1、第一章：預(yù)備知識(shí)1.1概率空間隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間記為Q。1Qg則A=QAgf1Qg則A=QAgf；假設(shè)Angf，n=L2,，那么JAngf；n=1那么稱F為o-代數(shù)(Borel域)。(Q,F)稱為可測(cè)空間，F(xiàn)中的元素稱為事件。由定義易知：(4)0gF；(5)若A,BgF,則ABgF；iiii=1i=1i=1(6)若AgF，i=1，2,則DAiiii=1i=1i=1定義1.2設(shè)(Q,f)是可測(cè)空間，P()是定義在F上的實(shí)值函數(shù)。如果(1)任意AgF,0P(A)1；(2)P(Q)=1；對(duì)兩兩互不相容事件A,A，&i牛/時(shí)，AcA=0)有12ij那么稱P是G,Fh的概率，Q,F,P稱為概率空間，P(

2、A)為事件A的概率。設(shè)Q,F,P是概率空間，GuF，如果對(duì)任意A,A，,AgG,n=1,2，12n有:Pf1nIa=Hp(a)有:ii=1I,1ii=1i=1那么稱G為獨(dú)立事件族。1.2隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量X,分布函數(shù)F(x),n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量，聯(lián)合分布函數(shù)，&,tgT是獨(dú)立的。t設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，假設(shè)JsIxIdF(x)8，那么稱一8E(X)=J8xdF(x)一8為X的數(shù)學(xué)期望或均值。上式右邊的積分稱為L(zhǎng)ebesgue-Stieltjes積分。方差，B=EL(X-EX)Y-EY)為X、y的協(xié)方差，而XYBP=XY:XYDDXdYY為X、Y的相關(guān)系數(shù)。假設(shè)P=0,

3、那么稱X、Y不相關(guān)。XYSchwarz不等式假設(shè)EX28,EY28,那么(EXY)2EX2EY2.1.4特征函數(shù)、母函數(shù)和拉氏變換定義1.10設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為Fx，稱g(t)E(e網(wǎng))=J8ejtxdF(x),-8t1t,t12n12n其中：1n其中：g(。，。，,6)=E(expiX6x(t)t,t12nkk1nk=1定義2.3設(shè)X=X(t),tT的均值函數(shù)m/1)defEX(t),tgT。tX二階矩過(guò)程，協(xié)方差函數(shù)：D(t)=B(t，t)defEX(t)m(t)2,tgtXXX相關(guān)函數(shù)：RXs,t)=EX(s)X(t)定義2.4設(shè)X(t),tT,Y(t),tT是兩個(gè)二階矩過(guò)程，互協(xié)方

4、差函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)。2.3復(fù)隨機(jī)過(guò)程設(shè)X,tgT，Y,tgT)是取實(shí)數(shù)值的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，假設(shè)對(duì)任意tgTttZ=X+iY，ttt其中i=v1，那么稱Z,tgT為復(fù)隨機(jī)過(guò)程.t復(fù)隨機(jī)過(guò)程X,tgT的協(xié)方差函數(shù)B(s,t)具有性質(zhì)t1對(duì)稱性：B(s,t)=B(t,s)；2非負(fù)定性幾種重要的隨機(jī)過(guò)程一、正交增量過(guò)程定義2.6設(shè)&C)tgt是零均值的二階矩過(guò)程，假設(shè)對(duì)任意的ttttgT,有1234公式那么稱xC)那么稱xC)正交增量過(guò)程。2eIxC)-X(t)x)-X)=0BQ,t)二RQ,/)二。2(minQ,t)XXX二、獨(dú)立增量過(guò)程定義2.7設(shè)teT是隨機(jī)過(guò)程假設(shè)對(duì)任意的正整數(shù)幾和1112teT

