1、牛吃草問(wèn)題知識(shí)要點(diǎn)一、定義英國(guó)大科學(xué)家牛頓在他所著通算術(shù)一中曾提出一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)格為牧 場(chǎng)面積單位有三片牧場(chǎng) , 場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密 并且長(zhǎng)的速度一樣快 , 它的面積分別是三又三分之 一格爾、 爾和 24 格爾。第一片牧場(chǎng)的草飼養(yǎng) 頭可以吃 4 個(gè)期第片牧場(chǎng)的草 飼養(yǎng) 頭牛可以吃 個(gè)星問(wèn)在第三片牧場(chǎng)上放多少頭?？梢猿?個(gè)星期？這個(gè)問(wèn)題被人們稱(chēng)為牛頓問(wèn)題,也就是我們平常說(shuō)的牛吃草問(wèn)題。二、特點(diǎn)牛吃草問(wèn)題其實(shí)就是消長(zhǎng)問(wèn)題問(wèn)題的主要特征是：同一數(shù)量一方面增,另一方面減 少 朝個(gè)方向同時(shí)變化。如牛吃草問(wèn)中 ,草長(zhǎng)使草量勻速增加 牛草卻使草量逐漸減 少。在“牛吃草”問(wèn)題中因?yàn)椴菝刻於荚谏?草的數(shù)量在不

2、斷變,也就是說(shuō)這類(lèi)問(wèn)題的 工作總量是不固定的一在均勻變化。數(shù)量關(guān)系分析：在牛吃草問(wèn)題中我們一般把一頭牛一天的吃草量看作一個(gè)單位的草,為牧草的計(jì)量 單位。在這個(gè)問(wèn)題中主要研究牧場(chǎng)原有草量、每日新增草量（即牧草生長(zhǎng)速度飼養(yǎng)數(shù) 量、飼養(yǎng)時(shí)這四個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。一頭牛一天吃一個(gè)單位的草量。如果養(yǎng)牛頭數(shù)等于或小于每日新增草,無(wú)需動(dòng)用牧場(chǎng)原有草量,這個(gè)牧場(chǎng)就會(huì)像個(gè)聚 寶盆一樣供這些牛永遠(yuǎn)吃下去草遠(yuǎn)不完；如果養(yǎng)牛頭數(shù)大于每日新增草,們可以理解為,日新增的草先喂養(yǎng)了同等數(shù)量的, 而多出的牛則需要吃牧場(chǎng)原有的牧場(chǎng)中原有的草以供這些多出的牛吃多少這個(gè)牧場(chǎng) 草就可以供這些牛吃多少天有草吃完,增草未生長(zhǎng),就理解為牧場(chǎng)

3、的草吃完了此類(lèi)問(wèn)題中的基本數(shù)量關(guān)系有：牛的頭數(shù)對(duì)的吃的天數(shù)總草量；牛的頭數(shù)每日新增草量數(shù)多出牛的頭數(shù)；每日新增草量（較長(zhǎng)時(shí)間總草量同一牧場(chǎng)較短時(shí)間總草量相差天數(shù)；原有草量對(duì)應(yīng)總草量每日新增草天；吃的天數(shù)原有草量多出牛頭數(shù)；牛的頭數(shù)原有草量天數(shù)日新增草量數(shù)?！窘忸}方法介紹上面牛頓提出的牛吃草問(wèn),比較復(fù)三面積不同的牧場(chǎng)需要進(jìn)行幾次轉(zhuǎn)化解。 本講只學(xué)習(xí)較簡(jiǎn)單的牛吃草問(wèn)題（同一片牧場(chǎng)）,及量關(guān)系、解題方法與之相似的消長(zhǎng)問(wèn) 題。解題時(shí),般要先根據(jù)題中的條件（每日消耗數(shù)量等先出每日新增數(shù)量和原數(shù), 再根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間個(gè)體數(shù)量。典型的牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變 ,同頭數(shù)的牛吃光

