1、大 學(xué) 物 理量 子 力 學(xué) 基 礎(chǔ)9/14/20221第23章 量子物理基礎(chǔ)23.1 實(shí)物粒子的波粒二象性23.2 不確定性原理23.3 波函數(shù)23.4 薛定鍔方程23.5 一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子運(yùn)動(dòng)23.6 薛定鍔方程應(yīng)用在氫原子26.7 多電子的原子系統(tǒng) 原子的殼層結(jié)構(gòu)9/14/20222光具有波粒二像性： 德布羅意(Louis Victor de Broglie)提出既然光有二像性，那么一般實(shí)物粒子也應(yīng)該有二像性。既實(shí)物粒子除了我們熟悉的粒子性的一面，還有其波動(dòng)性的另一面。23.1 實(shí)物粒子的波粒二像性9/14/20223波動(dòng)性：粒子性：粒子也具有波粒二像性！德布羅意方程人們將實(shí)物粒子

2、的波現(xiàn)象稱為de Broglie波9/14/20224德布羅意 de Broglie9/14/20225(a)對(duì)于電子此波長(zhǎng)可與原子大小相比,能被觀察到。對(duì)實(shí)物粒子德布羅意波波長(zhǎng)的估計(jì)： 一般粒子的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速, 粒子的質(zhì)量可近似為靜止質(zhì)量。9/14/20226(c)人m=80kg，v =1m/s(b)對(duì)于塵埃粒子原子核大小: 10-14m.波長(zhǎng)太小不能被觀察到.9/14/202274.戴維遜革末實(shí)驗(yàn)（電子衍射實(shí)驗(yàn)）革末(右)( Lester Halbert Germer 1896 1971 ) 戴維森(左) ( Clinton Joseph Davisson 1881 1958 )原理

3、：晶體的x射線衍射 將X射線衍射試驗(yàn)中的X射線束用電子束替換,以觀察電子衍射。9/14/20228Ni晶體54V已知d及亮斑的位置，可求入射粒子的波長(zhǎng)。電子用電場(chǎng)加速：9/14/20229粒子的de Broglie波波長(zhǎng)極短。 粒子有波動(dòng)性，則粒子也應(yīng)有波的一切性質(zhì)，如干涉、衍射等。9/14/202210電子的衍射：電子由電場(chǎng)加速后，其波長(zhǎng)為：電子流通過(guò)“光柵”后極大的角度為：在500的方位第一次測(cè)得電流極大。9/14/202211U54V電子有波動(dòng)性！ 電子衍射實(shí)驗(yàn)證明了物質(zhì)波假設(shè)的正確性，微觀粒子的行為確實(shí)具有波動(dòng)性。既然實(shí)物粒子都具有波性，為什么在牛頓力學(xué)中從未考慮？如考慮是否會(huì)有很大的

4、偏差？電子的衍射：9/14/202212例.m=60g v=100m/s的子彈，相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)多少？ 如此小的波長(zhǎng)只能在10-34m量級(jí)的縫隙中才能觀察到衍射效應(yīng)注意這里 h10-34，若h10-2 則子彈10-2注意：關(guān)系式兩式完全獨(dú)立但對(duì)光子有 所以兩式不獨(dú)立解：波動(dòng)性（微觀）粒子性（宏觀）9/14/202213例.設(shè)氫原子的動(dòng)能等于氫原子處于溫度為 T = 300K 的熱平衡狀態(tài)時(shí)的平均動(dòng)能，氫原子的質(zhì)量為 m, 求此氫原子的德布羅意波長(zhǎng)。 解：氫原子的動(dòng)能9/14/202214例.如圖所示，一束動(dòng)量為p的電子，通過(guò)縫寬為a的狹縫，在距離狹縫為R處放置一熒光屏，求屏上衍射圖樣中央最大