5、,隨機(jī)變量X(t)-X(t),X(t)-X(),X()-X(t)是互相獨(dú)立的，那么稱kQtel)2132n-1是獨(dú)立增量過(guò)程，需可加過(guò)程。定義2.8設(shè)),teT)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程，假設(shè)對(duì)任意st,隨機(jī)變量X(t)-X(s)的分布僅依賴于t-s，那么稱kQtel)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。三、馬爾可夫過(guò)程定義設(shè)&QteT)為隨機(jī)過(guò)程，假設(shè)對(duì)任意正整數(shù)n及，且其條件分布tt，0，且其條件分布12P那么稱)=P(x(t)12P那么稱)=P(x(t)=xIX()=x)，(2.6)nnn-1n-1=xIX(t)=x，,X(t)=xn11n-1n-1teT)為馬爾可夫過(guò)程。四、正態(tài)過(guò)程和維納過(guò)程定義2.10設(shè)

6、&QteT)是隨機(jī)過(guò)程，假設(shè)對(duì)任意正整數(shù)n和t，teT,(X(t)X(t,X(方是n維正態(tài)隨機(jī)變量，那么稱(X()teT)是正態(tài)12e12n過(guò)程或高斯過(guò)程。定義2.11設(shè)W(t),-8t0，那么稱W(t),-8t8)為維納過(guò)程，也稱布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程。定理2.3設(shè)W(t),-8t8)是參數(shù)為o2的維納過(guò)程，那么(1)任意te(-8,8),w(t)Nbo211r；(2)對(duì)任意一8as,t0為具有參數(shù)九0的泊松過(guò)程，假設(shè)它滿足以下條件X(0)=0；X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程；(3)在任一長(zhǎng)度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)九t0的泊松分布，即對(duì)任意s,t0,有(入t)nPX(s+1)X(s)=n=e-

7、)-,(n=0,1,2,)(3.1)。由于，入=n!。由于，入=注意，從條件知泊松過(guò)程是平穩(wěn)增量過(guò)程且EX(t)=入t示單位時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，故稱九為此過(guò)程的速率或強(qiáng)度。稱計(jì)數(shù)過(guò)程X(t),t0為具有參數(shù)九0的泊松過(guò)程，假設(shè)它滿足以下條件X(0)=0；X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程；X(t)滿足以下兩式：(3.2)PX(t+h)-X(t)=1八h+o(h),(3.2)PX(t+h)-X(t)2=o(h)定義3.2與定義3.3是等價(jià)的。3.2泊松過(guò)程的根本性質(zhì)一、數(shù)字特征設(shè)X(t),t0是泊松過(guò)程，m(t)=E(X(t)=XtXo2(t)=D(X(t)=XtXR(s,t)=E(X(s)X

8、(t)=Xs(kt+1)XB(s,t)=R(s,t)-m(s)m(t)=ksXXxX一般泊松過(guò)程的有BX(s,t)=kmin(s,t)。有特征函數(shù)定義，可得泊松過(guò)程的特征函數(shù)為g(u)=EeiuX(t)=expkt(em-1)X二、時(shí)間間隔與等待時(shí)間的分布叱為第n次事件A出現(xiàn)的時(shí)刻或第n次事件A的等待時(shí)間，)是第n個(gè)時(shí)間間隔，它們都是隨機(jī)變量。設(shè)X(t),t0是具有參數(shù)k的泊松分布，T(n1)是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列，那么隨n機(jī)變量T(n=1,2)是獨(dú)立同分布的均值為1/k的指數(shù)分布。n設(shè)W,n1是與泊松過(guò)程X(t),t0對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，那么W服從參n數(shù)為n與k的分布，其概率密度為(kt)

