……………誠(chéng)信應(yīng)考考試作弊將帶來(lái)嚴(yán)重后果！…… 華南理工大學(xué)期末考試………號(hào) … 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試卷A卷位 …座 …注意事項(xiàng)：1.考前請(qǐng)將密封線內(nèi)各項(xiàng)信息填寫(xiě)清楚；… 2.可使用計(jì)算器；線 3．考試形式：閉卷；… 4.本試卷共100120。…… 5.本試卷的六、七、八大題，有不同學(xué)分的要求，請(qǐng)小心閱題?！?…… …… …業(yè) …專 …

— 二 三 四 五 六 七 八 總分…可能用到的分位點(diǎn)：…… u…

1.96,u0.005

2.58, 20.9772, 0.99865,40.99997…_ ) 封_ 題…

t0.025

2.45, t0.025

2.36, t0.025

2.31__ 答…__ 院…_學(xué)…_…

20.05

(6)12.6,

20.05

(7)14.1,

20.05

(8)15.5_ 線…封…_封…__ 密…_ …( …

（10）一部五本頭的文集，按任意次序放到書(shū)架上去，試求下列概率：第一卷出現(xiàn)在旁邊。第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊。第一卷或第五卷出現(xiàn)在旁邊。第一卷及第五卷都不出現(xiàn)在旁邊。第三卷正好在正中。1）p24!25! 5… （2）p23!1號(hào) … 5! 10學(xué)密學(xué)… （3）p2217… 5 5 10 1073…73（4）p1 … 10 10…… （5）p14!1… 5! 5…名 …姓 … 二、(12分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3……………件次品,3件合格品.3件產(chǎn)品放入乙箱后,求(1)X的數(shù)學(xué)期望;(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.解(1)X0,1,2,3,X的概率分布為 CkC3k PXk 3 3 k0,1,2,3C36X0X0123P120920920120因此EX01192931 320 20 20 20 2(2)設(shè)A{從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品},根據(jù)全概率公式有PA

PXkPAXk

10

91

92

131k0

20 20 6 20 6 20 6 4（12）某保險(xiǎn)公司對(duì)一種電視機(jī)進(jìn)行保險(xiǎn)，現(xiàn)有90000.001，參加保險(xiǎn)的客戶每戶52000元，求保險(xiǎn)公司在投保期內(nèi):（１）虧本的概率；（２）獲利不少于10000元的概率。設(shè)＝1

第i臺(tái)電視機(jī)壞解 i 0 第臺(tái)電視機(jī)正常,9000i1,2,,9000P{i

0.001 i

0}0.999Ei0009ii1

D0.000999i0009ii1保險(xiǎn)公司虧，則電視機(jī)壞的臺(tái)數(shù):>9000*5/2000=22.5000E000 i1D000i1D000i1i1i

22.5P i i 22.591(4.5)09 ii1 9 i 保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元，則電視機(jī)壞的臺(tái)數(shù):<(9000*5-10000)/2000=17.5000E000 i1D000i1D000i1i1i

17.5P i i 17.59(2.83)9 9 i1

(2)(3)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532（15分)設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的概率分布為X-101-1a00.200.1b0.2100.1cY其中a、b、c為常數(shù)，且X 的數(shù)學(xué)期望EX0.2,0X0.5,記YZXY.求: (1) a、b、c的值; (2)Z的概率分布律; (3)解(1)由概率分布的性質(zhì)可知, abc0.61,即abc0.4.EX0.2,可得ac0.1.0X

PX0,Y0

ab0.10.5,解得ab0.3.PXab0.5解以上關(guān)于a、b、c的三個(gè)方程可得, a0.2,b0.1,c0.1(2)Z的所有可能取值為-2,-1,0,1,2.則PZ2PX1,Y10.2PZ1PX1,Y0PX0,Y10.10,Y0.30,Y0.30.1所以Z的概率分布為Z-2-1012P0.20.10.30.30.1(3) Z0b0.10.10.10.2.五、(15分)X121

當(dāng)1x0f xX

當(dāng)0x20 其他令YX2Fxy為二維隨機(jī)變量X,Y的分布函數(shù).求:(1)Y的密度函數(shù)fy; (2) covX,Y; (3) F1,4.Y解(1)Y的分布函數(shù)為FY

