，問有多少個學(xué)生只參與了一種小組？( ) A. 15人B. 16人C. 17人D. 18人【答案】 A【解析】 題鑰 “某班有35個學(xué)生，每個學(xué)生至少參與英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的一種課外活動小組”，相稱于元素總量W為35。 “參與英語小組的有17人”，相稱于集合A為17。 “參與語文小組的有30人”，相稱于集合B為30。 “參與數(shù)學(xué)小組的有13人”，相稱于集合C為13。 “如果有5個學(xué)生三個小組全參與了”，相稱于元素?cái)?shù)量3為5。 “問有多少個學(xué)生只參與了一種小組？”，此類題目屬于整體反復(fù)型問題，可采用方程法求解。 解析 根據(jù)題意，設(shè)： 參與一種小組的人數(shù)為x，即元素

9、數(shù)量1為x； 參與兩個小姐的人數(shù)為y，即元素?cái)?shù)量2為y； 擬定元素總量W：38 擬定集合A：17 擬定集合B：30 擬定集合C：13 擬定元素?cái)?shù)量3：5 代入公式，列方程： 因此，選A。進(jìn)階訓(xùn)練1.兩個集合容斥關(guān)系 例5：某校學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽的有120名男生，80名女生，參與英語競賽的有120名女生，80名男生。已知該?？偣灿?60名學(xué)生參與競賽，其中75名男生兩科競賽都參與了，那么參與數(shù)學(xué)競賽而沒有參與英語競賽的女生人數(shù)是多少人?( ) A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】 A【解析】 題鑰 假設(shè)260名學(xué)生當(dāng)中有m名男生、n名女生，同步參與了教學(xué)和英語競賽的女生人數(shù)為x。 對于

10、男生： “m名男生”，相稱于元素總量為m。 “參與數(shù)學(xué)競賽的有120名男生”，相稱于集合為120。 “參與英語競賽的”，“80名男生”，相稱于集合為80。 “其中75名男生兩科競賽都參與了”，相稱于集合為75。 對于女生： “n名女生”，相稱于元素總量為n。 “參與數(shù)學(xué)競賽的”、“80名女生”，相稱于集合為80。 “參與英語競賽的有120名女生”，相稱于集合為120。 同步參與了教學(xué)和英語競賽的女生人數(shù)，相稱于集合為x。 “已知該?？偣灿?60名學(xué)生參與競賽”，可知260名學(xué)生都參與了競賽，沒有“數(shù)學(xué)競賽和英語競賽都沒參與”的狀況。相稱于集合、集合為0。 解析 根據(jù)題意，設(shè)： 260名學(xué)生當(dāng)中

11、有m名男生、n名女生； 同步參與了教學(xué)和英語競賽的女生人數(shù)為x。 對于男生： 擬定元素總量：m 擬定集合：120 擬定集合：80 擬定集合：75 擬定集合：0 對于女生： 擬定元素總量：n 擬定集合：80 擬定集合：120 擬定集合：x 擬定集合：0 男女生總數(shù)，即mn260。 代入兩集合公式，列方程： 則有 即同步參與了教學(xué)和英語競賽的女生人數(shù)為65。 由于參與數(shù)學(xué)競賽的女生有80名， 則參與數(shù)學(xué)競賽而沒有參與英語競賽的女生人數(shù)： 806515名。 因此，選A。2.三個集合容斥關(guān)系 例6：(廣州33) 如右圖所示，每個圓紙片的面積都是36，圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、

12、6、9，三個圓紙片覆蓋的總面積為88，則圖中陰影部分的面積為?( ) A. 66B. 68C. 70D. 72【答案】 C【解析】 題鑰 “三個圓紙片覆蓋的總面積為88”，相稱于元素總量W為88，集合為0。 “每個圓紙片的面積都是36”，相稱于集合A、集合B、集合C都為36。 “圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9”，相稱于集合為7，集合為6，集合為9。 規(guī)定“陰影部分的面積”，可先求出集合。 解析 根據(jù)題意， 擬定元素總量W：88 擬定集合A：36 擬定集合B：36 擬定集合C：36 擬定集合：7 擬定集合：6 擬定集合：9 擬定集合：0 代入公式： =（88-0）-（

13、36+36+36-7-6-9） =2 “由中間向外圍”進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)記，進(jìn)行簡樸加減運(yùn)算，如下圖過程所示： 據(jù)圖可知，陰影部分的面積為：22252370。 因此，選C。例7：(江蘇A類19) 某調(diào)查公司就甲、乙、丙三部電影的收看狀況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影全看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數(shù)是( )。 A. 69B. 65C. 57D. 46【答案】 D【解析】 題鑰 “某調(diào)查公司就甲、乙、丙三部電影的收看狀況向125人進(jìn)行調(diào)查”、“20人一部也沒有看過”，相稱于元素總量W為12520105。 “有80人看過

14、甲片”，相稱于集合A為89。 “有47人看過乙片”，相稱于集合B為47。 “有63人看過丙片”，相稱于集合C為63。 “其中有24人三部電影全看過”，相稱于元素?cái)?shù)量3為24。 求解“只看過其中兩部電影的人數(shù)”，此類題目屬于整體反復(fù)型問題，可采用方程法求解。 解析 根據(jù)題意，設(shè)： 只看過其中一部電影的人數(shù)為x，即元素?cái)?shù)量1為x； 看過其中兩部電影的人數(shù)為y，即元素?cái)?shù)量2為y； 擬定元素總量W：12520105 擬定集合A：89 擬定集合B：47 擬定集合C：63 擬定元素?cái)?shù)量3：24 代入公式，列方程： 因此，選D。例8：建華中學(xué)共有1600名學(xué)生，其中喜歡乒乓球的有1180人，喜歡羽毛球的有1360人，喜歡籃球的有1250人，喜歡羽毛球的有1040人，問以上四項(xiàng)球類運(yùn)動都喜歡的至少有幾人？ A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】 B【解析】 題鑰 觀測題目，發(fā)現(xiàn)采用公式法，文氏圖法都是比較麻煩