1、預(yù)測數(shù)據(jù)庫知識數(shù)據(jù)庫技能數(shù)據(jù)庫2.5 二次函數(shù)與冪函數(shù)1二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容歷年高考中多以二次函數(shù)為載體，考查數(shù)形結(jié)合及等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想2復(fù)習(xí)時要重點把握二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，尤其是二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的綜合問題，聯(lián)系圖象掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)實根的分布問題及二次函數(shù)在指定區(qū)間求參數(shù)取值范圍問題，冪函數(shù)基本概念等3本節(jié)內(nèi)容在高考中對基礎(chǔ)知識的考查多以選擇、填空題為主，對知識技能的考查多出現(xiàn)與函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)方程、不等式相結(jié)合的綜合性較強的解答題所以在教學(xué)過程中，要重視培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和效率4教學(xué)中教師可以適當(dāng)增加關(guān)于二次函數(shù)例題的講解若不足，可從經(jīng)典例題

2、備選中補充，對“預(yù)測數(shù)據(jù)庫”所列習(xí)題中，基礎(chǔ)題要求學(xué)生全部做完，但其中難度較大的題，不要求所有學(xué)生都能完成2.5 二次函數(shù)與冪函數(shù)高考問題1：考查二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用以含參數(shù)的二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值為命題對象，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對參數(shù)進(jìn)行合理分類討論是解題關(guān)鍵高考問題2：用函數(shù)研究方程和不等式利用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的方法解決二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的綜合問題，解題關(guān)鍵是用函數(shù)研究方程和不等式，多為綜合性較強的中檔偏難題高考問題3：二次函數(shù)與其他初等函數(shù)的綜合問題以常見的五種冪函數(shù)為命題對象，涉及求值、單調(diào)性、奇偶性、最值等問題，一般為選擇、填空題中的容易題1二次函數(shù)(1)

3、二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：yax2bxc(a0)頂點式：若二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(k，h)，則其解析式為f(x)a(xk)2h(a0)零點式：若二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為(x1,0)，(x2,0)，則其解析式為f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxcf(x)ax2bxc圖象定義域RR值域，)(，增減性在(，)上單調(diào)增在(，)上單調(diào)減在(，)上單調(diào)減在(，)上單調(diào)增奇偶性b0時為偶函數(shù)，b0時為非奇非偶函數(shù)對稱性圖象關(guān)于直線x成軸對稱圖形a，b，c的作用a決定圖象開口方向，a與b決定對稱軸位置，c決定圖象與y軸的交點位置，a，b，c決定圖

4、象的頂點.1(2010年遼寧模擬)若四個冪函數(shù)yxa，yxb，yxc，yxd，在同一坐標(biāo)系中的圖象如右圖，則a、b、c、d的大小關(guān)系是()(A)dcba.(B)abcd.(C)dcab. (D)abdc.【解析】令x2，顯然有2a2b2c2d，即abcd，選B.【答案】B2(2010年通州模擬)若函數(shù)f(x)x2ax(aR)，則下列結(jié)論正確的是()(A)aR，f(x)是偶函數(shù)(B)aR，f(x)是奇函數(shù)(C)aR，f(x)在(0，)上是增函數(shù)(D)aR，f(x)在(0，)上是減函數(shù)【解析】當(dāng)a0時，f(x)x2為偶函數(shù)，在(，0)上為減函數(shù)，在(0，)上為增函數(shù)；3(2010年吉林市普通中學(xué)模

5、擬)當(dāng)x(0，)時，冪函數(shù)y(m2m1)xm1為減函數(shù)，則實數(shù)m_.4(2010年南京模擬)已知函數(shù)f(x)x22x，xa，b的值域為1,3，則ba的取值范圍是_【解析】由f(x)(x1)211，知1a，b，令x22x3，則x3，1，所以1a1,1b3，故2ba4.【答案】2,4例1試求二次函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上的最小值【指點迷津】二次函數(shù)圖象的對稱軸為xa，要求函數(shù)在區(qū)間1,2上的最小值就需要看對稱軸與1,2的位置關(guān)系，為此需結(jié)合二次函數(shù)的圖象對a進(jìn)行分類討論【解析】f(x)x22ax3(xa)23a2，當(dāng)a2，即a2時，函數(shù)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，故此時最小值為f(2)4a

6、7；當(dāng)1a2，即2a1時，函數(shù)的最小值為f(-a)-a23；當(dāng)a1，即a1時，函數(shù)在區(qū)間1,2上為增函數(shù)，故此時最小值為f(1)2a4.綜上：當(dāng)a2時，最小值為4a7；當(dāng)2a1時，最小值為a23；當(dāng)a1時，最小值為2a4.【點評】 求二次函數(shù)的值域或最值，常用方法是配方法.二次函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最值在頂點或區(qū)間端點處取得，如果解析式中含參數(shù)，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象利用二次函數(shù)的單調(diào)性處理.例2已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)2x的解集為x|1x3(1)若方程f(x)6a0有兩個相等的實根，求f(x)的解析式；(2)若f

7、(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍【指點迷津】利用不等式的解集與方程根的關(guān)系進(jìn)行求解【解析】f(x)2x0的解集為x|1x3，可設(shè)f(x)2xa(x1)(x3)，且a0.因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a(a0)，(1)由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0.方程有兩個相等的根，(24a)24a9a0，【點評】 解一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0，反映在數(shù)量關(guān)系上就是考查二次方程ax2+bx+c=0的根，反映在圖形上就是考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的關(guān)系.二次函數(shù)、二次不等式、二次方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它把中學(xué)數(shù)學(xué)各個分

