1、中國藥科大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室 楊訪第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用 重積分的應(yīng)用主要討論二重積分和三重積分在幾何和物理上的應(yīng)用。 二重積分在幾何上的應(yīng)用主要解決曲面面積計(jì)算問題。二重積分和三重積分在物理上的應(yīng)用則解決分布在相應(yīng)區(qū)域上的相關(guān)物理量的計(jì)算問題。本節(jié)概要一曲面的面積 面積計(jì)算是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)基本問題。面積計(jì)算的研究經(jīng)歷三個(gè)階段，最初解決的是直邊平面圖形的面積計(jì)算，其研究結(jié)果是導(dǎo)出了各類直邊圖形的面積計(jì)算公式。第二個(gè)階段討論的是曲邊平面圖形的面積計(jì)算，其研究結(jié)果是建立定積求面積的概念和方法。第三個(gè)階個(gè)階段則討論一般曲面圖形的面積計(jì)算。 曲面面積的研究需解決兩個(gè)問題： 什么是曲面面積？曲面面積如何定義

2、？ 如何求曲面面積？ 從概念上講，曲面面積的計(jì)算既不同于平面直邊圖形的面積，也不同于平面曲邊圖形的面積。因?yàn)槠矫嬷边厛D形的面積可歸結(jié)為單位面積的統(tǒng)計(jì)，而平面曲邊圖形的面積可歸結(jié)為平面直邊圖形面積和極限來定義。1(1) 問題的性質(zhì) 1. 曲面面積的概念 平面圖形因其“平”，故可化為直線的長度來定義和度量，曲面圖形因其“曲”，其面積不能直接歸結(jié)為長度單位來定義。但“平和曲”是相對的，在大的范圍內(nèi)是“曲”的，在小的范圍內(nèi)卻可看成是平的。因此可考慮對曲面進(jìn)行分割，使其轉(zhuǎn)化為平面問題來處理。 曲面分割后化為一系列小平面片，但小平面片是傾斜的，一般仍不能直接求面積，為此考慮將小斜面片向坐標(biāo)面投影，使其轉(zhuǎn)化

3、為平面片面積來計(jì)算。(2) 分析處理曲面面積問題的方法 用分割曲面法求曲面面積縮小率 分割 化整為零 將 向 xOy 平面投影，設(shè)投影區(qū)域?yàn)?Dxy . 用平行于 x、y 坐標(biāo)軸的直線組成的直線網(wǎng)分割投影區(qū)域 Dxy ，以這組直線為準(zhǔn)線作母線平行于 z 軸的平面，這組平面將曲面 分割為一系列的小曲面片： A1 , A2 , ， An ， 于是曲面面積 A 的計(jì)算可歸結(jié)為小曲面片 A 的計(jì)算。任取小曲面片 A，考慮曲面面積元 d A 的計(jì)算。設(shè) A 在 xOy 平面的投影為 xy . 考察曲面面積元 d A與其在 xOy 平面的投影 d xy 的關(guān)系。 任取 P( x ,y ) xy，考慮小曲面

4、片 A 在點(diǎn) P( x ,y )處的切平面。 設(shè)切平面被與 A對應(yīng)的柱面割下的小平面的面積為 T. 由于 T A，故 dT = d A 作切面 化曲為平P( x,y )切面元與其投影的關(guān)系 由投影定理 由曲面方程 z = f( x ,y )，可求得于是約定 ，則有 積零為整 求曲面面積 由于在直角坐標(biāo)系下有 d xy = d xd y，故由元素法求得曲面 的面積為 所得結(jié)果不僅給出了曲面面積的計(jì)算法，實(shí)際也給出了曲面面積的一種定義。 若考慮向 xOz 平面投影，則將曲面方程該寫為 : y = g( z ,x ),( z ,x ) D xz . 相應(yīng)可求得 若考慮向 yOz 平面投影，則將曲面方

5、程改寫為 : x = h( y ,z ),( y ,z ) D yz . 相應(yīng)可求得 曲面向 xOz 平面投影 曲面向 yOz 平面投影(3) 曲面由隱式方程給出 若曲面方程為 :F( x ,y ,z )= 0 ，則曲面可對應(yīng)于以下三種形式的單值函數(shù)之一： : z = f( x ,y ),( x ,y ) D xy , : y = g( z ,x ),( z ,x ) D xz , : x = h( y ,z ),( y ,z ) D yz . 此時(shí)這三種形式的顯式方程雖未必能解出，但其導(dǎo)數(shù)卻可求得。因此仍可對選定的投影面按相應(yīng)的曲面面積積分公式計(jì)算曲面面積。通過二重積分計(jì)算曲面面積 解 建立

6、曲面方程,確定曲面面積表達(dá)式 設(shè)地球半徑為 R（R = 6400km）,則 的方程為 于是通訊衛(wèi)星所覆蓋的區(qū)域 的面積為 計(jì)算曲面元投影縮放率 選擇坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算 對此二重積分而言，由于積分區(qū)域?yàn)閳A域，且被積函數(shù)具有 f( x 2 + y 2 ) 的形式，故宜采用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。 作極坐標(biāo)變換 x = r sin ，y = r cos ，則有 計(jì)算曲面面積 由于 ，代入曲面面積計(jì)算結(jié)果有 由此求得通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為 = 42.5% . 由上結(jié)果知，該衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積，因此只要使用三棵相隔 60 的通訊衛(wèi)星就可覆蓋地球的全部表面。 結(jié)果分析例: 求曲面 被曲面

7、z 2 = 2 x 割下的那部分曲面的面積。 曲面面積計(jì)算問題首先應(yīng)考慮投影面的選擇，并由此確定曲面方程的形式。 選擇投影面應(yīng)使得相應(yīng)曲面顯式方程易于解出，且投影區(qū)域形式簡單。為此需先作所求曲面圖形。分析拋物柱面切割錐面的圖形考察投影區(qū)域 選擇投影面 選擇投影面要考慮兩個(gè)因素：一是考察所論曲面在哪一個(gè)坐標(biāo)面的投影區(qū)域形式較為簡單，二是所論曲面對應(yīng)定義在投影區(qū)域上的曲面方程的形式是否簡單。 曲面片投影本質(zhì)上是其邊界曲線的投影，確定曲線投影關(guān)鍵是確定相應(yīng)的投影柱面。 本例曲面片邊界曲線為 下考察所論曲面片在各坐標(biāo)面的投影區(qū)域及對應(yīng)曲面方程的形式。 由曲線方程 消去 y 得投影柱面 xz: z 2 = 2x ，z = x . 相應(yīng)的投影區(qū)域?yàn)?對應(yīng)曲面方程為 考慮向 xOz 平面投影的情形 由曲線方程 消去 x 得投影柱面 yz: z 4 - 4 z + 4y 2 = 0 . 相應(yīng)的投影區(qū)域復(fù)雜！ 因而 yOz 平面不適合作為投影面。 考慮向 xOz 平面投影的情形 選擇向 xOz 平面投影 由上討論此時(shí)投影區(qū)域及相應(yīng)曲面方程分別為 計(jì)