2022衡水名師原創(chuàng)數(shù)學(xué)專題卷專題十四《計(jì)數(shù)原理》考點(diǎn)45：排列與組合（1-4題，9題，13,14題，17-19題）考點(diǎn)46：二項(xiàng)式定理（5-8題，10-12題，15,16題，20-22題）考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分說明：請將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上第I卷（選擇題）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.六人并排站成一行，如果甲乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法共有()種A. B. C. D.2.從10名男生6名女生中任選3人參加競賽，要求參賽的3人中既有男生又有女生，則不同的選法有()種A.1190 B.560 C.420 D.33603.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去一個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有()A.120種 B.90種 C.60種 D.30種4.如圖,給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)涂色,要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色,現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇,則不同的涂色方法種數(shù)有()A.24

B.48

C.96

D.1205.設(shè)，則的值為()A．2 B． C．1 D．6.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B.5 C. D.107.展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．180 B．90 C．-180 D．-908.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.15 D.20二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分。）9.有13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療小組前往湖北疫區(qū)，若醫(yī)療小組至少有2名男醫(yī)生，同時(shí)至多有3名女醫(yī)生，設(shè)不同的選派方法種數(shù)為，則下列等式能成為的算式是().A.； B.；C.； D.；10.已知的展開式中第5項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等,且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,則下列說法正確的是()A.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B.展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大C.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)D.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為4511.對于二項(xiàng)式，以下判斷正確的有()A.存在，展開式中有常數(shù)項(xiàng)；B.對任意，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；C.對任意，展開式中沒有的一次項(xiàng)；D.存在，展開式中有的一次項(xiàng).12.若且，則實(shí)數(shù)的值可以為()A. B. C.0 D.1第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13.四位同學(xué)站成一排照相，則中至少有一人站在兩端的概率為________.14.將編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，則每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不同的概率為_______.15.若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為150，則的最小值為______．16.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為32，則展開式中的系數(shù)為_____.（用數(shù)字作答）四、解答題（本題共6小題，共70分。）17.（本題滿分10分）周末老師帶領(lǐng)學(xué)生去南山公園旅游，為了留下美好的回憶，決定在公園門口合影留念。現(xiàn)有7名師生站成一排照相，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各有多少種不同站法？(每題都要用數(shù)字作答)（1）兩名女生必須相鄰而站；（2）4名男生互不相鄰；（3）若4名男生身高都不等，從左向右看，男生按從高到低的順序站．18.（本題滿分12分）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.應(yīng)國務(wù)院要求，黑龍江某醫(yī)院選派醫(yī)生參加援鄂醫(yī)療，該院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；該院病毒感染科有2名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任，現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中共選4人參加援鄂醫(yī)療（最后結(jié)果用數(shù)字表達(dá)）（1）若至多有1名主任參加，有多少種派法？（2）若呼吸內(nèi)科至少2名醫(yī)生參加，有多少種派法？（3）若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，有多少種派法？19.（本題滿分12分）一個(gè)正方形花圃被分成5份. （1）若給這5個(gè)部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，己知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法? （2）若將6個(gè)不同的盆栽都擺放入這5個(gè)部分，且要求每個(gè)部分至少有一個(gè)盆栽，問有多少種不同的放法?20.（本題滿分12分）在的展開式中，（1）求展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（2）求第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第4項(xiàng)的系數(shù)．（3）設(shè)，求的值．21.（本題滿分12分）若，且.（1）求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求的值22.（本題滿分12分）設(shè)QUOTE，若QUOTE，QUOTE，QUOTE成等差數(shù)列．

QUOTE求QUOTE展開式的中間項(xiàng)；

QUOTE求QUOTE展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和；

QUOTE求QUOTE展開式中系數(shù)最大項(xiàng)

