1、數(shù)值計(jì)算方法思考題第一章預(yù)篇1什么是數(shù)值分析？它與數(shù)學(xué)科學(xué)和計(jì)算機(jī)的關(guān)系如何？2何謂算法？如何判斷數(shù)值算法的優(yōu)劣？3列出科學(xué)計(jì)算中誤差的三個(gè)來源，并說出截?cái)嗾`差與舍入誤差的區(qū)別。4什么是絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差？什么是近似數(shù)的有效數(shù)字？它與絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差有何關(guān)系？5什么是算法的穩(wěn)定性？如何判斷算法穩(wěn)定？為什么不穩(wěn)定算法不能使用？6判斷如下命題是否正確：（1）一個(gè)問題的病態(tài)性如何，與求解它的算法有關(guān)系。（2）無論問題是否病態(tài)，好的算法都會(huì)得到好的近似解。（3）解對(duì)數(shù)據(jù)的微小變化高度敏感是病態(tài)的。（4）高精度運(yùn)算可以改善問題的病態(tài)性。（5）用一個(gè)穩(wěn)定的算法計(jì)算良態(tài)問題一定會(huì)得到好的近似值。（6）用一

2、個(gè)收斂的迭代法計(jì)算良態(tài)問題一定會(huì)得到好的近似值。（7）兩個(gè)相近數(shù)相減必然會(huì)使有效數(shù)字損失。（8）計(jì)算機(jī)上將1000個(gè)數(shù)量級(jí)不同的數(shù)相加，不管次序如何結(jié)果都是一樣的。7考慮二次代數(shù)方程的求解問題ax2+bx+c=0.下面的公式是熟知的一b土b2一4acx，.2a與之等價(jià)地有2cx，.一bb2一4ac對(duì)于a=1,b=-100000000,c=1應(yīng)當(dāng)如何選擇算法？8指數(shù)函數(shù)有著名的級(jí)數(shù)展開ex，1+x+旦+旦+2!3!如果對(duì)x0用上述的級(jí)數(shù)近似計(jì)算指數(shù)函數(shù)的值，這樣的算法結(jié)果是否會(huì)好？為什么？9.考慮數(shù)列x.,i=1,，n,它的統(tǒng)計(jì)平均值定義為-1x，-xi,1.它的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)上它等價(jià)于nh數(shù)學(xué)上它

3、等價(jià)于nh乙x-x)2i-1c=x2一nx2ic=x2一nx2in-1i=1作為標(biāo)準(zhǔn)差的兩種算法，你如何評(píng)價(jià)它們的得與失？第二章非線性方程求根1判斷如下命題是否正確：非線性方程的解通常不是唯一的；(b)Newton法的收斂階高于割線法；(c)任何方法的收斂階都不可能高于Newton法；(d)Newton法總是比割線法更節(jié)省計(jì)算時(shí)間；(e)如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)難于計(jì)算，則應(yīng)當(dāng)考慮選擇割線法；(f)Newton法是有可能不收斂；(g)考慮簡(jiǎn)單迭代法xk+1=g(xk),其中x*=g(x*)。如果Ig(x*)I1,則對(duì)任意的初始值，上述迭代都收斂。什么叫做一個(gè)迭代法是二階收斂的？Newton法收斂時(shí)，它的

4、收斂階是否總是二階的？求解單變量非線性方程的單根，下面的3種方法，它們的收斂階由高到低次序如何？二分法Newton方法割線方法求解單變量非線性方程的解，Newton法和割線方法，它們每步迭代分別需要計(jì)算幾次函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值？求解某個(gè)單變量非線性方程，如果計(jì)算函數(shù)值和計(jì)算導(dǎo)數(shù)值的代價(jià)相當(dāng)，Newton法和割線方法它的優(yōu)劣應(yīng)如何評(píng)價(jià)？第三章解線性方程組的直接法用高斯消去法為什么要選主元？哪些方程組可以不選主元？高斯消去法與LU分解有什么關(guān)系？用它們解線性方程組Ax=b有何不同？A要滿足什么條件？喬列斯基分解與LU分解相比，有什么優(yōu)點(diǎn)？哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計(jì)算穩(wěn)定？什么樣的

