§1

傅里葉級數(shù)一個函數(shù)能表示成冪級數(shù)給研究函數(shù)帶來便利,但對函數(shù)的要求很高(無限次可導).如果函數(shù)沒有這么好的性質(zhì),能否也可以用一些簡單而又熟悉的函數(shù)組成的級數(shù)來表示該函數(shù)呢?

這就是將要討論的傅里葉級數(shù).傅里葉級數(shù)在數(shù)學、物理學和工程技術(shù)中都有著非常廣泛的應(yīng)用,是又一類重要的級數(shù).返回一、三角級數(shù)·正交函數(shù)系三、收斂定理二、以

為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)§1傅里葉級數(shù)一個函數(shù)能表示成冪級數(shù)給研究函數(shù)帶來一、三角級數(shù)·正交函數(shù)系

在科學實驗與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中,

常會碰到一

種周期運動.

最簡單的周期運動,

可用正弦函數(shù)來描述.

由(1)所表達的周期運動也稱為簡諧振動,其中A為振幅.為初相角,為角頻率,于是簡諧

振動y的周期是

較為復雜的周期運動,則

常常是幾個簡諧振動一、三角級數(shù)·正交函數(shù)系在科學實驗與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中,由于簡諧振動的周期為所以函數(shù)(2)周期為T.

對無窮多個簡諧振動進行疊加就得到函數(shù)項級數(shù)的疊加：若級數(shù)(3)收斂,

則它所描述的是更為一般的周期運由于簡諧振動的周期為所以函數(shù)(2)周期為T.對無窮多個動現(xiàn)象.對于級數(shù)(3),只須討論(如果可

用代換x)的情形.由于

所以動現(xiàn)象.對于級數(shù)(3),只須討論(如果可用代換x它是由三角函數(shù)列(也稱為三角函數(shù)系)所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù).容易驗證,若三角級數(shù)(4)收斂,則它的和一定是一個以

為周期的函數(shù).關(guān)于三角級數(shù)(4)的收斂性有如下定理:則級數(shù)()可寫成它是由三角函數(shù)列(也稱為三角函數(shù)系)所產(chǎn)生的一般形式的三角級定理15.1

若級數(shù)收斂,則級數(shù)(4)在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂.證對任何實數(shù)x,由于根據(jù)優(yōu)級數(shù)判別法,就能得到本定理的結(jié)論.為進一步研究三角級數(shù)(4)的收斂性,先討論三角函數(shù)系

(5)的特性.首先容易看出三角級數(shù)系(5)中所定理15.1若級數(shù)收斂,則級數(shù)(4)在整個數(shù)軸上絕對收斂其次,

在三角函數(shù)系(5)中,

任何兩個不相同的函數(shù)有函數(shù)具有共同的周期

的乘積在上的積分等于零,即而(5)中任何一個函數(shù)的平方在上的積分都其次,在三角函數(shù)系(5)中,任何兩個不相同的函數(shù)有函數(shù)不等于零,

即若兩個函數(shù)與在上可積,且

則稱與在上是正交的,或在上具有正

交性.由此三角函數(shù)系(4)在上具有正交性.

或者說(5)是正交函數(shù)系.不等于零,即若兩個函數(shù)與在上可積,且則稱與在上是正交現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系(5)的正交性來討論三角級數(shù)(4)

的和函數(shù)f與級數(shù)(4)的系數(shù)之間的關(guān)系.定理15.2

若在整個數(shù)軸上且等式右邊級數(shù)一致收斂,

則有如下關(guān)系式:二、以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)

現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系(5)的正交性來討論三角級數(shù)(4)的和函數(shù)證由定理條件,函數(shù)f在上連續(xù)且可積.對

(9)式逐項積分得由關(guān)系式(6)知,

上式右邊括號內(nèi)的積分都等于零.所以證由定理條件,函數(shù)f在上連續(xù)且可積.對(9)即又以乘(9)式兩邊(k為正整數(shù)),得從第十三章§1

習題4知道,

由級數(shù)(9)一致收斂,可得級數(shù)(11)也一致收斂.

