第4講集合恒等式內(nèi)容提要1.集合恒等式與對偶原理2.集合恒等式的證明3.集合列的極限4.集合論悖論與集合論公理2022/10/301---精品---第4講集合恒等式內(nèi)容提要2022/10/221---精品集合恒等式(關(guān)于與)等冪律(idempotentlaws)AA=AAA=A交換律(commutativelaws)AB=BAAB=BA2022/10/302---精品---集合恒等式(關(guān)于與)等冪律(idempotentlaw集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))結(jié)合律(associativelaws)(AB)C=A(BC)

(AB)C=A(BC)

分配律(distributivelaws)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)2022/10/303---精品---集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))結(jié)合律(associative集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))吸收律(absorptionlaws)A(AB)=AA(AB)=A2022/10/304---精品---集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))吸收律(absorption集合恒等式(關(guān)于~)雙重否定律(doublecomplementlaw)~~A=A德●摩根律(DeMorgan’slaws)~(AB)=~A~B~(AB)=~A~B2022/10/305---精品---集合恒等式(關(guān)于~)雙重否定律(doublecomplem集合恒等式(關(guān)于與E)零律(dominancelaws)AE=EA=同一律(identitylaws)A=AAE=A2022/10/306---精品---集合恒等式(關(guān)于與E)零律(dominancelaws)集合恒等式(關(guān)于,E)排中律(excludedmiddle)A~A=E矛盾律(contradiction)A~A=全補律~=E~E=2022/10/307---精品---集合恒等式(關(guān)于,E)排中律(excludedmiddl集合恒等式(關(guān)于-)補交轉(zhuǎn)換律(differenceasintersection)A-B=A~B2022/10/308---精品---集合恒等式(關(guān)于-)補交轉(zhuǎn)換律(differenceas集合恒等式(推廣到集族)分配律德●摩根律2022/10/309---精品---集合恒等式(推廣到集族)分配律2022/10/229---精對偶(dual)原理對偶式(dual):一個集合關(guān)系式,如果只含有,

,~,,E,=,,

那么,同時把與互換,把與E互換,把與互換,得到的式子稱為原式的對偶式.對偶原理:對偶式同真假.或者說,集合恒等式的對偶式還是恒等式.2022/10/3010---精品---對偶(dual)原理對偶式(dual):一個集合關(guān)系式,對偶原理(舉例)分配律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)排中律A

~A=E矛盾律A~A=2022/10/3011---精品---對偶原理(舉例)分配律2022/10/2211---精品--對偶原理(舉例、續(xù))零律AE=EA

=同一律A

=AAE=A2022/10/3012---精品---對偶原理(舉例、續(xù))零律2022/10/2212---精品-對偶原理(舉例、續(xù))ABAAB

A

AE

A2022/10/3013---精品---對偶原理(舉例、續(xù))集合恒等式證明(方法)邏輯演算法:利用邏輯等值式和推理規(guī)則集合演算法:利用集合恒等式和已知結(jié)論2022/10/3014---精品---集合恒等式證明(方法)邏輯演算法:2022/10/2214邏輯演算法(格式)題目:A=B.證明:x,

xA

…(????)

xB

A=B.#題目:AB.證明:x,

xA

…(????)

xB

AB.#2022/10/3015---精品---邏輯演算法(格式)題目:A=B.題目:AB.分配律(證明)A(BC)=(AB)(AC)證明:x,

xA(BC)

xAx(BC)(定義)xA(xB

xC)(定義)(xAxB)(xAxC)(命題邏輯分配律)(xAB)(xAC)(定義)x(AB)(AC)(定義)

A(BC)=(AB)(AC)2022/10/3016---精品---分配律(證明)A(BC)=(AB)(AC)2022零律(證明)A=證明:x,xA

xAx(定義)xA0

(定義)0(命題邏輯零律)A=2022/10/3017---精品---零律(證明)A=2022/10/2217---精品排中律(證明)A~A=E證明:x,xA~A

xAx~A(定義)xAxA(~定義)xAxA(定義)

1(命題邏輯排中律)A~A=E2022/10/3018---精品---排中律(證明)A~A=E2022/10/2218---集合演算法(格式)題目:A=B.證明:A

=…(????)

=BA=B.#題目:AB.證明:A

…(????)

