二次函數(shù)壓軸題精講1．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相聯(lián)合問題解決此類問題時，先依據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，此后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再依據(jù)系數(shù)與圖象的地點關(guān)系判斷出圖象特點，則吻合全部特點的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地聯(lián)合在一同．這類試題一般難度較大．解這類問題要點是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)變成方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．3）二次函數(shù)在實質(zhì)生活中的應(yīng)用題從實指責(zé)題中解析變量之間的關(guān)系，成立二次函數(shù)模型．要點在于察看、解析、創(chuàng)立，成立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，此后數(shù)形聯(lián)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實指責(zé)題存心義．第1頁（共91頁）例1.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將∠OBA對折，使點O的對應(yīng)點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．1）直接寫出點C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；2）若拋物線的極點為D，在直線BC上能否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明原因；3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出|QA﹣QO|的取值范圍．第2頁（共91頁）2．如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）訂交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．1）求拋物線的解析式；2）能否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明原因；3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標(biāo)．第3頁（共91頁）3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸訂交于點M．1）求拋物線的解析式和對稱軸；2）在拋物線的對稱軸上能否存在一點P，使△PAB的周長最??？若存在，懇求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因；（3）連結(jié)AC，在直線AC的下方的拋物線上，能否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，懇求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．第4頁（共91頁）4．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C0，3）．1）求拋物線的函數(shù)表達式；2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標(biāo)；3）如圖b，設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．第5頁（共91頁）5．如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰巧落在邊OA上的點E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸成立平面直角坐標(biāo)系．1）求OE的長及經(jīng)過O，D，C三點拋物線的解析式；2）一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)點P抵達點B時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，DP=DQ；3）若點N在（1）中拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，能否存在這樣的點M與點N，使M，N，C，E為極點的四邊形是平行四邊形？若存在，懇求出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．第6頁（共91頁）6．如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點C為極點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上點A，C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F，點D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（﹣4，0），連結(jié)PD、PE、DE．1）請直接寫出拋物線的解析式；2）小明研究點P的地點發(fā)現(xiàn)：當(dāng)P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判斷該猜想能否正確，并說明原因；3）小明進一步研究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點P記作“好點”，則存在多個“好點”，且使△PDE的周長最小的點P也是一個“好點”．請直接寫出全部“好點”的個數(shù)，并求出△PDE周長最小時“好點”的坐標(biāo)．第7頁（共91頁）7．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度挪動，動點D從B開始沿BO方向以每秒1個單位長度挪動，動點C、D同時出發(fā)，當(dāng)動點D抵達原點O時，點C、D停止運動．（1）直接寫出拋物線的解析式：；2）求△CED的面積S與D點運動時間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？3）當(dāng)△CED的面積最大時，在拋物線上能否存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．第8頁（共91頁）28．如圖，已知二次函數(shù)L1：y=ax﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函數(shù)L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）圖象的極點分別為M，N，與y軸分別交于點E，F(xiàn)．（1）函數(shù)y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值為，當(dāng)二次函數(shù)L1，L2的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是．2）當(dāng)EF=MN時，求a的值，并判斷四邊形ENFM的形狀（直接寫出，不用證明）．3）若二次函數(shù)L2的圖象與x軸的右交點為A（m，0），當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．第9頁（共91頁）9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．1）①直接寫出點B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連結(jié)PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)．3）拋物線上能否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為極點的三角形與△ABC相像？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．第10頁（共91頁）10．如圖，極點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1訂交于A、B兩點，且點Ax軸上，點B的橫坐標(biāo)為2，連結(jié)AM、BM．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷△ABM的形狀，并說明原因；（3）把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其極點為（m，2m），當(dāng)m知足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．第11頁（共91頁）11．（2015?孝感）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點．1）求拋物線的解析式；2）在AC上方的拋物線上有一動點P．①如圖1，當(dāng)點P運動到某地點時，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個極點恰巧也在拋物線上，求出此時點P的坐標(biāo)；②如圖2，過點O，P的直線y=kx交AC于點E，若PE：OE=3：8，求k的值．12．（2015?無錫）一次函數(shù)y=x的圖象以以以下列圖，它與二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+c的圖象交于A、B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點C．1）求點C的坐標(biāo)；2）設(shè)二次函數(shù)圖象的極點為D．①若點D與點C對于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；②若CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．13．（2015?濟寧）如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸訂交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為y=x+4，與x軸訂交于點D，以點C為極點的拋物線過點B．1）求拋物線的解析式；2）判斷直線l與⊙E的地點關(guān)系，并說明原因；第12頁（共91頁）3）動點P在拋物線上，當(dāng)點P到直線l的距離最小時．