于是對級數(shù)(11)逐項求積,有即又以乘(9)式兩邊(k為正整數(shù)),得從第十三章§1由三角函數(shù)的正交性,右邊除了以為系數(shù)的那一

項積分外,其他各項積分都等于0,于是得出:由三角函數(shù)的正交性,右邊除了以為系數(shù)的那一項積分外,其即同理,(9)式兩邊乘以sinkx,并逐項積分,

可得即同理,(9)式兩邊乘以sinkx,并逐項積分,可得由此可知,若f是以為周期且在上可積的

函數(shù),則可按公式(10)計算出和,它們稱為函數(shù)

f(關(guān)于三角函數(shù)系(5))的傅里葉系數(shù),以

f

的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)(9)稱為

f(關(guān)于三角函數(shù)系)的傅里葉級數(shù),

記作這里記號“~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級數(shù),

由定理15.2知道:

若(9)式右邊的三角級數(shù)在整由此可知,若f是以為周期且在上可積的函數(shù),個數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù)

f,

則此三角級數(shù)就是f的傅里葉級數(shù),即此時(12)式中的記號“~”可換為函數(shù)

f出發(fā),

按公式(10)求出其傅里葉系數(shù)并得到傅里葉級數(shù)(12),

這時還需討論此級數(shù)是否收斂.如果收斂,

是否收斂于

f本身.

這就是下一段所要敘述的內(nèi)容.等號.然而,若從以為周期且在上可積的

個數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù)f,則此三角級數(shù)就是f函數(shù)f在上按段光滑,則在每一點f的傅里葉級數(shù)(12)收斂于f在點x的左、右極限的算術(shù)平均值,

即其中為f的傅里葉系數(shù).定理的證明將在§3中進行.定理15.3(傅里葉級數(shù)收斂定理)

若以

為周期的三、收斂定理函數(shù)f在上按段光滑,則在每一點f的傅里葉級注

盡管傅里葉級數(shù)的收斂性質(zhì)不如冪級數(shù),但它對函數(shù)的要求卻比冪級數(shù)要低得多,

所以應(yīng)用更廣.而且即將看到函數(shù)周期性的要求也可以去掉.概念解釋1.若f的導函數(shù)在上連續(xù),則稱f在[a,b]上光滑.

2.如果定義在

上函數(shù)f至多有有限個第一類間

斷點,其導函數(shù)在[a,b]上除了至多有限個點外都存在且連續(xù),并且在這有限個點上導函數(shù)的左、右

極限存在,則稱f在上按段光滑.

注盡管傅里葉級數(shù)的收斂性質(zhì)不如冪級數(shù),但它對函數(shù)的要求卻在[a,b]上按段光滑的函數(shù)f,有如下重要性質(zhì):(i)f在上可積.(ii)在上每一點都存在,如果在不連續(xù)

點補充定義,或,則

還有在[a,b]上按段光滑的函數(shù)f,有如下重要性質(zhì):(i(iii)在補充定義在上那些至多有限個不存在

導數(shù)的點上的值后(仍記為),在[a,b]上可積.

從幾何圖形上講,在區(qū)間[a,b]上按段光滑光滑函數(shù),是由有限個多有有限個第一類間斷點(圖15-1).光滑弧段所組成,它至(iii)在補充定義在上那些至多有限個不存在導數(shù)的點上的收斂定理指出,f的傅里葉級數(shù)在點x處收斂于在該點的左、右極限的算術(shù)平均值而當

f在點

x連續(xù)時,則有即此時f的傅里葉級數(shù)收斂于.這樣便有上按段光滑,則f的傅里葉級數(shù)在上收斂

于

f

.推論若f是以為周期的連續(xù)函數(shù),且在收斂定理指出,f的傅里葉級數(shù)在點x處收斂于在該所以系數(shù)公式(10)中的積分區(qū)間可以改為長

其中

c為任何實數(shù).注2

在具體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時,

經(jīng)常只給出函數(shù)在(或)上的解析式,但讀

注1

根據(jù)收斂定理的假設(shè),f是以為周期的函數(shù),度為的任何區(qū)間,而不影響,的值:所以系數(shù)公式(10)中的積分區(qū)間可以改為長其中c者應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以為周期的函

數(shù),即在以外的部分按函數(shù)在上的對

應(yīng)關(guān)系做周期延拓.也就是說函數(shù)本身不一定是定義在整個數(shù)軸上的周期函數(shù),但我們認為它是周期函數(shù).如f為上的解析表達式,那么周期延拓

后的函數(shù)為者應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以為周期的函數(shù),即在如圖15-2所示.因此當籠統(tǒng)地說函數(shù)的傅里葉級數(shù)時就是指函數(shù)

的傅里葉級數(shù).