4、同一片草地 所需的天數(shù)各不相同求干頭牛吃這片草地可以吃多少。由于吃的天數(shù)不草又是天天 在生長(zhǎng)所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。式設(shè)定一頭牛一天吃草量為1” 草生長(zhǎng)速=（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較多的數(shù)相應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較少的天數(shù)） （吃的較多的天數(shù)吃得較少的天數(shù)） 有草=牛頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度吃的天數(shù) 的天=原有草量（牛頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度） 頭數(shù)=有草量吃的天數(shù)+的生長(zhǎng)速度由于牛在吃草的過(guò)程,是不斷生長(zhǎng)所以解決消長(zhǎng)問(wèn)題的重點(diǎn)要想辦法從變化中 找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的 ,新長(zhǎng)草雖然在變化 ,但于是勻速生長(zhǎng) 以每天 新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。正由于這個(gè)不變才能導(dǎo)出上面的四個(gè)基本式。牛吃草的問(wèn)題

5、經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片草地 ,這既有原有的草 ,又有每天新長(zhǎng)出的 草。由于吃草的牛頭數(shù)不,若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。解題的關(guān)鍵弄楚已知條件,進(jìn)行對(duì)比分,而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)再求出草地 里原有的草進(jìn)而解答問(wèn)題。解決多塊草地的方法多塊草地的“牛吃草”問(wèn)題 ,一情況下找多塊草地的最小公倍數(shù) ,這可以減少運(yùn)算難度 , 但如果數(shù)據(jù)較大我們一般把面積統(tǒng)一1相對(duì)簡(jiǎn)單些。精解名題例 1 牧場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草,每天都勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供 27 頭牛 6 天或 23 頭吃 9 天問(wèn) 可供 頭牛幾天？【分析片場(chǎng)上的牧草的數(shù)每天在變化題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量即原 來(lái)的牧草數(shù)量因總草量可以成兩部分有的草與新長(zhǎng)出的

6、草新長(zhǎng)出的草雖然 在變,但應(yīng)注意到它是勻速生長(zhǎng),而這片牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出飛草的數(shù)量也是不變的。舉一反三【思考 1】一片草地,每天都勻長(zhǎng)出青,如果可供 24 頭吃 天或 頭牛 10 天,那 么可供 18 頭牛幾天？例 2 因天寒,牧場(chǎng)上的草不不生,反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場(chǎng)上的草 可供 頭牛 5 天可 頭吃 6 照此計(jì)算這個(gè)牧場(chǎng)可供多少頭牛吃 10 天【分析 1 不的,不但沒(méi)新長(zhǎng)出的,而且原有的草還在勻速減,但是 我們同樣可以用類(lèi)似的方法求出每天減少的草量和原來(lái)的草的總量舉一反三【思考 2】由于天氣逐漸變冷,牧上的草每天以固定的速度在減,經(jīng)計(jì)算牧上的草可 供 頭牛 吃 5 天或供 16 頭

7、牛吃 天。么可供 11 頭吃幾天？總結(jié)：想辦法從變化中找到不變的量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的 ,新長(zhǎng)的草雖然在變化 , 但是因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng),所以每天長(zhǎng)出的草量也是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天 新長(zhǎng)出的草問(wèn)就會(huì)迎刃而解。知識(shí)衍變例 3 兩只牛同時(shí)從一口井的井頂爬向井底。白天往下,只蝸牛的爬行速度是不同的 一只每天爬行 20 分米另只每天爬行 分米往下兩只蝸?；械乃俣葏s是相同 的結(jié)一只蝸牛恰好用了 5 個(gè)晝夜到達(dá)井,一只恰好用了 6 個(gè)夜到達(dá)井底。那,井 深多少米？例 4 一條有一個(gè)漏洞水均的速度漏進(jìn)船,發(fā)現(xiàn)時(shí)船艙內(nèi)已進(jìn)了一些水。如果用 10 人舀水3 小舀完。如果只有 個(gè)舀,要 8 小才

