1、七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 專題24 相交線與平行線 閱讀與考慮 在同一平面內(nèi)，兩條不同直線有兩種位置關(guān)系：相交或平行. 當(dāng)兩條直線相交或兩條直線分別與第三條直線相交，就產(chǎn)生對頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等位置關(guān)系角，擅長從相交線中識別出以上不同名稱的角是解相關(guān)問題的基礎(chǔ)，把握對頂角有公共頂點(diǎn)，而同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角沒有公共頂點(diǎn)且有一條邊在截線上，這是識圖的關(guān)鍵 兩直線平行的斷定方法和重要性質(zhì)是我們研究平行線問題的主要根據(jù) 1平行線的斷定 (1)同位角相等

2、、內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行； (2)平行于同一直線的兩條直線平行； (3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行 2平行線的性質(zhì) (1)過直線外一點(diǎn)，有且只要一條直線和這條直線平行； (2)兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)； (3)假如一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它和另一條也垂直. 熟悉下面基本圖形： 例題與求解 【例1】 (1) 如圖，AB DE ，ABC 0 80，CDE 0 140，則BCD _. 安徽省中考試題 (2) 如圖，已知直線AB CD ，C 0 115，A 0 25，則E _. 浙江省杭州市中考試題 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題

3、24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 圖 A 解題思路：作平行線，運(yùn)用內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的特征進(jìn)行求解. 【例2】如圖，平行直線AB ，CD 與相交直線EF ，GH 相交，圖中的同旁內(nèi)角共有( ) A 4對 B 8對 C 12對 D 16對 “希望杯邀請賽試題 解題思路：每一個(gè)“三線八角基本圖形都有兩對同旁內(nèi)角，從對原圖進(jìn)行分解入手 C D B 例2題圖 例3題圖 【例3】 如圖，在ABC 中，CE AB 于E ，DF AB 于F ，AC /ED ，CE 是ACB 的平分線，求證：EDF BDF . 天津市競賽試題 解題思路：綜合運(yùn)用垂直定義、角平分線、平行

4、線的斷定與性質(zhì)，由于圖形復(fù)雜，因而，證實(shí)前注意分解圖形 【例4】 如圖，已知AB CD ，EAF 41EAB ，F(xiàn)CF 41ECD .求證：AFC 4 3 AEC . 湖北省武漢市競賽試題 D E C A B 圖1 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 解題思路：分別過點(diǎn)E ，F(xiàn) 作平行線，利用平行線的性質(zhì)找角之間的關(guān)系. A D 例4題圖 例5題圖 【例5】如圖，已知1 2，C D ，求證：A F . 解題思路：從角出發(fā)，導(dǎo)出兩直線的位置關(guān)系，再推出新的角的關(guān)系，新的兩直線的位置關(guān)系，是解這類問題的基本思路. 【例6】(1

5、)已知平面內(nèi)有4條直線a ，b ，c 和d ，直線a ，b 和c 相交于一點(diǎn)，直線b ，c 和d 也相交于一點(diǎn)，試確定這4條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？并講明你的理由 (2)作第5條直線e 與(1)中的直線d 平行. 講明：以這5條直線的交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？ “希望杯邀請賽試題 解題思路：(1)先設(shè)直線a ，b ，c 的交點(diǎn)為P ，直線b ，c ，d 的交點(diǎn)為Q ，證得P 與Q 實(shí)為同一點(diǎn)，得出結(jié)論 (2)繪出圖形，幫助解答，注意平行線的性質(zhì). F A B C 1 D E 2 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 能力訓(xùn)練 A

6、 級 1在同一平面內(nèi)有1a ，2a ，3a ，10a 十條直線，假如1a /2a ，2a 3a ，3a /4a ，4a 5a ， 5a /6a ，6a 7a ，那么1a 與10a 的位置關(guān)系是_. 2如圖，已知AE BD ，10 130，20 30，則C _ 湖南省常德市中考試題 3如圖，直線a ，b 都與直線c 相交，下列命題中，能判定a b 的條件是_把你以為正確的序號填在橫線上 12； 36； 18；580 180 陜西省中考試題 第4題圖 第3題圖 第2題圖 A E a 4. 將兩張矩形紙片如下圖擺放，使其中一張矩形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在另一張矩形紙片的一邊上，則12_. 山東省煙臺市

7、中考試題 5下面四個(gè)命題中正確的是( ) 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 A 相等的兩個(gè)角是對頂角 B 和等于0 180的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角 C 連結(jié)兩點(diǎn)的最短線是過這兩點(diǎn)的直線 D 兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等，則這兩條直線相互垂直 “希望杯邀請賽試題 6下列命題 兩條相交直線組成的四個(gè)角相等，則這兩直線垂直 兩條相交直線組成的四個(gè)角中，若有一個(gè)直角，則四角都相等 兩條直線相交，一角的兩鄰補(bǔ)角相等，則這兩直線垂直 兩條直線相交，一角與其鄰補(bǔ)角相等，則這兩直線垂直 其中正確的有( ) A 4個(gè) B 3個(gè) C 2個(gè) D

8、1個(gè) 7如圖，DH EG BC ，且DC EF ，那么圖中與BFE 相等的角(不包括BFE )的個(gè)數(shù)是( ) A.2 B 4 C 5 D 6 山東省菏澤地區(qū)中考試題 8如圖，AB CD EF GH ，AE DG ，點(diǎn)C 在AE 上，點(diǎn)F 在DG 上，設(shè)與相等的角的個(gè)數(shù)為 m 不包括a 本身，與互補(bǔ)的角的個(gè)數(shù)為n 若a ，則m n 的值是( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第8題圖 第7題圖 G B H 9如圖，已知AB ED ，NCB 0 30，CM 平分BCE ，CN CM ，求B 的度數(shù) 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題