例1

設(shè)求

f傅里葉級數(shù)展開式.如圖15-2所示.因此當籠統(tǒng)地說函數(shù)的傅里葉級數(shù)時就是指解函數(shù)

f及其周期延拓后的圖像如圖15-3所示,顯然

f是按段光滑的.故由傅里葉級數(shù)收斂定理,它可以展開成傅里葉級數(shù).

由于解函數(shù)f及其周期延拓后的圖像如圖15-3所示,顯然當n≥1時,當n≥1時,所以在開區(qū)間上在時,上式右邊收斂于所以在開區(qū)間上在時,上式右邊收斂于于是,在上f的傅里葉級數(shù)的圖象如圖15-4

所示(注意它與圖15-3的差別).例2

將下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù):于是,在上f的傅里葉級數(shù)的圖象如圖15-4所解f及其周期延拓的圖形如圖15-5所示.顯然

f是按段光滑的,因此可以展開成傅里葉級數(shù).解f及其周期延拓的圖形如圖15-5所示.顯然f在()中令,在

上計算傅里葉系數(shù)如下:

在()中令,在上計算傅里葉系數(shù)如下:數(shù)學分析課件傅里葉級數(shù)所以當時,所以當時,數(shù)學分析課件傅里葉級數(shù)當時,由于所以因此當或時,由于當時,由于所以因此當或時,由于由(14)或(15)都可推得注上式提供了一個計算的方法.

還可以找出其他

展開式來計算,關(guān)鍵是收斂速度要快.

例3

在電子技術(shù)中經(jīng)常用到矩形波(如圖15-6所示),反映的是一種復雜的周期運動,

用傅里葉級數(shù)展開后,

就可以將復雜的矩形波看成一系列不同頻率的由(14)或(15)都可推得注上式提供了一個計算的方法簡諧振動的疊加,在電工學中稱為諧波分析.設(shè)是周期為的矩形波函數(shù)(圖15-6),在上的表達式為求該矩形波函數(shù)的傅里葉展開式.解由于是奇函數(shù),積分區(qū)間是對稱區(qū)間

,所以

簡諧振動的疊加,在電工學中稱為諧波分析.設(shè)是周期為的矩形于是當時,于是當時,當時,

級數(shù)收斂到0(

實際上級數(shù)每一項都為

0).當時,級數(shù)收斂到0(實際上級數(shù)每一項都為0).復習思考題設(shè)函數(shù)f在上可積,并且,這樣

的函數(shù)能否求出其傅里葉級數(shù)?復習思考題設(shè)函數(shù)f在上可積,并且,這樣的函數(shù)能否知識回顧KnowledgeReview祝您成功！知識回顧KnowledgeReview祝您成功！§1

傅里葉級數(shù)一個函數(shù)能表示成冪級數(shù)給研究函數(shù)帶來便利,但對函數(shù)的要求很高(無限次可導).如果函數(shù)沒有這么好的性質(zhì),能否也可以用一些簡單而又熟悉的函數(shù)組成的級數(shù)來表示該函數(shù)呢?

這就是將要討論的傅里葉級數(shù).傅里葉級數(shù)在數(shù)學、物理學和工程技術(shù)中都有著非常廣泛的應(yīng)用,是又一類重要的級數(shù).返回一、三角級數(shù)·正交函數(shù)系三、收斂定理二、以

為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)§1傅里葉級數(shù)一個函數(shù)能表示成冪級數(shù)給研究函數(shù)帶來一、三角級數(shù)·正交函數(shù)系

在科學實驗與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中,

常會碰到一

種周期運動.

最簡單的周期運動,

可用正弦函數(shù)來描述.

