1、 解三角形中的最值范圍問題一、基礎知識：1、正弦定理：，其中為外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進行邊化角或是角化邊，否則不可行例如：（1） （2）（恒等式） （3），此公式經(jīng)常用來代換 2、余弦定理： 變式：（1） 此公式在已知的情況下，配合均值不等式可得到和的最值 （2）3、三角形面積公式：（1） （為三角形的底，為對應的高）（2）（3）=（其中為外接圓半徑）4、三角形內(nèi)角和：，從而可得到：（1）正余弦關系式： （2）在已知一角的情況下，可用另一個角表示第三個角，達到消元的目的5、兩角和差的正余弦公式：

2、 6、輔助角公式：，其中 7、三角形中的不等關系（1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構(gòu)成三角形時，只需驗證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可。由于不存在等號成立的條件，在求最值時使用較少（2）在三角形中，邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價關系：其中由利用的是余弦函數(shù)單調(diào)性，而僅在一個三角形內(nèi)有效。 8、解三角形中處理不等關系的幾種方法（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€變量的函數(shù)：通過邊角互化和代入消元，將多變量表達式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（2）利用均值不等式求得最值二、例題精析：例1：各角的對應邊分別為，滿足，則角的范圍是 A B CD思路：從所給條件入手，進行不等式化簡： ，觀察到余弦定理公式

3、特征，進而利用余弦定理表示：，可解得：答案：A 解： 例2：在銳角中，角所對的邊分別為，且 （1）求角 （2）求的取值范圍解：（1）方法一：使用余弦定理 由余弦定理得： 方法二：觀察等式齊次，考慮使用正弦定理 （2） 為銳角三角形 注：要注意對銳角三角形條件的運用：三個角均為銳角，而用代換，所以滿足銳角的條件也由來承擔，這也是在利用等式消元時所要注意的一點：若被消去的元帶有范圍，則這個范圍由主元承擔。 例3設的內(nèi)角所對的邊長分別為，且（1）求的值；（2）求的最大值，并判斷當取最大值時的形狀解（1）由及正弦定理得，因為為三角形三內(nèi)角，所以,所以所以，即，即；（2）由題意得，令，則 所以，當且僅當

4、時取等，此時，因為，所以，所以，所以為直角三角形注：本題為2008年全國1卷17題，解決本題的關鍵是函數(shù)化一的思想，利用換元法令，再利用第一問的結(jié)果得到和的關系，然后將式子轉(zhuǎn)化關于的函數(shù)便可得到原式取最大值時的取值，即的取值，從而得出角的大小，再通過第一問的關系找到角的值，從而確定三角形形狀下面一題為2022年新高考I卷18題，重在“化一”.例4：記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)若，求B； (2)求的最小值解（1）因為，即，而，所以；（2）由（1）知，所以，而，所以，即有，所以所以當且僅當時取等號，所以的最小值為例5：在中，角所對的邊分別為，已知，且 （1）當時，求的值（2

5、）若角為銳角，求的取值范圍解：（1） 或 （2）思路：以“角為銳角”為突破口，聯(lián)想到余弦定理，而也剛好得到與的關系式，再由可解得的范圍解：考慮余弦定理 為銳角， 例6：若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 思路：所求的最值可想到余弦定理用邊進行表示，考慮角化邊得到：，進而消去計算表達式的最值即可解： 由可得： 答案：例7：，當?shù)拿娣e最大時，則的長為_.解：因為，由正弦定理可得，即，因為，不妨令，建立如圖所示的平面直角坐標系，設點的坐標為，點的軌跡方程滿足：，整理可得：，即點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓（除與軸兩交點外），當點的坐標或時三角形的面積最大，其最大值為，由勾股定理可得故答案為：例8：在銳角中