求出點P的坐標(biāo)及最小距離．14．（2015?佛山）如圖，一小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫．1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標(biāo)；2）小球的落點是A，求點A的坐標(biāo)；3）連結(jié)拋物線的最高點P與點O、A得△POA，求△POA的面積；4）在OA上方的拋物線上存在一點M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點M的坐標(biāo)．15．（2015?甘孜州）如圖，已知拋物線y=ax2﹣5ax+2（a≠0）與y軸交于點C，x軸交于點A（1，0）和點B．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線BC的解析式；（3）若點N是拋物線上的動點，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為極點的三角形能否可以與△OBC相像（除去全等的狀況）？若能，懇求出全部吻合條件的點N的坐標(biāo)；若不可以，請說明原因．第13頁（共91頁）16．（2015?連云港）如圖，已知一條直線過點（0，4），且與拋物線y=x2交于A，B兩點，其中點A的橫坐標(biāo)是﹣2．1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點B的坐標(biāo)．2）在x軸上能否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標(biāo)，若不存在，請說明原因．3）過線段AB上一點P，作PM∥x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N（0，1），當(dāng)點M的橫坐標(biāo)為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？17．（2015?赤峰）已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），x軸交于另一點B，拋物線的極點為D．（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）連結(jié)DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上能否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出吻合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．18．（2015?貴陽）如圖，經(jīng)過點C（0，﹣4）的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸訂交于A（﹣2，0），B兩點．（1）a0，b2﹣4ac0（填“＞”或“＜”）；2）若該拋物線對于直線x=2對稱，求拋物線的函數(shù)表達式；3）在（2）的條件下，連結(jié)AC，E是拋物線上一動點，過點E作AC的平行線交x軸于點F．能否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為極點所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出知足條件的點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．第14頁（共91頁）19．（2015?寧德）已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點C的坐標(biāo)是（0，﹣3）．1）求拋物線的函數(shù)表達式；2）求直線BC的函數(shù)表達式和∠ABC的度數(shù)；3）P為線段BC上一點，連結(jié)AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求點P的坐標(biāo)．220．（2015?盤錦）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點，交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連結(jié)CD，將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°獲取線段DE，過點E作直線l⊥x軸于H，過點C作CF⊥l于F．（2）如圖2，當(dāng)點F恰幸虧拋物線上時，求線段OD的長；（3）在（2）的條件下：①連結(jié)DF，求tan∠FDE的值；②試一試究在直線l上，能否存在點G，使∠EDG=45°？若存在，請直接寫出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．第15頁（共91頁）21．（2015?攀枝花）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P、與直線BC訂交于點M，連結(jié)PB．1）求該拋物線的解析式；2）在（1）中位于第一象限內(nèi)的拋物線上能否存在點D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點坐標(biāo)及△BCD面積的最大值；若不存在，請說明原因．3）在（1）中的拋物線上能否存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．22．（2015?黔南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c過點A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB，過點B作x軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩直線交于點D．1）求b、c的值；2）當(dāng)t為何值時，點D落在拋物線上；3）能否存在t，使得以A，B，D為極點的三角形與△AOP相像？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明原因．23．（2015?金華）如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點（點C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，與x軸的另一點為E，其極點為F，對稱軸與x軸的交點為H．1）求a、c的值．2）連結(jié)OF，試判斷△OEF能否為等腰三角形，并說明原因．第16頁（共91頁）（3）現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角極點Q放在射線AF或射線HF上，素來角邊素來過點E，另素來角邊與y軸訂交于點P，能否存在這樣的點Q，使以點P、Q、E為極點的三角形與△POE全等？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．24．（2015?德州）已知拋物線y=﹣mx2+4x+2m與x軸交于點A（α，0），B（β，0），且=﹣2，1）求拋物線的解析式．2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，極點為D，點C對于l的對稱點為E，能否存在x軸上的點M，y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保存作圖印跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明原因．3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當(dāng)以點D、E、P、Q為極點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標(biāo)．25．（2015?湖北）邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的地點以以以下列圖，點D是邊OA的中點，連結(jié)CD，點E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點．1）求拋物線的解析式；2）點P從點C出發(fā)，沿射線CB每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒．過點P作PF⊥CD于點F，當(dāng)t為何值時，以點P，F(xiàn)，D為極點的三角形與△COD相像？3）點M為直線AB上一動點，點N為拋物線上一動點，能否存在點M，N，使得以點M，N，D，E為極點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．第17頁（共91頁）26．（2015?威海）已知：拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點A，B，（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，其對稱軸為x=1，拋物線l2經(jīng)過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，﹣）．1）求拋物線l2的函數(shù)表達式；2）P為直線x=1上一動點，連結(jié)PA，PC，當(dāng)PA=PC時，求點P的坐標(biāo)；3）M為拋物線l2上一動點，過點M作直線MN∥y軸，交拋物線l1于點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值．27．（2015?東營）如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三點．1）求拋物線的解析式；2）在直線AC下方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求點D的坐標(biāo)；（3）設(shè)點M是拋物線的極點，試判斷拋物線上能否存在點H知足∠AMH=90°？若存在，懇求出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．第18頁（共91頁）28．（2015?臨沂）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，直線y=﹣2x﹣1與y軸交于A，與直線y=﹣x交于點B，點B對于原點的對稱點為點C．（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；（2）P為拋物線上一點，它對于原點的對稱點為Q．①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(biāo)；②若點P的橫坐標(biāo)為t（﹣1＜t＜1），當(dāng)t為何值時，四邊形PBQC面積最大？