5、的寬度d。解：電子的波長(zhǎng)：9/14/20221523.2 不確定性關(guān)系1. 非經(jīng)典粒子以光子的概念理解光的偏振光子通過(guò)偏振器件。 相同狀態(tài)的光子，在相同的物理環(huán)境下。光子有時(shí)能通過(guò)有時(shí)不能通過(guò)。光子通過(guò)偏振器件具有隨機(jī)性。光子少了？9/14/202216接收器A單粒子半透鏡接收器B接收器B接收器A半透鏡單粒子反射鏡單光子干涉實(shí)驗(yàn)量子干涉波動(dòng)性（微觀）粒子性（宏觀）單光子干涉實(shí)驗(yàn)單個(gè)光子分別通過(guò)實(shí)驗(yàn)裝置9/14/2022172. 不確定關(guān)系（以電子的衍射說(shuō)明之）極小，極大，對(duì)于單狹縫：中央極大9/14/202218中央極大動(dòng)量不確定量為：僅考慮中央極大：考慮到高級(jí)衍射：9/14/202219考慮

6、到高級(jí)衍射：精確結(jié)果為：Heisenberg 海森堡不確定關(guān)系9/14/202220精確結(jié)果為：德布羅意波的物理意義： 作為實(shí)物粒子在空間運(yùn)動(dòng)，在某一時(shí)刻出現(xiàn)在空間的某一位置具有偶然性；粒子的波動(dòng)性在于粒子在整個(gè)空間中不同位置出現(xiàn)的概率不同，而概率大小的變化在空間中有周期性；既粒子的波動(dòng)性。經(jīng)典物理中的粒子軌道在這樣的圖象下已不存在。玻恩(Born1926)提出概率波的概念9/14/202221 宏觀物體的德布羅意波長(zhǎng)短，其波動(dòng)性對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略，仍然可以近似的用牛頓方程描述，但是像電子一類的微觀粒子，波動(dòng)性對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響不能忽略。微觀與宏觀的分界是普朗克常數(shù)h。例.電子顯像管中,電子的加速

7、電壓為 9kV,電子槍口直徑為0.1mm.求:電子射出槍口后的速度不確定量。解：電子經(jīng)9kV電壓加速的速度為即：微觀粒子在宏觀尺度范圍波動(dòng)效應(yīng)可忽略。9/14/202222例.設(shè)子彈的質(zhì)量為0.01kg, 槍口的直徑為0.5cm， 試用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系計(jì)算子彈射出槍口的橫向速度。 解： 據(jù)不確定關(guān)系取槍口的直徑 =而即得即:微觀粒子的波粒二象性規(guī)律不會(huì)影響宏觀粒子。9/14/202223例. 原子的線度是10-10m, 用不確定關(guān)系討論原子中電子的速度的不確定量。 動(dòng)量的不準(zhǔn)確量為電子的速度的不確定量為結(jié)論: 不能用經(jīng)典理論計(jì)算原子核外電子的速度。原子中確定電子位置的不準(zhǔn)確量為解：經(jīng)典力學(xué)算氫原子的

8、電子在軌道上速度：9/14/20222426.3 波函數(shù)宏觀物體的描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：運(yùn)動(dòng)規(guī)律:微觀物體的描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：運(yùn)動(dòng)規(guī)律：波函數(shù)薛定諤方程 由于微觀粒子的運(yùn)動(dòng)伴隨著波動(dòng)性, 人們不得不用波函數(shù)來(lái)描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。9/14/202225 由經(jīng)典物理知：頻率為 、波長(zhǎng)為 、沿 X 方向傳播的平面余弦波可表示為:上式用復(fù)數(shù)表示為：考慮到與自由粒子對(duì)應(yīng)的平面波，具有粒子性，應(yīng)該在波函數(shù)引入反映粒子性的物理量。1. 波函數(shù)9/14/202226將波粒二象性關(guān)系式得：代入 將上述波函數(shù)推廣到三維空間：共厄函數(shù)為：粒子的德布羅意波波函數(shù)9/14/202227自由粒子的德布羅意波波函數(shù)2.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