8、能舀完?，F(xiàn)在要想在 2 小舀完, 需要多少人舀水？【分析】典型的“牛吃草”問(wèn),找出“?！焙汀安荨笔墙忸}的關(guān)鍵解析： 把人每小時(shí)舀水量作一份。船內(nèi) 8 小時(shí)總水量與 3 小總水量之差,是多出 小進(jìn)船的水。先求出船內(nèi)每小時(shí) 進(jìn)水量：（）（83）2份再用 小時(shí)后船內(nèi)總水,減去 時(shí)的進(jìn)水,求出發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)船內(nèi)已有進(jìn)水量：23（份最后用 2 小時(shí)后船內(nèi)總水量除以時(shí)間 2 小,求出安排舀水的人數(shù)：（24）2（人舉一反三【思考 4一個(gè)水池,池底有泉水?dāng)嘤?用 10 抽水機(jī) 20 小可以把水抽,用 15 部 同的抽水機(jī) 10 小時(shí)把水抽干。那么用 25 部這的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？例 5 有一場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草,

9、牧草每勻速生這個(gè)牧場(chǎng)可供 17 牛吃 30 天可 19 頭吃 24 天現(xiàn)有若干頭牛在吃, 天后4 頭死余下的牛吃了 2 天草吃完問(wèn)來(lái)有牛 多少頭？【分析吃”問(wèn)題的特點(diǎn)是隨時(shí)間的增,研究的量也等量地增加。解答,要抓住 這個(gè)關(guān)鍵問(wèn),也就是要求出原來(lái)的量和每天增加的量各是多少。舉一反三【思考 5】一個(gè)牧場(chǎng)上的青草每都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供 27 頭吃 6 天或 23 頭 吃 9 天現(xiàn)一群牛吃了 4 天后掉 頭,余下的牛又吃了 天將草吃完牛來(lái)有多少 頭？25 頭頭每天的吃草量為 1 份新生的草量） =15 份,原有的草量為（27-15）6=72 份如兩頭牛不賣(mài),群牛在 4+4=8 天內(nèi)草 量 份。所以

10、這群牛原來(lái)有 2008=25 頭例 6 有三草,面積分別為 5 公,6 公頃 公頃地公頃的草量相同而且長(zhǎng)的一 樣快,第一塊草地可供 11 頭牛吃 10 天第二塊草地可供 12 牛吃 14 天第三塊草地可供 19 頭牛吃多少天？【分析】由題目可知,這是三塊積不同的草,為了解決這個(gè)問(wèn)題首先要將這三塊草地的 面積統(tǒng)一起來(lái)。備選例題、 畫(huà)展館 9 時(shí)開(kāi)門(mén),是早有人前來(lái)排隊(duì)等候入從第一個(gè)觀眾到,分鐘來(lái)的觀眾人 數(shù)一樣多如果開(kāi) 3 個(gè)場(chǎng), 時(shí) 分就不再有人排隊(duì)果 5 個(gè)入場(chǎng)口9 時(shí) 分就沒(méi)有 人排隊(duì)問(wèn)第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是幾時(shí)幾分？【解析把每分鐘每個(gè)入場(chǎng)口的人流量看作一份。 入場(chǎng)口 分入場(chǎng)總?cè)藬?shù)與 個(gè)場(chǎng)口

11、 5 分入場(chǎng)總?cè)藬?shù)的差就多出 鐘新增 加的人數(shù)。先求出展館門(mén)口每分鐘新增人數(shù)：（55（9）（再求出開(kāi)門(mén)時(shí)已有人數(shù)：9322.5（份最后求出展館門(mén)口累計(jì) 份人數(shù)的時(shí)間：（分鐘 時(shí)45 分 時(shí) 分所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是 8 時(shí) 分。、 某庫(kù)建有 10 個(gè)泄,現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過(guò)安全警戒,上游的河水還 在按一不變的速度增加防,需開(kāi)閘泄洪每個(gè)閘門(mén)泄洪的速度相,經(jīng)測(cè)算 若打開(kāi)一個(gè)泄洪閘,30 小水位降到安全,若開(kāi)兩個(gè)泄洪,10 小時(shí)位降到安全 線。現(xiàn)在抗洪指揮部要求在 5.5 時(shí)內(nèi)使水位降到安全,問(wèn)：至少要同時(shí)打開(kāi)幾個(gè)閘 門(mén)？4 個(gè)設(shè) 1 泄洪閘 1 時(shí)的泄水量為 1 份。（1）水庫(kù)中每時(shí)增加的上