并說明原因．29．（2015?自貢）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．1）若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；2）在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標(biāo)；3）設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標(biāo)．第19頁（共91頁）230．（2015?丹東）如圖，已知二次函數(shù)y=ax+x+c的圖象與y軸交于點A（0，1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達式；2）判斷△ABC的形狀，并說明原因；3）若點N在x軸上運動，當(dāng)以點A、N、C為極點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標(biāo)；4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當(dāng)△AMN面積最大時，求此時點N的坐標(biāo)．第20頁（共91頁）參照答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．（2016?深圳模擬）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將∠OBA對折，使點O的對應(yīng)點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．1）直接寫出點C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；2）若拋物線的極點為D，在直線BC上能否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明原因；3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出|QA﹣QO|的取值范圍．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題；開放型．【解析】（1）點A的坐標(biāo)是縱坐標(biāo)為0，得橫坐標(biāo)為8，因此點A的坐標(biāo)為（8，0）；B的坐標(biāo)是橫坐標(biāo)為0，解得縱坐標(biāo)為6，因此點B的坐標(biāo)為（0，6）；由題意得：BC是∠ABO的角均分線，因此OC=CH，BH=OB=6AB=10，∴AH=4，設(shè)OC=x，則AC=8﹣x由勾股定理得：x=3∴點C的坐標(biāo)為（3，0）將此三點代入二次函數(shù)一般式，列的方程組即可求得；（2）求得直線BC的解析式，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角相等，對邊平行且相等，借助于三角函數(shù)即可求得；（3）如圖，由對稱性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．當(dāng)點Q與點B重合時，Q、H、A三點共線，|QA﹣QO|獲取最大值4（即為AH的長）；設(shè)線段OA的垂直均分線與直線BC的交點為K，當(dāng)點Q與點K重合時，|QA﹣QO|獲取最小值0．【解答】解：（1）點C的坐標(biāo)為（3，0）．（1分）∵點A、B的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（0，6），∴可設(shè)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x﹣3）（x﹣8）．將x=0，y=6代入拋物線的解析式，第21頁（共91頁）得．（2分）∴過A、B、C三點的拋物線的解析式為．（3分）（2）可得拋物線的對稱軸為直線，極點D的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G．直線BC的解析式為y=﹣2x+6.4分）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6）．解法一：如圖，作OP∥AD交直線BC于點P，連結(jié)AP，作PM⊥x軸于點M．OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．經(jīng)查驗是原方程的解．此時點P的坐標(biāo)為．（5分）但此時，OM＜GA．∵，OP＜AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，∴直線BC上不存在吻合條件的點P（6分）解法二：如圖，取OA的中點E，作點D對于點E的對稱點P，作PN⊥x軸于N．則∠PEO=∠DEA，PE=DE．第22頁（共91頁）可得△PEN≌△DEG．由，可得E點的坐標(biāo)為（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴點P的坐標(biāo)為．（5分）∵x=時，，∴點P不在直線BC上．∴直線BC上不存在吻合條件的點P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范圍是．（8分）Q在OA的垂直均分線上與直線BC的交點時，（如點K處），此時OK=AK，則|QA﹣QO|=0，Q在AH的延伸線與直線BC交點時，此時|QA﹣QO|最大，直線AH的解析式為：y=﹣x+6，直線BC的解析式為：y=﹣2x+6，聯(lián)立可得：交點為（0，6），OQ=6，AQ=10，|QA﹣QO|=4，|QA﹣QO|的取值范圍是：0≤|QA﹣QO|≤4．【議論】本題察看了二次函數(shù)與一次函數(shù)以及平行四邊形的綜合知識，解題的要點是仔細(xì)識圖，注意數(shù)形聯(lián)合思想的應(yīng)用．第23頁（共91頁）2．（2015?棗莊）如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）訂交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于D，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）能否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明原因；（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】幾何綜合題；壓軸題．【解析】（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上A、B兩點坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，經(jīng)過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．（2）要弄清PC的長，實質(zhì)是直線AB與拋物線函數(shù)值的差．可設(shè)出P點橫坐標(biāo)，依據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo)，進而獲取對于PC與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值．3）當(dāng)△PAC為直角三角形時，依據(jù)直角極點的不同樣樣，有三種狀況，需要分類議論，分別求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6．（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（n，n+2），則C點的坐標(biāo)為（n，2n2﹣8n+6），PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，第24頁（共91頁）=﹣2（n﹣）2+，PC＞0，∴當(dāng)n=時，線段PC最大且為．（3）∵△PAC為直角三角形，i）若點P為直角極點，則∠APC=90°．由題意易知，PC∥y軸，∠APC=45°，因此這類狀況不存在；）若點A為直角極點，則∠PAC=90°．如答圖3﹣1，過點A（，）作AN⊥x軸于點N，則ON=，AN=．過點A作AM⊥直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，M（3，0）．設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+b，則：，解得，∴直線AM的解析式為：y=﹣x+3①又拋物線的解析式為：y=2x2﹣8x+6②聯(lián)立①②式，解得：x=3或x=（與點A重合，舍去）∴C（3，0），即點C、M點重合．x=3時，y=x+2=5，∴P1（3，5）；）若點C為直角極點，則∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴拋物線的對稱軸為直線x=2．第25頁（共91頁）如答圖3﹣2，作點A（，）對于對稱軸x=2的對稱點C，則點C在拋物線上，且C（，）．當(dāng)x=時，y=x+2=．∴P2（，）．∵點P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，∴綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標(biāo)為（3，5）或（，）．【議論】本題主要察看了二次函數(shù)解析式確實定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判斷、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等知識．3．（2015?酒泉）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸訂交于點M．1）求拋物線的解析式和對稱軸；2）在拋物線的對稱軸上能否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，懇求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因；（3）連結(jié)AC，在直線AC的下方的拋物線上，能否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，懇求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；2）點A對于對稱軸的對稱點A′的坐標(biāo)為（6，4），連結(jié)BA′交對稱軸于點P，連結(jié)AP，此時△PAB的周長最小，可求出直線BA′的解析式，即可得出點P的坐標(biāo)．3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案．