由(1)所表達的周期運動也稱為簡諧振動,其中A為振幅.為初相角,為角頻率,于是簡諧

振動y的周期是

較為復雜的周期運動,則

常常是幾個簡諧振動一、三角級數(shù)·正交函數(shù)系在科學實驗與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中,由于簡諧振動的周期為所以函數(shù)(2)周期為T.

對無窮多個簡諧振動進行疊加就得到函數(shù)項級數(shù)的疊加：若級數(shù)(3)收斂,

則它所描述的是更為一般的周期運由于簡諧振動的周期為所以函數(shù)(2)周期為T.對無窮多個動現(xiàn)象.對于級數(shù)(3),只須討論(如果可

用代換x)的情形.由于

所以動現(xiàn)象.對于級數(shù)(3),只須討論(如果可用代換x它是由三角函數(shù)列(也稱為三角函數(shù)系)所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù).容易驗證,若三角級數(shù)(4)收斂,則它的和一定是一個以

為周期的函數(shù).關(guān)于三角級數(shù)(4)的收斂性有如下定理:則級數(shù)()可寫成它是由三角函數(shù)列(也稱為三角函數(shù)系)所產(chǎn)生的一般形式的三角級定理15.1

若級數(shù)收斂,則級數(shù)(4)在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂.證對任何實數(shù)x,由于根據(jù)優(yōu)級數(shù)判別法,就能得到本定理的結(jié)論.為進一步研究三角級數(shù)(4)的收斂性,先討論三角函數(shù)系

(5)的特性.首先容易看出三角級數(shù)系(5)中所定理15.1若級數(shù)收斂,則級數(shù)(4)在整個數(shù)軸上絕對收斂其次,

在三角函數(shù)系(5)中,

任何兩個不相同的函數(shù)有函數(shù)具有共同的周期

的乘積在上的積分等于零,即而(5)中任何一個函數(shù)的平方在上的積分都其次,在三角函數(shù)系(5)中,任何兩個不相同的函數(shù)有函數(shù)不等于零,

即若兩個函數(shù)與在上可積,且

則稱與在上是正交的,或在上具有正

交性.由此三角函數(shù)系(4)在上具有正交性.

或者說(5)是正交函數(shù)系.不等于零,即若兩個函數(shù)與在上可積,且則稱與在上是正交現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系(5)的正交性來討論三角級數(shù)(4)

的和函數(shù)f與級數(shù)(4)的系數(shù)之間的關(guān)系.定理15.2

若在整個數(shù)軸上且等式右邊級數(shù)一致收斂,

則有如下關(guān)系式:二、以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)

現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系(5)的正交性來討論三角級數(shù)(4)的和函數(shù)證由定理條件,函數(shù)f在上連續(xù)且可積.對

(9)式逐項積分得由關(guān)系式(6)知,

上式右邊括號內(nèi)的積分都等于零.所以證由定理條件,函數(shù)f在上連續(xù)且可積.對(9)即又以乘(9)式兩邊(k為正整數(shù)),得從第十三章§1

習題4知道,

由級數(shù)(9)一致收斂,可得級數(shù)(11)也一致收斂.

于是對級數(shù)(11)逐項求積,有即又以乘(9)式兩邊(k為正整數(shù)),得從第十三章§1由三角函數(shù)的正交性,右邊除了以為系數(shù)的那一

項積分外,其他各項積分都等于0,于是得出:由三角函數(shù)的正交性,右邊除了以為系數(shù)的那一項積分外,其即同理,(9)式兩邊乘以sinkx,并逐項積分,

可得即同理,(9)式兩邊乘以sinkx,并逐項積分,可得由此可知,若f是以為周期且在上可積的

函數(shù),則可按公式(10)計算出和,它們稱為函數(shù)

f(關(guān)于三角函數(shù)系(5))的傅里葉系數(shù),以

f

的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)(9)稱為

f(關(guān)于三角函數(shù)系)的傅里葉級數(shù),

記作這里記號“~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級數(shù),

由定理15.2知道:

若(9)式右邊的三角級數(shù)在整由此可知,若f是以為周期且在上可積的函數(shù),個數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù)

f,

則此三角級數(shù)就是f的傅里葉級數(shù),即此時(12)式中的記號“~”可換為函數(shù)

f出發(fā),

按公式(10)求出其傅里葉系數(shù)并得到傅里葉級數(shù)(12),

這時還需討論此級數(shù)是否收斂.如果收斂,

是否收斂于

f本身.

