1、課時講課計(jì)劃課序次號：03一、課題：1.3函數(shù)的極限二、課型：新講課三、目的要求：1.理解自變量各樣變化趨勢下函數(shù)極限的觀點(diǎn)；認(rèn)識函數(shù)極限的性質(zhì)四、教課要點(diǎn)：自變量各樣變化趨勢下函數(shù)極限的觀點(diǎn)教課難點(diǎn)：函數(shù)極限的精準(zhǔn)定義的理解與運(yùn)用五、教課方法及手段：啟迪式教課，傳統(tǒng)教課與多媒體教課相聯(lián)合六、參照資料：1.高等數(shù)學(xué)釋疑解難，工科數(shù)學(xué)課程教課指導(dǎo)委員會編，高等教育第一版社；高等數(shù)學(xué)教與學(xué)參照，張宏志主編，西北工業(yè)大學(xué)第一版社七、作業(yè)：習(xí)題131（2），2（3），3，6八、講課記錄：九、講課講課日期成效分班次析：第三節(jié)函數(shù)的極限復(fù)習(xí)1.數(shù)列極限的定義：limxna0,N,當(dāng)nN時，xna；n收斂數(shù)

2、列的性質(zhì)：獨(dú)一性、有界性、保號性、收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系在此基礎(chǔ)上，今日我們學(xué)習(xí)應(yīng)用上更加寬泛的函數(shù)的極限與數(shù)列極限不一樣的是，關(guān)于函數(shù)極限來說，其自變量的變化趨勢要復(fù)雜的多一、x時函數(shù)的極限對一般函數(shù)yf（x）而言，自變量無窮增大時，函數(shù)值無窮地靠近一個常數(shù)的情況與數(shù)列極限近似，所不一樣的是，自變量的變化能夠是連續(xù)的定義1若0，X0，當(dāng)xX時，相應(yīng)的函數(shù)值f（x）U（A，）（即|f(x)A|），則稱x時，f（x）以A為極限，記為limf（x）Ax若0，X0，當(dāng)xX時，相應(yīng)的函數(shù)值f（x）U（A，）（即|f(x)A|），則稱x時，f（x）以A為極限，記為limf（x）Ax例1證明limcosx

3、0 xx證因?yàn)閏osx0cosx1，故0，要使cosx0，只需1，xxxxx即x12所以，0，可取X12，則當(dāng)xX時，cosx0，故由定義1得xlimcosx0 x例2證明lim10 x0 x證0，要使10 x010 x，只需xlg所以可取Xlg1，當(dāng)xX時，即有10 x0，故由定義1得lim10 x0 x定義2若0，X0，當(dāng)xX時，相應(yīng)的函數(shù)值f（x）U（A，）（即|f(x)A|），則稱x時，f（x）以A為極限，記為limf（x）Ax為方便起見，有時也用以下記號來表示上述極限：注若limf(x)f（x）A（x）；f（x）A（x）；f（x）A（x）A或limf(x)A或limf(x)A，則稱y

4、A為曲線yf(x)的水xxx平漸近線由定義1、定義2及絕對值性質(zhì)可得下邊的定理定理1limf（x）A的充要條件是limf（x）limf（x）Axxx例3證明limx21xx1證0，要使x213，只需x13，而x1x1，故只需x13，x1x1即x13所以，0，可取X13，則當(dāng)xX時，有x21，故由定義2得limx21x1xx1二、xx0時函數(shù)的極限此刻我們來研究x無窮靠近x0時，函數(shù)值f（x）無窮靠近A的情況，它與x時函數(shù)的極限近似，不過x的趨勢不一樣，所以只需對x無窮靠近x0作出切實(shí)的描繪即可以下我們總假設(shè)在點(diǎn)x0的任何一個去心鄰域內(nèi)都存在f（x）有定義的點(diǎn)o定義3設(shè)有函數(shù)yf（x），其定義域