9、n-1ke-兒,t0f(t)=f(t)=Wn0,t0是泊松過(guò)程，在0,t內(nèi)事件A發(fā)生n次，那么這n次到達(dá)時(shí)間WW-0為具有跳躍強(qiáng)度函數(shù)入(t)的非齊次泊松過(guò)程，假設(shè)它滿足以下條件：X(0)=0；(2)X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程；PX(t+h)-X(t)=1=(t)h+o(h)(3)PX(t+h)-X(t)2=o(h)非齊次泊松過(guò)程的均值函數(shù)為：m(t)=Jt九(s)dsX0定理3.5設(shè)X(t),t0是具有均值函數(shù)m(t)=Jt九(s)ds的非齊次泊松過(guò)程，那X0么有PX(t+s)-X(t)=n=m(t+s尸mX(t)nexp-m(t+s)-m(t),(n0)n!XX或PXPX(t)=n=mX(t)

10、nn!exp-mX(t)上式說(shuō)明PX(t+s)-X(t)=n不僅是t的函數(shù)，也是s的函數(shù)。3.4復(fù)合泊松過(guò)程設(shè)N(t),t0是強(qiáng)度為入的泊松過(guò)程，丫k=1,2,.是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，k,且與N(t),t0獨(dú)立，令x(t)=Z%0,k=1那么稱X(t),t0為復(fù)合泊松過(guò)程。N(t)設(shè)x(t)=EYkt0,是復(fù)合泊松過(guò)程，那么k=11。X(t),t0是獨(dú)立增量過(guò)程；2X(t)的特征函數(shù)g(u)=exp入tg(u)-1，其中g(shù)(u)是隨機(jī)變量Y的特TOC o 1-5 h zX(t)YY1征函數(shù)；入是事件的到達(dá)率。3假設(shè)E(Y2)0,n1) HYPERLINK l bookmark73 ijm+

11、nm為馬爾可夫鏈X,neT的n步轉(zhuǎn)移概率，n定理1設(shè)X,neT為馬爾可夫鏈，那么對(duì)任意整數(shù)n0,011，絕對(duì)概率p(n)具nj有以下性質(zhì)：p(n)=乙pp(n)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark105 jiij(2)p(n)=p(n-1)pjiijieI(3)Pt(n)=Pt(0)P(n)(4)Pt(n)=Pt(n-1)P定理3設(shè)X,neT為馬爾可夫鏈，那么對(duì)任意i,i,ieI和n1，有n12nPX=i,X=i,，X=i=pppp1122nniiiiiii112n-1n4.2馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類一、狀態(tài)分類假設(shè)X,n0是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間I=0,1,2

12、,，n轉(zhuǎn)移概率是p,i,jeI,初始分布為p,i,jeI。ijj定義46如集合n:n1,p(n)0非空，那么稱該集合的最大公約數(shù)d=d(i)=GCDn:p(n)0為狀態(tài)i的周期。如d1就稱i為周期的，如d=1就稱i為ii非周期的。假設(shè)對(duì)每一個(gè)不可被d整除的n，有p(n)=0，且d是具有此性質(zhì)的最大正整數(shù)，那么稱d為狀態(tài)i的周期?！耙?.1如i的周期為d，那么存在正整數(shù)M，對(duì)一切nM，有p(nd)0。ii定義對(duì)i,jeS,記f(0)=0,f=PX=jIX=iij4.15ij4.15f(n)=PX=j,X豐j,k=1,2,，九一1IX=i,n2ijnk0f=f（n）ijijneT稱f（n）是系統(tǒng)

13、在0時(shí)從i出發(fā)經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后首次到達(dá)狀態(tài)j的概率，而f（8）那么是在0時(shí)ijij從i出發(fā)，系統(tǒng)在有限步轉(zhuǎn)移內(nèi)不可能到達(dá)狀態(tài)j的概率。我們將f（n）和f統(tǒng)稱為首達(dá)概率又稱首中概率。引理1（2）又稱首中概率。引理1（2）0f(n)fijij首達(dá)概率可以用一步轉(zhuǎn)移概率來(lái)表示：f（n）=乙乙乙,pij防，LL，/J112n-Vi產(chǎn)j2巧仁產(chǎn)/定義4.7假設(shè)f=1，那么稱狀態(tài)i為常返的;假設(shè)f1iiii定義4.8如日i8，那么稱常返態(tài)i為正常返的；如日二8那么稱狀態(tài)i為非常返的。那么稱常返態(tài)i為零常返的，非周期的正常返態(tài)稱為遍歷狀態(tài)。從狀態(tài)是否常返，如常返的話是否正常返，如正常返的話是否非周期等三層次上