5、線性方程組可用追趕法求解并能保證計(jì)算穩(wěn)定？何謂向量范數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。7何謂矩陣范數(shù)？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A=(a.)的三種范數(shù)IIAll,IIAII2，IIAII,iJ12COIIAII1與IIAII2哪個(gè)更容易計(jì)算？為什么？什么是矩陣的條件數(shù)？如何判斷線性方程組是病態(tài)的？滿足下面哪個(gè)條件可判定矩陣接近奇異？矩陣行列式的值很小。矩陣的范數(shù)小。矩陣的范數(shù)大。矩陣的條件數(shù)小。矩陣的元素絕對(duì)值小。10判斷下列命題是否正確：只要矩陣A非奇異，則用順序消去法或直接LU分解可求得線性方程組Ax=b的解。對(duì)稱正定的線性方程組總是良態(tài)的。一個(gè)單位下三角矩陣的逆仍為單位下三角矩陣。如果A非奇

6、異，則Ax=b的解的個(gè)數(shù)是由右端向量b的決定的。如果三對(duì)角矩陣的主對(duì)角元素上有零元素，則矩陣必奇異。范數(shù)為零的矩陣一定是零矩陣。奇異矩陣的范數(shù)一定是零。如果矩陣對(duì)稱，則|A|1=|A|。1co如果線性方程組是良態(tài)的，則高斯消去法可以不選主元。在求解非奇異性線性方程組時(shí)，即使系數(shù)矩陣病態(tài)，用列主元消去法產(chǎn)生的誤差也很小。|A|1=|AT|。1o若A是nn的非奇異矩陣，則cond(A)，cond(Aj)。一個(gè)奇異的矩陣不可能有LU分解；一個(gè)非奇異的對(duì)稱矩陣，如果不是正定的則不能有Cholesky分解。11.假設(shè)矩陣A有cond(A)=1,從而A是好條件的。問下面的哪些矩陣條件數(shù)也一定是1？cA,其

7、中c是任意的非零常數(shù)；(d)QA,其中Q是任意的正交矩陣；DA,其中D是非奇異的對(duì)角矩陣；(e)A的逆矩陣；BA,其中B是任意的非奇異矩陣；(f)A的轉(zhuǎn)置矩陣。第四章解線性方程組的迭代法寫出求解線性方程組Ax=b的迭代法的一般形式。并給出它收斂的充分必要條件。給出迭代法x(k+1)，Bx(k)+f收斂的充分條件、誤差估計(jì)及其收斂速度。寫出解線性方程組Ax=b的雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法的計(jì)算公式，它們的基本區(qū)別是什么？何謂矩陣A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)？何謂A不可約？將雅可比迭代、高斯-塞德爾迭代和具有最優(yōu)松弛參數(shù)的SOR迭代，按收斂快慢排列。判斷下列命題是否正確。雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代同時(shí)收

8、斂且后者比前者收斂快。高斯-塞德爾迭代是SOR迭代的特殊情形。A對(duì)稱正定則SOR迭代一定收斂。A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)，則解線性方程組Ax=b的雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代均收斂。A對(duì)稱正定則雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代都收斂。SOR迭代法收斂，則松弛參數(shù)02。點(diǎn)。第五章矩陣特征值和特正向量的求解1判斷如下命題是否正確：對(duì)應(yīng)于給定特征值的特征向量是唯一的；每個(gè)n階的方陣一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；實(shí)矩陣的特征值一定是實(shí)的；個(gè)n階方陣奇異的充分必要條件是：0是該矩陣的特征值；任意的n階的方陣，一定與某個(gè)對(duì)角矩陣相似；如果兩個(gè)n階方陣的特征值相同，這兩個(gè)矩陣一定相似；一個(gè)n階方陣的所有特

