1、PAGE PAGE 48習(xí)題2.1解答 1一箱產(chǎn)品20件，其中5件優(yōu)質(zhì)品，每次抽取1件，共抽取2次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望,（分兩種情況討論：(1)有放回地抽取；(2)不放回地抽取。解：（1）的概率分布為 所以 （2）的概率分布為 所以2.試計(jì)算上題中的方差。解：（1） （2） 3.設(shè)的概率分布為：460.50.3且，求和的值。解：顯然 又 4.據(jù)統(tǒng)計(jì)，一位60歲的健康（一般體檢未發(fā)生病癥）者，在5年之內(nèi)仍然活著和自殺死亡的概率為(，為已知)，在5年之內(nèi)非自殺死亡的概率為. 保險(xiǎn)公司開辦5年人壽保險(xiǎn)，條件是參加者需交納人壽保險(xiǎn)元（已知），若5年內(nèi)死亡，公司賠償元（），應(yīng)如何確定才能使公司

2、可期望獲益。若有人參加保險(xiǎn)，公司可期望從中收益多少？解：令“從一個(gè)參保人身上所得的收益”，則的概率分布為： 即 對于個(gè)人，有 5.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為其中. 又已知，求的值。解： 即 即 6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為試求和.解： 7.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量與獨(dú)立，其概率密度分別為 ()其中. 記，試求和.解： 8. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試求：（1）和； （2）通過和計(jì)算和的值。解：（1）（2），即又 9. 設(shè)，服從參數(shù)為3的 (泊松)分布，且與獨(dú)立，求.解：又 10擲一顆骰子1620次，則“六點(diǎn)”出現(xiàn)的次數(shù)的期望和方差為多少？解： 11.已知，且，試求

3、的全部可能取值，并計(jì)算.解：即的取值為：12.對球的直徑作近似測量，其值均勻分布在區(qū)間上，試求球的體積的數(shù)學(xué)期望。解： 13.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為且，求系數(shù).解：因?yàn)?14.設(shè)與相互獨(dú)立，其概率密度分別為 ，求.解：15.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，隨機(jī)變量求方差.解：因?yàn)橛谑?， 16.設(shè)某產(chǎn)品每周需求量為，的可能取值為1，2，3，4，5（等可能取各值），生產(chǎn)每件產(chǎn)品成本是元，每件產(chǎn)品售價(jià)元，沒有售出的產(chǎn)品以每件元的費(fèi)用存入倉庫。問生產(chǎn)者每周生產(chǎn)多少件產(chǎn)品可使所期望的利潤最大？解：設(shè)每周的產(chǎn)量為，顯然。每周利潤為,則 令，得又因。所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值。 由于和都取正整數(shù)，所

4、以應(yīng)取或，故當(dāng)產(chǎn)量為件或件時(shí)，利潤達(dá)到最大期望值元。 17.在每次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)，在1000次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)在之間的概率。解： 18.電視臺舉辦智力競猜，有兩種類型的題目：A類為歷史題，B類為地理題。競猜者可以自己選擇順序，只有猜對了第一題后才有權(quán)猜第二題。猜對A類題得a分，猜對B類題得b分?，F(xiàn)假定某人猜對A類題和B類題的概率分別為p和q，且此事件是獨(dú)立的。試問他應(yīng)當(dāng)先猜哪類題，可使他的期望得分最高？解：先猜類題的期望得分為： 先猜類題的期望得分為： 所以若，則先猜類題，否則先猜類題。19.已知（），且相互獨(dú)立，令，求.解：， 20.一輛飛

5、機(jī)場的交通車，送25名乘客到9個(gè)站，假設(shè)每個(gè)乘客都等可能地在任一車站下車，并且他們下車與否相互獨(dú)立。又知交通車只在有人下車時(shí)才停車,求該交通車停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解：令“交通車停車次數(shù)”記則依題意，任一旅客在第個(gè)車站不下車的概率為，又旅客下車與否是彼此獨(dú)立的，因此25名旅客在第個(gè)車站都不下車的概率為即 所以 習(xí)題2.2解答 1.一個(gè)螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量，期望值是50g，標(biāo)準(zhǔn)差是5g，求一盒（100個(gè)）同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^5100g的概率。解：令“第個(gè)螺絲釘?shù)闹亓俊眲t， 2.對敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值為2，方差為1.69，求10

6、0次轟炸中有180顆220顆炸彈命中目標(biāo)的概率。解：令“第次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)”則， 3.在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，為簡便起見，每個(gè)加數(shù)取整數(shù)（按四舍五入取最為接近它的整數(shù)）?？梢哉J(rèn)為各個(gè)加數(shù)的取整誤差是相互獨(dú)立的，并且它們都服從0.5，0.5上的均勻分布。求（1）將300個(gè)數(shù)相加，誤差總和的絕對值超過15的概率；（2）最多幾個(gè)數(shù)加在一起，其誤差總和的絕對值小于10的概率不小于90%； （3）如果有300個(gè)數(shù)相加，以99.7%的概率斷定其誤差總和所在的范圍。解：令“第個(gè)加數(shù)的取整誤差”則，（1） （2），同理可得： ，（3），同理可得： 即 4.設(shè)有30個(gè)電子器件，它們的使用壽命都服從(單位：(小時(shí)

7、)-1)的指數(shù)分布。其使用情況是第一個(gè)損壞，第二個(gè)立即使用，第二個(gè)損壞，第三個(gè)立即使用等等，令為30個(gè)器件使用的總計(jì)時(shí)間，計(jì)算超過360小時(shí)的概率。解：令“第個(gè)器件的使用壽命”則， ， 5.某微機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端，每個(gè)終端有5%的時(shí)間在使用。若各終端使用與否是相互獨(dú)立的，試求有不少于10個(gè)終端在使用的概率。解：令“同時(shí)使用的終端數(shù)”則 6.設(shè)在次貝努里試驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)事件出現(xiàn)的概率均為0.7，要使事件出現(xiàn)的頻率在0.680.72之間的概率不少于0.90，問至少要進(jìn)行多少次試驗(yàn)？ (1) 用切比雪夫不等式估計(jì)； （2）用中心極限定理計(jì)算。解：（1） （2） 7.一保險(xiǎn)公司有1 0000人投保，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。已知一年內(nèi)投保人死亡率為0.006，如死亡，公司付給死者家屬1 000元。求:（1）保險(xiǎn)公司年利潤為0的概率； （2）保險(xiǎn)公司年利潤不少于60 000元的概率。解：令“一年內(nèi)死亡的人數(shù)”則，公司利潤為 （1） （2） 8.某車間同型號機(jī)床有200部，每部機(jī)床開動的概率為0.7。假定各機(jī)床開動與否互不影響，開動時(shí)每部機(jī)床需耗電能15個(gè)單位。問至少供應(yīng)多少單位電能才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)。解