12、游河水量（130-210）（30-10 （份）（2）水庫(kù)中原的超過(guò)安全線的水量為：（份）（3）在 小時(shí)內(nèi)共泄出的水是： 17.75（份）（4）至少要開(kāi)閘門(mén)個(gè)數(shù)為：17.755.54（個(gè)（采用“進(jìn) 1”法值）鞏固練習(xí)1.一塊牧場(chǎng)長(zhǎng)滿了草,每天均勻長(zhǎng)。這塊牧場(chǎng)的草可供 10 頭牛吃 天供 15 頭牛吃 20 天可供 頭牛吃天。 （ A. 10 B. 5 C. 20A）假設(shè) 1 頭牛 天吃草的量 1 份。每天新的草量為 (1040-1520)（40-20）=5份 那么愿草為： （份）排 5 頭牛專(zhuān)門(mén)吃每天新長(zhǎng)出的草 塊牧場(chǎng)可供 25 頭 牛吃：（25-5 ）=10 （天2.一塊草地上的草以均勻的速度

13、,如果 20 只羊 5 天以將草地上的草和新長(zhǎng)出 的草全部吃,而 14 只羊則要 10 天光。那么想用 天時(shí),把這塊草地的草吃光需要只羊。（B）A. 22 B. 23 C. 24假設(shè) 1 只羊 1 天吃草的量為 1 份。每天新生草量是（1410-205）（10-5 ）=8 （份）原草 量是：份）安排 8 只羊?qū)ｉT(mén)吃每新長(zhǎng)出來(lái)的草,4 天時(shí)吃光這塊草地共需羊： 23（只3經(jīng)測(cè)算地上的資源可供 100 人生活 100 年或 可 80 億生活 年 假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一樣的為了滿足人類(lèi)不斷發(fā)展的要,地球最 多只能養(yǎng)活（ 70 ）億人。設(shè) 1 人 1 所消耗資源為 1 份那么地球每年新生成的

14、資源量 ）（300-100）=70份）只有當(dāng)?shù)孛磕晷律Y源不少于耗點(diǎn)的資源時(shí) 地球上的資源才不于逐漸減 ,能滿足人 類(lèi)不斷發(fā)的需要。所以地球最只能養(yǎng)活： 億人）4. 快中慢車(chē)同時(shí)從 A 地發(fā)追趕一輛正在行駛的自行車(chē)三車(chē)的速度分別 是每小時(shí) 24 千、 千、 千?？燔?chē)追上自行車(chē)用了 6 小時(shí)中車(chē)追上自行車(chē)用 了 10 小,慢車(chē)追上自行車(chē)用（ 12 ）時(shí)。自行車(chē)的度是（2010-246）（10-6）=14 （千米時(shí)）三車(chē)出發(fā)自行車(chē)距 A ）6=60 （千米）慢車(chē)追上行車(chē)所用的時(shí)間為：（19-14 （小時(shí)）5. 一池中原有一些水 ,裝一根進(jìn)水管 ,若干抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水 ,若用 24 根抽水管抽

15、水,6 小時(shí)可以把中的水抽那么用 根水管（ 18 ）時(shí) 可將可將水池中的水抽干。設(shè) 1 抽水管每小時(shí)抽水量為 。（1）進(jìn)水管每時(shí)卸貨量是（218-246）（8-6 ）=12（份）（2）水池中原的水量為：72 （份）（3）16 根抽水 ,要將水池中水全部抽干需： 72 ）=18 （時(shí)）6. 某頭剖不斷有貨輪卸下貨,又不斷用汽車(chē)把貨物運(yùn),用 9 輛汽, 小 時(shí)可以把它們運(yùn)完,如用 8 輛車(chē)16 小時(shí)以把它們運(yùn)完。如果開(kāi)始只用 3 輛 車(chē)10 小后增加若干,再過(guò) 時(shí)也能運(yùn)那么后來(lái)增加的汽車(chē)是（ 19 ） 輛。設(shè)每?jī)善啃r(shí)運(yùn)的貨物為 1 份。（1）進(jìn)水管每時(shí)的進(jìn)水量為（816-912（16-12 ）

