專(zhuān)題四《函數(shù)》學(xué)案5.4對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)梳理.對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaN(a>0，且a≠1)loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)運(yùn)算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即恒有l(wèi)oga1＝0當(dāng)x>1時(shí)，恒有y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，恒有y<0當(dāng)x>1時(shí)，恒有y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)題型一.指、對(duì)運(yùn)算1．已知函數(shù)f（x）=log2x，0＜x≤1f(x?1)，x＞1，則f（【解答】解：函數(shù)f（x）=lo則f（20192）＝f（20172）＝f（20152）＝…＝f（12故答案為：﹣1．2．已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：x≥4，則f（x）＝2x；當(dāng)x＜4時(shí)f（x）＝f（x+1），則f（2+log123）＝【解答】解：∵函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：x≥4，則f（x）＝2x；當(dāng)x＜4時(shí)f（x）＝f（x+1），又∵2+log12∴f（2+log123）＝f[4+（2+log123）]＝f（2+log故答案為：643．已知a＞b＞1，若logab+logba=52，abA．a(chǎn)＝5，b＝2 B．a(chǎn)＝4，b＝2 C．a(chǎn)＝8，b＝4 D．a(chǎn)=2，b=【解答】解：由logab+lo從而b2b＝ba?a＝2b，則b＝2，a＝4．故選：B．4．設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則（）A．a(chǎn)+b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a+b＜0 C．a(chǎn)+b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a+b【解答】解：∵a＝log0.20.3=lg0.3?lg5，b＝log20.3∴a+b=lg0.3ab=?lg0.3∵lg103＞lg∴ab＜a+b＜0．故選：B．題型二.比較大小1．（2017秋?信豐縣校級(jí)月考）設(shè)a＝log32，b＝ln2，c=512，則a、bA．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜ln2＜lne＝1，ln3＞1，∴l(xiāng)og32=ln2ln3∴a＜b＜1，∵c=512∴c＞b＞a，故選：D．2．已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝log714＝1+log72，而log32＞log52＞log72，∴c＜b＜a．故選：B．3．（2016?新課標(biāo)Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A．a(chǎn)c＜bc B．a(chǎn)bc＜bac C．a(chǎn)logbc＜blogac D．logac＜logbc【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函數(shù)f（x）＝xc在（0，+∞）上為增函數(shù)，故ac＞bc，故A錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）＝xc﹣1在（0，+∞）上為減函數(shù)，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B錯(cuò)誤；logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即logcblogca=logac0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C正確；故選：C．4．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知55＜84，134＜85．設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由34∵log5∴l(xiāng)og53＜log85，即a＜b；∵55＜84，∴5＜4log58，∴l(xiāng)og58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，綜上，c＞b＞a．故選：A．5．若a=ln22，b=ln33，c=ln55，則A．a(chǎn)＞c＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c【解答】解：令f(x)=lnxx，∴x＞e時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，又a=ln22=ln4∴f（3）＞f（4）＞f（5），∴b＞a＞c．故選：D．6．（2017?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解：x、y、z為正數(shù)，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．則x=lgklg2，y=lgklg3∴3y=lgklg33，2x=∵33=6∴l(xiāng)g33＞∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z為正數(shù)，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．則x=lgklg2，y=lgklg3∴2x3y=23×5z2x=52×綜上可得：5z＞2x＞3y．解法三：對(duì)k取特殊值，也可以比較出大小關(guān)系．故選：D．題型三.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．已知函數(shù)f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（98，+∞）【解答】解：根據(jù)條件可知ax2+3x+2＞0恒成立，則a＞0，且△＝9﹣8a＜0，解得a＞9故a的取值范圍是（98，+∞故答案為：（98，+∞2．（2014?西城區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）＝logm（2﹣x）+1（m＞0，且m≠1）的圖象恒過(guò)點(diǎn)P，且點(diǎn)P在直線(xiàn)ax+by＝1（a＞0，b＞0）上，那么ab的（）A．最大值為14 B．最小值為14 C．