2 yPYyPX2y當(dāng)y0時(shí), FY當(dāng)0y1時(shí),

y0,fY

y0.yFyPyY

X yP

XP0X yy3y438 yfYyy3y438 y當(dāng)1y4時(shí),1y4FyP1XP0X y11y4Y 218 yfy18 yY當(dāng)y4時(shí),FY

y1,fY

y0.所以Y的概率密度為

fy Y

0y1 38y8 1 38y8 EXxf X

0 其他xdx01xdx21xdx112 04 4EYEX2

x2f

xdx01x2dx514 6EXYEX3x3f X

xdx01x3dx21x3dx712 04 8故 covX,YEXYEXEY23(3) F1,4

1,Y4

1,X242

PX 2

PX 2 1

1

1 1PX2,2X2P2X2P1X24 （2學(xué)分）(10分)X與Y獨(dú)立,X的概率分布為1 2X~0.3 0.7 而Yfy,求隨機(jī)變量UXYgu.解Fy是Y的分布函數(shù),則由全概率公式可知,UXY的分布函數(shù)為GuYYuX0.7PYuX0.3PYu1X10.7PYu2X2由于X與Y獨(dú)立,得Guuu10.7F2因此,U的概率密度為guGu0.3Fu10.7Fu20.3f10.7f22學(xué)分0分）是色盲患者，女子中有%是色盲患男性的概率是多少？解A抽到一名男性}B抽到一名女性}C抽到一名色盲患者}，由全概率公式得1 P(C)P(C|A)P(P(C|B)P(B)5% 0.25% 2.625%1 2 2由貝葉斯公式得

P(AC)P(A)P(C| 5%2.5%121P(AC) 20P(A|C)

P(C) 21（2學(xué)分）(16分)設(shè)X,X, ,X 2為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且均服從N1 2 n記X

1n1X，Yn i i2

XX i

n.求Y1 n

0.袋中有a只黑球。從袋中任取1dk次取到紅球的概率。解（1）YY1 n

XXX1

XX1

2n1XXn i i2上式是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合,所以Y1

Y服從正態(tài)分布.n由于EY1

Y0,故nPYY1 n

012bb+ck次取到紅球的概率為：apkabca（如果對(duì)k{1，2時(shí)求出結(jié)果，沒(méi)用歸納法求一般結(jié)果，則給4分）六（3、4學(xué)分）(16分)設(shè)X,X, ,X 2為來(lái)自總體N2的簡(jiǎn)單隨1 2 n機(jī)樣本,其樣本均值為X.記Yi

XXi1,2,,n,n.求Yi

DYi

，i1,2,,n;求Y與Y的協(xié)方差,Y,n;1 n 1 n若c1

Y2是2的無(wú)偏估計(jì)量，求常數(shù)c;n;若與 相互獨(dú)立均為2的無(wú)偏估計(jì)量且它們的方差存在試給出一1 2個(gè)比它們更有效的無(wú)偏估計(jì)量。解(1) DYDXD11

1

n12

i1,2,n ni i

n,nk,n

k ncov,YEEYEYEX

X1 n 1 1 n n 1 nEXX EX2EXEXEX X1 n 1 nEXEX DX1EX21

EXX1EX21n1EXX1 n n1

1 ni2

1 i

n n i i1 2nEcYY2cDYYcDYDY2covY,Y

1 n 1 n 1 n 1 n n1 n c

2n2

2 n故 c

n n nn 2n22

D1

，則3

1

1 1

是比與1

更有效的無(wú)偏估計(jì)量。2D3

1

1

,D2（34學(xué)分（2分）假設(shè)0X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本值.已知YlnXN求:X的數(shù)學(xué)期望EX(記EX為b); (2)的置信度為0.95的置信區(qū)間;(3b0.95的置信區(qū)間解(1Y的概率密度為21fy ey221

y令ty,則bEXEeY

eyey2/2dy2121

1 etet2/2dt222e1/22

1 et/2dte1/2(2)當(dāng)置信度10.95時(shí), 0.05,u/2

u0.025

1.96.Y~N,1/4,可得PY1.96

P1.9614 14

0.951414其中 Y10.5ln0.8ln1.25ln21ln104 4于是有 0.95因此0.95的置信區(qū)間為0.98,0.98.(3)由ex的嚴(yán)格遞增性,可知 1

