1、常微分方程與動力系統(tǒng)第二章習題參考答案1.證明：因為 ）的一個基本解矩陣，由定理t)2.5 知在區(qū)間 J 上滿足矩陣微分系統(tǒng),即t)t)t)，.t)(LH)M所以由 確定的線性齊次系統(tǒng)（）必唯一。.t)t)t)At)12.證明：因為，分別是和的解，所以，.t)t)x t)xxA t)xTnakk( )d tk1 tt)dtnankkk1a na aa11 211 1k1k( )d ta aan2k1 因而A t)t)*12 222 dt nkn naa an 2nannkk1n a n akk1 1d)ddtk1k1 kk( ),) ,22k1 dtdtnkn a na k1nkknnk1 n

2、nnnnnnnnnnna a a a a a 0()kmkmkmmijijim1k1m1 k1m1k1m1k1i1 j1i1 j1n所以常數(shù)。 ( ( )t t( ( )t tkkk 13.證明：設 為系統(tǒng)的一個基本解矩陣，則由定理 2.11 知x t)x.t)是系統(tǒng)1 2.4知系統(tǒng)x t)x. t)xA t)xTT 滿足初始條件的特解為，由題可x(t ) x (t)t)t ) xt,t 0,100000 在 上有界，從而由定理 2.24 知0,知 與t) t)k k (t )01T110 t) k ,t t 和使得,利用常數(shù)變易法公式 k (t )010k t) k ,t t 220T120

3、（2.32），可知式的初始條件為因的解滿足為.y t)yBt)yy(t ) y00yt) t) t (s)B(s)y(s)dst10所以t) t ) t) (t ) (t) (t) k k ,t t 11T1001 20， 利 用 格 朗 瓦 爾 不 等 式 有t) k k x k k B(s) y(s) ds,t tty1 201 20t0B(s)dst記t設則B(s) dsyt) k k x ek kC k k ek k ( ) B t M01 21 2001 201 2有從而所以系統(tǒng)B(s) ds Bt)dt MC k k e( ) y t C x t t, tk k M1 21 200

4、t00的一切解都在0,上有界。.y t)yBt)y cos sin ett4.解：設以矩陣t為基本解矩陣的線性齊次系統(tǒng)為t)e sint costt.a t)xa t)ya a a ax則即得.( )( )tt 1112.y a t)xa t)y 2122 t a a e t sintet etttt sinta ae sinte sinte tt t tt cos sin t a ecos sintcos sin cos sin tt at atet ett a ettt1112cost a sinta costt acos sin cos t at整理得解1112sintcost a co

5、stsinte sinte cost a e costa e sinttttt21sint a sinta costsint a sinta cost2122得a costsint1.cos t x tttyax22所以齊次系統(tǒng)即為所求。a 1sintcost.y tt)x y t2a sin t25.（1）解：由 .，分離變量得dx解得由sintx xcostcostdtCexx1得t t，解得故原方程組得通解為.y Ce ey Cy CtCt1112 x Cesint（ ， 為不為零的常數(shù)）1CCy CtC1212dx dt.xt（解得得.x Cty 1y 1Cxt11xCt解得故原方程組

6、得通解為1y tCtC t xCtxC122y2d(xy)y1 (x y)6. (1) t 可化簡為xd(x y) 1t由初等積 (x y)ttC(1)2(1)0C 2x y x分法得1（）又知初值代入（）得1，所t2yCx y C t2212 x t y x以解得tt1x y tx ttd(x y)xu t（2解得（ 為常數(shù)）令 x yx y CetCdt11dxdtdudtdudu1則代入得，即兩邊積分得utut u 1 dtdtu1t1C1（ （）代回ln u1 lntCCu C e32C0300t2131Cx(11) 323xCt11原變量得得( 32131 1 3 3tyCe11tx

7、 C 0 31得解C 0ty 237證明：令（ 為常值向量），那么 ( ) ( )t t s CCt ts C12d t) dt)d t) dts) dts)dXt)， 是sC.Ct) Xt)12dtdtdtdtdtdt ( )d t的 解 ， 所 以 由 以 上 兩 式 得，t)sC t ( )1dt1 ( )d t。又因為,所以有 tsC t)X I (0)s C)2dt21。所以根據解的惟一性定理可知，(0) s)CtsC t)sC2因而有。令，代入上式得,t)t) Et)s) t)s)s t因而。 t)t)18.的初值問題可等價于積分方程x(0) x0對上述方程，應用畢卡逐次逼近法，只