最大值為12【解答】解：當(dāng)2﹣x＝1，即x＝1時(shí)，y＝f（1）＝logm（2﹣1）+1＝1，∴函數(shù)f（x）的圖象恒過(guò)點(diǎn)P（1，1）；又點(diǎn)P在直線(xiàn)ax+by＝1（a＞0，b＞0）上，∴a+b＝1，∴ab≤(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=12時(shí)，“＝故選：A．3．（2020春?吉林期末）函數(shù)y＝|lg（x+1）|的圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：由于函數(shù)y＝lg（x+1）的圖象可由函數(shù)y＝lgx的圖象左移一個(gè)單位而得到，函數(shù)y＝lgx的圖象與X軸的交點(diǎn)是（1，0），故函數(shù)y＝lg（x+1）的圖象與X軸的交點(diǎn)是（0，0），即函數(shù)y＝|lg（x+1）|的圖象與X軸的公共點(diǎn)是（0，0），考察四個(gè)選項(xiàng)中的圖象只有A選項(xiàng)符合題意故選：A．4．（2008?山東）已知函數(shù)f（x）＝loga（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的圖象如圖所示，則a，b滿(mǎn)足的關(guān)系是（）A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1 C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝loga（2x+b﹣1）是增函數(shù)，令t＝2x+b﹣1，必有t＝2x+b﹣1＞0，t＝2x+b﹣1為增函數(shù)．∴a＞1，∴0＜1∵當(dāng)x＝0時(shí)，f（0）＝logab＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）＝logab＞﹣1＝loga1a∴b＞1∴0＜a﹣1＜b＜1．故選：A．5．（2020秋?西安月考）已知函數(shù)f（x）＝lgex?e?x2A．非奇非偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增 B．奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增 C．非奇非偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減 D．偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝lgex?e?x2，有ex?e?x2即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，是非奇非偶函數(shù)，設(shè)t=ex?e?x2，其導(dǎo)數(shù)t′=則y＝lgt，在（0，+∞）上為增函數(shù)，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故選：A．題型四.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與值域1．（2019秋?瀘州月考）已知函數(shù)y＝loga（1﹣ax）在（1，2）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．（1，2） B．[1，2] C．(0，12【解答】解：∵a＞0且a≠1，∴內(nèi)層函數(shù)t＝1﹣ax為減函數(shù)，要使函數(shù)y＝loga（1﹣ax）在（1，2）上是增函數(shù)，則0＜a＜11?2a≥0，解得0＜a≤∴a的取值范圍是（0，12故選：D．2．（2018秋?和平區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)y＝loga（x2﹣ax+2）在區(qū)間（﹣∞，1]上為減函數(shù)，則a的取值范圍是[2，3）．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+2（a＞0，且a≠1），①當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）在（﹣∞，1]上為減函數(shù)，∴a2≥112?a+2＞0②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）在（﹣∞，1]上為減函數(shù)，此時(shí)不成立．綜上所述：2≤a＜3．故答案為：[2，3）．3．（2017秋?尋烏縣校級(jí)期中）已知函數(shù)f（x）＝log4（ax2﹣4x+a）（a∈R），若f（x）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[0，2] B．（2，+∞） C．（0，2] D．（﹣2，2）【解答】解：函數(shù)f（x）＝log4（ax2﹣4x+a）（a∈R），f（x）的值域?yàn)镽，只需保證函數(shù)y＝ax2﹣4x+a的值域能取到大于等于0的數(shù)．當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)y值域能取到大于等于0的數(shù)，當(dāng)a≠0時(shí)，要使函數(shù)y值域能取到大于等于0的數(shù)，則需滿(mǎn)足a＞04ac?b24a綜上所得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，2]．故選：A．4．（2016春?大慶校級(jí)月考）設(shè)a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）＝loga（x2﹣2x+3）有最小值，則不等式loga（x﹣1）＜0的解集（）A．（﹣∞，2） B．（1，2） C．（2，+∞） D．（1，2）∪（2，+∞）【解答】解：當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）＝loga（x2﹣2x+3）有最小值，∴a＞1，∵不等式loga（x﹣1）＜0，∴0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2．∴不等式loga（x﹣1）＜0的解集為（1，2）．故選：B．5．（2019?陸良縣一模）已知函數(shù)f（x）＝ln（|x|+1）+x2+1，則使得f（x）＞f（2x﹣A．(13，1) C．（1，+∞） D．(【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝ln（|x|+1）+x2+1且在x≥0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等價(jià)為f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，兩邊平方得x2＞（2x﹣1）2，即3x2﹣4x+1＜0，解得13＜∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范圍是（13故選：A．題型五.等高線(xiàn)1．已知函數(shù)f（x）=|lgx|(0＜x≤10)?12x+6(x＞10)，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝fA．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，不妨設(shè)a＜b＜c，則﹣lga＝lgb=?12c+6ab＝1，0＜?12c+6＜1，則abc＝c故選：C．2．已知函數(shù)f(x)=?x2?2x，x≤0|lgx|，x＞0，若關(guān)于x的方程f（x）＝a有四個(gè)根x1，x2，x3，x4，則這四個(gè)根之和x1+x2+x3+x4【解答】解：作函數(shù)f(x)=?x2結(jié)合圖象可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程有四個(gè)不同的解，如圖中的四個(gè)交點(diǎn)，故x1+x2＝﹣2，x3x4＝1且1＜x4＜10；故2＜x3+x4＜10+1故0＜x1+x2+x3+x4＜8+1即x1+x2+x3+x4的取值范圍是(0，故答案為：(0，題型六.反函數(shù)1．設(shè)常數(shù)a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）＝logax，若f（x）的反函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），則a＝2．【解答】解：∵常數(shù)a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）＝logax，f（x）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），∴函數(shù)f（x）＝logax的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1），∴l(xiāng)oga2＝1，解得a＝2．故答案為：2．2．設(shè)f(x)=log2(1x+a+1)是奇函數(shù)，若函數(shù)g（x）圖象與函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝A．(?∞，?12)∪(1C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）【解答】解：因?yàn)閒(x)=log所以f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜﹣a﹣1或x＞﹣a}，因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以﹣a﹣1＝a，解得a=?1因?yàn)楹瘮?shù)g（x）圖象與函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)，所以g（x）與f（x）互為反函數(shù)，故g（x）的值域?yàn)??∞，?1故選：A．3．若x1滿(mǎn)足2x＝5﹣x，x2滿(mǎn)足x+log2x＝5，則x1+x2等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由題意x1+2x1＝5①，x2+log2x2＝5②，所以5﹣x1＝2x1，故有5﹣x2＝log2x2．故x1和x2是直線(xiàn)y＝5﹣x和曲線(xiàn)y＝2x、曲線(xiàn)y＝log2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．再根據(jù)函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝log2x互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)，故曲線(xiàn)y＝2x和曲線(xiàn)y＝log2x的圖象交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)．即點(diǎn)（x1，5﹣x1）和點(diǎn)（x2，5﹣x2）構(gòu)成的線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)y＝x上，即x1+x22=5?x故選：D．課后作業(yè).基本初等函數(shù)1．已知x＝lnπ，y=log12π，z＝eA．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x【解答】解：∵x＝lnπ＞1，y=log12π＜0，0＜z＝e﹣2＜∴y＜z＜x．故選：C．2．若函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga（|x|﹣1）的圖象可以是（）A． B． C． D．【解答】解：由函數(shù)f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上為減函數(shù)，故0＜a＜1．函數(shù)y＝loga（|x|﹣1）是偶函數(shù)，定義域?yàn)閧x|x＞1或x＜﹣1}，函數(shù)y＝loga（|x|﹣1）的圖象，x＞1時(shí)是把函數(shù)y＝logax的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，故選：D．3．若函數(shù)f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)=(1?4m)x在[0，+∞）上是增函數(shù)，則aA．14 B．13 C．12【解答】解：①若a＞1，則函數(shù)f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上單調(diào)遞增，則由f（2）＝4，得a2＝4，解得a＝2．此時(shí)最小值m＝f（﹣1）=2②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上單調(diào)遞減，則由f（﹣1）＝4，得a﹣1＝4，解得a=14．此時(shí)最小值m＝f（2）＝（14∴m=12或∵函數(shù)g(x)=(1?4m)x在[0，+∞∴1﹣4m＞0，解得m＜1綜上：m=116，此時(shí)a故選：A．4．已知定義在R上的函數(shù)f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2+m），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）＝f（﹣x）在R上恒成立，∴m＝0，∴當(dāng)x≥0時(shí)，易得f（x）＝2|x|﹣1為增函數(shù)，∴a＝f（log0.53）＝f（log23）∵log23＜2＜log25，∴a＜c＜b，故選：B．5．已知函數(shù)f（x）＝|lgx|，若0＜a＜b且f（a）＝f（b），則a+2b的取值范圍為（3，+∞）．【解答】解：畫(huà)出y＝|lgx|的圖象如圖：∵0＜a＜b，且f（a）＝f（b），∴|lga|＝|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga＝lgb即ab＝1∴y＝a+2b＝a+2a，a∵y＝a+2∴y＞1+2＝3∴a+2b的取值范圍是（3，+∞）故答案為：（3，+∞）6．已知函數(shù)f（x）＝loga（x+1），g（x）＝loga（1﹣x）（a＞0，a≠1），則（）A．函數(shù)f（x