16、=5份）（2）碼頭原有物量是： （份）（3）3 輛汽車(chē)運(yùn) 10 小時(shí)后還有貨物是： 48+ （5-3）10=68（份）（4）后來(lái)增加汽車(chē)輛數(shù)是（68+45 （輛）7有一片草地,每都在勻速生這片草可供 16 頭吃 20 ,可供 80 只羊 12 天。如果一頭牛的吃草量等于 4 只羊的吃草,那么 牛與 60 只一起吃可以吃多 少天？ （1）按牛的吃量來(lái)計(jì)算 ,80 只羊相當(dāng)于 804=20 頭）牛。（2）設(shè) 1 牛 1 的吃草量為 。（3）先求出這草地每天新生長(zhǎng)的草量（1620-2012（20-12（份）（4）再求出草上原有的草量： （份）（5）最后求出 頭牛與 60 只一起吃的數(shù)：120 ）=8

17、（天）8. 現(xiàn)速度不變的甲、乙兩,果甲車(chē)以現(xiàn)在速度的 去追乙車(chē),5 小時(shí)后能 追上,如果甲車(chē)以現(xiàn)在的速度去乙,3 小時(shí)能追上。那么甲車(chē)以現(xiàn)在的速度去, 幾小時(shí)后能追上乙車(chē)15 小時(shí)設(shè)甲車(chē)現(xiàn)的速度為每小時(shí)行單“ 1么乙車(chē)的速度為： ）=0.5乙車(chē)原來(lái)甲車(chē)的距離為：7.5所以甲車(chē)現(xiàn)在的速度去追 ,追及的時(shí)間為：（1-0.5 （小時(shí)）自我測(cè)試1、牧場(chǎng)上的牧草每天均勻生,這草地可供 頭牛吃 6 ,可供 13 頭吃 12 天 多少頭牛 4 天草地的草吃?2、有牧場(chǎng),21 頭 20 天可草吃,25 頭則 15 天可將草吃,現(xiàn)有牛若干,吃 6 天后賣(mài)了 4 頭余的牛再吃 2 天將草吃問(wèn)原有牛多少?3、22

18、頭,吃 33 公畝牧場(chǎng)的草 54 夭可吃, 17 頭吃同樣牧場(chǎng) 28 公的, 天 可吃盡請(qǐng)問(wèn)幾頭牛吃同樣牧場(chǎng) 40 公畝的,24 天可吃?4、某火車(chē)站檢票口在票開(kāi)始前已有些人排,檢票開(kāi)始后每分鐘有 10 人來(lái) 隊(duì)檢票檢票口每分鐘能讓 25 檢票進(jìn)站如果只有個(gè)檢票口檢開(kāi)始 分鐘后就沒(méi)有人排隊(duì)；如果有兩個(gè)檢票,么檢票開(kāi)始后多少分鐘就沒(méi)有人排?5、甲乙丙三個(gè)倉(cāng)庫(kù)各放著同數(shù)量的大,甲倉(cāng)庫(kù)用皮帶輸送機(jī)臺(tái)和 12 個(gè) 人 5 小時(shí)把甲倉(cāng)庫(kù)搬空,乙倉(cāng)庫(kù)用皮帶輸送機(jī)臺(tái)和 28 個(gè)人 3 小把乙倉(cāng)庫(kù)搬 空倉(cāng)庫(kù)有皮帶輸送機(jī) 2 臺(tái)如要 2 小把丙倉(cāng)庫(kù)搬同時(shí)還需要多少名工?6、牧場(chǎng)上片牧草,可供 27 只羊吃 ；或者供 23 只吃 9 天如果牧草每周勻速生 長(zhǎng)可 21 只羊吃幾天7、片牧草每生長(zhǎng)的速度相同現(xiàn)在這片牧草可供 16 頭吃 20 天或可供 80只羊吃 12 天如 l 頭的吃草量等于 4 只的吃草,么 頭牛 60 只 起吃可以吃多少天?8、陜北某村有塊草場(chǎng) ,假每天草都均勻生長(zhǎng) 這片草場(chǎng)經(jīng)過(guò)測(cè)算可供 100 只羊吃 200 天或供 150 只吃 100 天問(wèn)：如果放牧 250 只羊以吃多少天?放牧這么 多羊?qū)?為防止草場(chǎng)沙化,這片地最多可以放牧多少只