14、將狀態(tài)區(qū)分為以下的類型：非常返態(tài)（f1）ii零常返態(tài)（日=8）常返態(tài)(f常返態(tài)(f=1)ii正常返態(tài)（四1）i|非周期（d=1）遍歷態(tài)TOC o 1-5 h zf(n)與P(n)有如下關(guān)系：ijij定理4.4對(duì)任意狀態(tài)i,j，及1n1,p（n）0=GC.Dn:n1,f（n）0.iiii、常返態(tài)的性質(zhì)及其性質(zhì)定理4.5狀態(tài)i常返的充要條件為8pn=0二8ii4.188pn=0二8ii4.18如i非常返，那么piin=011Tfii定理4.7設(shè)i常返且有周期d，那么dlimp（nd）=.ii其中匕為i的平均返回時(shí)間。推論設(shè)i常返，那么從i=8時(shí)，=0.日i4.261i1i遍歷今limp(n)=一0

15、。nJiiNi定理4.8可達(dá)關(guān)系與互通關(guān)系都具有傳遞性，即(1)i零常返olimP(n)=0；2iin-8如果i-j，j-k，那么ifk；如果ik,jk，那么ik。定理4.9如ij,那么i與j同為常返或非常返，假設(shè)為常返，那么它們同為正常返或零常返；i與j有一樣的周期。4.3狀態(tài)空間的分解狀態(tài)空間I的子集C稱為隨機(jī)閉集，如對(duì)任意ieC及keC都有p=0。ik閉集C稱為不可約的，如C的狀態(tài)互通。馬氏鏈X稱為不可約的，如其狀態(tài)n空間不可約。C是閉集的充要條件為對(duì)任意ieC及keC都有p(n)=0,nN1。ik稱狀態(tài)i為吸收的，如p=1。顯然狀態(tài)i吸收等價(jià)于單點(diǎn)集i為閉集。ii定理4.10任一馬氏鏈

16、的狀態(tài)空間1,可唯一地分解成有限個(gè)或可列個(gè)互不相交的子集D,C,C,之和，使得12每一C是常返態(tài)組成的不可約閉集。nC中的狀態(tài)同類，或全是正常返，或全是零常返。它們有一樣的周期且f；=1,i,keC。jkn口由全體非常返狀態(tài)組成。自C中的狀態(tài)不能到達(dá)D中的狀態(tài)。a=1。ij稱矩陣aJ為隨機(jī)矩陣，如其元素非負(fù)且每i有a=1。ijj顯然k步轉(zhuǎn)移矩陣P(k)=p(k)為隨機(jī)矩陣。即與C即與C相應(yīng)的k設(shè)C為閉集，又G=p(k)，i,jC,是C上所得的ij步轉(zhuǎn)移子矩陣，那么G仍是隨機(jī)矩陣。定理周期為d的不可約馬氏鏈，其狀態(tài)空間C可唯一地分解為d個(gè)互不相交地子集之和，即d-lC=G,Grir=0*且使得自

17、G中任一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)一步轉(zhuǎn)移必進(jìn)入6中其中G=G。設(shè)X,nr=0*且使得自G中任一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)一步轉(zhuǎn)移必進(jìn)入6中其中G=G。設(shè)X,n0是周期為dn(1)如只在時(shí)刻0P(d)=(p(d),對(duì)此新鏈，(2)如原馬氏鏈Xnjr+1d0的不可約馬氏鏈，那么在定理的結(jié)論下有上考慮X,即得一新馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移陣每一G是不可約閉集，且G中的狀態(tài)是非周期的。常返，Xndp(n)的漸近性質(zhì)與平穩(wěn)分布j一、Pin)的漸近性質(zhì)如j非常返或零常返那口么limp(n)=0,VieIn-gij4.33推論1有限狀態(tài)的馬氏鏈，不可能全是非常返狀態(tài)，也不可能含有零常返狀態(tài)，從而不可約的有限馬氏鏈必為正常返的。推論2如馬氏鏈有一