9、征值都為0，這個(gè)矩陣一定是零矩陣；下面各類的任意n階矩陣，哪些矩陣的特征值一定可以用有限的代數(shù)運(yùn)算精確求解？實(shí)對(duì)稱矩陣；(d)上三角矩陣；對(duì)角矩陣；(e)上Hessenberg矩陣；三對(duì)角矩陣；(f)沒有重特征值的實(shí)矩陣。對(duì)非奇異的矩陣，將下面各算法的復(fù)雜度由低到高排列出來：(a)計(jì)算矩陣的所有特征值和特征向量；用列主元Gauss消去法計(jì)算矩陣的LU分解；計(jì)算矩陣的逆；(d)回帶求解系數(shù)矩陣為上三角的線性方程組。求解特征值問題的條件數(shù)與求解線性方程組問題的條件數(shù)是否相同，兩者分別是什么？實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值問題總是良態(tài)的嗎？第六章函數(shù)插值什么是拉格朗日插值基函數(shù)？它們是如何構(gòu)造的？有何重要性質(zhì)？

10、2什么是牛頓基函數(shù)？它與單項(xiàng)式基1,X,Xn有何不同？什么是函數(shù)的n價(jià)均差？它有何重要性質(zhì)？寫出n+1個(gè)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式與牛頓均差插值多項(xiàng)式。它們有何異同？用上題給出的三種不同基底構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，試按工作量由低到高給出排序。給出插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)表達(dá)式。如何用它估計(jì)截?cái)嗾`差？埃爾米特插值與一般函數(shù)插值區(qū)別是什么？什么是泰勒多項(xiàng)式？它是什么條件下的插值多項(xiàng)式？為什么高次多項(xiàng)式插值不能令人滿意？分段低次插值與單個(gè)高次多項(xiàng)式插值相比有何優(yōu)點(diǎn)？三次樣條插值三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別？哪一個(gè)更優(yōu)越？請(qǐng)說明理由。確定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù)要多少個(gè)參數(shù)？為確定這些參數(shù)，需加

11、上什么條件？判斷下列命題是否正確？對(duì)給定的數(shù)據(jù)作插值，插值函數(shù)個(gè)數(shù)可以任意多。如果給定點(diǎn)集的多項(xiàng)式插值是唯一的，則其多項(xiàng)式表達(dá)式也是唯一的。l.(x)(i=0,1,n)是關(guān)于節(jié)點(diǎn)X.(i=0,1,n)的拉格朗日插值基函數(shù)，則對(duì)任何次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式P(x)都有為I.(x)P(x.)P(x)。.0當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)，節(jié)點(diǎn)x.(i=0,1,n)為等距節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x),則n越大Ln(x)越接近f(x).同上題，若構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)Sn(x),則n越大得到的三次樣條函數(shù)Sn(x)越接近f(x).高次拉格朗日插值是很常用的。函數(shù)f(x)的牛頓插值多項(xiàng)式Pn(x),如果f(x)

12、的各階導(dǎo)數(shù)均存在，則當(dāng)x.x0(i=1,2,n)時(shí)，Pn(x)就是f(x)在x0點(diǎn)的泰勒多項(xiàng)式。12為更好地保持被逼近函數(shù)的凸性，你選擇下述哪種方法：(a)Lagrange插值多項(xiàng)式；3次樣條插值函數(shù)；(c)3次Hermite插值函數(shù)。13數(shù)據(jù)量特別大時(shí)，你選擇下述哪種方法：(a)Lagrange插值多項(xiàng)式；(b)3次Hermite插值函數(shù)；3次樣條插值函數(shù)；最小二乘擬合。第七章函數(shù)逼近f,geCa,b，它們的內(nèi)積是什么？如何判斷函數(shù)族,0,neCa,b在a,b上線性無關(guān)？什么是函數(shù)feCa,b在區(qū)a,b上的n次最佳一致逼近多項(xiàng)式？3什么是f在a,b上的n次最佳平方逼近多項(xiàng)式？什么是數(shù)據(jù)f.如