【解答】解：（1）依據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），第26頁（共91頁）把點A（0，4）代入上式得：a=，y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴拋物線的對稱軸是：x=3；（2）P點坐標(biāo)為（3，）．原因以下：∵點A（0，4），拋物線的對稱軸是x=3，∴點A對于對稱軸的對稱點A′的坐標(biāo)為（6，4）如圖1，連結(jié)BA′交對稱軸于點P，連結(jié)AP，此時△PAB的周長最?。O(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵點P的橫坐標(biāo)為3，∴y=×3﹣=，∴P（3，）．（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，第27頁（共91頁）由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4，x=t代入得：y=﹣t+4，則G（t，﹣t+4），此時：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，AD+CF=CO=5，S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG?OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時，△CAN面積的最大值為，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．【議論】本題主要察看了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的要點是方程思想與數(shù)形聯(lián)合思想的靈巧應(yīng)用．4．（2015?阜新）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．1）求拋物線的函數(shù)表達式；2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標(biāo)；3）如圖b，設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．第28頁（共91頁）【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）把點A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出對于系數(shù)的方程組，經(jīng)過解方程組求得系數(shù)的值；2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），依據(jù)S△AOP=4S△BOC列出對于x的方程，解方程求出x的值，進而獲取點P的坐標(biāo)；3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，x+3），則D點坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），此后用含x的代數(shù)式表示QD，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得．故該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，則易得B（1，0）．S△AOP=4S△BOC，∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或2﹣，x+2x7=0解得x=﹣1或x=﹣1±2．則吻合條件的點P的坐標(biāo)為：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直線AC的解析式為y=x+3．設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，第29頁（共91頁）∴當(dāng)x=﹣時，QD有最大值．【議論】本題察看了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．本題難度適中，解題的要點是運用方程思想與數(shù)形聯(lián)合思想．5．（2015?荊門）如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰巧落在邊OA上的點E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸成立平面直角坐標(biāo)系．1）求OE的長及經(jīng)過O，D，C三點拋物線的解析式；2）一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)點P抵達點B時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，DP=DQ；3）若點N在（1）中拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，能否存在這樣的點M與點N，使M，N，C，E為極點的四邊形是平行四邊形？若存在，懇求出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）由折疊的性質(zhì)可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求OE，設(shè)AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D點坐標(biāo)，聯(lián)合C、O兩點，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）用t表示出CP、BP的長，可證明△DBP≌△DEQ，可獲取BP=EQ，可求t的值；3）可設(shè)出N點坐標(biāo)，分三種狀況①EN為對角線，②EM為對角線，③EC為對角線，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得對角線的交點橫坐標(biāo)，進而可求得M點的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可求得M點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，∴在Rt△COE中，OE===3，AD=m，則DE=BD=4﹣m，∵OE=3，∴AE=5﹣3=2，第30頁（共91頁）Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2，解得m=，∴D（﹣，﹣5），∵C（﹣4，0），O（0，0），∴設(shè)過O、D、C三點的拋物線為y=ax（x+4），∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=，∴拋物線解析式為y=x（x+4）=x2+x；2）∵CP=2t，∴BP=5﹣2t，在Rt△DBP和Rt△DEQ中，，Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），BP=EQ，5﹣2t=t，t=；3）∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣2，∴設(shè)N（﹣2，n），又由題意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），設(shè)M（m，y），①當(dāng)EN為對角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時，則線段EN的中點橫坐標(biāo)為=﹣1，線段CM中點橫坐標(biāo)為，∵EN，CM互相均分，∴=﹣1，解得m=2，M點在拋物線上，∴y=×22+×2=16，M（2，16）；②當(dāng)EM為對角線，即四邊形ECMN是平行四邊形時，則線段EM的中點橫坐標(biāo)為，線段CN中點橫坐標(biāo)為=﹣3，EM，CN互相均分，∴=﹣3，解得m=﹣6，又∵M點在拋物線上，∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，第31頁（共91頁）∴M（﹣6，16）；③當(dāng)CE為對角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時，則M為拋物線的極點，即M（﹣2，﹣）．綜上可知，存在知足條件的點M，其坐標(biāo)為（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．【議論】本題主要察看二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，波及待定系數(shù)法、全等三角形的判斷和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識點．在（1）中求得D點坐標(biāo)是解題的要點，在（2）中證得全等，獲取對于t的方程是解題的要點，在（3）中注意分類議論思想的應(yīng)用．本題察看知識點好多，綜合性較強，難度適中．6．（2015?河南）如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點C為極點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上點A，C間的一個動點（含端點），過P作PF⊥BC于點F，點D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（﹣4，0），連結(jié)PD、PE、DE．（1）請直接寫出拋物線的解析式；（2）小明研究點P的地點發(fā)現(xiàn)：當(dāng)P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判斷該猜想能否正確，并說明原因；（3）小明進一步研究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點P記作“好點”，則存在多個“好點”，且使△PDE的周長最小的點P也是一個“好點”．請直接寫出全部“好點”的個數(shù)，并求出△PDE周長最小時“好點”的坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）第一表示出P，F(xiàn)點坐標(biāo)，再利用兩點之間距離公式得出PD，PF的長，進而求出即可；3）依據(jù)題意當(dāng)P、E、F三點共線時，PE+PF最小，進而得出P點坐標(biāo)以及利用△PDE的面積可以等于4到13全部整數(shù)，在面積為12時，a的值有兩個，進而得出答案．