1、基于正交有限脊波變換的圖像壓縮摘要對(duì)于紋理線奇異性豐富的圖像，脊波可以獲得比小波更加稀疏的表示。統(tǒng)計(jì)說明邊緣表示了圖像的主要信息。利用脊波對(duì)“線奇異性圖像的最優(yōu)逼近的思想，設(shè)計(jì)出基于正交有限脊波變換的圖像壓縮算法。通過對(duì)圖像的脊波系數(shù)進(jìn)展量化和編碼到達(dá)壓縮圖像的目的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明,與基于小波的壓縮算法相比,該算法能獲得更高的壓縮率，同時(shí)保持較高的峰值信噪比和良好的重建圖像視覺效果。關(guān)鍵詞圖像壓縮；脊波變換；稀疏表示；算術(shù)編碼小波的出如今許多領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用，并迅速成為諸多學(xué)科的重要分析工具之一。小波變換以其良好的時(shí)頻局域特性以及多分辨分析才能在數(shù)字信號(hào)處理和數(shù)字圖像壓縮方面獲得了宏大的成功

2、12。在新的靜止圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)IS15444即JPEG2000中就是把小波變換作為其核心技術(shù)。但是小波變換只能反映信號(hào)的零維奇異性，對(duì)于具有二維分段光滑的信號(hào)或一維直線奇異性的圖像，小波變換卻不是最“稀疏的表示方法34。自然圖像中包含有大量的紋理特征，線奇異性表現(xiàn)比擬突出，小波變換不能到達(dá)最優(yōu)的逼近5。為了克制小波的這種缺乏，ands等人提出了一種新的多尺度變換脊波變換Ridgelettransfr3，它特別合適于具有直線或超平面奇性的高維信號(hào)的描繪，可以有效地處理二維圖像的線奇異性，較好的對(duì)此類信號(hào)進(jìn)展“逼近，是比小波更好的稀疏表示圖像的工具5。本文利用正交有限脊波變換對(duì)圖像進(jìn)展分解，然后對(duì)變

3、換后的系數(shù)進(jìn)展量化和熵編碼，以到達(dá)圖像壓縮的目的。實(shí)驗(yàn)說明,同基于小波變換的壓縮算法相比,該算法能進(jìn)步圖像的壓縮比,同時(shí)保持較低的失真度。1.1連續(xù)脊波變換給定一個(gè)雙變量可積的函數(shù)f(x)，它在R2空間二維實(shí)空間上的二維連續(xù)脊波變換2Dntinuusridgelettransfr34定義為：1其中是二維的脊波函數(shù)，它的定義為：(2)式2中，是小波類的一維函數(shù)，參數(shù)滿足如下的條件：a0，bR，。脊波逆變換可以通過如下的公式完成：(3)考慮到在R2空間上小波變換可以寫成如下式子：4式中二維小波函數(shù)是由一維小波所長成的，即滿足：5其中一維小波?？梢钥闯黾共ㄗ儞Q和二維小波變換非常類似，只是脊波用線參數(shù)

4、來代替小波中的點(diǎn)參數(shù)。小波在處理具有孤立的點(diǎn)奇異性圖像時(shí)非常有效，而脊波變換在表示線奇異性圖像時(shí)表現(xiàn)更優(yōu)。實(shí)際上，我們可以把脊波變換看成是在直線上的一維小波變換。而在二維空間點(diǎn)和直線是通過Radn變換聯(lián)絡(luò)在一起的。Radn變換可以寫作為：(6)由(6)式可見，f(x)的Radn變換是f(x)沿不同方向的投影；而f(x)的脊波變換看作是先對(duì)f(x)進(jìn)展Radn變換，然后沿著每個(gè)積分方向做一維小波變換的結(jié)果，即：(7)正因?yàn)榧共ㄗ儞Q在Radn域上對(duì)各個(gè)方向進(jìn)展一維小波變換，將圖像的線奇異性轉(zhuǎn)換為點(diǎn)奇異性，充分利用小波變換對(duì)點(diǎn)奇異性的良好表示特性來得到具有線奇異性圖像的稀疏表示。脊波逆變換可以通過沿