1 0.95P0.4821.48Pe0.48

e 2 因此b0.95

e0.48,.（3、4學(xué)分（8分）5,9個(gè)居民,236.5元,49個(gè)樣本算出的標(biāo)準(zhǔn)差S3.5元.X服從正態(tài)分布,試在0.01時(shí),均伙食費(fèi)較之上個(gè)月無(wú)變化”的假設(shè).解H0235.5,H1235.5.由于方差2未知,故采用t檢驗(yàn)法,其拒絕域?yàn)閚n0Wt S

t/2

已知n49,X236.5,S3.5,計(jì)算得nSnS0由于4914830,故可用u/2

4949236.5235.53.5/2

2491.當(dāng)0.01時(shí), u0.0052.582,故接受H0.即本月該市居民平均伙食費(fèi)較上個(gè)月無(wú)顯著變化.……………誠(chéng)信應(yīng)考考試作弊將帶來(lái)嚴(yán)重后果！…… 華南理工大學(xué)期末考試………號(hào) … 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試卷(A)位 …座 …注意事項(xiàng)：1.考前請(qǐng)將密封線內(nèi)填寫(xiě)清楚；… 2.允許使用計(jì)算器，所有答案請(qǐng)直接答在試卷上線 3．考試形式：閉卷；… 4.100120?！?題號(hào) 一 二 三 … 得分… 評(píng)卷人……可能用到的表值：…

五 六 七 總分業(yè) …(1.285)0.9, (1.645)0.95, (1.96)0.975, (2.33)0.99專 ……t0.025

(35)2.0301,

0.025

(36)2.0281,

0.05

(35)1.6896,

0.05

(36)1.6883…………_ ) _ 題__ 答_不…

一．單項(xiàng)選擇題（本大題共五小題，每小題3分，共15分：本大題中每個(gè)小題都列有四1。A．如果AB，則BA B.BAC.如果事件A、B獨(dú)立，則P(AB)P(A)P(B) D.AB(AB)A_ 院_ 學(xué)

2X… 1

,...,X2

X1

~pPXk/n)（C。_ 線…封…_封…__ 密…

A．pC．Ckpk(1p)nkn

B．1pD．Ck(1p)kn

pnk…_ ( … 3.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)滿足f(x)f(x)x…

X的上分位數(shù)，則…P(X x…

)（D?！?A.2 B.1……

21

D.……4X,Y…

0（D。XY號(hào) … A.X,Y不存在任何函數(shù)關(guān)系 B.X,Y獨(dú)立學(xué) 密… C.D(XY)DXDY D.D(X)DX4DY……5.設(shè)X… 1

,...,X2

X~N(,2的樣本，則下述說(shuō)法中正確的是（D?！?A.X~N(,2) ………名 …姓 ………………

1 (Xn2 ni1

X)2~2(n)n(X)C. ~n(X)S

n12

(Xi

~2(n)二．填空題（520。如果事件A、B獨(dú)立且不相容，則Max{P(A),P(B)}= 1 。(X,YP(1,0)(X,YP(1,0)0.4(1,1)0.2(2,0)a(2,1)b若E(XY)0.8，a{ 0.1 。3.設(shè)X~NY~N，且X與Y相互獨(dú)立，則P(XY 0.5 。4.設(shè)X

,...,X

X~N1XX1(XX的數(shù)學(xué)期1 2 5

6 1 2 3

2 4 5望是_2 。（本大題10分。一個(gè)盒子中裝有46投擲出幾點(diǎn)就從盒中無(wú)放回地取幾個(gè)球。試求：a）所取的全是白球的概率。b）如果已知取出的都是白球，那么骰子所擲的點(diǎn)數(shù)恰為3的概率是多少？CjP(B

)1/6，P(A|

) 4

j4j j Cj1,

j4P( P(Bjj

)P(A|Bj

)=2/21=0.095P(B3

|A)

P(B3

)P(A|B)3P(A)

=7/120=0.058（本大題10分設(shè)某次概率統(tǒng)計(jì)考試考生的成績(jī)X~N(,2)36位考生的成績(jī)，算得平均成績(jī)?yōu)閤66.5s150.95的置信區(qū)間。n在顯著性水平=0.0570n）