【解答】解：（1）∵邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點C為極點的拋物線經(jīng)過點A，∴C（0，8），A（﹣8，0），設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+c，第32頁（共91頁）則，解得：2故拋物線的解析式為：y=﹣x+8；（2）正確，原因：設(shè)P（a，﹣a2+8），則F（，），a8∵D（0，6），∴PD===a2，+2PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，∴PD﹣PF=2；3）在點P運動時，DE大小不變，則PE與PD的和最小時，△PDE的周長最小，∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，∴當(dāng)P、E、F三點共線時，PE+PF最小，此時點P，E的橫坐標(biāo)都為﹣4，x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，P（﹣4，6），此時△PDE的周長最小，且△PDE的面積為12，點P恰為“好點，∴△PDE的周長最小時”好點“的坐標(biāo)為：（﹣4，6），由（2）得：P（a，﹣a2+8），∵點D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（﹣4，0），①當(dāng)﹣4≤a＜0時，S△PDE=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣?（﹣a2+8﹣6）=；4＜S△PDE≤12，②當(dāng)a=0時，S△PDE=4，③﹣8＜a＜﹣4時，S△PDE=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）×（﹣a2+8）×=﹣a2﹣3a+4，4≤S△PDE≤13，第33頁（共91頁）④當(dāng)a=﹣8時，S△PDE=12，∴△PDE的面積可以等于4到13全部整數(shù)，在面積為12時，a的值有兩個，因此面積為整數(shù)時好點有11個，經(jīng)過考證周長最小的好點包括這11個之內(nèi)，因此好點共11個，綜上所述：11個好點，P（﹣4，6）．【議論】本題主要察看了二次函數(shù)綜合以及兩點距離公式以及配方法求二次函數(shù)最值等知識，利用數(shù)形聯(lián)合得出吻合題意的答案是解題要點．27．（2015?桂林）如圖，已知拋物線y=﹣x+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度挪動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度挪動，動點C、D同時出發(fā)，當(dāng)動點D抵達原點O時，點C、D停止運動．1）直接寫出拋物線的解析式：y=﹣x2+3x+8；2）求△CED的面積S與D點運動時間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？3）當(dāng)△CED的面積最大時，在拋物線上能否存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8；2）依據(jù)題意得：當(dāng)D點運動t秒時，BD=t，OC=t，此后由點A（0，8）、B8，0），可得OA=8，OB=8，進而可得OD=8﹣t，此后令y=0，求出點E的坐第34頁（共91頁）標(biāo)為（﹣2，0），進而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，此后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點運動時間t的函數(shù)解析式為：S=﹣t2+5t，此后轉(zhuǎn)變成極點式即可求出最值為：S最大=；（3）由（2）知：當(dāng)t=5時，S最大=，進而可知：當(dāng)t=5時，OC=5，OD=3，進而可得CD=，進而確定C（0，5），D（3，0）此后依據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為：y=﹣x+5，此后過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，此后求出直線EF的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組解得即可獲取其中的一個點P的坐標(biāo)，此后利用面積法求出點E到CD的距離為：，此后過點D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，此后求出N的坐標(biāo)，此后過點N作NH∥CD，與拋物線交與點P，此后求出直線NH的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組求解即可獲取其中的另兩個點P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=3，c=8，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8，2故答案為：y=﹣x+3x+8；2）∵點A（0，8）、B（8，0），∴OA=8，OB=8，y=0，得：﹣x2+3x+8=0，解得：x18，x2=2，∵點E在x軸的負(fù)半軸上，∴點E（﹣2，0），OE=2，依據(jù)題意得：當(dāng)D點運動t秒時，BD=t，OC=t，OD=8﹣t，DE=OE+OD=10﹣t，S=?DE?OC=?（10﹣t）?t=﹣t2+5t，S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，∴當(dāng)t=5時，S最大=；第35頁（共91頁）（3）由（2）知：當(dāng)t=5時，S最大=，∴當(dāng)t=5時，OC=5，OD=3，C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，將C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=﹣，b=5，∴直線CD的解析式為：y=﹣x+5，過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，如圖1，設(shè)直線EF的解析式為：y=﹣x+b，E（﹣2，0）代入得：b=﹣，∴直線EF的解析式為：y=﹣x﹣，y=﹣x﹣，與y=﹣x2+3x+8聯(lián)立成方程組得：，解得：，，第36頁（共91頁）∴P（，﹣）；過點E作EG⊥CD，垂足為G，∵當(dāng)t=5時，S△ECD==，∴EG=，過點D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，過點N作NM⊥x軸，垂足為M，如圖2，可得△EGD∽△DMN，∴，即：，解得：DM=，∴OM=，由勾股定理得：MN==，∴N（，），過點N作NH∥CD，與拋物線交與點P，如圖2，設(shè)直線NH的解析式為：y=﹣x+b，第37頁（共91頁）將N（，），代入上式得：b=，∴直線NH的解析式為：y=﹣x+，y=﹣x+，與y=﹣x2+3x+8聯(lián)立成方程組得：，解得：，，∴P（8，0）或P（，），綜上所述：當(dāng)△CED的面積最大時，在拋物線上存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點P的坐標(biāo)為：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．【議論】本題察看了二次函數(shù)的綜合題，主要波及了以下知識點：用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)的最值問題，三角形的面積公式及用二元一次方程組求交點問題等．解決（3）用到的知識點是兩條平行線間的距離各處相等．8．（2015?南昌）如圖，已知二次函數(shù)L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函數(shù)L2：y=﹣a（x+1）2（＞）圖象的極點分別為M，N，與y軸分別交于點，+1a0EF．（1）函數(shù)y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值為3，當(dāng)二次函數(shù)L1，L2的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是﹣1≤x≤1．2）當(dāng)EF=MN時，求a的值，并判斷四邊形ENFM的形狀（直接寫出，不用證明）．3）若二次函數(shù)L2的圖象與x軸的右交點為A（m，0），當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部第38頁（共91頁）【專題】壓軸題．【解析】（1）把二次函數(shù)L1：y=ax2﹣2ax+a+3化成極點式，即可求得最小值，分別求得二次函數(shù)L1，L2的y值隨著x的增大而減小的x的取值，進而求得二次函數(shù)L1，L2的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍；2）先求得E、F點的坐標(biāo)，作MG⊥y軸于G，則MG=1，作NH⊥y軸于H，則NH=1，進而求得MG=NH=1，此后證得△EMG≌△FNH，∠MEF=∠NFE，EM=NF，進而證得EM∥NF，進而得出四邊形ENFM是平行四邊形；3）作MN的垂直均分線，交MN于D，交x軸于A，先求得D的坐標(biāo)，既而求得MN的解析式，進而即可求得直線AD的解析式，令y=0，求得A的坐標(biāo)，依據(jù)對稱軸進而求得另一個交點的坐標(biāo)，即可求得方程﹣a（x+1）2+1=0的解．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)L1：y=ax2﹣2ax+a+3=a（x﹣1）2+3，∴極點M坐標(biāo)為（1，3），a＞0，∴函數(shù)y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值為3，∵二次函數(shù)L1的對稱軸為x=1，當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小；二次函數(shù)L2：y=﹣a（x+1）2+1的對稱軸為x=﹣1，當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而減?。弧喈?dāng)二次函數(shù)L1，L2的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是﹣1≤x≤1；故答案為：3，﹣1≤x≤1．2）由二次函數(shù)L1：y=ax2﹣2ax+a+3可知E（0，a+3），22由二次函數(shù)L2：y=﹣a（x+1）+1=﹣ax﹣2ax﹣a+1可知F（0，﹣a+1），∴EF=MN==2，∴a+3﹣（﹣a+1）=2，a=﹣1，MG⊥y軸于G，則MG=1，作NH⊥y軸于H，則NH=1，∴MG=NH=1，∵EG=a+3﹣3=a，F(xiàn)H=1﹣（﹣a+1）=a，EG=FH，在△EMG和△FNH中，，∴△EMG≌△FNH（SAS），∴∠MEF=∠NFE，EM=NF，∴EM∥NF，∴四邊形ENFM是平行四邊形；∵EF=MN，∴四邊形ENFM是矩形；（3）由△AMN為等腰三角形，可分為以下三種狀況：①如圖2，當(dāng)MN=NA=2時，過點N作ND⊥x軸，垂足為點D，則有ND=1，DA=m﹣（﹣1）=m+1，在Rt△NDA中，NA22+ND2，即（2）2=（）22，=DAm+1+1第39頁（共91頁）m1=﹣1，m2=﹣﹣1（不合題意，舍去），A（﹣1，0）．