BAB.#2022/10/3019---精品---集合演算法(格式)題目:A=B.題目:AB.吸收律(證明)A(AB)=A證明:A(AB)=(AE)(AB)(同一律)=A(EB)(分配律)=AE(零律)=A(同一律)A(AB)=AAB2022/10/3020---精品---吸收律(證明)A(AB)=AAB2022/10/2220吸收律(證明、續(xù))A(AB)=A證明:A(AB)=(AA)(AB)(分配律)=A(AB)(等冪律)=A(吸收律第一式)A(AB)=AAB2022/10/3021---精品---吸收律(證明、續(xù))A(AB)=AAB2022/10/集合演算法(格式,續(xù))題目:A=B.證明:()…

AB()…

AB

A=B.#說明:分=成與題目:AB.證明:AB(或AB)

=…(????)

=

A(或B)

AB.#說明:化成=AB=AABAB=BAB2022/10/3022---精品---集合演算法(格式,續(xù))題目:A=B.題目:AB.集合恒等式證明(舉例)基本集合恒等式對稱差()的性質(zhì)集族({A}S)的性質(zhì)冪集(P())的性質(zhì)2022/10/3023---精品---集合恒等式證明(舉例)基本集合恒等式2022/10/2223補交轉(zhuǎn)換律A-B=A~B證明:x,xA-BxA

xBxAx~B

xA~BA-B=A~B.#2022/10/3024---精品---補交轉(zhuǎn)換律A-B=A~B2022/10/2224---德●摩根律的相對形式A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)證明:A-(BC)=A~(BC)(補交轉(zhuǎn)換律)=A(~B~C)(德●摩根律)=(AA)(~B~C)(等冪律)=(A~B)(A~C)(交換律,結(jié)合律)=(A-B)(B-A)(補交轉(zhuǎn)換律).#2022/10/3025---精品---德●摩根律的相對形式A-(BC)=(A-B)(A-C)2對稱差的性質(zhì)交換律:AB=BA結(jié)合律:A(BC)=(AB)C分配律:A(BC)=(AB)(AC)A=A,AE=~AAA=,A~A=E2022/10/3026---精品---對稱差的性質(zhì)交換律:AB=BA2022/10/2226對稱差的性質(zhì)(證明2)結(jié)合律:A(BC)=(AB)C證明思路：

分解成“基本單位”,例如:1.A~B~C2.AB~C3.ABC4.~A~B~CABCABC12342022/10/3027---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2)結(jié)合律:A(BC)=(AB)對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)1)結(jié)合律:A(BC)=(AB)C證明:

首先,AB=(A-B)(B-A)(定義)=(A~B)(B~A)(補交轉(zhuǎn)換律)=(A~B)(~AB)(交換律)(*)ABAB2022/10/3028---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)1)結(jié)合律:A(BC)=(A對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)2)其次,A(BC)=(A~(BC))(~A(BC))(*)=(A~((B~C)(~BC)))

(~A((B~C)(~BC)))(*)=(A(~(B~C)~(~BC)))

(~A((B~C)(~BC)))(德?摩根律)2022/10/3029---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)2)其次,A(B對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)3)=(A(~(B~C)~(~BC)))

(~A((B~C)(~BC)))=(A(~BC)(B~C)))

(~A((B~C)(~BC)))(德?摩根律)=(ABC)(A~B~C)

(~AB~C)(~A~BC)(分配律…)2022/10/3030---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)3)=(A(~(B~C)對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)4)

同理,(AB)C=(AB)~C)(~(AB)C)(*)=(((A~B)(~AB))~C)(~((A~B)(~AB))C)(*)=(((A~B)(~AB))~C)((~(A~B)~(~AB))C)(德?摩根律)2022/10/3031---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)4)同理,(AB)C20對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)5)=(((A~B)(~AB))~C)((~(A~B)~(~AB))C)=(((A~B)(~AB))~C)((~AB)(A~B))C)(德?摩根律)=(A~B~C)(~AB~C)

(~A~BC)(ABC)(分配律…)A(BC)=(AB)C.#2022/10/3032---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)5)=(((A~B)(~對稱差的性質(zhì)(討論)有些作者用△表示對稱差:

AB=A△B消去律:AB=ACB=C(習題一,23)A=BCB=ACC=AB對稱差與補:~(AB)=~AB=A~BAB=~A~B問題:ABC=~A~B~C?2022/10/3033---精品---對稱差的性質(zhì)(討論)有些作者用△表示對稱差:AB=A△B對稱差的性質(zhì)(討論、續(xù))如何把對稱差推廣到n個集合:

A1A2A3…An=?x,xA1A2A3…Anx恰好屬于A1,A2,A3,…,An中的奇數(shù)個特征函數(shù)表達:A1A2…An(x)=A1(x)+A2(x)+…+An(x)(mod2)=A1(x)A2(x)…An(x)((mod2),,都表示模2加法,即相加除以2取余數(shù))2022/10/3034---精品---對稱差的性質(zhì)(討論、續(xù))如何把對稱差推廣到n個集合:2022特征函數(shù)與集合運算:AB(x)=A(x)B(x)~A(x)=1-A(x)A-B(x)=A~B(x)=A(x)(1-B(x))AB(x)=(A-B)B(x)=A(x)+B(x)-A(x)B(x)AB(x)=A(x)+B(x)(mod2)=A(x)B(x)AB2022/10/3035---精品---特征函數(shù)與集合運算:AB(x)=A(x)B(對稱差的性質(zhì)(討論、續(xù))問題:ABC=~A~B~C?答案:ABC=~(~A~B~C)=~(AB~C)=A~B~CABCD=~A~B~C~D=A~BC~D=~(~A~BC~D)=…A=~(~A)2022/10/3036---精品---對稱差的性質(zhì)(討論、續(xù))問題:ABC=~A~對稱差的性質(zhì)(證明3)分配律:A(BC)=(AB)(AC)證明

A(BC)=A((B~C)(~BC))=(AB~C)(A~BC)ABCA(BC)2022/10/3037---精品---對稱差的性質(zhì)(證明3)分配律:A(BC)=(AB)對稱差分配律(證明3、續(xù))(續(xù))(AB)(AC)=((AB)~(AC))(~(AB)(AC))=((AB)(~A~C))((~A~B)(AC))=(AB~C)(A~BC)A(BC)=(AB)(AC).#2022/10/3038---精品---對稱差分配律(證明3、續(xù))(續(xù))(AB)(AC)對稱差分配律(討論)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(AC)?2022/10/3039---精品---對稱差分配律(討論)A(BC)=(AB)(AC)集族的性質(zhì)設A,B為集族,則1.AB

∪A∪B2.AB

A∪B

3.A

AB

∩B∩A4.AB

∩BA5.A

∩A∪A2022/10/3040---精品---集族的性質(zhì)設A,B為集族,則2022/10/2240---集族的性質(zhì)(證明1)AB

∪A∪B證明:x,x∪A

A(AA

xA)(∪A定義)

A(AB

xA)(AB)x∪B

(∪B定義)∪A∪B.#2022/10/3041---精品---集族的性質(zhì)(證明1)AB∪A∪B2022/10/集族的性質(zhì)(證明2)AB

A∪B

證明:x,xA

AB

xA(AB,合取)A(AB

xA)(EG)x∪B

A∪B.#2022/10/3042---精品---集族的性質(zhì)(證明2)ABA∪B2022/10/集族的性質(zhì)(證明3)A

AB

∩B∩A說明:若約定∩=E,則A的條件可去掉.證明:x,x∩B

y(yB

xy)y(yA

xy)(AB)x∩A

∩B

∩A

.#2022/10/3043---精品---集族的性質(zhì)(證明3)AAB∩B∩A2集族的性質(zhì)(證明4)AB

∩BA證明:x,x∩B

y(yB

xy)AB

xA(UI)

xA

(AB)∩B

A

.#2022/10/3044---精品---集族的性質(zhì)(證明4)AB∩BA2022/10/集族的性質(zhì)(證明5)A

∩A∪A說明:A的條件不可去掉!證明:

A

y(yA),設AA.x,x∩Ay(yA

xy)AA

xAxA(AA)AAxAy(yA

xy)

x∪A∩A

∪A

.#2022/10/3045---精品---集族的性質(zhì)(證明5)A∩A∪A2022/10冪集的性質(zhì)ABP(A)P(B)P(A)P(B)

P(AB)P(A)P(B)

=

P(AB)P(A-B)

