1、7/7電場線的應(yīng)用 1、關(guān)于感應(yīng)電荷問題感應(yīng)電荷的絕對值小于或等于施感電荷的絕對值如圖所示,A是帶正電的導(dǎo)體，電量為q，當(dāng)它靠近中性導(dǎo)體B時，在的近端產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)電荷- ,遠(yuǎn)端產(chǎn)生感應(yīng)正電荷 這里，若簡單認(rèn)為感應(yīng)電荷量等于施感電荷量,即 ，則結(jié)論是錯誤的，事實上可以證明 導(dǎo)體在靜電平衡下是個等勢體，根據(jù)電場線性質(zhì),B的遠(yuǎn)端 發(fā)出的電場線不能終止于近端的- 上，只能終止于無窮遠(yuǎn)處，因此必有同理，從無窮遠(yuǎn)處來的電場線亦不能終止于導(dǎo)體B近端的 上，因此，可以斷定終止于B近端負(fù)電荷的電場線全部來自于A上的施感電荷由高斯定理的幾何意義，起始于A上施感正電荷的電場線條數(shù)為 ，終止于B近端上感應(yīng)負(fù)電荷的電場線

2、條數(shù)為。.若注意到施感電荷+q發(fā)出的電場線可以部分終止于無窮遠(yuǎn)處或全部終止于B近端感應(yīng)電荷 上的事實，則有 。 在特殊情況下,施感電荷發(fā)出的電場線可以全部終止于感應(yīng)電荷上,因而有.譬如導(dǎo)體空腔內(nèi)的施感電荷在腔內(nèi)表面感應(yīng)的電荷就屬于這種情況 兩個導(dǎo)體中(不論電荷量如何）至少有一個導(dǎo)體其表面上各點(diǎn)的面電荷密度不會異號.這一結(jié)論可采用反證法來證明。設(shè)、兩個導(dǎo)體上都出現(xiàn)異號電荷,如圖所示又設(shè) ，則根據(jù)電場線性質(zhì),起始于A上正電荷的電場線必定有一部分終止于上的負(fù)電荷，而終止于A上負(fù)電荷的電場線不可能起始于A上的電荷，因為是一個等勢體,當(dāng)然也不可能起始于B上的正電荷，否則將導(dǎo)致 與題設(shè)相矛盾.因此，只可能

3、起始于無窮遠(yuǎn)處，于是有同理可知，起始于B上正電荷的電場線既不能終止于B上的負(fù)電荷,也不能終止于A上的負(fù)電荷，只能終止于無窮遠(yuǎn)處于是又，這與 相矛盾.由此證明,原先假設(shè)A、B兩導(dǎo)體同時帶異號電荷是不可能的，可能的是兩個導(dǎo)體中至少要有一個不同時帶異號電荷 帶等量同號電荷的兩相同導(dǎo)體球面不可能感應(yīng)異號電荷為確定起見,假定兩導(dǎo)體球面上原來帶的都是正電荷（負(fù)電荷可同樣論證)，且其中有一個球面上出現(xiàn)負(fù)感應(yīng)電荷,則根據(jù)電場線性質(zhì)應(yīng)有電場線終止于該負(fù)電荷處因為兩導(dǎo)體球面的電勢相等，所以終止于負(fù)電荷的電場線既不可能起始于同一球面,也不可能起始于另一球面，而只能起始于無窮遠(yuǎn)處。但是，球面上原有正電荷發(fā)出電場線是終

4、止于無窮遠(yuǎn)處的,即無窮遠(yuǎn)處的電勢比球面的電勢要低,所以不可能有電場線是起始于無窮遠(yuǎn)而終止于導(dǎo)體球面的，這就證明了球表面不可能感應(yīng)出負(fù)電荷。 2、關(guān)于電勢問題在無電荷存在的真空靜電場中,電勢不可能有極值.設(shè)所論空間某點(diǎn)P的電勢有極大值，則點(diǎn)電勢高于周圍臨近各點(diǎn)的電勢.根據(jù)電場線性質(zhì),必有電場線從P點(diǎn)發(fā)出,于是根據(jù)電場線性質(zhì),P點(diǎn)肯定有正電荷存在，這就與無電荷真空相矛盾,故點(diǎn)電勢不可能有極大值。同理可證P點(diǎn)電勢也不可能有極小值。若所有導(dǎo)體電勢都相等，則導(dǎo)體以外的無電荷空間中各點(diǎn)的電勢均與各導(dǎo)體的電勢相等. 設(shè)所論空間有三個導(dǎo)體,且 ,根據(jù)電場線性質(zhì)，三個導(dǎo)體間彼此不可能有電場線相連接，空間可能有的

