1、 2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題 第一試 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、選擇題此題總分值42分，每題7分 (此題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi). 每題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過(guò)一個(gè)不管是否寫在括號(hào)內(nèi)，一律得0分.)1.用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，把稱為的小數(shù)局部.，是的小數(shù)局部，是的小數(shù)局部，那么 2.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校方案恰好用500元購(gòu)置上述圖書30本，那么不同的購(gòu)書方案有 種 種 種 種3(A). 如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的

2、立方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù).如：和均為“和諧數(shù).那么，不超過(guò)的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)之和為 3(B.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn).當(dāng)為整數(shù)時(shí)， 4.的半徑垂直于弦,交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),假設(shè),那么的面積為 5.如圖，在四邊形中，,對(duì)角線的交點(diǎn)為，那么 ( )6.設(shè)實(shí)數(shù)滿足那么的最大值為 ( )二、填空題此題總分值28分，每題7分(此題共有4個(gè)小題，要求直接將答案寫在橫線上.)1.【1(A)、2B】的頂點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，,軸，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.1(B).的最大邊上的高線和中線恰好把三等分，,那么.2(A).在四邊形中，,平分,為對(duì)角線的交點(diǎn)，那么.3

3、.【3(A)、4(B)】 有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號(hào)，得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好為原來(lái)兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3倍，這個(gè)六位數(shù)是.3(B).假設(shè)質(zhì)數(shù)、滿足：那么的最大值為.4(A).將5個(gè)1、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)每格填入一個(gè)數(shù)，使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的最小值為,那么的最大值為. 第二試(3月20日上午9:5011:20)一、此題總分值20分為正整數(shù)，求能取到的最小正整數(shù)值. 二、此題總分值25分(A).如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，于點(diǎn),點(diǎn)在上，四邊形是正方形，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn).證明:.(B).：求的值

4、.三、此題總分值25分(A).正實(shí)數(shù)滿足：,且.求的值.證明:.(B).如圖，在等腰中,為邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)求的值. 2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及詳解 第一試 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、選擇題此題總分值42分，每題7分 (此題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi). 每題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過(guò)一個(gè)不管是否寫在括號(hào)內(nèi)，一律得0分.)1.用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，把稱為的小數(shù)局部.，是的小數(shù)局部，是的小數(shù)局部，那么 【答案】

5、.【解析】即又應(yīng)選A. 2.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校方案恰好用500元購(gòu)置上述圖書30本，那么不同的購(gòu)書方案有 種 種 種 種 【答案】C. 【解析】設(shè)購(gòu)置三種圖書的數(shù)量分別為那么，即，解得 依題意得，為自然數(shù)非負(fù)整數(shù)，故有種可能的取值分別為，對(duì)于每一個(gè)值，和都有唯一的值自然數(shù)相對(duì)應(yīng). 即不同的購(gòu)書方案共有11種，應(yīng)選C.3(A). 如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù).如：和均為“和諧數(shù).那么，不超過(guò)的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)之和為 【答案】B. 【解析】 其中為非負(fù)整數(shù)，由得，即得所有不超過(guò)2023的“和諧數(shù)，它們的和為應(yīng)選B.

6、3(B.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn).當(dāng)為整數(shù)時(shí)， 【答案】B. 【解析】依題意知故且，于是又為整數(shù)，故，應(yīng)選B.4.的半徑垂直于弦,交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),假設(shè),那么的面積為 【解析】設(shè)那么于在中，即解得，即 第4題答案圖 為的中位線，是的直徑，應(yīng)選A. 5.如圖，在四邊形中，,對(duì)角線的交點(diǎn)為，那么 ( )第5題答案圖 【答案】D. 【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)那么設(shè)那么在中，那么顯然，化簡(jiǎn)整理得解得不符合題意，舍去，故在中，,應(yīng)選D.6.設(shè)實(shí)數(shù)滿足那么的最大值為 ( )【答案】C. 【解析】 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故，應(yīng)選C.二、填空題此題總分值28分，每題7分(此題共有4個(gè)小題，要求直接

