1、第六章 幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng)第一節(jié) 半群與群內(nèi)容：半群，群，子群。重點(diǎn)：1、半群，可交換半群，獨(dú)異點(diǎn)的定義，2、群，交換群 (阿貝爾群)的定義及性質(zhì)，3、群的階的定義，4、循環(huán)群，生成元的定義及例子，5、子群的定義及判定。一、半群。1、定義：滿足結(jié)合律的代數(shù)系統(tǒng)稱(chēng)為半群。例1、(1) ，都是半群。(2)是半群。(3)是半群，其中表示集合的對(duì)稱(chēng)差運(yùn)算。一、半群。1、定義：滿足結(jié)合律的代數(shù)系統(tǒng)稱(chēng)為半群。(4) 是半群，其中表示模，的加法。可交換半群2、獨(dú)異點(diǎn) (含幺半群)：記作如例1中除了不是獨(dú)異點(diǎn)外，其余的均是獨(dú)異點(diǎn)，分別記作，。3、半群中元素冪。定義運(yùn)算的冪，指的是：(為正整數(shù))( 為非負(fù)整數(shù))

2、4、子半群。半群的子代數(shù)叫子半群，獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫子獨(dú)異點(diǎn)。例如：，都是的子半群，且是的子獨(dú)異點(diǎn)。二、群。1、定義。代數(shù)系統(tǒng)滿足：結(jié)合律，有幺元，任意元有逆元，則稱(chēng)為群。例2、(1) ，都是群，因任意元素的逆元存在，而，不是群，沒(méi)有幺元，除0外，其余元素都沒(méi)有逆元。(2)不是群，因不是所有的階矩陣都可逆。(3)是群，為幺元，(4)是群，0為幺元，2、交換群 (也稱(chēng)阿貝爾群)。如例2中的，都是阿貝爾群。，例3、四元群。，運(yùn)算由下表給出：3、群的階。有限群的階，記。例如：的階為，四元群的階為4。4、群中元素的冪。對(duì)于群，定義：則可以把獨(dú)異點(diǎn)中的關(guān)于的定義擴(kuò)充為：為非負(fù)整數(shù))(為正整數(shù))(有關(guān)冪的兩

3、個(gè)公式：5、群中元素的階 (或周期)。群中元素的階成立的最小正整數(shù) 使。例如：四元群中， 的階都是2，記。的階為1，記。例4、，求模6的加群中各元素的階。解：因，即，所以。同理可得：，。6、群的性質(zhì)。(1)，。(2) 若，則中無(wú)零元。(3) 中消去律成立，即若，則，若，則。6、群的性質(zhì)。(4) 幺元是群中唯一的冪等元。不同行 (列)的排列不同。(5)，方程和在中有唯一解。(6) 有限群的運(yùn)算表中，每一行 (每一列)都是 中元素的一個(gè)排列。例5、證明是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)，。證明：設(shè)為阿貝爾群，則，有，故例5、證明是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)，。證明：反之，設(shè)，即，即，由消去律，得 ，故為阿貝爾群。例6、

4、如果中的每一個(gè)元素都滿足，則是阿貝爾群。證明：，由題設(shè)知，從而，所以是阿貝爾群。例7、設(shè)群不是阿貝爾群，則中存在兩個(gè)非幺元的元素，使得。證明：(1) 先證存在，使。事實(shí)上，若，都有，即由例6知，是阿貝爾群，與題設(shè)矛盾。(2) 再證結(jié)論成立。設(shè)，令，則非幺元，且，但。三、子群。1、定義： 設(shè)群，是的非空子集，若為群，則稱(chēng)為的子群，記作。例8、(1) 群，令，則是的子群，同樣，也是的子群。三、子群。1、定義： 設(shè)群，是的非空子集，若為群，則稱(chēng)為的子群，記作。例8、(2)四元群，有5個(gè)子群：，其余均為真子群。其中和是平凡子群，2、判定。定理：設(shè)為群，是的非空子集，若對(duì)任意，都有，則是的子群。例9、設(shè)

5、和都是群的子群，證明也是的子群。證明：(1) 先證非空。因?yàn)榈淖尤?，故，從而，因此，非空。?、設(shè)和都是群的子群，證明也是的子群。因都是的子群，故，從而，證明：(2)，則且，由判定定理知，為的子群。思考：若為群的子群，問(wèn)是的子群?jiǎn)幔?、生成子群，中心。(1) 生成子群：設(shè)為群，記例10、，群中由2生成的子群同理，。3、生成子群，中心。(1) 生成子群：設(shè)為群，記(2) 中心：設(shè)為群，記，稱(chēng)為群的中心。四、循環(huán)群。1、定義：群中若存在使得，則稱(chēng)為循環(huán)群，記，稱(chēng)為的生成元。在循環(huán)群中，生成元的階與群的階一樣。循環(huán)群都是阿貝爾群。循環(huán)群的子群都是循環(huán)群。2、循環(huán)群的典型例子。例11、是循環(huán)群，其生成