這就是下一段所要敘述的內(nèi)容.等號.然而,若從以為周期且在上可積的

個數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù)f,則此三角級數(shù)就是f函數(shù)f在上按段光滑,則在每一點f的傅里葉級數(shù)(12)收斂于f在點x的左、右極限的算術(shù)平均值,

即其中為f的傅里葉系數(shù).定理的證明將在§3中進行.定理15.3(傅里葉級數(shù)收斂定理)

若以

為周期的三、收斂定理函數(shù)f在上按段光滑,則在每一點f的傅里葉級注

盡管傅里葉級數(shù)的收斂性質(zhì)不如冪級數(shù),但它對函數(shù)的要求卻比冪級數(shù)要低得多,

所以應(yīng)用更廣.而且即將看到函數(shù)周期性的要求也可以去掉.概念解釋1.若f的導函數(shù)在上連續(xù),則稱f在[a,b]上光滑.

2.如果定義在

上函數(shù)f至多有有限個第一類間

斷點,其導函數(shù)在[a,b]上除了至多有限個點外都存在且連續(xù),并且在這有限個點上導函數(shù)的左、右

極限存在,則稱f在上按段光滑.

注盡管傅里葉級數(shù)的收斂性質(zhì)不如冪級數(shù),但它對函數(shù)的要求卻在[a,b]上按段光滑的函數(shù)f,有如下重要性質(zhì):(i)f在上可積.(ii)在上每一點都存在,如果在不連續(xù)

點補充定義,或,則

還有在[a,b]上按段光滑的函數(shù)f,有如下重要性質(zhì):(i(iii)在補充定義在上那些至多有限個不存在

導數(shù)的點上的值后(仍記為),在[a,b]上可積.

從幾何圖形上講,在區(qū)間[a,b]上按段光滑光滑函數(shù),是由有限個多有有限個第一類間斷點(圖15-1).光滑弧段所組成,它至(iii)在補充定義在上那些至多有限個不存在導數(shù)的點上的收斂定理指出,f的傅里葉級數(shù)在點x處收斂于在該點的左、右極限的算術(shù)平均值而當

f在點

x連續(xù)時,則有即此時f的傅里葉級數(shù)收斂于.這樣便有上按段光滑,則f的傅里葉級數(shù)在上收斂

于

f

.推論若f是以為周期的連續(xù)函數(shù),且在收斂定理指出,f的傅里葉級數(shù)在點x處收斂于在該所以系數(shù)公式(10)中的積分區(qū)間可以改為長

其中

c為任何實數(shù).注2

在具體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時,

經(jīng)常只給出函數(shù)在(或)上的解析式,但讀

注1

根據(jù)收斂定理的假設(shè),f是以為周期的函數(shù),度為的任何區(qū)間,而不影響,的值:所以系數(shù)公式(10)中的積分區(qū)間可以改為長其中c者應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以為周期的函

數(shù),即在以外的部分按函數(shù)在上的對

應(yīng)關(guān)系做周期延拓.也就是說函數(shù)本身不一定是定義在整個數(shù)軸上的周期函數(shù),但我們認為它是周期函數(shù).如f為上的解析表達式,那么周期延拓

后的函數(shù)為者應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以為周期的函數(shù),即在如圖15-2所示.因此當籠統(tǒng)地說函數(shù)的傅里葉級數(shù)時就是指函數(shù)

的傅里葉級數(shù).

例1

設(shè)求

f傅里葉級數(shù)展開式.如圖15-2所示.因此當籠統(tǒng)地說函數(shù)的傅里葉級數(shù)時就是指解函數(shù)

f及其周期延拓后的圖像如圖15-3所示,顯然

f是按段光滑的.故由傅里葉級數(shù)收斂定理,它可以展開成傅里葉級數(shù).

由于解函數(shù)f及其周期延拓后的圖像如圖15-3所示,顯