5、每一方向做一維小波逆變換，然后進(jìn)展Radn逆變換得到。1.2有限脊波變換脊波變換離散化是通過離散Randn變換外加離散小波變換得到。然而Randn變換的離散化是一個(gè)比擬復(fù)雜的問題，在眾多的離散化算法中，有些存在大量的冗余，有些雖然克制了大的冗余度，但是得到其所對(duì)應(yīng)的逆變換又比擬困難。其中有限Radn變換FRATFiniteRadnTransfr67是其中比擬好的離散化算法之一。有限Radn變換是有限大小的二維離散圖像實(shí)現(xiàn)Radn變換的離散化方法。一個(gè)NNN要求是一個(gè)素?cái)?shù)大小的圖像f(i,j)，其中0,1,2,N1。它的有限Radn變換FRAT定義為：(8)其中，是滿足斜率k和截距l(xiāng)的直線上的所

6、有象素點(diǎn)的集合，定義如下：,當(dāng)k0,1,2,N1,當(dāng)(9)由式8(9)可知，有限Radn變換是滿足要求的直線上的圖像象素點(diǎn)灰度值的累加和。一個(gè)NN大小的圖像經(jīng)有限Radn變換后，將得到(N1)N大小的矩陣，它有N1個(gè)斜率方向，每個(gè)方向上有N個(gè)系數(shù)。有限Radn變換的逆變換可以通過有限逆投影變換FBPFiniteBakPrjetin來得到：(10)其中Pij指的是所有通過點(diǎn)(i,j)的直線的斜率k和截距l(xiāng)的集合，即：(11)為了獲得更好的能量集中性，由式(8)和(10)所定義的有限Radn變換FRAT和反變換FBP要求變換的圖像均值為零8，對(duì)于均值不為零的圖像可以在變換前先減去均值，以保證變換前

7、的圖像均值為零；反變換回來后再加上圖像均值即可恢復(fù)原圖像?？赡娴募共ㄗ儞Q可以通過在FRAT每個(gè)方向上進(jìn)展一維離散小波變換得到，這種過程稱作為有限脊波變換FRIT。考慮到FRAT系數(shù)的周期特性，所以小波變換也要選擇周期性的小波。有限脊波變換的示意圖如圖1所示。1.3正交有限脊波變換FRAT變換本身具有一定的冗余，這種冗余可以通過采用一維小波變換來去除，由此可以獲得正交有限脊波變換。當(dāng)小波變換采用正交樹構(gòu)造濾波器組，所有小波基函數(shù)具有零均值時(shí)，可以得到正交FRIT變換。inhN.D等在文獻(xiàn)8中已經(jīng)證明只要滿足Z條件nditinZ的基函數(shù)，就可以定義正交有限脊波變換如下：12在小波對(duì)FRAT的方向系

8、數(shù)進(jìn)展每一層分解過程中，將把系數(shù)的冗余都放到尺度系數(shù)中，而當(dāng)小波采用最大分解層數(shù)時(shí)，各個(gè)不同的方向上的尺度系數(shù)是一樣的，所以我們可以只保存一個(gè)系數(shù)以去除這種冗余性，這樣就得到了非冗余的正交FRIT變換。圖像壓縮在于對(duì)圖像的量化和編碼上，假如待壓縮的矩陣元素中小系數(shù)分布比擬廣泛，同時(shí)小系數(shù)所代表的內(nèi)容為整個(gè)圖像的次要內(nèi)容時(shí)，壓縮效果就比擬明顯。由于FRIT對(duì)圖像的稀疏表示，使其在圖像矩陣分解后的系數(shù)矩陣中大系數(shù)較少，大局部都是小系數(shù)，非常合適進(jìn)展圖像壓縮。本文采用正交有限脊波變換對(duì)圖像進(jìn)展分解,考慮到有限脊波變換要求輸入圖像的尺寸為素?cái)?shù)大小，所以先要對(duì)圖像進(jìn)展預(yù)處理。算法描繪：1將圖像轉(zhuǎn)換為素?cái)?shù)