(P(A)-P(B)){}2022/10/3046---精品---冪集的性質(zhì)ABP(A)P(B)2022/10/22冪集的性質(zhì)(證明1)ABP(A)P(B)證明:()x,xP(A)xAxB(AB)xP(B)P(A)P(B)2022/10/3047---精品---冪集的性質(zhì)(證明1)ABP(A)P(B)2022/冪集的性質(zhì)(證明1、續(xù))ABP(A)P(B)證明(續(xù)):()x,xA{x}P(A){x}P(B)(P(A)P(B))

xBAB.#2022/10/3048---精品---冪集的性質(zhì)(證明1、續(xù))ABP(A)P(B)202冪集的性質(zhì)(證明2)P(A)P(B)

P(AB)證明:x,xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xAxB

xAB

xP(AB)P(A)P(B)

P(AB)2022/10/3049---精品---冪集的性質(zhì)(證明2)P(A)P(B)P(AB)20冪集的性質(zhì)(證明2、續(xù))P(A)P(B)

P(AB)討論:給出反例,說明等號不成立:

A={1},B={2},AB={1,2},P(A)={,{1}},P(B)={,{2}},P(AB)={,{1},{2},{1,2}}P(A)P(B)

{,{1},{2}}

此時,P(A)P(B)P(AB).#2022/10/3050---精品---冪集的性質(zhì)(證明2、續(xù))P(A)P(B)P(AB)冪集的性質(zhì)(證明3)P(A)P(B)=P(AB)證明:x,xP(A)P(B)xP(A)

xP(B)xAxB

xABxP(AB)P(A)P(B)=P(AB).#2022/10/3051---精品---冪集的性質(zhì)(證明3)P(A)P(B)=P(AB)20冪集的性質(zhì)(證明4)P(A-B)

(P(A)-P(B)){}證明:x,分兩種情況,(1)x=,這時

xP(A-B)并且x(P(A)-P(B)){}(2)x,這時

xP(A-B)xA-B

xAxBxP(A)xP(B)xP(A)-P(B)P(A-B)

(P(A)-P(B)){}.#AB2022/10/3052---精品---冪集的性質(zhì)(證明4)P(A-B)(P(A)-P(B))集合運算的優(yōu)先級分三級:第一級最高,依次降低第一級:補~,冪P()第二級:廣義并∪,廣義交∩第三級:并,交,相對補-,對稱差同一級:用括號表示先后順序2022/10/3053---精品---集合運算的優(yōu)先級分三級:第一級最高,依次降低2022/集合列的極限2022/10/3054---精品---集合列的極限2022/10/2254---精品---集合列的極限Infiniteoften(i.o.):Almosteverywhere(a.e.)2022/10/3055---精品---集合列的極限Infiniteoften(i.o.):20集合列的極限上極限:下極限:2022/10/3056---精品---集合列的極限上極限:2022/10/2256---精品---集合列的極限性質(zhì):2022/10/3057---精品---集合列的極限性質(zhì):2022/10/2257---精品---集合論悖論羅素悖論(Russell’sparadox)：S={x|xx

}SS?SS

SSSS

SS2022/10/3058---精品---集合論悖論羅素悖論(Russell’sparadox)：2集合論公理外延公理:所含元素相同的兩個集合是相等的空集存在公理:空集合存在無序?qū)?對任意的a,b,{a,b}存在并集公理:對任意的A,∪A存在冪集公理:對任意的A,P(A)存在聯(lián)集公理:2022/10/3059---精品---集合論公理外延公理:所含元素相同的兩個集合是相等的2022集合論公理(續(xù))子集公理:{xA|P(x)}存在正則公理:若S,則x(xSy(ySxy))無窮公理:無窮集存在替換公理:{f(a)|aA}存在(f是定義域為A的函數(shù))2022/10/3060---精品---集合論公理(續(xù))子集公理:{xA|P(x)}存集合論公理(續(xù))選擇公理(Zorn引理,良序原理):A是元素互不相交的集合,則可以從A的每個元素中恰好選擇一個元素,構(gòu)成一個集合2022/10/3061---精品---集合論公理(續(xù))選擇公理(Zorn引理,良序原理):A是總結(jié)集合恒等式

集合恒等式的證明集合論悖論2022/10/3062---精品---總結(jié)集合恒等式2022/10/2262---精品---作業(yè)(#2)p27,習題一,11,13,14,20今天1班交作業(yè)(#1)2022/10/3063---精品---作業(yè)(#2)p27,習題一,11,13,14,2第4講集合恒等式內(nèi)容提要1.集合恒等式與對偶原理2.集合恒等式的證明3.集合列的極限4.集合論悖論與集合論公理2022/10/3064---精品---第4講集合恒等式內(nèi)容提要2022/10/221---精品集合恒等式(關(guān)于與)等冪律(idempotentlaws)AA=AAA=A交換律(commutativelaws)AB=BAAB=BA2022/10/3065---精品---集合恒等式(關(guān)于與)等冪律(idempotentlaw集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))結(jié)合律(associativelaws)(AB)C=A(BC)