9、（物理意義）光波波動(dòng)：衍射圖樣最亮處， 光振動(dòng)的振幅最大，強(qiáng)度：IA2微粒：衍射圖樣最亮處， 射到此的光子數(shù)最多，強(qiáng)度：IN物質(zhì)波波動(dòng)：電子波的強(qiáng)度微粒：9/14/2022282.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（物理意義）結(jié)論： 某時(shí)刻在空間某地點(diǎn)，粒子出現(xiàn)的概率正比于該時(shí)刻、該地點(diǎn)的波函數(shù)模的平方。* 對(duì)微觀粒子，討論其運(yùn)動(dòng)軌道及速度是沒(méi)有意義的, 波函數(shù)所反映的只是微觀粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。波函數(shù)描述粒子在空間中出現(xiàn)的概率德布羅意波 概率波9/14/202229波函數(shù)描述粒子在空間中出現(xiàn)的概率xyz設(shè)粒子在 dV 中出現(xiàn)的概率為P 概率密度： 某時(shí)刻、在空間某地點(diǎn)附近單位體積內(nèi),粒子出現(xiàn)的概率9/14/2

10、02230 xyz概率密度：某時(shí)刻、在空間某地點(diǎn)附近單位體積內(nèi),粒子出現(xiàn)的概率粒子在全空間中出現(xiàn)的概率必定是1，則：波函數(shù)的歸一化條件9/14/202231波函數(shù)滿足規(guī)一化條件，此外波函數(shù)具有單值、有限、連續(xù)的性質(zhì)。單值、連續(xù):一定時(shí)刻，在空間某點(diǎn)附近，單位體 積內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率應(yīng)有一定的量值.有限: （保證其平方可積） 所謂求粒子的運(yùn)動(dòng)就是在不同的物理?xiàng)l件下求出具體的波函數(shù)，得到波函數(shù)就得到粒子在空間中某點(diǎn)出現(xiàn)的概率。關(guān)鍵在于找到波函數(shù)所滿足的方程。9/14/202232經(jīng)典力學(xué)：位置 r動(dòng)量 mv軌跡 f（x，y）0量子力學(xué)：位置：動(dòng)量薛定鍔方程能量 動(dòng)能、勢(shì)能能量單一取值力學(xué)量按不同概

11、率取不同的可能值9/14/20223323.4 薛定鍔方程(運(yùn)動(dòng)方程)1.薛定鍔方程薛定鍔方程牛頓方程量子力學(xué)基本方程，不能由基本原理導(dǎo)出。波函數(shù)滿足:規(guī)一化條件及單值、有限、連續(xù)的性質(zhì) 含時(shí)薛定鍔方程 中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)的粒子在勢(shì)場(chǎng)是質(zhì)量為9/14/202234粒子在三維空間運(yùn)動(dòng)：三維空間的薛定鍔方程9/14/202235 粒子的受力不同，其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律也不同。當(dāng)粒子所在的勢(shì)場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)，V=V(r)定態(tài)問(wèn)題定態(tài)問(wèn)題粒子的波函數(shù)可以表達(dá)成：9/14/2022362. 定態(tài)問(wèn)題方程兩邊必須等于同一常數(shù)，上式才可能成立。設(shè)這個(gè)常數(shù)為E。9/14/202237設(shè)這個(gè)常數(shù)為E：積分由于指數(shù)是純數(shù)(無(wú)量

12、綱)，E有能量的量綱.E 就是粒子的總能量9/14/202238定態(tài)薛定鍔方程概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)的狀態(tài)定態(tài)定態(tài)時(shí), 粒子具有確定的總能量E。9/14/202239例 一維運(yùn)動(dòng)的自由粒子方程的通解自由粒子波函數(shù)用復(fù)數(shù)表示9/14/202240 23.5 薛定鍔方程的應(yīng)用 一維勢(shì)阱對(duì)于一維彈簧振子:9/14/202241定態(tài)薛定鍔方程一維問(wèn)題定態(tài)問(wèn)題一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子運(yùn)動(dòng)xV0a0V 為簡(jiǎn)化計(jì)算近似用無(wú)限深勢(shì)阱代替拋物線勢(shì)阱。勢(shì)阱外9/14/202242勢(shì)阱內(nèi)勢(shì)阱外 阱外的波函數(shù)恒為零，粒子在阱外出現(xiàn)的概率為零，粒子不可能脫離勢(shì)場(chǎng)約束，被限制在阱內(nèi)。粒子的狀態(tài)為束縛態(tài)。阱內(nèi)解9/14/2022