5、電場線要么從三個導(dǎo)體發(fā)出終止于無窮遠(yuǎn)，要么從無窮遠(yuǎn)射來終止于這些導(dǎo)體上。若空間某點(diǎn)P電勢與導(dǎo)體電勢不相等,如 ,則根據(jù)電場線性質(zhì),過P點(diǎn)必有電場線指向?qū)w，于是空間中必有電勢為極大值的點(diǎn),因為電勢在沒有電荷的空間是連續(xù)分布的,且空間的邊界一個是U（三個導(dǎo)體)，另一個是無窮遠(yuǎn)( ）顯然，這種情況與前一結(jié)論相矛盾同理可證 將產(chǎn)生相同的矛盾由于P點(diǎn)是任意取的，則命題得證在除了導(dǎo)體以外沒有其他電荷分布的情況下，若所有導(dǎo)體都是電中性的,則各導(dǎo)體的電勢都相等，且為零如圖所示，設(shè)導(dǎo)體1與導(dǎo)體2電勢不相等,如 ,兩個導(dǎo)體都是電中性，則根據(jù)電場線性質(zhì)1、3,由導(dǎo)體1上正電荷發(fā)出的電場線，一部分將終止于導(dǎo)體2上的

6、負(fù)電荷，另一部分將延伸到無窮遠(yuǎn)處;導(dǎo)體2上正電荷發(fā)出的電場線只能延伸到無窮遠(yuǎn)處;導(dǎo)體1上的負(fù)電荷是要終止電場線的,但這電場線既不能由導(dǎo)體1發(fā)出(導(dǎo)體是等勢體)，也不能接受導(dǎo)體上發(fā)出的電場線(因 ),更不能接受來自無窮遠(yuǎn)處的電場線，因為導(dǎo)體2已有電場線延伸到無窮遠(yuǎn)處，這就與假設(shè) 相矛盾。采用同樣的方法，不難證明對于 的所有情況都會出現(xiàn)類似的矛盾因此，導(dǎo)體1和導(dǎo)體2的電勢只能相等且為零，故結(jié)論得證 中性孤立導(dǎo)體的電勢等于零，表面電荷面密度處處為零這個結(jié)論可用反證法加以論證不妨假設(shè)孤立中性導(dǎo)體的電勢U0,則根據(jù)電場線性質(zhì)，此導(dǎo)體表面某處必有電場線發(fā)出而終止于無窮遠(yuǎn)處，因此該處表面必有電荷存在導(dǎo)體既然

7、是電中性的,那么，由電荷守恒定律可以誰知,導(dǎo)體表面另外某處必有等量負(fù)電荷存在,同樣由電場線性質(zhì)可知負(fù)電荷上必有電場線終止，這些電場線唯一可能的來源只能是起始于無窮遠(yuǎn)處,因此有 ，顯然，這和開始的假設(shè)相矛盾若假設(shè)U0，同樣導(dǎo)致矛盾的結(jié)果由此證明,中性孤立導(dǎo)體的電勢只能等于零，其表面各點(diǎn)不可能有面電荷密度 中性導(dǎo)體接近帶負(fù)電的導(dǎo)體時,前者電勢降低,后者電勢升高.在中性導(dǎo)體B末進(jìn)入帶負(fù)電的導(dǎo)體A所激發(fā)的電場前，導(dǎo)體B屬中性孤立導(dǎo)體,故由上述所證結(jié)論知, 當(dāng)B接近導(dǎo)體后,由于靜電感應(yīng),其左右兩端分別出現(xiàn)感應(yīng)電荷，如圖所示根據(jù)電場線性質(zhì)，終止于導(dǎo)體B右端負(fù)電荷的電場線只能起始于無窮遠(yuǎn)處,沿著這些電場線電