由拋物線y=﹣a（x+1）2（＞）的對稱軸為x=﹣，+1a01∴它與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（﹣1﹣，0）．．∴方程﹣a（x+1）2的解為1=2+1=0x﹣1，x=﹣1﹣②如圖3，當(dāng)MA=NA時，過點M作MG⊥x軸，垂足為G，則有OG=1，MG=3，GA=|m﹣1|，∴在Rt△MGA中，MA2=MG2+GA2，即MA2=32+（m﹣1）2，又∵NA2=（m+1）2+12，2222∴（m+1）+1=3+（m﹣1），m=2，則拋物線y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）的左交點坐標(biāo)為（﹣4，0），∴方程﹣a（x+1）2+1=0的解為x1=2，x2=﹣4．222③當(dāng)MN=MA時，3+（m﹣1）=（2），綜上所述，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，方程﹣a（x+1）2=0的解為x1=﹣1，x2=﹣1﹣或x1=2，x2=﹣4．第40頁（共91頁）【議論】本題是二次函數(shù)的綜合題，察看了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判斷和性質(zhì)，平行四邊形的判斷，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等，求得A的坐標(biāo)是解題的要點．9．（2015?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．1）①直接寫出點B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連結(jié)PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)．3）拋物線上能否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為極點的三角形與△ABC相像？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）①先求的直線y=x+2與x軸交點的坐標(biāo)，此后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標(biāo)；②設(shè)拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x﹣1），此后將點C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；（2）設(shè)點P、Q的橫坐標(biāo)為m，分別求得點P、Q的縱坐標(biāo)，進而可獲取線段PQ=m2﹣2m，此后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4，此后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，進而可求得點P的坐標(biāo)；（3）第一可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，此后分以下幾種狀況分類議論即可：①當(dāng)M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②依據(jù)拋物線的對稱性，當(dāng)M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC；④當(dāng)點M在第四象限時，解題時，需要注意相像三角形的對應(yīng)關(guān)系．【解答】解：（1）①y=當(dāng)x=0時，y=2，當(dāng)y=0時，x=﹣4，C（0，2），A（﹣4，0），由拋物線的對稱性可知：點A與點B對于x=﹣對稱，∴點B的坐標(biāo)為1，0）．②∵拋物線y=ax2+bx+c過A（﹣4，0），B（1，0），第41頁（共91頁）∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣1），又∵拋物線過點C（0，2），2=﹣4aa=∴y=x2x+2．（2）設(shè)P（m，m2m+2）．過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，Q（m，m+2），∴PQ=m2m+2﹣（m+2）m2﹣2m，S△PAC=×PQ×4，=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，∴當(dāng)m=﹣2時，△PAC的面積有最大值是4，此時P（﹣2，3）．3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，∴∠CAO=∠BCO，∵∠BCO+∠OBC=90°，∴∠CAO+∠OBC=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC∽△ACO∽△CBO，以以以下列圖：第42頁（共91頁）①當(dāng)M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②依據(jù)拋物線的對稱性，當(dāng)M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC；③當(dāng)點M在第四象限時，設(shè)M（n，n2n+2），則N（n，0）MN=n2+n﹣2，AN=n+4當(dāng)時，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）整理得：n2+2n﹣8=0解得：n1=﹣4（舍），n2=2∴M（2，﹣3）；當(dāng)時，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），整理得：n2﹣n﹣20=0解得：n1=﹣4（舍），n2=5，∴M（5，﹣18）．綜上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以點A、M、N為極點的三角形與△ABC相像．【議論】本題主要察看的是二次函數(shù)與相像三角形的綜合應(yīng)用，難度較大，解答本題需要同學(xué)們嫻熟掌握二次函數(shù)和相像三角形的有關(guān)性質(zhì)．10．（2015?衡陽）如圖，極點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1訂交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標(biāo)為2，連結(jié)AM、BM．1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；2）判斷△ABM的形狀，并說明原因；3）把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其極點為（m，2m），當(dāng)m知足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．第43頁（共91頁）【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）由條件可分別求得A、B的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；2）聯(lián)合（1）中A、B、C的坐標(biāo)，依據(jù)勾股定理可分別求得AB、AM、BM，可獲取AB2+AM2=BM2，可判斷△ABM為直角三角形；（3）由條件可寫出平移后的拋物線的解析式，聯(lián)立y=x，可獲取對于x的一元二次方程，依據(jù)根的鑒別式可求得m的范圍．【解答】解：（1）∵A點為直線y=x+1與x軸的交點，∴A（﹣1，0），B點橫坐標(biāo)為2，代入y=x+1可求得y=3，∴B（2，3），∵拋物線極點在y軸上，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c，把A、B兩點坐標(biāo)代入可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣1；（2）△ABM為直角三角形．原因如：由（1）拋物線解析式為y=x2﹣1可知M點坐標(biāo)為（0，﹣1），∴AM=，AB===3，BM==2，AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM為直角三角形；（3）當(dāng)拋物線y=x2﹣1平移后極點坐標(biāo)為（m，2m）時，其解析式為y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，聯(lián)立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，∵平移后的拋物線總有不動點，22∴方程x﹣（2m+1）x+m+2m=0總有實數(shù)根，解得m≤，即當(dāng)m≤時，平移后的拋物線總有不動點．第44頁（共91頁）【議論】本題主要察看二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，波及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知識點．在（1）中確定出A、B兩點的坐標(biāo)是解題的要點，在（2）中分別求得AB、AM、BM的長是解題的要點，在3）中確定出拋物線有不動點的條件是解題的要點．本題察看知識點較為基礎(chǔ)，難度適中．11．（2015?孝感）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點．1）求拋物線的解析式；2）在AC上方的拋物線上有一動點P．①如圖1，當(dāng)點P運動到某地點時，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個極點恰巧也在拋物線上，求出此時點P的坐標(biāo)；②如圖2，過點O，P的直線y=kx交AC于點E，若PE：OE=3：8，求k的值．