6、元為1和1，因?yàn)槿魏握麛?shù)都可由若干個(gè)1或者若干個(gè)1相加而得到。是無(wú)限階循環(huán)群，其子群除了外都是無(wú)限階循環(huán)群，如，其中例12、是階循環(huán)群，中與互質(zhì)的數(shù)均可作為生成元。階循環(huán)群的子群的階都是 的正因子，對(duì)于的每個(gè)正因子，在中只有一個(gè)階子群，就是由生成的子群。如：，其生成元有(均與12互質(zhì))。即12的正因子有，則的子群有：1階子群2階子群3階子群12的正因子有，則的子群有：4階子群6階子群12階子群第二節(jié) 環(huán)與域 內(nèi)容：環(huán)，域。了解：環(huán)與域的定義及例子。一、環(huán)。定義：設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，為集合，為二元運(yùn)算，若(1)為阿貝爾群。(2)為半群。(3) 乘法對(duì)加法+適合分配律。則稱(chēng)是環(huán)。例1、，都是環(huán)。是環(huán)。是

7、模的整數(shù)環(huán)。其中表示模的加法和乘法，。二、域。定義：環(huán)滿足：(1)至少兩個(gè)元素，(2)含有幺元，(3)是可交換的，(4)除加法幺元外，其余元素均有逆元，則稱(chēng)為域。例2、，都是域，但不是域，因?yàn)椴皇浅?外，其余元素都有逆元。不是域，因不是可交換的。是域，但不是域。，但不存在乘法的逆元，使()令，則為域。第三節(jié) 格與布爾代數(shù) 內(nèi)容：格，格的性質(zhì)，布爾代數(shù)。重點(diǎn)：格與布爾代數(shù)的有關(guān)概念及例子。一、格的概念。定義：設(shè)是偏序集，如果對(duì)，都有最小上界 (記)和最大下界 (記)，則稱(chēng)關(guān)于構(gòu)成一個(gè)格。格也記作。例1、設(shè)為正整數(shù)， 表示的所有正因子的集合，表示整除關(guān)系，則構(gòu)成格。的最小公倍數(shù)的最大公約數(shù)如：，下

8、圖給出了格，下圖給出了格，例2、判斷下圖中的偏序集是否構(gòu)成格，并說(shuō)明理由。二、格的性質(zhì)。1、對(duì)偶原理：設(shè)是含有格中的元素以及符號(hào)的命題，令是將中的分別改寫(xiě)成所得到的命題，稱(chēng)為切格為真。也對(duì)一對(duì)一切格為真，則的對(duì)偶命題。若2、性質(zhì)：設(shè)為格，則運(yùn)算和適合交換律，結(jié)合律，冪等律和吸收律，即，有(1) 交換律，(2) 結(jié)合律，2、性質(zhì)：設(shè)為格，則運(yùn)算和適合交換律，結(jié)合律，冪等律和吸收律，即，有(3) 冪等律，(4) 吸收律，三、分配格，有界格，有補(bǔ)格。1、分配格滿足分配律的格。2、有界格有全上界，全下界的格。 全上界記為1，全下界記為0，有界格也記為三、分配格，有界格，有補(bǔ)格。4、有補(bǔ)分配格有補(bǔ)格且是

9、分配格。3、有補(bǔ)格有界格，若對(duì)存在的補(bǔ)元(記)，使，則稱(chēng)為有補(bǔ)格。例3、所有的有限格 (指格中的元素有限個(gè))都是有界格。如例1中，格中的全上界為，全下界為1。但和不是有補(bǔ)格 (思考：為什么？)是有補(bǔ)格，互為補(bǔ)元，互為補(bǔ)元。是有補(bǔ)格，互為補(bǔ)元，2與15，3與10，5與6互為補(bǔ)元。例4、判斷下圖中所表示的格是否有補(bǔ)格。不是有補(bǔ)格是有補(bǔ)格是有補(bǔ)格5、有補(bǔ)分配格中任意元素的補(bǔ)元是唯一的。四、布爾代數(shù)。1、定義：有補(bǔ)分配格稱(chēng)布爾代數(shù)，記為，其中“ ”表示求補(bǔ)運(yùn)算。例5、(1) 開(kāi)關(guān)代數(shù)是布爾代數(shù)，其中為與運(yùn)算，為或運(yùn)算，為非運(yùn)算。 例5、(2) 集合代數(shù)是布爾代數(shù)。以下分別是的圖2、性質(zhì)。設(shè)為布爾代數(shù)，