8、支緊緊地聯(lián)系在一起.以“三個二次”為載體，綜合二次函數(shù)、二次不等式、二次方程交叉匯合處為主干，構(gòu)筑成知識網(wǎng)絡(luò)型代數(shù)推理題，在高考試題中出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高，占據(jù)著令人矚目的地位.能力訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)xb的圖象與g(x)x23x2的圖象相切，F(xiàn)(x)f(x)g(x)(1)求實數(shù)b的值以及函數(shù)F(x)的極值；(2)若關(guān)于x的方程F(x)k恰有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍【解析】(1)依題意知，在切點處有f(x)g(x)，得12x3，故x1，函數(shù)f(x)的圖象與g(x)的圖象的切點為(1,0)，將切點坐標(biāo)代入函數(shù)f(x)xb，得b1，于是F(x)f(x)g(x)x34x25x2，故F(x)

9、3x28x5.令F(x)3x28x50，得x1或x ，列表如下：由圖象可知：f(x)，g(x)的圖象均過點(1,1)與(1,1)當(dāng)x1或x1時，f(x)g(x)；當(dāng)x1或x1時，f(x)g(x)；當(dāng)1x1且x0時，f(x)g(x)【點評】 冪函數(shù)的定義以及冪函數(shù)的性質(zhì)是解決這類問題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵，有時一一驗證反而顯得簡單，運算時注意冪運算的性質(zhì).1注意數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是研究掌握二次函數(shù)性質(zhì)的基本方法二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸等是處理二次函數(shù)問題的重要依據(jù)2二次函數(shù)、一元二次方程和不等式是一個有機的整體，要深刻理解它們之間的相互關(guān)系，用函數(shù)思想研究方程和不等

10、式才是抓住了問題的關(guān)鍵3對于二次函數(shù)的根的分布問題，需要結(jié)合二次函數(shù)的圖象，從三個方面考慮：(1)判別式；(2)區(qū)間端點函數(shù)值的正負(fù)；(3)對稱軸x 與區(qū)間端點的關(guān)系來確定在某給定范圍內(nèi)的充要條件，設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)0的實根分布如下表：實根的分布x1x2mmx1x2x1mx2x1，x2(m，n)x1，x2有且僅有一個在(m，n)內(nèi)且f(m)f(n)0圖象充要條件f(m)0f(m)f(n)0例1某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出去的自行車

11、就增加3輛為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后的所得)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式及其定義域；(2)當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使一日的凈收入最多？基礎(chǔ)過關(guān)1(2010年廣州市育才中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)3ax2bx5ab是偶函數(shù)，且其定義域為6a1，a，則ab等于()(A) .(B)1.(C)1.(D)7.3(2010年哈爾濱模擬)已知冪函數(shù)yxm22m3(mN*)的圖象與x軸、y軸無交點且關(guān)于原點對稱，則m_.【解析】由已知，有m2

12、2m30，得1m3，又mN*，所以m1,2，當(dāng)m1時，yx4關(guān)于y軸對稱，故m取2.【答案】24(2010年江蘇揚州模擬)對于在區(qū)間a，b上有意義的兩個函數(shù)m(x)與n(x)，如果對于區(qū)間a，b中的任意x均有|m(x)n(x)|1，則稱m(x)與n(x)在a，b上是“密切函數(shù)”，a，b稱為“密切區(qū)間”，若函數(shù)m(x)x23x4與n(x)2x3在區(qū)間a，b上是“密切函數(shù)”，則ba的最大值為_【解析】令|(x23x4)(2x3)|1，解得2x3，故ba1.【答案】15(2010年北京模擬)已知函數(shù)f(x)4x24axa22a2在區(qū)間0,2上有最小值3，求a的值8(2010年四川模擬)設(shè)b0，二次函

13、數(shù)yax2bxa21的圖象為下列之一，則a的值為_9(2010年南通模擬)函數(shù)f(x)mx2x1在(0,1)內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_【解析】由已知f(0)f(1)0，解得m2.【答案】(2，)拓展探究11(2010年蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)|x22axb|(xR)，則下列命題中正確的是_f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)f(0)f(2)時，f(x)的圖象必關(guān)于直線x1對稱；若a2b0，則f(x)在區(qū)間a，)上是增函數(shù)；f(x)有最大值|a2b|.【解析】要使f(x)是偶函數(shù)，則a0，排除；當(dāng)函數(shù)g(x)x22axb與x軸有兩個交點時，則f(x)|x22axb|的圖象上對應(yīng)同一函數(shù)值的自變量x會出現(xiàn)四個，故當(dāng)f(0)f(2)時，f(x)的圖象不一定關(guān)于直線x1對稱，排除；當(dāng)a2b0時，函數(shù)g(x) x22axb的判別式4(a2b)0，則f(x)的圖象開口向上，與x軸最多有一個交點，在區(qū)間a，)上是增函數(shù)，正確；由于f(x)的圖象開口向上，故無最大值，排除.【答案】12(2010年上海市高三模擬)經(jīng)濟(jì)學(xué)中，定義Mf(x)f(x1)f(x)為函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)某企業(yè)每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置已知每生產(chǎn)x臺(xN)的收入函數(shù)為R(x)3000