8、場強(qiáng)度的積分 ，因此， ，而且B越接近,右端感應(yīng)的負(fù)電荷面密度越大,終止的電場線越密，由電場線性質(zhì)知附近的電場強(qiáng)度也越大，因而 越小(從無窮遠(yuǎn)處為電勢參考點(diǎn)去考慮）與此同時，由于靜電感應(yīng),A上負(fù)電荷向右端聚集，左端負(fù)電荷面密度減小，因而終止的電場線相應(yīng)減少,A的左半空間的電場強(qiáng)度也減小,于是A的電勢升高同理可證,中性導(dǎo)體接近帶正電的導(dǎo)體時，前者電勢升，后者電勢降低.、關(guān)于導(dǎo)體接地問題接地導(dǎo)體的電勢等于零,地球與無窮遠(yuǎn)同電勢，即 . 先討論如圖所示的情形，如果B是一個很大的導(dǎo)體球，則B的遠(yuǎn)端離A的距離就很大，遠(yuǎn)端表面也很大因此，遠(yuǎn)端的感應(yīng)電荷面密度與A表面電荷面密度及近端表面電荷面密度比較就顯得

9、很小,故遠(yuǎn)端附近的電場線也就很疏.根據(jù)電場線性質(zhì)可知遠(yuǎn)端表面附近的電場強(qiáng)度與A附近的電場強(qiáng)度比較也很小，沿著這些電場線電場強(qiáng)度的線積分 也很小，即 很小設(shè)想當(dāng)B的半徑 ，則遠(yuǎn)端電荷面密度 ，遠(yuǎn)端表面附近的電場強(qiáng)度，因而 再討論導(dǎo)體B接地時的情形（如圖），這時B和地球組成一個導(dǎo)體，地球的另一側(cè)成了這個導(dǎo)體的遠(yuǎn)端，因為地球半徑很大,所以。 在以上的討論中，我們認(rèn)為地球是一個很大的導(dǎo)體球，且是電中性的，并將無窮遠(yuǎn)區(qū)取在地球之外,得出 .實際上,所討論的帶電體的線度與地球半徑相比往往是非常小的，而離帶電體足夠遠(yuǎn)處就可視為無窮遠(yuǎn)，所以實際上無窮遠(yuǎn)處仍在地球上。帶電體在該處產(chǎn)生的電場已小得足以忽略.由于帶

10、電體在地球上感應(yīng)的電荷面密度在離帶電體足夠遠(yuǎn)處也近乎于零,因此,地球是電中性的.這樣,在無窮遠(yuǎn)區(qū)就沒有電場，因此,無窮遠(yuǎn)處為等電勢區(qū)域,且與地球的電勢相等這樣,我們又得到了 但這與以前的不同，以前的無窮遠(yuǎn)區(qū)在地球之外，現(xiàn)在的無窮遠(yuǎn)區(qū)在地球之上了！事實上，我們討論靜電平衡問題都屬于這種情況孤立導(dǎo)體接地后,表面電荷面密度處處為零.設(shè)孤立導(dǎo)體接地后其表面某處有 ，則由電場線性質(zhì)可知,該處必有電場線發(fā)出，又根據(jù)電場線性質(zhì)，這些電場線不能終止于導(dǎo)體自身，只能終止于無窮遠(yuǎn)處，因此有 ，顯然，這就與接地導(dǎo)體的電勢等于零的結(jié)論相矛盾如設(shè)導(dǎo)體表面處有 ，同樣導(dǎo)致矛盾結(jié)果由此證明接地導(dǎo)體表面電荷面密度處處為零接地

11、導(dǎo)體附近若只有一個帶電體，則接地導(dǎo)體表面不可能有與帶電體上的電荷同號的電荷。 上述結(jié)論還與接地線在什么位置無關(guān),. 、關(guān)于孤立帶電導(dǎo)體電場的能量問題 設(shè)孤立導(dǎo)體的電容為C，所帶的電量為Q，則由普物靜電場理論可知,孤立導(dǎo)體所激發(fā)的電場具有總能量 下面我們同樣用電場線有關(guān)性質(zhì)來證明這個結(jié)論如圖所示，為確定起見,設(shè)孤立導(dǎo)體A所帶電量 ，根據(jù)電場線性質(zhì)，它發(fā)出的所有電場線都將延伸到無窮遠(yuǎn)處,其中T為一束細(xì)電場線管.已知靜電場能量密度為 ，現(xiàn)在對整個管取 的體積分,即: 式中 為管上的任一橫截面積， 為沿T管方向的線元, 為整個管中的電場能量。 根據(jù)電場線性質(zhì)，電場線管T內(nèi)的電場線條數(shù)到處一樣，常數(shù)，于是，( l