18、個(gè)零常返狀態(tài)，那么必有無(wú)限多個(gè)零常返狀態(tài)。定理4如j正常返，周期為d，那么對(duì)任意i及0丫d-1有l(wèi)imp(nd+r)二f(r)推論設(shè)不可約、正常返、周期d的馬氏鏈，其狀態(tài)空間為C，那么對(duì)一切l(wèi)imp(nd)=0ij,如當(dāng)洞屬于子集Glimp(nd)=0ij,如當(dāng)洞屬于子集Go.ijjeI(4.42)值得注意的是，對(duì)平穩(wěn)分布冗j,jeI,有(4.42)兀=y兀p(n)jiijieI不可約非周期馬爾可夫鏈?zhǔn)钦７档某湟獥l件是存在平穩(wěn)分布，且此平1穩(wěn)分布就是極限分布上,jeI。uj推論1有限狀態(tài)的不可約非周期馬爾可夫鏈必存在平穩(wěn)分布。推論2假設(shè)不可約馬爾可夫鏈的所有狀態(tài)是非常返或零常返的，那么不存在

19、平穩(wěn)分布.推論3假設(shè)冗.,jeI是馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，那么j，、1p(n)=冗juj第五章連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t),tF,狀態(tài)空間I=i,n0,假設(shè)對(duì)于任意0tt0)。ij以下的討論均假定我們所考慮的連續(xù)時(shí)間馬爾柯夫鏈都具有齊次轉(zhuǎn)移概率。為方便起見(jiàn)，簡(jiǎn)稱為齊次馬爾可夫過(guò)程。ijijjeIp(t)p(s)ikkjPJ(t+ijijjeIp(t)p(s)ikkjPJ(t+s)=EkeI其中3式為馬爾可夫過(guò)程的Chapman-Kolmogorov簡(jiǎn)稱C-K方程。1，2由概率定義及p(t)的定義易知，下面只證明3。ij定義5對(duì)于任一tN0,記jjP(t)=PX(t)=j,P=P(0)=

20、PX(0)=j,jeIjj分別稱P(t),jeI和p,jeI為齊次馬爾可夫過(guò)程的絕對(duì)概率分布和初始概率分布。性質(zhì)齊次馬爾可夫過(guò)程的絕對(duì)概率及有限維概率分布具有以下性質(zhì)：(1)P(t)0；(2)Ep(t)=1;jjeIjTOC o 1-5 h z(3)P(t)=EPP(t)；(4)P(t+T)=EP(t)P(T);jiijjiijieIieIPX(t)=i,X(t)=i,Xit)=i1122PP(t)PPP(t)P(tt)pt)i%1嗎21Mnn-1柯?tīng)柲缏宸蛭⒎址匠淘O(shè)齊次馬爾可夫過(guò)程滿足正那么性條件，那么對(duì)于任意固定的i,jeI,pj(t)是t的一致連續(xù)函數(shù)。lJ設(shè)p(t)是齊次馬爾可夫過(guò)程

21、的轉(zhuǎn)移概率，那么以下極限存在ij(1)(2)1p(At)limii=v=q8A-0Atiiip(At)limj=q8,i中jAt0Atijij推論對(duì)有限齊次馬爾可夫過(guò)程，有q=乙qij推論對(duì)有限齊次馬爾可夫過(guò)程，有q=乙q0,有ikiiEk中iqp(t)qp(t)ijikkjiiijk豐i定理5.2.3柯?tīng)柲缏宸蛳蚯胺匠淘谶m當(dāng)?shù)恼敲礂l件下k手j定理5.2.4齊次馬爾可夫鏈過(guò)程在t時(shí)刻處于狀態(tài)jl的絕對(duì)概率p(t)滿足jIIIIIIIII如下方程：如下方程：jJJk巧kkjpp（t）=p（t）q+Zp（tjJJk巧kkj定理5設(shè)馬爾可夫過(guò)程是不可約的，那么有以下性質(zhì)：(1)假設(shè)它是正常返的，

