1、文檔編碼 : CX2Y10J2C8A10 HC5V6T1U4S5 ZP10D3T3O3V6其次章 線性規(guī)劃的對偶問題習題2.1 寫出以下線性規(guī)劃問題的對偶問題1 max z 10 x1 x 22x3 2 max z 2x1 x 23x3 x 4st. x 1 x 22 x 310 st. x 1 x 2 x 3 x 4 5 4x1 x 2 x 320 2x 1 x 23x34 xj 0 （j 1,2,3 ） x 1 x 3 x 41 x1,x30,x2,x4 無約束3 min z 3x12 x 23x34x4 4 min z 5 x 16x27x3st. x 12x23x34x43 st. x

2、15x23x3 15 x23x34x45 5x16x210 x3 20 2x13x27x3 4x42 x1 x 2 x 3 5 x10,x40,x2,x3 無約束 x10, x 20,x3 無約束2.2 已知線性規(guī)劃問題 max zCX,AX=b,X0；分別說明發(fā)生以下情形時,其對偶問題的解的變化：（1）問題的第 k 個約束條件乘上常數(shù) （ 0）；（2）將第 k 個約束條件乘上常數(shù) （ 0）后加到第 r 個約束條件上；（3）目標函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)?max z CX（ 0）；（4）模型中全部 x1用 3 1x 代換；2.3 已知線性規(guī)劃問題min z 8x16x23x36x4st. x12x2 x 43

3、 3x1 x 2 x 3 x 46 x3 x 42 x1 x 3 2 xj 0（j 1,2,3,4 ）1 寫出其對偶問題；2 已知原問題最優(yōu)解為 偶問題的最優(yōu)解；x*（1,1,2,0）,試依據(jù)對偶理論,直接求出對2.4 已知線性規(guī)劃問題 min z 2x1x25x36x4 對偶變量st. 2x 1 x3 x 48 y 12x12x2x32x412 y 2xj 0（j 1,2,3,4 ）其對偶問題的最優(yōu)解y1*=4；y2 *=1,試依據(jù)對偶問題的性質(zhì),求出原問題的最優(yōu)解；2.5 考慮線性規(guī)劃問題（1）寫出其對偶問題max z2x14x23x3 st. 3x 14 x 22x360 2x1 x 2

4、2x340 x13x22x380 xj0 （j 1,2,3 ）（2）用單純形法求解原問題,列出每步迭代運算得到的原問題的解與互補的 對偶問題的解；（3）用對偶單純形法求解其對偶問題,并列出每步迭代運算得到的對偶問題 解及與其互補的對偶問題的解；（4）比較（ 2）和（ 3）運算結(jié)果；2.6 已知線性規(guī)劃問題 max z10 x15x2 14x29 st. 3x5x12x28 xj 0（j 1,2 ）用單純形法求得最終表如下表所示：x2x1x2x3x4b 3 140 1 x11 0 1 71 25 145 14j=cj-Z j0 0 試用靈敏度分析的方法分別判定：（1）目標函數(shù)系數(shù)c1或 c2 分

5、別在什么范疇內(nèi)變動,上述最優(yōu)解不變；（2）約束條件右端項 b1,b2,當一個保持不變時,另一個在什么范疇內(nèi)變化,上述最優(yōu)基保持不變；（3）問題的目標函數(shù)變?yōu)閙ax z 12x14x2時上述最優(yōu)解的變化；（4）約束條件右端項由9 變?yōu)?811 時上述最優(yōu)解的變化；192.7 線性規(guī)劃問題如下： max z 5x15x213x3st. x1x23x320 12x14x210 x390 xj0 （j 1,2,3 ）先用單純形法求解,然后分析以下各種條件下,最優(yōu)解分別有什么變化？（1） 約束條件的右端常數(shù)由 20 變?yōu)?30；（2） 約束條件的右端常數(shù)由 90 變?yōu)?70；（3） 目標函數(shù)中 x 3

6、的系數(shù)由 13 變?yōu)?8；（4） x1 的系數(shù)列向量由（1,12）T變?yōu)椋?0,5）T；（5） 增加一個約束條件：2x13x25x350；（6） 將原約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)椋?0 x15x210 x3100；2.8 用單純形法求解某線性規(guī)劃問題得到最終單純形表如下：cj基變量50 40 10 60 S x1x2x3x4a c 0 1 e 1 6 b d 1 0 2 4 j=cj-Zj0 0 f g （1）給出 a,b,c,d,e,f ,g 的值或表達式；（2）指出原問題是求目標函數(shù)的最大值仍是最小值；（3）用 a+ a,b+ b 分別代替 a 和 b,仍然保持上表是最優(yōu)單純形表,求 a,b 中意的范疇