13、43阱內(nèi)解利用波函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)，可以確定c1、c2 阱外解阱內(nèi)解9/14/202244用波函數(shù)的歸一化條件：阱內(nèi)解：9/14/202245粒子的波函數(shù)是：粒子在阱外出現(xiàn)的概率是零，粒子只能在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且在阱內(nèi)出現(xiàn)的的概率密度值隨x周期變化。粒子出現(xiàn)的概率是：9/14/202246出現(xiàn)能量量子化 n取不同的值，稱粒子處在不同的能級(jí)上。n 稱為能量量子數(shù)。n等于1時(shí)，稱其為基態(tài)。9/14/2022479/14/202248有限深勢(shì)阱波函數(shù)與概率分布9/14/202249一維彈簧振子:對(duì)于非簡(jiǎn)化勢(shì)阱：9/14/202250諧振子波函數(shù)與概率分布9/14/202251例. 在寬度為 a 的一維無(wú)限深方

14、勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的電子解 (1)求(1)基態(tài)能量(2)基態(tài)德布羅意波長(zhǎng)(3)(4)已知： (2)電子的質(zhì)量9/14/202252求(3)n=1 時(shí)，幾率密度最大的位置 幾率密度： 由倍角公式，上式為：將 n=1 代入此式：9/14/202253(4)求處在基態(tài)的粒子在 a/4 3a/4范圍內(nèi)的幾率9/14/202254定態(tài)薛定鍔方程定態(tài)9/14/20225523.8 氫原子的量子力學(xué)處理一、氫原子定態(tài)薛定鍔方程求解電子運(yùn)動(dòng)時(shí)所處的電勢(shì)：這是一個(gè)球?qū)ΨQ的勢(shì)場(chǎng)。電子系統(tǒng)的勢(shì)能為：定態(tài)問(wèn)題9/14/202256在球坐標(biāo)中：定態(tài)問(wèn)題：9/14/202257得到三個(gè)方程:分別解出：是常數(shù)9/14/202258

15、氫原子能量量子化玻爾的結(jié)果是：薛定鍔方程的解:與玻爾的結(jié)果一致，但能量量子化的引入沒(méi)有任何強(qiáng)加或假設(shè)。二、氫原子能量和角動(dòng)量量子化9/14/202259當(dāng) E 0 ，氫原子的電子能量足以克服原子核的束縛時(shí)，電子電離，是自由電子，能量取連續(xù)值。當(dāng) E 0，氫原子的電子為原子核束縛，在束縛態(tài)下，原子能量取值是分立值。且與玻爾的表達(dá)式相同。 n 決定原子的能量n 稱為原子能量的主量子數(shù)。9/14/202260玻爾理論：定態(tài)薛定鍔方程理論： 原子系統(tǒng)不僅能量量子化，而且電子繞核運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量矩也是量子化的。氫原子系統(tǒng)的角動(dòng)量量子化9/14/202261 當(dāng)主量子數(shù)確定后，電子繞核運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量矩可以取不同的值

16、。取值由l 確定，l 稱為副量子數(shù)或角量子數(shù)。 為與主量子數(shù)區(qū)別，副量子數(shù)還常用字母表示，字母與數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：9/14/202262 確定氫原子的狀態(tài)需要用兩個(gè)量子數(shù)表示，以同時(shí)表示系統(tǒng)的能量和角動(dòng)量，例如：其中：態(tài)表示：9/14/202263氫原子系統(tǒng)的空間量子化 氫原子系統(tǒng)的主副量子數(shù)確定后，電子在核周圍運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量方位還可以不同，但是其取向不能連續(xù)改變，只能取一些特定的方向。9/14/202264 一般條件下電子的空間量子化為隱含量，不對(duì)外顯示，系統(tǒng)能量?jī)H由主、副量子數(shù)決定。是單一的能級(jí)。 在外界磁場(chǎng)B作用下，磁場(chǎng)賦予原子系統(tǒng)附加的能量，結(jié)果使原子系統(tǒng)的單一能級(jí)裂變變?yōu)槎嗉?jí)能級(jí)，電子