22、那么極限limp(t)存在且等于冗0,jG/,這里冗是t19ijjj方程組Kq=EkqLjjjk期|Xk=ijgI的唯一非負(fù)解，此時(shí)稱冗.,jGI是該過(guò)程的平穩(wěn)分布，并且有jlimp(t)=K(2)假設(shè)它是零常返的或非常返的，那么limpj(t)=limpj(t)=0,i,jgIt19t195.3生滅過(guò)程定義設(shè)齊次馬爾可夫過(guò)程X(t),t0的狀態(tài)空間為I=0,12，轉(zhuǎn)移概率為pj(t)，如果p(h)=Xh+o(h)(k0)TOC o 1-5 h zp(h)1=旦h+0(h)0,旦=0)川Vi,i-1ii0p(h)=1-(k+旦)h+o(h)iiiip(h)=o(h)(Ii-jl2)iij那么稱

23、X(t),t0為生滅過(guò)程。其中，k稱為出生率，N稱為死亡率。ii(1)假設(shè)k=ik,從=i.(k,.為正常數(shù))，那么稱X(t),t0為線性生滅過(guò)程；ii(2)假設(shè)N三0，那么稱X(t),t0為純生過(guò)程；i假設(shè)k三0，那么稱X(t),t0為純滅過(guò)程。i第六章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程的概念與例子一、平穩(wěn)過(guò)程的定義定義6.2聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程定義設(shè)X(t),tgT和Y(t),tgT是兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，假設(shè)它們的互相關(guān)函數(shù)EX(t)Y(t-t)及EY(t)X(t-T)僅與t有關(guān)，而與t無(wú)關(guān)，那么稱X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。定理設(shè)X(t),tgT為平穩(wěn)過(guò)程，那么其相關(guān)函數(shù)具

24、以下性質(zhì)：(1)RJ0)0;(2)L=R(-T);(3)R(T)0Xijiji,j=1(5)假設(shè)X(t)是周期為T(mén)的周期函數(shù)，即X(t)=X(t+T)，那么R(T)=R(t+t)；XX(6)假設(shè)X(t)是不含周期分量的非周期過(guò)程，當(dāng)tT9時(shí)，X(t)與X(t+t)相互獨(dú)立，那么limR(T)=mmTJXXXR(T)2R(0)R(0),R(T)20,假設(shè)有l(wèi)imPlX(e)-X(e)l=0,nnT8那么稱二階矩隨機(jī)序列X(e)依概率收斂于二階矩隨機(jī)變量X(e),記作nXrX。n4、均方收斂設(shè)有二階矩隨機(jī)序列X和二階矩隨機(jī)變量X,假設(shè)有nlimE|X-X|2=0(6.3)nnT8成立，那么稱X均方

25、收斂，記作XrX。nn注：(6.3)式一般記為l.i.mX=X或l.imX=X。nnxT85、依分布收斂設(shè)有二階矩隨機(jī)序列X和二階矩隨機(jī)變量X，假設(shè)X相應(yīng)的分布函數(shù)列nnF(%),在X的分布函數(shù)F(x)的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)處，有nlimF(x)=F(x)nn-8那么稱二階矩隨機(jī)序列X依分布收斂于二階矩隨機(jī)變量，記作XXnn對(duì)于以上四種收斂定義進(jìn)展比擬，有以下關(guān)系：(1)假設(shè)XX，那么XXnn(2)假設(shè)Xae-X，那么X-Xnn(3)假設(shè)XX，那么XXnn定理2二階矩隨機(jī)序列X收斂于二階矩隨機(jī)變量X的充要條件為nlimEIXX|2=0nmn-8定理3設(shè)X,Y,Znmn-8定理3設(shè)X,Y,Z都是二階矩隨