8、需考慮Xt) x (s)x(s)dst0t0,，X(x ) x EX (t) Et) E (s)X (s)ds E (s)dsttX00010t0t01t (s)dst t)( (X t) E t (s)X (s)ds E(s)dsdEt (s)dst(A s d A s d( ) ) ( ) )Et (s)t A s ( ) )2210000000000111t (s)dst )(t )(X t) E t (s)X (s)ds EA s ds d( ) ) ( ) ) A s ds 2dEt (s)ds( ) ) A s ds 2( ) )A s ds 3320t00t0t0t0t0t0t0

9、11由歸納法易知顯然X t) E (s)ds ( (s)ds) ( (s)ds)ttt2nnt0t0t0，可得原方程的通解為，其Xt) lim X t)exp( (s)ds)exp( (s)ds)cttntt0t0中 c 為任意的常值列向量。x 9. (1) A的特征值為3-2 =3 的特征向量1滿X 1x 2001 x 足代數(shù)方程組量 。 同 理1以是 =3 的一個特征向( E)0 x 05 x 0 112010 對 應 的 特 征 向 量 為，故 2Py 1 01 200e3e3e PP A10 e20 e2 1（2）A 的特征方程為，解之，得特征根為0。E A i1 x對 應 于的 特

10、征 向 量1滿 足 代 數(shù) 方 程 組1iX x 21x i1所以是( E)0 i1 1X 1 i x1 i21 可得對應的一個特征向量為 A的特征值的特征向量 iY i2 121i1 1P* 11 i2組成的矩陣，其逆矩陣，所以P P1i 1iP ii i 2 2 1 i1 i1211 (e e ) ie ie )i i0 e eii ii11 cos1 sin1ei2 212 22e Aii0 e1 12 sin1cos1i ieiieiiiie ie )(e e )i iii2 22 2 211 2 1SI A( )2 ( 2)S（3從而*SS2SI A(SI ) 10S 2(SI )1

11、 0S2 e e222于是eA ( ) 110 e 2 4SS 24(*（4(SI)而S2S2 A( ) 11 S 2( )2S1S21 4于是 (SI ) eA111 310310213 10.1）解：矩陣 A 經過初等A 1210 03 B1 010 變換變?yōu)榫仃?B，則矩陣 A 與矩陣 B 有相同的特征值。矩陣 B 為分10CD塊矩陣，設,則可知 1 為 B 的一個特征值。下面求B 213的 特 征 值 。 其 特 征 方 程 為D123 ， 1det(DE) 5021112存在一個非奇異的矩陣 P，使得,所以。故P1 Je P1AJ.e edete P e P e e1J 12AJ12

12、3.x y11. (2)解：先求對應的齊次方程組的通解。特征方程為.2x yy 1，特征值為。對應于det(AE)(2)(1)0 2, 12 1122 11 滿足代數(shù)方程組 uu的特征向量11，所以 2U0U 2 1 u21u 22是對應的一個特征向量。同理可得對應于1的特征向量為 2121x e2tetU CC 12e2tet y12 xe2tet變易法，令將其代入原方程組，得C t)C t) 2e2tety125.2t.C t) t)e C t)e 5costC2t3t解 之 得1， 積 分 得12.2C t)e C t)e 0Ct) 2ttt312212C t) sin 2t2t3531

13、得 原 方 程 組 的 一 個 特 解5C t) sin tt332 2sin cos et t t1255x*e2t( sinte coste )( sinte coste ) 2t2ttt 3333sin 3cos t2e2te t y*t xe2tettt因 此 原 方 程組 的通 解 為即CC sintt2e2tety12 tx Ce2t C ett12Ce C e sintty2tt12. yx（3）解：先求對應的齊次方程組的通解。特征方程為.xy 1。特征值為。對應于的特對應det(AE) 10 , 2iiii1 121 u i11 u征向量1滿足代數(shù)方程組1是U 0U 1 1iu