10、則(1)，(2)，德摩根律3、有限布爾代數(shù)的表示定理。對(duì)每個(gè)有限布爾代數(shù)，都存在一個(gè)有限集合，使得與其同構(gòu)。由這個(gè)定理知，有限布爾代數(shù)的元素只能是個(gè)，即。不是布爾代數(shù)是布爾代數(shù)第六章 小結(jié)與例題一、半群與群。1、基本概念。半群，可換半群，獨(dú)異點(diǎn)；群，阿貝爾群，循環(huán)群；有限群，無(wú)限群；群的階；子群。2、運(yùn)用。(1) 判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為半群，獨(dú)異點(diǎn)，群。(2) 判斷群 (半群，獨(dú)異點(diǎn))的一個(gè)子集是否構(gòu)成子群 (子半群，子獨(dú)異點(diǎn))。一、半群與群。1、基本概念。半群，可換半群，獨(dú)異點(diǎn)；群，阿貝爾群，循環(huán)群；有限群，無(wú)限群；群的階；子群。2、運(yùn)用。(3) 求一個(gè)群的所有子群。二、環(huán)與域。基本概念：環(huán)

11、；域。三、格與布爾代數(shù)。1、基本概念。格；分配格，有界格，有補(bǔ)格；布爾代數(shù)。判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為格，布爾代數(shù)。2、運(yùn)用。例1、為正整數(shù)集，定義，問(wèn)是半群?jiǎn)幔渴仟?dú)異點(diǎn)嗎？是群?jiǎn)幔拷猓阂蚴巧系亩\(yùn)算，且滿足結(jié)合律，故是半群；1是的幺元，故是獨(dú)異點(diǎn)， 但中除1外其余元素均無(wú)逆元，故不是群。例2、設(shè)是半群，且，求證：。證明：因?yàn)椋捎谑前肴?，運(yùn)算封閉，因此或若，則若，則故不論怎樣，都有。例3、舉兩個(gè)是獨(dú)異點(diǎn)，但不是群的例子。解：(1)，其中是實(shí)數(shù)集，為數(shù)的乘法，是半群，且1為幺元，故為獨(dú)異點(diǎn)，但，0無(wú)逆元，故不是群。(2)，其中為全體有理數(shù)矩陣的集合，為矩陣的乘法運(yùn)算。顯然對(duì)封閉，滿足結(jié)合律，幺元

12、是階單位矩陣，因此是獨(dú)異點(diǎn)。例3、舉兩個(gè)是獨(dú)異點(diǎn)，但不是群的例子。解：(1)，其中是實(shí)數(shù)集，為數(shù)的乘法，是半群，且1為幺元，故為獨(dú)異點(diǎn)，但，0無(wú)逆元，故不是群。(2)，其中為全體有理數(shù)矩陣的集合，為矩陣的乘法運(yùn)算。但中行列式值為0的矩陣都無(wú)逆矩陣，故不是群。例4、定義上的二元運(yùn)算如下：其中+是實(shí)數(shù)集 上的普通加法。(1)是半群?jiǎn)?？解：運(yùn)算封閉，且滿足結(jié)合律， 故是半群。(2)是獨(dú)異點(diǎn)嗎？解：是幺元，故是獨(dú)異點(diǎn)。例4、定義上的二元運(yùn)算如下：其中+是實(shí)數(shù)集 上的普通加法。(3)是群?jiǎn)幔拷猓?，故是的逆元，所以是群。?、定義上的二元運(yùn)算如下：其中+是實(shí)數(shù)集 上的普通加法。(4)是阿貝爾群?jiǎn)幔拷猓簼M足

13、交換律，是阿貝爾群。例5、對(duì)以下定義的集合和運(yùn)算判斷它們是不是代數(shù)系統(tǒng)，若是，再判斷是不是半群，獨(dú)異點(diǎn)， 群，布爾代數(shù)？(1)為普通乘法。，解：因?yàn)閷?duì)乘法不封閉，故不構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)。例5、對(duì)以下定義的集合和運(yùn)算判斷它們是不是代數(shù)系統(tǒng)，若是，再判斷是不是半群，獨(dú)異點(diǎn)， 群，布爾代數(shù)？(2)，有。解：是代數(shù)系統(tǒng)，且可結(jié)合，故是半群。但無(wú)幺元，不是獨(dú)異點(diǎn)。例5、對(duì)以下定義的集合和運(yùn)算判斷它們是不是代數(shù)系統(tǒng)，若是，再判斷是不是半群，獨(dú)異點(diǎn)， 群，布爾代數(shù)？(3)為普通乘法。，解：在乘法下封閉，結(jié)合律成立，幺元是1，是獨(dú)異點(diǎn)，但0無(wú)逆元，不是群。例5、對(duì)以下定義的集合和運(yùn)算判斷它們是不是代數(shù)系統(tǒng)，若是，再判斷是不是半群，獨(dú)異點(diǎn)， 群，布爾代數(shù)？(4)為整除關(guān)系。，解：是格，又與所以是布爾代數(shù)。的集合代數(shù)同構(gòu)，例6、設(shè)是一個(gè)群，定義，證明也是一個(gè)群。證明：顯然，是上的二元運(yùn)算，例6、設(shè)是一個(gè)群，定義，證明也是一個(gè)群。證明：(1) 證結(jié)合律成立。，有例6、設(shè)是一個(gè)群，定義，證明也是一個(gè)群。證明：(2)