X

~t(n1)，

t0.975

35152.03015.075256S2n學(xué)生成績(jī)數(shù)學(xué)期望（61.42,71.5S2n（2）H0

:70, H1

:70,66.566.57015236A

tX70S2n

1.4

0.975

352.0301不拒絕原假設(shè)。可以認(rèn)為這次考試的平均成績(jī)?yōu)?0分。（本大題14分。設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)是：A(x21

xy)

0x1,0y2f(x,y)

2 ，0 其它A=6/7；X的密度函數(shù)及c）P(X>Y)。）f(x,y)dxdy1dx2(x2

xy)dyA1(2x2x)dx0A67（2）X

0 0 27A162(x2 1xy)dy 12x26

0x10f xf(x,y)dy 2 7 70X

,

x0andx1EXxf(x,y)dx1x(12x26x)dx5 0 7 7 7（3）P(XY)

f(x,y)dxdy1dxx(x21

xy)dy1

5A x3

D15

0 0 20 4 56（本大題14分。假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在與84%b)使用中心極限定理。解：使用契比雪夫不等式，P{76%

1n Xn i1

84%}

1n Xn i1

0.8P{|

1n Xn i1

80}1D(1nni1

X)/(0.04)2i1100/n0.9n1000這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)1000件使用中心極限定理P{76%

1n Xn i1

84%}n Xn i1

0.8|1n X

0.8|i10.16/n1ni10.16/n

0.04P{|

Xn i1

0.8

}0.16/n0.040.16/n2( )10.040.16/n0.16/0.16/n

1.645，n270.6025這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)271件（本大題17分。設(shè)總體X

f(x;)

1e|x|2

，其中

>0是參數(shù)。樣本X,X1

,...,X

來(lái)自總體X。求的矩估計(jì)；MME求的最大似然估計(jì)；MLE證明是的無(wú)偏估計(jì)，且是的相合估計(jì)（一致估計(jì)。MLE MLE）

EX1xe|x|dx0，，EX2

x2e|x|dx1 22xx x

xedx0xx2e 2xedx ， 00 x

x xe edx2e 2 0 0 02n12n1X2ii1MME

? ? SDXEX2

22

2，S

DX2

2，

MME2n 1 |xi|2

1 n|xi| 1 n（2）似然函數(shù)：L e，L2i1

i1n

，lnLn) xii1ed Le

n 1n n 1n

? 1n x

，令，?

? x 0， Xd 1

ii1x

x

ii1x

MLE

n

ii13）EX xedxxe edxe 0 0 0 0? 1n ? 2EMLE

ni1

EX EX ，i

MLE

是的無(wú)偏估計(jì)，EX

EX222，nin 2 1n nin

DX2DX EX2EX

2，D X

i1 P

E?

0是的相合估計(jì)MLE

MLE

n

MLE……………誠(chéng)信應(yīng)考考試作弊將帶來(lái)嚴(yán)重后果！…… 華南理工大學(xué)期末考試………號(hào) … 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試卷(B)位 …座 …注意事項(xiàng)：1.考前請(qǐng)將密封線內(nèi)填寫(xiě)清楚；… 2.允許使用計(jì)算器，所有答案請(qǐng)直接答在試卷上線 3．考試形式：閉卷；… 4.100120。…… 題號(hào) 一 二 三 … 得分…… 評(píng)卷人…

五 六 七 八 總分…業(yè) …可能用到的數(shù)表值：31.732, 21.414…專 …0.8413,(1.285)0.9,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2.33)0.99…… t0.025……

(6)2.45,

0.025

(7)2.36,

0.05

(6)1.943,

0.05

(7)1.895_ )_ _ __ 院_ 學(xué)_ _

…（本大題15分封… 525… （1）求所抽的牌中含有方塊K…… （2）求所抽的牌中含有紅桃KK… （3）…_ 封…_ 密…_ …(

1）C451

/C552

（2）2C451

/C552

-C350

/C552

（3）1C513

(C1)54

/C552…（本大題12分）…… 3317…一個(gè)球?，F(xiàn)安排甲從盒子中任抽兩個(gè)球。…… （1）求甲抽出兩個(gè)球都是白球的概率?！?（2）如果你現(xiàn)場(chǎng)看到甲隨機(jī)抽到的兩個(gè)球都是白球，試求丟失的那個(gè)球是白色的概率。號(hào) … 解答：分別記B為事{甲抽出的是白}、乙抽出的兩個(gè)都是白。學(xué) 密 （1）…… P(B)P(A)P(B|P(A)P(B|… 16 C2 17 C