14、u i22的 一 個 特 征 向 量 。 此 時 可 得 方 程 組 的 一 個 復 值 解.1costisintx y 的兩個實值Y e tsinticost.i xy解 。且 顯然它 們線 性無 關。所 以得 齊次 方程組 的通 解為 xcostsintcost，其中 ， 是不為零的常數(shù)。用常數(shù)變易CC CCsinty1212 xcostsint法 ， 令， 將 其 代 入 原 方 程 組 ， 得C t)C t) y1sint2cost.t)costC t)sint tan t1C t)costC2解 之 得 ：， 積 分 得121.C t)sintC t)cost tantC t)sin

15、ttan t2122Ct)sint1得 原 方 程 組 得 一 個 特 解 為1C t)costcost2 21 x*ttt，因此原方程組得通解為tt) tt t y*xcostsintcosttant x CcostC sinttant ，即12。CC sint2C sintC cost2y12 y12.3x2y2x yx（4）解：先求對應的齊次方程組的通解。易知特征方程為.y3 22 1特征值為。因此，齊次方程det(AE)(1) 0 1212r t rx組有形如1112 后得tee tr r ty2122 r r rr r t2(r r t)111212111221 22 比 較 t 的

16、 同 次 冪 的 系 數(shù) 可 得r r r 2(r r t)(r r t)21222211122122，即2r r 2r 0,r r 0,2r 2r r 0,r r 011122112222111222212。令，則，那么相應的特解r r ,r 2r 2rr 1 r 1r r 01222 12112111211222 x1為，令，則，那么相應的特解為e0 1r r 2r11r21 ty11222 xtt1x1tt1。因此，齊次方程組的通解為。eCeC e ttt1yy1 2 x1t用常數(shù)變易法，令，將其代入原方程組得C t)eC t)e tty112t13.t)e 2C t)te 0.Ct)t

17、Ctt解 之 得積 分 得2121.C t)e 2C t)te C t)e e tCt)15 ttttt122152t)tC1。 得 非 齊 次 方 程 組 的 一 個 特 解 為32C t)t252 128 x*t t53于是，原方程組的通解為t et eet 2 t2 t 1t1y* 352t t2525txC C tt )e x1t2t。即12CeC eet tty112t135253t ty C C tC t t )e2 22t122. xtx12.解：對于方程組，由 .，分離變量得 dx解x xcostcostdt.xxety得由得得故原方程組得.x Cey xet Cetety C

18、y CtCsint11112 x Cesint通解為（ ， 1CCy CtC12120esint0esint為，則它的基本解矩陣，又xt)C Ct) 111t2 t0 10 10e0，故。C(0) I C101101 10的特征方程。故其特征值為CE) 021得10(mod ) 1 e eiTii12ii數(shù)，特征指數(shù)。 1 0(mod ) i121213.證明：設 是系統(tǒng)（LHP）的一個基本解矩陣，由定理 2.19 可t)知，存在一個可微的周期為 T 的非奇異矩陣函數(shù),以及一個常值Pt)0矩陣 R，使得，設 J 是矩陣 R 的約當標準型，則存在非t) PtetR0奇 異 常 值 矩 陣 S 使

19、 得, 所 以S J1。根據定理 2.8，且因為 是系t) Pt).e Pt).e PtSe St)tRtSJS1tJ 1100統(tǒng)（LHP）的一個基本解矩陣，所以也是系統(tǒng)（LHP）t) PtSetJ0t)P(tetJ P(t) PtS0個特征指數(shù)是 ，則該系統(tǒng)就有形如的解，由 是一個常數(shù)，tP(teet故證明了該系統(tǒng)有一個特征指數(shù)是 的充分必要條件是該系統(tǒng)有形如的解。e .P(t)t14. 證 明 ： 系 數(shù) 矩 陣 的 特 征 方 程 為332 1 1t t t 2 123。則可得特征det(E ) 0232 21 tt1 t2 221 i值 為。 又C ( )exp( (s)ds)1,24