26、機(jī)序列，nnna,b,c為常數(shù)。令l.i.mX=X,1nl.i.mc=limc=c；nnn-8l.i.mY=Y,nU為二階矩隨機(jī)變量，c為常數(shù)序列，nl.i.mZ=Z,l.i.mc=c。那么nn2345l.i.mU;U；l.i.m(cU)=cU；nl.i.m(aX+bY)=aX+bY；nnlimEX=EX=El.i.mX；6n-8limEXY=EXY=E(l.i.mXnmn,m-8n)(l.i.mYm)；特別有l(wèi)imEIX2=E|X|2=E|l.i.mXI2。nn-8定理4設(shè)X為二階矩隨機(jī)序列，那么X均方收斂的充要條件為以下極限存在nlimEXX。nmn,m-8二、均方連續(xù)定義設(shè)有二階矩過(guò)程X

27、(，假設(shè)對(duì)eT,有l(wèi)imEIX(t+h)-X(t)|2=0,h-000那么稱X(t)在t點(diǎn)均方連續(xù)，記作l.imX(t+h)=X(t)。假設(shè)對(duì)T中一切點(diǎn)都均方連續(xù)，0h-000那么稱X(t)在T上均方連續(xù)。定理均方連續(xù)準(zhǔn)那么二階矩過(guò)程X(t),teT在t點(diǎn)均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)R(t,t)在點(diǎn)。,t)處連續(xù)。X12推論假設(shè)相關(guān)函數(shù)R(t,t)在(t,t),teT上連續(xù)，那么它在TXT上連續(xù)X12三、均方導(dǎo)數(shù)定義7設(shè)X(t),teT是二階矩過(guò)程，假設(shè)存在一個(gè)隨機(jī)過(guò)靜(t),滿足limEIX(t+h)-X(t)-xf(t)|2=0h-0h則稱X(t)在t點(diǎn)均方可微，記作y，(八_dX(t)/

28、.X(t+h)-X(t)X(t)=l.1mdth-0h并稱X(t)為X(t)在看點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù)。d2X類似的有X(t)或1稱TOC o 1-5 h zR(t+h,t+h)-R(t+h,t)R(t,t+h)-R(t,t)一limX_11_22X_11_2X_1_22X-1-2h-0hhhhh；J1212為R(t,t)在(t,t)的廣義二階導(dǎo)數(shù)，記為X1212d2R(t,t)X_1-2dtdt12定理6均方可微準(zhǔn)那么二階矩過(guò)程X(t),teT在七點(diǎn)均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)R(t,t)在點(diǎn)。,t)的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。X12推論1二階矩過(guò)程X(t),teT在T上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)R(t,t

29、)在X12(t,t),teT上每一點(diǎn)廣義二階可微。dm(t)那么卡在T上以推論2假設(shè)RX(t1,t2)在(dm(t)那么卡在T上以,、d八，、d八，、(t,t),R(t,t)，:R(t,t)x12etx12etetx121212在Txt上存在，且有絲色二空Xt)=Ex，(t)；dtdt(2)(3)(4)er(2)(3)(4)er(ta)e:X：1,2)=EX(t)X(t)=EX(t)X(t);etet121211er(ta)e:X11,2)=EX(t)X(t)=EX(t)X(t);etet121222e2R(t,t)X_1-2etet12e2R(t,t)X_1-2etet21=EX(tlx(t