16 1514 17 1615 15… 15

16 … 33 C232

33 C232

33 3231 33 3231 66… （2）……名 …姓 ………………P(A|B)

P(A)P(B|P(B)161514151433 3231 66 31（本大題12分。100702010現(xiàn)從箱中隨機(jī)抽取一件，引入隨機(jī)變量若取出的產(chǎn)品是一等， 若取出的產(chǎn)品是一或等品，X ，Y0，

否則。

0，

否則。試求X2,Y的聯(lián)合分布律，并求CovX2,Y。解答：XX2X 。同理，Y2YP((X2,YP((X,YP(10/100P((X2,YP((X,YP(20/100P((X2,Y)P((X,Y)0P((X2,YP((X,YP(70/100XX2Y01010.10.00.20.7Cov(X2,Y)E(X2Y)E(X2)E(Y)E(X2Y)E(X2)E(Y)10.70.70.90.07（本大題12分。設(shè)工廠生產(chǎn)的一種元件其壽命X（單位：小時(shí)）的密度函數(shù)為Aex

, xf(x) ,100

否則.A200300小時(shí)之間的概率。54300解答：(1)

1

f(x)dx0

xAe100dxA，A0.01．P(200X300)

300200

1100

xe100dxe-2-e-3．(2) P(X300)

300

1100

xe100dxe-31C0(e3)0e3)5C1(e3)1e3)41e3)5

5 5e3)4e3（本大題12分。某制藥廠宣稱其新研制的一種藥的有效率達(dá)到80%1001007680%，試用中心極限定理近似求此藥能被批準(zhǔn)生產(chǎn)的概率有多大。（可用數(shù)表數(shù)據(jù)見(jiàn)試卷首頁(yè)）解答：i個(gè)患者用藥有效，記X i

否則。

，而S n

n X 。i1 i由設(shè)知{Xi

Xi

~B(1,0.80)E

)0.80,D(

)0.80

S 1000.80P(i

100Xi1

76)

P(S

100

76)P( )100100 0.800.20761000.80100 0.800.201(1)100100 0.800.20761000.80100 0.800.20（2學(xué)分，本大題15分。設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的密度函數(shù)為21x2y , x2yf(x,y)

0 , 其他X和YfX

，fY

。EXE(YDX和CovX,YX與Y是否不相關(guān)？是否獨(dú)立？解答：(1)f

(x)

21x2ydy21x2(1x4),1x1，X x24 8y214yf(y x27y5/20y1y214yY 2(2)E(X)1

x21x2x4)dx8EY)1y7y5/2dy7,0 2 9D(X)1x221x21x4)dx0

21(2

2)

21,8

8 5 7 70yyCo(X,Y)1( xy21x2x)yE(X)EY)0?？梢?jiàn)X與Y不相關(guān)。yy0 4由f (x)f(y)f(x,y)知X與Y不獨(dú)立。X Y（2學(xué)分，本大題12分。X的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為ex, xf(x) x0.X, X隨機(jī)變量YgX)2X, X

,求YFY

y在0y2上的表達(dá)式。解答：0y2時(shí)F(y)P(Yy)P(Yy,X1)P(Yy,X1)YP(2Xy,X1)P(Xy,X1)P(Xy/XXy)P(Xy/2)Xy) ( 0y2)y/2e-xdxye-xdx0 1e-y/2)(e-e-y)1e-e-y/2e-y（2學(xué)分，本大題10分。i次若套中標(biāo)桿則記i1+2+3=60、并游戲結(jié)束。記參與者結(jié)束時(shí)總拋擲次數(shù)為XY0.20.5。（1）求X的分布律。 （2）求參與者平均得分EY 解答：（1） p P(Xk)0.8(0.2m10.5m1), k2m k EYE[12.5((21]5m1X(X)2.2 80m21( 1[

(0.,.m1

2m(2m1)

0.1m] 2.mm

k22.

m1 21[ (2m1)m1)0.80.m1

m(2m1)]（2）均得分

m11[1.6 m(m1)0.m10.8

(m1)0.m12

m(m1)0.m

m]2 m1 m1 m1 m1