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）由直線的解析式y(tǒng)=x+4易求點A和點C的坐標(biāo)，把A和C的坐標(biāo)分別代入y=﹣x2+bx+c求出b和c的值即可獲取拋物線的解析式；（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個極點Q恰巧也在拋物線上，PQ∥AO，再依據(jù)拋物線的對稱軸可求出點P的橫坐標(biāo)，由（1）中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標(biāo)，問題得解；②過P點作PF∥OC交AC于點F，由于PF∥OC，因此△PEF∽△OEC，由相像三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出PF的長，進而可設(shè)點點F（x，x+4），利用，可求出x的值，解方程求出x的值可得點P的坐標(biāo)，代入直線y=kx即可求出k的值．【解答】解：（1）∵直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點，A點坐標(biāo)是（﹣4，0），點C坐標(biāo)是（0，4），又∵拋物線過A，C兩點，∴，解得：，第45頁（共91頁）∴拋物線的解析式為．（2）①如圖1∵，∴拋物線的對稱軸是直線x=﹣1．∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個極點Q恰巧也在拋物線上，PQ∥AO，PQ=AO=4．∵P，Q都在拋物線上，P，Q對于直線x=﹣1對稱，P點的橫坐標(biāo)是﹣3，∴當(dāng)x=﹣3時，，∴P點的坐標(biāo)是；②過P點作PF∥OC交AC于點F，PF∥OC，∴△PEF∽△OEC，∴．又∵，∴，設(shè)點F（x，x+4），∴，化簡得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．當(dāng)x=﹣1時，；當(dāng)x=﹣3時，，即P點坐標(biāo)是或．又∵點P在直線y=kx上，∴．第46頁（共91頁）【議論】本題是二次函數(shù)綜合題，察看了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判斷和性質(zhì)，相像三角形的判斷和性質(zhì)，解一元二次方程，題目綜合性較強，難度不大，是一道很好的中考題．12．（2015?無錫）一次函數(shù)y=x的圖象以以以下列圖，它與二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+c的圖象交于A、B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點C．1）求點C的坐標(biāo)；2）設(shè)二次函數(shù)圖象的極點為D．①若點D與點C對于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；②若CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）先求出對稱軸為x=2，此后求出與一次函數(shù)y=x的交點，即點C的坐標(biāo)；（2）①先求出點D的坐標(biāo)，設(shè)A坐標(biāo)為（m，m），此后依據(jù)面積為3，求出m的值，得出點A的坐標(biāo)，最后依據(jù)待定系數(shù)法求出a、c的值，即可求出解析式；第47頁（共91頁）②過點A作AE⊥CD于E，設(shè)A坐標(biāo)為（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，此后求出點A坐標(biāo)以及CD的長度，此后分兩種狀況：當(dāng)a＞0，當(dāng)a＜0時，分別求出點D的坐標(biāo)，代入求出二次函數(shù)的解析式．22【解答】解：（1）∵y=ax﹣4ax+c=a（x﹣2）﹣4a+c，x=2時，y=x=，故點C（2，）；2）①∵點D與點C對于x軸對稱，∴D（2，﹣，），CD=3，設(shè)A（m，m）（m＜2），S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，解得m=0，∴A（0，0）．由A（0，0）、D（2，﹣）得：，解得：a=，c=0．y=x2﹣x；②設(shè)A（m，m）（m＜2），過點A作AE⊥CD于E，則AE=2﹣m，CE=﹣m，AC===（2﹣m），CD=AC，CD=（2﹣m），S△ACD=10得×（2﹣m）2=10，解得：m=﹣2或m=6（舍去），m=﹣2，第48頁（共91頁）∴A（﹣2，﹣），CD=5，a＞0時，則點D在點C下方，∴D（2，﹣），A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：，解得：，y=x2﹣x﹣3；a＜0時，則點D在點C上方，∴D（2，），由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，解得，y=﹣x2+2x+．【議論】本題察看了二次根式的綜合題，波及了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，三角形的面積公式，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識點，綜合性較強，難度較大．第49頁（共91頁）13．（2015?濟寧）如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸訂交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為y=x+4，與x軸訂交于點D，以點C為極點的拋物線過點B．1）求拋物線的解析式；2）判斷直線l與⊙E的地點關(guān)系，并說明原因；3）動點P在拋物線上，當(dāng)點P到直線l的距離最小時．求出點P的坐標(biāo)及最小距離．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）連結(jié)AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長，聯(lián)合垂徑定理求出OC的長，進而獲取C點坐標(biāo)，進而獲取拋物線的解析式；（2）求出點D的坐標(biāo)為（﹣，0），依據(jù)△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判斷出直線l與⊙E相切與A．（3）過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M．設(shè)M（m，m+4），P（m，﹣m2﹣），獲取PM=m+4+m4﹣（﹣m2﹣）m2﹣m+8=（m﹣2）2+，依據(jù)△PQM的三個內(nèi)角+m4=固定不變，獲取PQ最小=PM最小?sin∠QMP=PM最小?sin∠AEO=×=，進而獲取最小距離．【解答】解：（1）如圖1，連結(jié)AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4，OC⊥AB，∴由垂徑定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），∵拋物線的極點為C，∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣8）2，將點B的坐標(biāo)代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣，第50頁（共91頁）y=﹣（x﹣8）2，y=﹣x2+x﹣4為所求拋物線的解析式，（2）在直線l的解析式y(tǒng)=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=﹣，∴點D的坐標(biāo)為（﹣，0），x=0時，y=4，∴點A在直線l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，=，=，=，∵∠AOE=∠DOA=90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直線l與⊙E相切與A．3）如圖2，過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M．M（m，m+4），P（m，﹣m2+m﹣4），則﹣（﹣2m2﹣m+8=（m﹣2）2+，PM=m+4m+m﹣4）=當(dāng)m=2時，PM獲取最小值，此時，P（2，﹣），對于△PQM，PM⊥x軸，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，又∠PQM=90°，∴△PQM的三個內(nèi)角固定不變，∴在動點P運動的過程中，△PQM的三邊的比率關(guān)系不變，∴當(dāng)PM獲取最小值時，PQ也獲取最小值，PQ最小=PM最小?sin∠QMP=PM最小?sin∠AEO=×=，第51頁（共91頁）∴當(dāng)拋物線上的動點P的坐標(biāo)為（2，﹣）時，點P到直線l的距離最小，其最小距離為．【議論】本題察看了二次函數(shù)綜合題，波及勾股定理、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、切線的判斷和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識，在解答（3）時要注意點P、點M坐標(biāo)的想法，以便利用二次函數(shù)的最值求解．14．（2015?佛山）如圖，一小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫．1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標(biāo)；2）小球的落點是A，求點A的坐標(biāo)；3）連結(jié)拋物線的最高點P與點O、A得△POA，求△POA的面積；4）在OA上方的拋物線上存在一點M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點M的坐標(biāo)．第52頁（共91頁）【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）利用配方法拋物線的一般式化為極點式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標(biāo)；2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點A的坐標(biāo)；3）作PQ⊥x軸于點Q，AB⊥x軸于點B．依據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入數(shù)值計算即可求解；4）過P作OA的平行線，交拋物線于點M，連結(jié)OM、AM，由于兩平行線之間的距離相等，依據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，將P（2，4）代入，求出直線PM的解析式為y=x+3．再與拋物線的解析式聯(lián)立，獲取方程組，解方程組即可求出點M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標(biāo)為（2，4）；（2）聯(lián)立兩解析式可得：，解得：，或．