(AB)C=A(BC)

分配律(distributivelaws)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)2022/10/3066---精品---集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))結(jié)合律(associative集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))吸收律(absorptionlaws)A(AB)=AA(AB)=A2022/10/3067---精品---集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))吸收律(absorption集合恒等式(關(guān)于~)雙重否定律(doublecomplementlaw)~~A=A德●摩根律(DeMorgan’slaws)~(AB)=~A~B~(AB)=~A~B2022/10/3068---精品---集合恒等式(關(guān)于~)雙重否定律(doublecomplem集合恒等式(關(guān)于與E)零律(dominancelaws)AE=EA=同一律(identitylaws)A=AAE=A2022/10/3069---精品---集合恒等式(關(guān)于與E)零律(dominancelaws)集合恒等式(關(guān)于,E)排中律(excludedmiddle)A~A=E矛盾律(contradiction)A~A=全補律~=E~E=2022/10/3070---精品---集合恒等式(關(guān)于,E)排中律(excludedmiddl集合恒等式(關(guān)于-)補交轉(zhuǎn)換律(differenceasintersection)A-B=A~B2022/10/3071---精品---集合恒等式(關(guān)于-)補交轉(zhuǎn)換律(differenceas集合恒等式(推廣到集族)分配律德●摩根律2022/10/3072---精品---集合恒等式(推廣到集族)分配律2022/10/229---精對偶(dual)原理對偶式(dual):一個集合關(guān)系式,如果只含有,

,~,,E,=,,

那么,同時把與互換,把與E互換,把與互換,得到的式子稱為原式的對偶式.對偶原理:對偶式同真假.或者說,集合恒等式的對偶式還是恒等式.2022/10/3073---精品---對偶(dual)原理對偶式(dual):一個集合關(guān)系式,對偶原理(舉例)分配律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)排中律A

~A=E矛盾律A~A=2022/10/3074---精品---對偶原理(舉例)分配律2022/10/2211---精品--對偶原理(舉例、續(xù))零律AE=EA

=同一律A

=AAE=A2022/10/3075---精品---對偶原理(舉例、續(xù))零律2022/10/2212---精品-對偶原理(舉例、續(xù))ABAAB

A

AE

A2022/10/3076---精品---對偶原理(舉例、續(xù))集合恒等式證明(方法)邏輯演算法:利用邏輯等值式和推理規(guī)則集合演算法:利用集合恒等式和已知結(jié)論2022/10/3077---精品---集合恒等式證明(方法)邏輯演算法:2022/10/2214邏輯演算法(格式)題目:A=B.證明:x,

xA

…(????)

xB

A=B.#題目:AB.證明:x,

xA

…(????)

xB

AB.#2022/10/3078---精品---邏輯演算法(格式)題目:A=B.題目:AB.分配律(證明)A(BC)=(AB)(AC)證明:x,

xA(BC)

xAx(BC)(定義)xA(xB

xC)(定義)(xAxB)(xAxC)(命題邏輯分配律)(xAB)(xAC)(定義)x(AB)(AC)(定義)

A(BC)=(AB)(AC)2022/10/3079---精品---分配律(證明)A(BC)=(AB)(AC)2022零律(證明)A=證明:x,xA

xAx(定義)xA0

(定義)0(命題邏輯零律)A=2022/10/3080---精品---零律(證明)A=2022/10/2217---精品排中律(證明)A~A=E證明:x,xA~A

xAx~A(定義)xAxA(~定義)xAxA(定義)

1(命題邏輯排中律)A~A=E2022/10/3081---精品---排中律(證明)A~A=E2022/10/2218---集合演算法(格式)題目:A=B.證明:A

=…(????)

=BA=B.#題目:AB.證明:A

…(????)