9、24 相交線與平行線 10.如圖，已知E 是AB ，CD 外一點(diǎn)，D B E ，求證：AB CD . A E N 11.平面上有10條直線，無任何3條交于一點(diǎn)，要使它們出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，如何安排才能辦到？ 吉林省競賽試題 A B C 12.如圖，已知CD EF ，12ABC ，求證： AB /GF . 重慶市競賽試題 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 B級 1. 如圖，A0 60，12，則ADC的度數(shù)是_. 2如圖，直線ab，那么x 的度數(shù)是_. 五城市聯(lián)賽試題 第1題圖第2題圖 第3題圖 C B A B D 3如圖，把一

10、個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D， C分別落在D，C的位置，若EFB0 65，則AED_. 山東省中考試題4如圖，已知DEBC， 20 70，10 40，那EBA的度數(shù)是_. B D l 第4題圖第5題圖 5. 如圖，直線kl，43322一3d0其中30 90，10 50，則4最大可能的整數(shù)值是( ) A. 1070 B1080 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 C1090 D1100 6. 如圖，ABCDEF，EHCD于H，則BACACECEH等于( ) A1800 B2700 C3600 D4500 (北京市競賽試題

11、7如圖，兩直線AB，CD平行，則123456 ( ) A6300 B. 7200 C8000 D. 9000 “希望杯邀請賽試題 C D 第6題圖第7題圖 8兩條直線a，b相互平行，直線a上順次有10個(gè)點(diǎn)A1，A2，A10，直線b上順次有9個(gè)點(diǎn)B1，B2，B3，將a上每一個(gè)點(diǎn)與b上每一個(gè)點(diǎn)相連可得線段若沒有三條線段相交于同一點(diǎn)，則這些線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ) A. 90 B.1620 C.6480 D.2006 9如圖，已知兩條平行線AB，CD被直線EF所截，交點(diǎn)分別為G，H ，P為HD上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線交HF于O點(diǎn)，求證：HOPAGFHPO. C D 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24

12、 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 10如圖，在ABC 中，AB 7，AC 11，點(diǎn)M 是BC 的中點(diǎn)，AD 是BAC 的平分線，MF AD .求FC 的長 (2021年“（數(shù)學(xué)周報(bào)）杯競賽試題) D M B C 11平面上有七條兩兩不平行的直線，試證：其中必有直線的交角小于260 莫斯科八年級競賽試題 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 12如圖，MA 1NA 2，則A 1A 2_. 如圖，MA 1NA 3，則A 1A 2A 3_. 如圖，MA 1NA 4，則A 1A 2A 3A 4_

13、. 如圖，MA 1NA 5，則A 1A 2A 3A 4A 5_. 從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請?jiān)趫D，圖，圖中選一個(gè)證實(shí)你的結(jié)論. 2如圖5，n NA |MA 1，則=+n A A A A 321 . 3利用上述結(jié)論解決問題：如圖已知CD |AB ，AB E 和CDE 的平分線相交于F ， 140E =，求B FD 的度數(shù). A 6 A n A 5 A 4 A 2 A 1 M N A 2 第21題 A 1 M N A 3 A 2 A 1 M N A 3 A 4 A 2 A 1 M N A 3 A 5 A 4 A 2 A 1 M N A 3 圖 圖 圖 圖 圖 F E B A C D 圖 七年

14、級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 七年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)(含解析)專題24 相交線與平行線 專題24 相交線與平行線 例1 140 過點(diǎn) C 作CF AB ，則BCF ABC 80DCF 18014040，BCD 8040=40. 290 過點(diǎn)E 作EM AB ，AB CD ，EM CD ，AEM =18025=155. CEM =180115=65，E =AE CEM =155-65=90. 例2 D 提示：原圖可分解為8個(gè)基本圖形. 例3 提示：由DF CE 得，BDF =BCE ，F(xiàn)DE =DEC ，AC DE ，得DEC =ECA . 例4 過E 作EM AB .AB 于C

15、D ，EM CD . AEC =AEM +CEM =EAB +ECD .同理：AFC =FAB +FCD .AEC =FAB +FCD +EAF + ECF =AFC +?EAB +14+ECD =AFC +?AEC .故AFC =?AEC . 例5 提示：先證BD CE ，再證DF BC . 例6 1直線a ，b ，c ，d 共有1個(gè)交點(diǎn)，理由如下：設(shè)直線a ， b ， c 的交點(diǎn)為P ，直線b ，c ， d 的交點(diǎn)為Q .這意味著點(diǎn)P 和點(diǎn)Q 都是直線b 和c 的交點(diǎn).而兩條不同直線至多有一個(gè)交點(diǎn).因而P 和Q 必為同一個(gè)點(diǎn).即4條直線a ，b ，c 和d 相交于同一個(gè)點(diǎn).因而這4條直線只要一個(gè)交點(diǎn). (2)不妨設(shè)1中交點(diǎn)為O .由于作的第5條直線e 與1中的直線d 平行，所以直線e 和直線d 沒有公共點(diǎn)，因而這些e 不過點(diǎn)O .而直線a ，b ，c 與直線e 必然都相交. 如下圖. 設(shè)直線e 與直線a ，b ，c 分