30、2)四、均方積分定義8如果A定義8如果AT0時(shí)n在a,b上均方可積，并記為S均方收斂于S，即limEISnAnT0-S|2-0，那么稱f(t)X(t)S=f(t)XS=f(t)X(t)dt=l.imf(t)X(t)(t-tiiiA方0i=1i-1)稱此為f(t)X(t)在區(qū)間a，b上的均方積分。定理7均方可積準(zhǔn)那么f(t)X(t)在區(qū)間a，b上均方可積的充要條件為JbJbf(t)ftF)R(t,t)dtdtaa12X1212存在。特別的，二階矩過(guò)程X(t)在a,b上均方可積的充要條件為R(t,t)在a,bxa,bX12上可積。定理8(1)特別有設(shè)f(t)X(t)在區(qū)間a,b上均方可積，那么有E

31、Jbf(t)X(t)dt=Jbf(t)EX(t)dtaaEJbX(t)dt=JbEX(t)dt(2)EJ(2)EJbf(t)X(t)dtfbf(t)X(t)dt二11122aa特別的有EIJbX(t)dt|2=JbJbaaaJbJbf(t)可3R(t,t)dtdt12X1212aaR(t,t)dtdt。X1212定理9設(shè)二階矩過(guò)程X(t),teT在a,b上均方連續(xù)，那么Y(t)=JtX(t)dt,(atb)a在均方意義下存在，且隨機(jī)過(guò)程X(t),teT在a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。推論設(shè)X(t)均方可微，且X(t)均方連續(xù)，那么特別有X(t)-X(a)=JtX(t)dta特別有X

32、(t)-X(a)=JtX(t)dta4平穩(wěn)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性定義9設(shè)X(t),-8t8為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，那么分別稱=l.i.mXJTX(t)dt,=l.i.mXJTX(t)X(t-t)dtT.82T-TT.82T-T為該過(guò)程的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)。定義10設(shè)X(t),-8t8是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，假設(shè)里E(X(t)，即l.i.mJTX(t)dt=mt.82T-TX以概率1成立，那么稱該平穩(wěn)過(guò)程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。假設(shè)里E(X(t)X(t-T)，即l.i.mJTX(t)X(t-t)dt=R(t)T.82T-TX以概率1成立，那么稱該平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。定義11如果均方連續(xù)的平

33、穩(wěn)過(guò)程X(t),teT的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，那么稱該平穩(wěn)過(guò)程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。定理10設(shè)X(t),-8t8是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，那么它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)limJlimJ2TT.82T-2TRX(T)-mX2dT=0(6.9)設(shè)X(t),-8t8為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，那么其相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為limXJT.8limXJT.82T-2TB(T)-R(T)2dT=0(6.15)其中B(T)B(T)=EX(t)X(t-T)X(t-T)X(t-T-T)對(duì)于均方連續(xù)平穩(wěn)過(guò)程X(t),0t8，l.i.mJTX(t)dt=mT.8T0X1等式(6.16)以概率1成立的充要條件

34、為i忙lim-J11-L!B(t)dr=0i2T-tIT)x假設(shè)X(t)為實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，那么上式變?yōu)?JtTOC o 1-5 h zlim-JT1-B(t)dt=0TTxT-gT0VT7X對(duì)于均方連續(xù)平穩(wěn)過(guò)程x(t),0tg，等式1-_l.i.mJTX(t)X(t-t)dt=R(t)TfgT0X以概率1成立的充要條件為limlJT11-ITB(t)-R(t)21d-=0T-gT-tVT尸1X1其中B(-1)與6.16式一樣。假設(shè)X(t)為實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，那么上式變?yōu)閘imT卜1-3B(-1)-Rx(t)2d-二0TfgT0VT六第七章平穩(wěn)過(guò)程的譜分析7.1平穩(wěn)過(guò)程的譜密度是均方連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，作截尾隨機(jī)過(guò)程XX(t),1tlTX因?yàn)閤t(t)均方可積，故存在傅式變換gT.(7.4)F(3,T)=JX(t)e-，3tdt=JX(t)e-而tdt.(7.4)x-gT-TT利用帕塞伐公式及傅式反變換，可得F(3,T)2F(3,T)2d3XJX2(t)dt-Jx2(t)dt=J-gT-T2兀-g設(shè)(X(