20、03300 coss 0，( 1 cos ) s ds 22223430(1 cos sin )s s ds sin cos sds 224 cossin 求 C 的 特 征 方 程 為eC( )e 4 sincos4ecosesin44，故得 C 2e cose 0det(EC)242e4sinecos44的特征值為。故此系統(tǒng)的特征乘數(shù)為 。4 ee1215.1）設 是系統(tǒng)（LNP）的以 T 為周期的周期解，則顯然( )t必須有。反之，設 是(LNP)的解，且下證 ( ) ( ) Tt ( ) T( )t()d tT是以 T 為周期的函數(shù)。由以及并且 tTtT f tT)(dtd tT)(可

21、得tT) t)ftT) ft) ttT f(t)dttT)|，由初值問題（1）的解得存在惟一性知 t)(0) ( ) Tt0。( ) (t tT)2）設 是以，為列向量的 階方陣，則用常nt)(t)(t)(t)(n)(1)(2)數(shù) 變 易 法 可 求 得 (LNP) 的 任 一 解 為即( )( ) t ( ) ) ) t tf dt110由 1 是以 T為周期的解得充要f d( )( t( ) ) ) t ( )ttt10T條件是，因此亦即由 f d( ) ) ) ( ) TT( T10下述方程確定其中 是 階單位矩(E T T) )f)ET1nnn0 的充要條件是即矩陣沒有( ) 0T)E

22、Tn等于1 的特征根。dx dxdy dydt d16. 解: 作變換，令，則，t，那么，原方程組 e tdt dt2x y21 變?yōu)?d，其特征方程為det(AE)(1)0，212x y d特征值為。 0, 1122 1u u 相應于的特征向量1應滿足1即0 2，令1， 0u u1u 1 2 1 u1u 2221x 則，那么相應于的特解為 01。u 22 2y 1 1u u 相應于的特征向量1應滿足1即，令1， 10u u1u 2 2 2 u2 u 2221 x則，那么相應于的特解為。u 11 1 12y 11x 所以方程組得通解為代回原變量得方程組得通解cc y12211 xc c t1x

23、 為即12 為非零常數(shù)）,cc tc c 212c c ty1 2 y1212c 2c它們的朗斯基行列式為1c c t1。在 時等Wt)cc t Ct,C 0 Wt) t 01 222于 ，但當 時，這不與定理 2.7 矛盾，因為在計算過程中t 0 Wt)0t0，所以在是都不等于零。Wt) tJ17.證明： 充分性：由式（2.88）成立，則可知零解是一直穩(wěn)定的。不 失 一 般 性 ， 令， 則 對，于是零解是全局指數(shù)有 1x t t ,t 000 xt) t)t ) x t)t ) . x Me (tt011)0000穩(wěn)定的。必要性：設系統(tǒng)（）的零解對是全局指數(shù)穩(wěn)定的。則由x 0 t 0定義

24、1.12 知道，有，使得對任何，存在,使得當M( )000時，對于一切有于x 0t t It) t)t ) x M( ). x ex (tt )1000001是 有即 證 式(tt )t)t ) M(x e0. M()e 1(tt )(tt )0000 x0（2.88）成立。18.證明：系統(tǒng)的滿足初始條件的特解為.x Ax(x )x(t ) xn00，由于它的零解是漸進穩(wěn)定的，由定義1.4 可知，對x(t)(t) (t )x100， 存 在使時 對 一 切t t有。 0, ) 0tx000，同時使得當時t0 xt) t) t )x ( ) 0( ) lim ( ) 0 x ttx01000t.

25、利 用 常 數(shù) 變 易 法 可 得 系 統(tǒng)的 解 為x ACt) x。對于上述 ，當x時，對xt)t) t )x t (sC(s)x(s)dst11000t0. x A C t x一切t t，從而可知系統(tǒng)t) C(s)dsrtt ) ( )tx00t0的一切在上有界，即它的零解對是穩(wěn)定的。對于上述( ,)t 0當時( ) 0t ( )x0t00而t) t) t )x t) t )x C(s)ds (t) (t )x 1r(tt )tx1110000000t0由迫斂性知。所以系統(tǒng)lim t) t )x 1rtt ) lim x(t) 01000tt的零解對t是漸近穩(wěn)定的。.x ACt) x019. .滿足初始條件的特解為。x Axx(