7、將答案寫在橫線上.)1.【1(A)、2B】的頂點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，,軸，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】. 【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).在中， 在中， 第1題答案圖 ,設(shè)，依題意知故，于是 解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.1(B).的最大邊上的高線和中線恰好把三等分，,那么.【答案】. 【解析】 第1題答案圖1 第1題答案圖2 依題意得,故. (1)假設(shè)時(shí)，如答案圖1所示，又平分在中，即從而.在中，在中，. (2)假設(shè)時(shí)，如答案圖2所示.同理可得.綜上所述，.2(A).在四邊形中，,平分,為對(duì)角線的交點(diǎn)，那么. 【答案】. 【解析】設(shè), 平分, (第2題答案圖),解得，,故.3.【3(A)、4

8、(B)】 有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號(hào)，得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好為原來(lái)兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3倍，這個(gè)六位數(shù)是.【答案】.【解析】設(shè)兩個(gè)三位數(shù)分別為，那么，故是的正整數(shù)倍，不妨設(shè)為正整數(shù)，代入得是三位數(shù)，解得為正整數(shù)，的可能取值為驗(yàn)證可知，只有符合，此時(shí) 故所求的六位數(shù)為. 3(B).假設(shè)質(zhì)數(shù)、滿足：那么的最大值為.【答案】. 【解析】由得，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，故的值隨著質(zhì)數(shù)的增大而增大，當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值. 又，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，故的可能取值為，但時(shí)，不是質(zhì)數(shù)，舍去.當(dāng)時(shí),恰為質(zhì)數(shù).故. 4(A).將5個(gè)1、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)每格填入一個(gè)數(shù)，使

9、得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的最小值為,那么的最大值為.【答案】【解析】(依據(jù)5個(gè)1分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論,確定的最大值.(1)假設(shè)5個(gè)1分布在同一列，那么；(2)假設(shè)5個(gè)1分布在兩列中，那么由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故,故;(3) 假設(shè)5個(gè)1分布在三列中，那么由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故,故; (4) 假設(shè)5個(gè)1分布在至少四列中，那么其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于3，這與矛盾. 綜上所述， 另一方面，如下表的例子說(shuō)明可以取到10.故的最大值為1114511245222453324533345第二試(3月20日上午9:5011

10、:20)一、此題總分值20分為正整數(shù)，求能取到的最小正整數(shù)值.【解析】解：因?yàn)檎麛?shù)，要使得的值為正整數(shù)，那么有.當(dāng)時(shí)，只能為1，此時(shí)故能取到的最小正整數(shù)值不超過(guò)4.當(dāng)時(shí)，只能為1或2.假設(shè);假設(shè)，那么.當(dāng)時(shí)，只能為1或2或3.假設(shè);假設(shè);假設(shè)那么.(下面考慮：的值能否為1？)反證法假設(shè)，那么，即，因?yàn)檎麛?shù)，故為奇數(shù)，從而為奇數(shù)，為偶數(shù)，不妨設(shè)，其中均為正整數(shù)，那么即被除所得余數(shù)為3，而被4除所得余數(shù)為1，故式不可能成立，故.因此，能取到的最小正整數(shù)值為2. 二、此題總分值25分(A).如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，于點(diǎn),點(diǎn)在上，四邊形是正方形，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn).證明:. (第2(A)題答案圖)【證明】：連接、為的直徑，于點(diǎn)由四邊形是正方形及于點(diǎn)可知:點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心、為半徑作與直線交于另一點(diǎn),那么與切于點(diǎn),即是的切線，直線是的割線，故由切割線定理得,即點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，. (注：上述最后一段得證明用了“同一法)(B).：求的值.【解析】由得 由恒等式得， 又 同理可得原式=【注：恒等式】三、此題總分值25分(A).正實(shí)數(shù)滿足：,且.求的值.證明:.【解析】1解：由等式，去分母得，原式= 2證明：由1得計(jì)算過(guò)程知，又為正實(shí)數(shù),.【注：】(B).如圖，在等腰中