故可得點A的坐標(biāo)為（，）；3）如圖，作PQ⊥x軸于點Q，AB⊥x軸于點B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣；4）過P作OA的平行線，交拋物線于點M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，第53頁（共91頁）P的坐標(biāo)為（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直線PM的解析式為y=x+3．由，解得，，∴點M的坐標(biāo)為（，）．【議論】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中波及到兩函數(shù)圖象交點的求解方法，二次函數(shù)極點坐標(biāo)的求解方法，三角形的面積，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，難度適中．利用數(shù)形聯(lián)合與方程思想是解題的要點．15．（2015?甘孜州）如圖，已知拋物線y=ax2﹣5ax+2（a≠0）與y軸交于點C，x軸交于點A（1，0）和點B．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線BC的解析式；（3）若點N是拋物線上的動點，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為極點的三角形能否可以與△OBC相像（除去全等的狀況）？若能，懇求出全部吻合條件的點N的坐標(biāo)；若不可以，請說明原因．第54頁（共91頁）【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）把點A坐標(biāo)代入拋物線y=ax2﹣5ax+2（a≠0）求得拋物線的解析式即可；2）求出拋物線的對稱軸，再求得點B、C坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，再把B、C兩點坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，求得k和b即可；3）設(shè)N（x，ax2﹣5ax+2），分兩種狀況議論：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，依據(jù)相像，得出比率式，再分別求得點N坐標(biāo)即可．2a﹣5a+2=0，a=，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+2；（2）拋物線的對稱軸為直線x=，∴點B（4，0），C（0，2），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∴把B、C兩點坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，得，解得k=﹣，b=2，∴直線BC的解析式y(tǒng)=﹣x+2；（3）設(shè)N（x，x2﹣x+2），分三種狀況議論：①當(dāng)△OBC∽△HNB時，如圖1，，即=，解得x1=5，x2=4（不合題意，舍去），∴點N坐標(biāo)（5，2）；②當(dāng)△OBC∽△HBN時，如圖2，第55頁（共91頁），即=﹣，解得x1=2，x2=4（不合題意舍去），∴點N坐標(biāo)（2，﹣1）；③當(dāng)N（x，x2﹣x+2）在第二象限時，H（x，0）在x軸的負(fù)半軸上，BH=4﹣x，∵△OBC∽△HNB，∴，即=，獲取x2﹣x﹣12=0解得x1=4（舍去）；x2=﹣3，∴N點的坐標(biāo)為（﹣3，14）綜上所述，N點的坐標(biāo)為（5，2）、（2，﹣1）或（﹣3，14）．第56頁（共91頁）【議論】本題察看了二次函數(shù)的綜合題，以及二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式確實定以及三角形的相像，解答本題需要較強的綜合作答能力，特別是作答（3）問時需要進行分類，這是同學(xué)們簡單忽略的地方，本題難度較大．16．（2015?連云港）如圖，已知一條直線過點（0，4），且與拋物線y=x2交于A，B兩點，其中點A的橫坐標(biāo)是﹣2．1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點B的坐標(biāo)．2）在x軸上能否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標(biāo)，若不存在，請說明原因．3）過線段AB上一點P，作PM∥x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N（0，1），當(dāng)點M的橫坐標(biāo)為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）第一求得點A的坐標(biāo)，此后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，進而求得直線與拋物線的交點坐標(biāo)；2）如圖1，過點B作BG∥x軸，過點A作AG∥y軸，交點為G，此后分若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2三種狀況求得m的值，進而確定點C的坐標(biāo)；第57頁（共91頁）（3）設(shè)M（a，a2），如圖2，設(shè)MP與y軸交于點Q，第一在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=a2+1，此后依據(jù)點P與點M縱坐標(biāo)相同獲取x=，從而獲取MN+3PM=﹣a2+3a+9，確定二次函數(shù)的最值即可．【解答】解：（1）∵點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標(biāo)為﹣2，2設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將（0，4），（﹣2，1）代入得，解得，∴直線y=x+4，∵直線與拋物線訂交，x+4=x2，解得：x=﹣2或x=8，x=8時，y=16，∴點B的坐標(biāo)為（8，16）；（2）如圖1，過點B作BG∥x軸，過點A作AG∥y軸，交點為G，AG2+BG2=AB2，∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．設(shè)點C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，①若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，解得：m=﹣；②若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320，解得：m=0或m=6；③若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，解得：m=32；∴點C的坐標(biāo)為（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）（3）設(shè)M（a，a2），如圖2，設(shè)MP與y軸交于點Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN==a2+1，第58頁（共91頁）又∵點P與點M縱坐標(biāo)相同，+4=a2，x=，∴點P的橫坐標(biāo)為，∴MP=a﹣，∴MN+3PM=+1+3（a﹣）=﹣a2+3a+9，∴當(dāng)a=﹣=6，又∵﹣2≤6≤8，∴取到最大值18，∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時，MN+3PM的長度的最大值是18．【議論】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中波及到的知識點有拋物線的極點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意解析題意分狀況議論結(jié)果．17．（2015?赤峰）已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的極點為D．第59頁（共91頁）1）求此二次函數(shù)解析式；2）連結(jié)DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上能否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出吻合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．【考點】二次函數(shù)綜合題．版權(quán)全部【專題】壓軸題．【解析】（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式；（2）分別求得線段BC、CD、BD的長，利用勾股定理的逆定理進行判斷即可；（3）分以CD為底和以CD為腰兩種狀況議論．運用兩點間距離公式成立起P點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再聯(lián)合拋物線解析式即可求解．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），∴依據(jù)題意，得，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．2）由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D點坐標(biāo)為（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）存在．2y=﹣x+2x+3對稱軸為直線x=1．第60頁（共91頁）P1點坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1點（x，y）在拋物線上，4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，應(yīng)舍去，∴x=，∴y=4﹣x=，即點P1坐標(biāo)為（，）．②若以CD為一腰，∵點P2在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P2與點C對于直線x=1對稱，此時點P2坐標(biāo)為（2，3）．∴吻合條件的點P坐標(biāo)為（，）或（2，3）．【議論】本題是一道典型的“存在性問題”，聯(lián)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、直角梯形的性質(zhì)，察看了它們存在的條件，有必定的開放性．18．（2015?貴陽）如圖，經(jīng)過點C（0，﹣4）的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸訂交于A（﹣2，0），B兩點．1）a＞0，b2﹣4ac＞0（填“＞”或“＜”）；2）