13、的最小二乘曲線i0擬合？什么是a,b上帶權(quán)(x)的正交多項(xiàng)式？什么是-1,1上的勒讓德多項(xiàng)式？它有什么重要性質(zhì)？什么是切比雪夫多項(xiàng)式？它有什么重要性質(zhì)？用切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)做插值得到的插值多項(xiàng)式與拉格朗日插值有何不同？什么是最小二乘擬合的法方程？用多項(xiàng)式做擬合曲線時(shí)，當(dāng)次數(shù)n較大時(shí)為什么不直接求解法方程？8.計(jì)算有理分式Rmn(x)為什么要化為連分式？9.哪種類型函數(shù)用三角插值比用多項(xiàng)式插值或分段多項(xiàng)式插值更合適？判斷下列命題是否正確？任何f(x)eCa,b都能找到n次多項(xiàng)式Pn(x)eH”，使f(x)-P“(x)I(為任給的誤差限)。P*(x)eH是于仗)在a,b上的最佳一致逼近多項(xiàng)式，則l

14、imP*(x)二f(x)對(duì)nnnnVxea,b成立。f(x)eCa,b在a,b上的最佳平方逼近多項(xiàng)式Pn(x)eH”則limP(x)=f(x)。nnn8nPn(x)是首項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式，Qn(x)eHn是任一首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則1P(x)2dx1Q2(x)dxnn11(5)T(x)是-1,1上首項(xiàng)系數(shù)為1的切比雪夫多項(xiàng)式。Qn(x),Hn是任一首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則max-1x1-1x17)當(dāng)數(shù)據(jù)量很大時(shí)用最小二乘擬合比用插值好。第八章數(shù)值積分1給出計(jì)算積分的梯形公式及中矩形公式，說明它們的幾何意義。2什么是求積公式的代數(shù)精確度？梯形公式及中矩形公式的代數(shù)精確度是多少？3對(duì)給定求

15、積公式的節(jié)點(diǎn)，給出兩種計(jì)算求積系數(shù)的方法。4什么是牛頓-柯特斯求積？它的求積節(jié)點(diǎn)如何分布？它的代數(shù)精確度是多少？5什么是辛普森求積公式？它的余項(xiàng)是什么？它的代數(shù)精確度是多少？6什么是復(fù)合求積法？給出復(fù)合梯形公式及其余項(xiàng)表達(dá)式。7給出復(fù)合辛普森公式及其余項(xiàng)表達(dá)式。如何估計(jì)它的截?cái)嗾`差？8什么是龍貝格求積？它有什么優(yōu)點(diǎn)？9什么是高斯型求積公式？它的求積節(jié)點(diǎn)是如何確定的？它的代數(shù)精確度是多少？為何稱它是具有最高代數(shù)精確度的求積公式？10牛頓-柯特斯求積和高斯求積的節(jié)點(diǎn)分布有什么不同？對(duì)同樣數(shù)目的節(jié)點(diǎn)，兩種求積方法哪個(gè)更精確？為什么？11描述自動(dòng)求積的一般步驟。怎樣得到所需的誤差估計(jì)？12判斷如下命題

16、是否正確：如果被積函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則它的黎曼(Riemann)積分一定存在。數(shù)值求積公式計(jì)算總是穩(wěn)定的。代數(shù)精確度是衡量算法穩(wěn)定性的一個(gè)重要指標(biāo)。n+1個(gè)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少是n次，最多可達(dá)到2n+1次。高斯求積公式只能計(jì)算區(qū)間-1,1上的積分。求積公式的階數(shù)與所依據(jù)的插值多項(xiàng)式的次數(shù)一樣。梯形公式與兩點(diǎn)高斯公式精度一樣。高斯求積公式系數(shù)都是正數(shù)，故計(jì)算總是穩(wěn)定的。由于龍貝格求積節(jié)點(diǎn)與牛頓-柯特斯求積節(jié)點(diǎn)相同，因此它們的精度相同。階數(shù)不同的高斯求積公式?jīng)]有公共節(jié)點(diǎn)。13用n個(gè)點(diǎn)的Newton-Cotes方法計(jì)算函數(shù)f(x)f(x)1125x2區(qū)間卜1,1上的積分，點(diǎn)數(shù)n增加時(shí)，計(jì)算的精度是否會(huì)提高