參考答案及解析1.答案：B解析：∵甲、乙兩人必須不相鄰∴先排列其他4個(gè)人，共有種排法，再在4個(gè)人形成的5個(gè)空中選2個(gè)位置排列，共有種排法；∴不同的排法有（種）2.答案：C解析：這3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女兩種情況。若3人中有2男1女,則不同的選法共有種，若3人中有1男2女,則不同的選法共有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所有的不同的選法共有種，故選：C3.答案：C解析：.4.答案：C解析：分步如下:第一步先涂三點(diǎn)的顏色必須各異,不同的涂色方法種數(shù)為種;第二步涂兩點(diǎn),假設(shè)已涂的三色順序分別為,那么可涂的分為:涂,可以選擇中的一種顏色來涂，有種；涂，可以選擇中的一種顏色來涂，有種；所以不同的涂色方法種數(shù)有種.5.答案：D解析：令，即令得6.答案：C解析：由二項(xiàng)式定理得的展開式的通項(xiàng)，令，得，所以，所以的系數(shù)為，故選C.7.答案：A解析：因?yàn)榈恼归_式中只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以,則由,令,解得,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是,故正確答案選A8.答案：C解析：因?yàn)榈恼归_式的第項(xiàng)，所以的展開式中的系數(shù)為.故選C.9.答案：BC解析：解：13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，男醫(yī)生7人．利用直接法，2男3女：；3男2女：；4男1女：；5男：，所以；利用間接法：13名醫(yī)生，任取5人，減去4、5名女醫(yī)生的情況，即；所以能成為的算式是BC．故選：BC．10.答案：BCD解析：因?yàn)榈恼归_式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的第二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以得,因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,所以令,得得故給定的二項(xiàng)式為展開式的系數(shù)與對應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,故B正確,展開式的通項(xiàng)通項(xiàng)公式為,令,記得即常數(shù)項(xiàng)為第9項(xiàng),故C正確,令,得,故展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為故D正確11.答案：AD解析：設(shè)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，則，不妨令，則時(shí)，展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確，答案B錯(cuò)誤；令，則時(shí)，展開式中有的一次項(xiàng)，故C答案錯(cuò)誤，D答案正確.故答案選AD.12.答案：AD解析：因?yàn)?，令得：，令得：，因?yàn)?，所以，所以，所以或，解得：?故選：AD.13.答案：解析：四位同學(xué)站成一排照相，基本事件總數(shù)，中至少有一人站在兩端包含的基本事件個(gè)數(shù)，故兩人中至少有一人站在兩端的概率14.答案：解析：由題意知，要求每個(gè)盒子都不空，則三個(gè)盒子中放入小球的個(gè)數(shù)可以分別為3，1，1，或2，2，1，若要求每個(gè)盒子中小球編號(hào)的奇偶性不同，則只能是2，2，1，且放入同一盒子中的兩個(gè)小球必須是編號(hào)為一奇一偶，∴每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不相同的概率為：.15.答案：解析：的展開式的通項(xiàng)為：由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值為16.答案：120解析：令,則得

展開式中的項(xiàng)為：所以其系數(shù)為120.17.答案：（1）∵兩個(gè)女生必須相鄰而站；∴把兩個(gè)女生看做一個(gè)元素，則共有6個(gè)元素進(jìn)行全排列，還有女生內(nèi)部的一個(gè)排列共有．（2）∵4名男生互不相鄰；∴應(yīng)用插空法，要老師和女生先排列，形成四個(gè)空再排男生共有．（3）根據(jù)題意，先安排老師和女生，在7個(gè)空位中任選3個(gè)即可，有種情況，若4名男生身高都不等，按從左向右身高依次遞減的順序站，則男生的順序只有1種，將4人排在剩余的4個(gè)空位上即可．則共有種不同站法．解析：18.答案：（1）直接法：若無主任：,若只有1名主任：，共105種.間接法：（2）直接法：間接法：（3）張雅即是主任，也是女醫(yī)生.屬于特殊元素，優(yōu)先考慮，所以以是否有張雅來分類第一類：若有張雅第二類：若無有張雅，則李亮必定去：共87種解析：19.答案：（1）先對部分種植，有4種不同的種植方法；再對部分種植，又3種不同的種植方法；對部分種植進(jìn)行分類：①若與相同，有2種不同的種植方法，有2種不同的種植方法，共有（種），②若與不同，有2種不同的種植方法，有1種不同的種植方法，有1種不同的種植方法，共有（種），綜上所述，共有72種種植方法。（2）將6個(gè)盆栽分成5組，則2-1-1-1-1，有種分法；將分好的5組全排列，對應(yīng)5個(gè)部分，則一共有（種）放法，綜上所述，答案：1800種不同的放法。解析：20.答案：（1）展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為：

（2）展開式的第四項(xiàng)是：，第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第四項(xiàng)的系數(shù)為：

（3）因?yàn)?，所以令上式中則令，則解析：21.答案：1.2.解析：1.因?yàn)?，且，所以，解得或（舍），故的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，為；2.令，可知，令，得，所以，故22.答案：1.QUOTE依題意得

QUOTE，QUOTE，，QUOTE．

則QUOTE，QUOTE，QUOTE，

由QUOTE得QUOTE可得QUOTE舍去QUOTE