17、的躍遷產(chǎn)生多級(jí)光譜線。自然地解釋了光譜在磁場(chǎng)中的分裂現(xiàn)象。附加的能量很小，分裂的能級(jí)靠得較近。9/14/202265 物理意義在于，L在磁場(chǎng)方向上的投影由磁量子數(shù)決定。Bml 稱為磁量子數(shù)9/14/202266電子運(yùn)動(dòng)在空間有三種可能的取向B電子運(yùn)動(dòng)在空間有一種可能的取向9/14/2022679/14/202268電子運(yùn)動(dòng)在空間有五種可能取向： 對(duì)于單個(gè)原子，在磁場(chǎng)中，其空間取向是隨機(jī)的，但是大量原子的空間分布分布，服從玻爾茲曼分布。能量小的原子數(shù)大于能量大的原子數(shù)。9/14/2022699/14/202270氫原子波函數(shù)：9/14/202271氫原子電子空間概率分布：電子空間概率分布具有球?qū)?/p>

18、稱性電子空間概率分布不具有球?qū)ΨQ性9/14/2022729/14/2022739/14/2022749/14/2022759/14/202276氫原子電子云：電子沿徑向的概率分布極值與經(jīng)典的軌道重合.9/14/202277氫原子電子的自旋：電子處于s態(tài)時(shí) 原子系統(tǒng)在磁場(chǎng)中，沒(méi)有附加能量。但實(shí)驗(yàn)表明s態(tài)在磁場(chǎng)中能級(jí)分裂成兩個(gè)屬于s態(tài)的能級(jí)。電子的動(dòng)量矩不能解釋s態(tài)在磁場(chǎng)中能級(jí)的分裂。9/14/202278 為此人們提出電子自旋，仿照動(dòng)量矩的形式，寫出自旋動(dòng)量矩： s 是自旋量子數(shù)，自旋動(dòng)量矩在磁場(chǎng)方向的投影：附加能量有兩種可能性。決定原子系統(tǒng)狀態(tài)必須用四個(gè)量子數(shù)。9/14/202279主量子數(shù)：

19、副量子數(shù)：磁量子數(shù)：自旋磁量子數(shù)：決定原子系統(tǒng)狀態(tài)必須用四個(gè)量子數(shù):9/14/20228023.7 多電子的原子系統(tǒng) 原子的殼層結(jié)構(gòu) 薛定鍔方程在處理氫原子時(shí)，自然地得到各種量子化條件。在處理多電子原子系統(tǒng)時(shí)也能得到正確的結(jié)果。 具體求解多電子的薛定鍔方程由于電子的勢(shì)能表達(dá)比較復(fù)雜，解的形式也比較復(fù)雜。幾點(diǎn)結(jié)論：9/14/2022811 原子的電子態(tài)仍然由四個(gè)量子數(shù)決定氫原子：一般多電子原子： 原子核外電子的能量主要由主量子數(shù)決定，并由副量子數(shù)修正。9/14/202282主量子數(shù)越小，電子越靠近原子核。主量子數(shù)越小，電子的能量就越小。所以電子越靠近核，其能量就越小。 根據(jù)玻爾茲曼分布定律，電子

20、處于低能量態(tài)的概率大于高能量態(tài)的概率。9/14/2022832 多電子原子的核外電子按能量殼層分布同一主殼層中分為不同的分殼層，由副量子數(shù)決定分殼層。主量子數(shù)決定不同的主殼層： 殼層越低，電子的能量越小。電子按能量的大小分布由小到大依次填充在各主、次殼層中。9/14/202284泡利不相容原理（Pauli exclusion principle） ： 在同一原子系統(tǒng)中，不可能有兩個(gè)或以上的電子具有相同的量子態(tài)。各電子的四個(gè)量子數(shù)不能同時(shí)相等。9/14/202285在主量子數(shù)確定時(shí)，副量子數(shù)的取值個(gè)數(shù)為定值。 可以估計(jì)在主、副量子數(shù)確定的次殼層中可以容納的電子數(shù)目。 在同一原子系統(tǒng)中，不可能有兩個(gè)或以上的電子具有相同的量子態(tài)。各電子的四個(gè)量子數(shù)不能同時(shí)相等。9/14/202286n l 確定，的取值個(gè)數(shù)為： 也就是在前兩個(gè)量子數(shù)確定后，第三個(gè)量子數(shù)可以取的值的個(gè)數(shù)。 考慮到前三個(gè)量子數(shù)確定后，第四量子數(shù)可以取兩個(gè)值