5、DfR，若0，0，使得xU（x0，）（即00 xx）時，相應(yīng)的函數(shù)值f（x）U（A，）（即f（x）A），則稱A為函數(shù)yf（x）當(dāng)xx0時的極限，記為limf（x）A，或f（x）A（xx0）xx0研究f（x）當(dāng)xx0的極限時，我們關(guān)懷的是x無窮趨近x0時f（x）的變化趨勢，而不關(guān)懷f（x）在xx0處有無定義，大小怎樣，所以定義中使用去心鄰域函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時的極限為A的幾何解說以下：隨意給定一正數(shù)，作平行于x軸的兩條直線yA和，介于這兩條直線之間是一橫條地區(qū)依據(jù)定義，關(guān)于給定的，存在著點(diǎn)0的一個鄰域yA）yf(x)xx,xxxx（x0,x的圖形上點(diǎn)的橫坐標(biāo)在鄰域（00f(x)0，當(dāng)）內(nèi)，但0

6、時，這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)知足不等式|f(x)A|,或Af(x)A亦即這些點(diǎn)落在上邊所作的橫條地區(qū)內(nèi)，如圖134所示圖134例4證明limx212x1x1證函數(shù)f（x）x21在x1處無定義0，要找0，使0 x1時，x212x1x1x1建立所以，0，據(jù)上可取，則當(dāng)0 x1時，x212建立，由定義3x1得limx212x1x1例5證明limsinxsinx0 x0證因?yàn)閟inxx，cosx1，所以sinxsinx02cosxx0sinxx0 xx022所以，0，取，則當(dāng)0 xx0時，sinxsinx0建立，由定義3得limsinxsinx0 xx0有些實(shí)質(zhì)問題只需要考慮x從x0的一側(cè)趨勢x0時，函數(shù)f（x

7、）的變化趨勢，所以引入下邊的函數(shù)左右極限的觀點(diǎn)oo定義4設(shè)函數(shù)yf（x），其定義域DfR，若0，0，當(dāng)xU(x0,)(或xU(x0,)時，相應(yīng)的函數(shù)值f（x）U（A，），則稱A為f（x）當(dāng)xx0時的左（右）極限，記為limf（x）Axx0（limf（x）A），或記為f（x0）A（f（x0）A）xx0由定義3和定義4可得下邊的結(jié)論定理2limf（x）A的充要條件是limf（x）limf（x）Axx0 xx0 xx0cosx,x0例6設(shè)f(x)，研究limf（x）1xx0 x0解x0是此分段函數(shù)的分段點(diǎn)，limf（x）limcosxcos01，而limf（x）lim（1x）1x0 x0 x0 x0

8、故由定理2可得，limf（x）1x0 x,x0，研究limf（x）例7設(shè)f(x)x01x0解因?yàn)閘imf（x）limx0，limf（x）lim11，因?yàn)閘imf（x）limf(x),x0 x0 x0 x0 x0 x0故limf（x）不存在0三、函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限性質(zhì)近似，函數(shù)極限也擁有相近似性質(zhì)，且其證明過程與數(shù)列極限相應(yīng)定理的證明過程相像，下邊未注明自變量變化過程的極限符號“l(fā)im表”示定理對任何一種極限過程均建立1獨(dú)一性定理3若limf（x）存在，則必獨(dú)一2局部有界性o定義5在xx0（或x）過程中，若M0，使xU(x0)(或xX)時，f（x）M，則稱f（x）是xx0（或x）時的有界變

9、量定理4若limf（x）存在，則f（x）是該極限過程中的有界變量證我們僅就xx0的情況證明，其余情況近似可證o若limf（x）A，由極限制義，對1，0，當(dāng)xU（x0，）時，f（x）A1，則fx0 x）1A，取M1A，由定義5可知，當(dāng)xx0時，f（x）有界注意，該定理的抗命題不建立，如sinx是有界變量，但limsinx不存在x3局部保號性oo定理5若limf（x）A，A0（A0），則U（x0），當(dāng)xU（x0）時，f（x）0（f（x）0）x0若limf（x）A，A0（A0），則X0，當(dāng)xX時，有f（x）0（f（x）0）x該定理往常稱為保號性定理，在理論上有著較為重要的作用推論在某極限過程中，若f（x）0（f（x）0），且limf（x）A，則A0（A0）4.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理6limf(x)A的充要條件是對隨意的數(shù)列nnfn0n0 xx0nxn）A，這里A可為有限數(shù)或?yàn)槎ɡ?常被用于證明某些極限不存在例1證明極限limcos1不存在0 x證取xn1，則limxnlim10，而limcos1limcos2n12nnn