BAB.#2022/10/3082---精品---集合演算法(格式)題目:A=B.題目:AB.吸收律(證明)A(AB)=A證明:A(AB)=(AE)(AB)(同一律)=A(EB)(分配律)=AE(零律)=A(同一律)A(AB)=AAB2022/10/3083---精品---吸收律(證明)A(AB)=AAB2022/10/2220吸收律(證明、續(xù))A(AB)=A證明:A(AB)=(AA)(AB)(分配律)=A(AB)(等冪律)=A(吸收律第一式)A(AB)=AAB2022/10/3084---精品---吸收律(證明、續(xù))A(AB)=AAB2022/10/集合演算法(格式,續(xù))題目:A=B.證明:()…

AB()…

AB

A=B.#說明:分=成與題目:AB.證明:AB(或AB)

=…(????)

=

A(或B)

AB.#說明:化成=AB=AABAB=BAB2022/10/3085---精品---集合演算法(格式,續(xù))題目:A=B.題目:AB.集合恒等式證明(舉例)基本集合恒等式對稱差()的性質(zhì)集族({A}S)的性質(zhì)冪集(P())的性質(zhì)2022/10/3086---精品---集合恒等式證明(舉例)基本集合恒等式2022/10/2223補交轉(zhuǎn)換律A-B=A~B證明:x,xA-BxA

xBxAx~B

xA~BA-B=A~B.#2022/10/3087---精品---補交轉(zhuǎn)換律A-B=A~B2022/10/2224---德●摩根律的相對形式A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)證明:A-(BC)=A~(BC)(補交轉(zhuǎn)換律)=A(~B~C)(德●摩根律)=(AA)(~B~C)(等冪律)=(A~B)(A~C)(交換律,結(jié)合律)=(A-B)(B-A)(補交轉(zhuǎn)換律).#2022/10/3088---精品---德●摩根律的相對形式A-(BC)=(A-B)(A-C)2對稱差的性質(zhì)交換律:AB=BA結(jié)合律:A(BC)=(AB)C分配律:A(BC)=(AB)(AC)A=A,AE=~AAA=,A~A=E2022/10/3089---精品---對稱差的性質(zhì)交換律:AB=BA2022/10/2226對稱差的性質(zhì)(證明2)結(jié)合律:A(BC)=(AB)C證明思路：

分解成“基本單位”,例如:1.A~B~C2.AB~C3.ABC4.~A~B~CABCABC12342022/10/3090---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2)結(jié)合律:A(BC)=(AB)對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)1)結(jié)合律:A(BC)=(AB)C證明:

首先,AB=(A-B)(B-A)(定義)=(A~B)(B~A)(補交轉(zhuǎn)換律)=(A~B)(~AB)(交換律)(*)ABAB2022/10/3091---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)1)結(jié)合律:A(BC)=(A對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)2)其次,A(BC)=(A~(BC))(~A(BC))(*)=(A~((B~C)(~BC)))

(~A((B~C)(~BC)))(*)=(A(~(B~C)~(~BC)))

(~A((B~C)(~BC)))(德?摩根律)2022/10/3092---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)2)其次,A(B對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)3)=(A(~(B~C)~(~BC)))

(~A((B~C)(~BC)))=(A(~BC)(B~C)))

(~A((B~C)(~BC)))(德?摩根律)=(ABC)(A~B~C)

(~AB~C)(~A~BC)(分配律…)2022/10/3093---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)3)=(A(~(B~C)對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)4)

同理,(AB)C=(AB)~C)(~(AB)C)(*)=(((A~B)(~AB))~C)(~((A~B)(~AB))C)(*)=(((A~B)(~AB))~C)((~(A~B)~(~AB))C)(德?摩根律)2022/10/3094---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)4)同理,(AB)C20對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)5)=(((A~B)(~AB))~C)((~(A~B)~(~AB))C)=(((A~B)(~AB))~C)((~AB)(A~B))C)(德?摩根律)=(A~B~C)(~AB~C)

(~A~BC)(ABC)(分配律…)A(BC)=(AB)C.#2022/10/3095---精品---對稱差的性質(zhì)(證明2、續(xù)5)=(((A~B)(~對稱差的性質(zhì)(討論)有些作者用△表示對稱差:

AB=A△B消去律:AB=ACB=C(習題一,23)A=BCB=ACC=AB對稱差與補:~(AB)=~AB=A~BAB=~A~B問題:ABC=~A~B~C?2022/10/3096---精品---對稱差的性質(zhì)(討論)有些作者用△表示對稱差:AB=A△B對稱差的性質(zhì)(討論、續(xù))如何把對稱差推廣到n個集合:

A1A2A3…An=?x,xA1A2A3…Anx恰好屬于A1,A2,A3,…,An中的奇數(shù)個特征函數(shù)表達:A1A2…An(x)=A1(x)+A2(x)+…+An(x)(mod2)=A1(x)A2(x)…An(x)((mod2),,都表示模2加法,即相加除以2取余數(shù))2022/10/3097---精品---對稱差的性質(zhì)(討論、續(xù))如何把對稱差推廣到n個集合:2022特征函數(shù)與集合運算:AB(x)=A(x)B(x)~A(x)=1-A(x)A-B(x)=A~B(x)=A(x)(1-B(x))AB(x)=(A-B)B(x)=A(x)+B(x)-A(x)B(x)AB(x)=A(x)+B(x)(mod2)=A(x)B(x)AB2022/10/3098---精品---特征函數(shù)與集合運算:AB(x)=A(x)B(對稱差的性質(zhì)(討論、續(xù))問題:ABC=~A~B~C?答案:ABC=~(~A~B~C)=~(AB~C)=A~B~CABCD=~A~B~C~D=A~BC~D=~(~A~BC~D)=…A=~(~A)2022/10/3099---精品---對稱差的性質(zhì)(討論、續(xù))問題:ABC=~A~對稱差的性質(zhì)(證明3)分配律:A(BC)=(AB)(AC)證明

A(BC)=A((B~C)(~BC))=(AB~C)(A~BC)ABCA(BC)2022/10/30100---精品---對稱差的性質(zhì)(證明3)分配律:A(BC)=(AB)對稱差分配律(證明3、續(xù))(續(xù))(AB)(AC)=((AB)~(AC))(~(AB)(AC))=((AB)(~A~C))((~A~B)(AC))=(AB~C)(A~BC)A(BC)=(AB)(AC).#2022/10/30101---精品---對稱差分配律(證明3、續(xù))(續(xù))(AB)(AC)對稱差分配律(討論)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(AC)?2022/10/30102---精品---對稱差分配律(討論)A(BC)=(AB)(AC)集族的性質(zhì)設A,B為集族,則1.AB

∪A∪B2.AB

A∪B

3.A

AB

∩B∩A4.AB

∩BA5.A

∩A∪A2022/10/30103---精品---集族的性質(zhì)設A,B為集族,則2022/10/2240---集族的性質(zhì)(證明1)AB

∪A∪B證明:x,x∪A

A(AA

xA)(∪A定義)

A(AB

xA)(AB)x∪B

(∪B定義)∪A∪B.#2022/10/30104---精品---集族的性質(zhì)(證明1)AB∪A∪B2022/10/集族的性質(zhì)(證明2)AB

A∪B

證明:x,xA

AB

xA(AB,合取)A(AB

xA)(EG)x∪B

A∪B.#2022/10/30105---精品---集族的性質(zhì)(證明2)ABA∪B2022/10/集族的性質(zhì)(證明3)A

AB

∩B∩A說明:若約定∩=E,則A的條件可去掉.證明:x,x∩B

y(yB

xy)y(yA

xy)(AB)x∩A

∩B

∩A

.#2022/10/30106---精品---集族的性質(zhì)(證明3)AAB∩B∩A2集族的性質(zhì)(證明4)AB

∩BA證明:x,x∩B

y(yB

xy)AB

xA(UI)

xA

(AB)∩B

A

.#2022/10/30107---精品---集族的性質(zhì)(證明4)AB∩BA2022/10/集族的性質(zhì)(證明5)A

∩A∪A說明:A的條件不可去掉!證明:

A

y(yA),設AA.x,x∩Ay(yA

xy)AA

xAxA(AA)AAxAy(yA

xy)

x∪A∩A

∪A

.#2022/10/30108---精品---集族的性質(zhì)(證明5)A∩A∪A2022/10冪集的性質(zhì)ABP(A)P(B)P(A)P(B)

P(AB)P(A)P(B)

=

P(AB)P(A-B)

(P(A)-P(B)){}2022/10/30109---精品---冪集的性質(zhì)ABP(A)P(B)2022/10/22冪集的性質(zhì)(證明1)ABP(A)P(B)證明:()x,xP(A)xAxB(AB)xP(B)P(A)P(B)2022/10/30110---精品---冪集的性質(zhì)(證明1)ABP(A)