7、；2.9 某文教用品廠用原材料白坯紙生產(chǎn)原稿紙、日記本和練習本三種產(chǎn)品；該廠現(xiàn)有工人 100 人,每月白坯紙供應(yīng)量為30000 千克；已知工人的勞動生產(chǎn)率為：每人每月可生產(chǎn)原稿紙 30 捆,或日記本 30 打,或練習本 30 箱；已知原材料消耗為：每捆原稿紙用白坯紙 10 千克,每打日記本用白坯紙 40 千克,每箱練習本用白3 3坯紙 80 千克；又知每生產(chǎn)一捆原稿紙可獲利 2 元,生產(chǎn)一打日記本獲利 3 元,生產(chǎn)3一箱練習本獲利 1 元；試確定：（1）現(xiàn)有生產(chǎn)條件下獲利最大的方案；（2）如白坯紙的供應(yīng)數(shù)量不變,當工人數(shù)不足時可招收臨時工,臨時工工資支出為每人每月40 元,就該廠要不要招收臨時

8、工？如要的話,招多少臨時工最合適？2.10 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,需要（表中的消耗系數(shù)為千克 / 件）；A、 B兩種原料,生產(chǎn)消耗等參數(shù)如下表產(chǎn)品原料甲乙可用量（千原料成本（元 / 千A 2 4 克）克）160 1.0 B 3 2 180 2.0 銷售價13 16 （元）（1）請構(gòu)造數(shù)學模型使該廠利潤最大,并求解；（2）原料 A、B 的影子價格各為多少；（3）現(xiàn)有新產(chǎn)品丙,每件消耗 價格至少為多少時才值得投產(chǎn)；（4）工廠可在市場上買到原料3 千克原料 A 和 4 千克原料 B,問該產(chǎn)品的銷售A；工廠是否應(yīng)當購買該原料以擴大生產(chǎn)？在保持原問題最優(yōu)基的不變的情形下,最多應(yīng)購入多少？可增加多少利潤

9、？2.11 某廠生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品需要同種原料,所需原料、工時和利潤等參數(shù)如下表：單位產(chǎn)品A B 可用量（千克）原料（千克）1 2 200 工時（小時）2 1 300 利潤（萬元）4 3 （1） 請構(gòu)造一數(shù)學模型使該廠總利潤最大,并求解；（2） 假如原料和工時的限制分別為300 公斤和 900 小時,又如何支配生產(chǎn)？（3） 假如生產(chǎn)中除原料和工時外,尚考慮水的用量,設(shè)兩 A,B 產(chǎn)品的單位產(chǎn)品分別需要水 4 噸和 2 噸,水的總用量限制在400 噸以內(nèi),又應(yīng)如何支配生產(chǎn)？復(fù)習摸索題2.12 試從經(jīng)濟上說明對偶問題及對偶變量的含義；2.13 依據(jù)原問題同對偶問題之間的對應(yīng)關(guān)系,分別找出兩個問

10、題變量之間、解以 及檢驗數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系；2.14 什么是資源的影子價格,同相應(yīng)的市場價格之間有何區(qū)分,以及爭論影子價 格的意義；2.15 試述對偶單純形法的運算步驟,它的優(yōu)點及應(yīng)用上的局限性；2.16 將 aij, b, c 的變化分別直接反映到最終單純形表中,表中原問題和對偶問題 的解各自將會顯現(xiàn)什么變化,有多少種不同情形以及如何去處理；2.17 判定以下說法是否正確 a 任何線性規(guī)劃問題存在并具有唯獨的對偶問題；b 對偶問題的對偶問題確定是原問題；c 依據(jù)對偶問題的性質(zhì),當原問題為無界解時,其對偶問題無可行解,反之,當 對偶問題無可行解時,其原問題具有無界解；5 個 d 如某種資源的影子價格等于 k,在其它條件不變的情形下,當該種資源增加 單位時,相應(yīng)的目標函數(shù)值將增大 5k；e 應(yīng)用對偶單純形法運算時,如單純形表中某一基變量 xi0,又 xi 所在行的元素 全部大于或等于零,就可以判定其對偶問題具有無界解；