9、大校2提取圖像的均值。3用正交有限脊波變換對(duì)零均值矩陣進(jìn)展分解。4對(duì)系數(shù)進(jìn)展標(biāo)量量化。5對(duì)量化后的矩陣進(jìn)展掃描、算術(shù)編碼。在使用正交有限脊波變換時(shí)，采用了正交小波db9/7,量化采用循環(huán)逐級(jí)量化，以此可以控制調(diào)節(jié)壓縮率，掃描方式為逐列掃描。對(duì)于許多測(cè)試的圖像來看，算術(shù)編碼一般比赫夫曼編碼有更高的壓縮效率，所以在這里采用算術(shù)編碼。在對(duì)圖像矩陣進(jìn)展正交有限脊波變換之前提取出圖像的均值，是為了使得變換矩陣有更好的能量集中性8。為了證明壓縮的有效性，本文用這種算法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圖像Lenna(2562568bit)和Huse(2562568bit)進(jìn)展的實(shí)驗(yàn)，并且同小波變換壓縮算法進(jìn)展了比擬。為了使得比擬有意

10、義，小波也采用db9/7，掃描方式用zigzag方式，并且采用一樣的算術(shù)編碼方法。圖2給出了Lenna標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像用正交有限脊波變換壓縮時(shí)在不同壓縮率下的重建圖像。表1給出了在不同的壓縮比下，兩種方法分別對(duì)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖像的進(jìn)展壓縮后重建圖像的峰值信噪比PSNR。圖3給出了Lenna圖像在這兩種壓縮算法下的壓縮性能比擬。很明顯可以看出，本文方法有比擬好的壓縮效果。在一樣的壓縮比下，正交有限脊波變換可以獲得比小波變換更高的峰值信噪比。對(duì)于含有明顯的直線奇異特征的圖像，壓縮性能更好。表1兩種方法重建圖像的峰值信噪比3結(jié)論本文闡述了正交有限脊波變換FRIT理論及實(shí)現(xiàn)方法，并將此變換理論應(yīng)用于圖像壓縮領(lǐng)域

11、。由于FRIT的描繪線奇異性的優(yōu)勢(shì)，在表征圖像方面比小波有更嚴(yán)密地支撐特性，用其對(duì)圖像進(jìn)展壓縮具有很好的效果。實(shí)驗(yàn)說明應(yīng)用正交有限脊波變換對(duì)圖像進(jìn)展壓縮，可以正確地重建圖像，并且在比擬高的壓縮率下有較高的信噪比，其重建圖像也有很好的主觀視覺效果。通過比照試驗(yàn)，我們完全可以看出本文方法是比小波壓縮更好的壓縮算法。同小波壓縮相比，它進(jìn)步了壓縮性能和圖像復(fù)原的質(zhì)量。本文的后繼工作就是找出正交有限脊波系數(shù)的特點(diǎn)，利用其系數(shù)的一些相關(guān)性有效的去除冗余，進(jìn)步壓縮效率。圖3Lenna圖像在兩種壓縮算法下的壓縮性能1allatS.ATheryfrultireslutinsignaldepsitins:Thea

12、veletrepresentatinJIEEETrans.nPAI,1989,7(11):674-693.2DaubehiesI.rthnralbaesefpatlysupprtedaveletJ.nPureandAppl.ath.1998,4(31):532-540.3andsEJ.Ridgelets:TheryandAppliatinsA.Ph.D.Thesis,DepartentfStatistis,StanfrdUniversity,19984andsEJ,DnhDL.Ridgelets:akeythigher-diensinalinterittenyJ.PhilTransRSLndA,1999,357:2495-2509.5焦李成,譚山，劉芳.脊波理論：從脊波變換到urvelet變換J.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2022,225:761-7736BeylkinG.DisreteRadntransfrJ.IEEETransASSP,1987,351:162-172.7Frantis