6、、的對邊長分別是、,則的取值范圍是( )A B C D思路：本題所給條件為角的關系，不易從邊入手，所以將所求進行邊化角：，只需求出的范圍即可。條件所給的是關系，從而，利用減少角的個數(shù)：，代入可得：，根據(jù)銳角三角形求出的范圍即可。解：由 因為為銳角三角形 解得： 答案：B注：本題的關鍵點有兩個，一個是解題系統(tǒng)的確定，由于題目中沒有涉及到邊的關系，只是給了角的條件，所以優(yōu)先選擇角的系統(tǒng)，從而進行角化邊的處理，并進行了一個分式的常見變形，將變量集中在分母上。另一個就是主元的確定：本題的主元是，所以在求表達式范圍時將均用來進行表示，以便于求得值域。下面例7為2019年全國三卷問題，讀者自行解決.例9的

7、內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應用正弦定理，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是解法二：極限思想 因為三角形ABC是銳角三角形，所以C點只能在例10：已知的角所對的邊分別是，且，若的外接圓半徑為，則面積的最大值為_思路：由可聯(lián)想到余弦定理求，所以，從而，所求面積可表示為，則只需解出的最大值即可。由外接圓半徑及可得：，所以，而，所以有，所以 答案： 注：本題的入手點來自于條件中

8、對余弦定理的暗示，從而解出，在計算面積時有三組邊角可供選擇：，通常是“依角而選”，從而把目標轉(zhuǎn)向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和與乘積項，再配上均值不等式往往可以找到最值。例11：設的內(nèi)角所對的邊為，若成等比數(shù)列，則的取值范圍是_思路：由成等比數(shù)列可得：，也可視為 ，所求表達式也可視為。如果從角入手，則無法與聯(lián)系。所以考慮從邊入手。由可得：，在中，若 ，則，所以，即，同理，若，則，解得：。綜上答案：例12：已知ABC中，角A,B,C所對的邊分別為，且BC邊上的高為，則的取值范圍為_思路：一方面由所求出發(fā)，可用均值不等式得到，驗證時存在這樣的三角形，得到最小值；再從另一個角度入手可聯(lián)想到

9、余弦定理，而由題目中的底和高可得，所以有：，只需求得的范圍即可，考慮，所以，綜上：答案： 注：（1）在解三角形中，能夠從所給式子中發(fā)現(xiàn)定理的影子，可幫助你迅速確定解題方向，本題沒有選擇邊化角，而是抓住余弦定理的影子為突破口，然后再去尋找條件能否把多余的元消去（比如本題中的），從而整理出一個可操作的表達式（2）最后運用輔角公式時，輔助角并不是特殊角。這種情況下可用代替俯角，并用的一個三角函數(shù)值刻畫其大小。本題可通過作圖大致觀察到的范圍，從而確定的范圍能經(jīng)過，所以能夠取到例13：已知的內(nèi)角滿足，面積滿足，記分別是所對的邊，則下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 思路：本題需判斷的式子

10、比較多，先從條件出發(fā)向所求靠攏?；喴阎獥l件可得，即，聯(lián)想到面積公式及可得：，從而可用進行表示求出范圍，另一方面可由，利用不等式的傳遞性即可求出的范圍解： 即由正弦定理可得： 所以由可得：，所以均不正確 正確同理 ，不正確三、課后練習1、設銳角的三內(nèi)角所對邊的邊長分別為，且，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 2、在中，是的中點，邊（含端點）上存在點，使得，則的取值范圍是_3、在平行四邊形中，則的取值范圍是_4、在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的面積最大值為_5已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，則面積的最大值為_6、的內(nèi)角的對邊分別為（1）若成等差數(shù)列，證明： （2）若成等比數(shù)列，求的最小值7、設的內(nèi)角所對的邊分別為且.（1）求角的大?。唬?）若，求的周長的取值范圍.8、已知和滿足： （1）求證：是鈍角三角形，并求最大角的度數(shù)（2）求的最小值習題答案：1、答案：A解析： 由銳角可知：，解得，所以，從而2、答案：解析：方法一：若存在點，使得，則為銳角或直角在中 代入，可得： 方法二（向量法）以為原點，直線為軸建系，則，設， 由和可得3、答案： 解析：延長交于點，則在中， 設，則由正弦定理可得設，則由正弦定理：可得：，整理后可得：，所以 ，由可知，所以 4、答案：解析：