秘密★啟用前2021－2022數(shù)學(xué)試題（2023）（本試卷共4頁(yè)，總分150分，考試時(shí)間120分鐘）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷第3頁(yè)至第4頁(yè)，考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（60）注意事項(xiàng)：答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需一、選擇題（8540項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）如圖，在空間四邊形OABC中，OA a,OB b,OC c，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段OA上，且OM＝2MA，則MN （ ）A.1a

2b1c B.1a1b1c2 3 3 3 2 2C.2a1b1c D.2a1b1c3 2 3 3 2 2直線3x 3y60的傾斜角為（ ）2 5A. B. C. D.3 3 6 6已知直線ly10與直線

:xmy10相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值是（ ）1 2A.0 B.1 C.－1 D.1傾斜角為45°，在y軸上的截距為2021的直線方程是（ ）A.xC.x

B.xy20210y20210y20210y20210y20210222一束光線，從點(diǎn)A（，）出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C（－5）＋（）2＝4上的最短路徑的長(zhǎng)度是（ ）2222A.82

2 B.

2 C.

2 D.5 2已知兩條異面直線的方向向量分別是u(3,1,2)v(3,2,1，則這兩條異面直線所成的角滿足（ A.sin 9

1B.sin

9C.cos

1D.cos14 4 14 43已知⊙0的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，且被直線x 3y2 0截得的弦長(zhǎng)為6，則⊙O的方3程為（ ）A.x2 y2 4 B.x2 y2 8 C.x2 y2 12 D.x2 y2 16C的焦點(diǎn)為F1

(2

(2,0)，點(diǎn)A在C上，且關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，|AB|FF12

，四邊形AFBF1 2

的面積為6，則雙曲線C的方程為（ ）x2 y2 y2A. y2 1 B.x2 1 C.x2 y2 2 D. x2 13 3 3二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的2）已知M，A，B，C{MA,}成為空間的一個(gè)基底的是（ ）MAMB2MCA.OM 1OA 1OB 1OC BMAMB2MC3 4 5OMOA2OB3OCMA3MB2MCOMOA2OB3OCMA3MB2MC已知直線y2k0和圓O:x2 y2 9，則（ A直線恒過(guò)定點(diǎn)B.存在k使得直線與直線l0

:x2y20垂直C.直線與圓O相交7D，直線被圓O截得的弦長(zhǎng)為27已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)5，且點(diǎn)A（，，B（，1）到直線l的距離相等，則直線的方程可能為（ ）A.2x3y210 B.2xy10 C.x2y20 D.2x3y60為橢圓C1

:x2 y2 1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作C8 6

的切線交圓C2

:x2

24M，N，過(guò)點(diǎn)M，N作C的切線交于點(diǎn)Q，則（ ）AA.SOPQ的最大值為B.SOPQ23的最大值為333x2 y2C.Q的軌跡方程是

1 D.Q的軌跡方程是x2 y2 13648 7296第Ⅱ卷（90）注意事項(xiàng)三、填空題（4520）13已知點(diǎn)A（2，B（）且AB|5，則a的值為 ．已知圓C＝0，其中m∈R，如果圓C與圓相外切，則m的值為 ．已知圓C：2＋－＝0內(nèi)有點(diǎn)M，，則以點(diǎn)M為中點(diǎn)的圓C的弦所在的直線方程為 ．ABCD的長(zhǎng)方體被截面AECFAB＝4，1BC＝2，CC 3，BE1，則）BF| （）點(diǎn)C到平面AECF的距離1 1為 ．四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）10分）已知點(diǎn)A（5，－1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Bx，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Cx．1 1 2 2（Ⅰ）求△ABC中過(guò)AB，BC邊上中點(diǎn)的直線方程；（Ⅱ）求△ABC12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓N過(guò)點(diǎn)（（，，且圓心N在直線：＋－1＝0上；圓M：8．（Ⅰ）求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷圓M與圓N的位置關(guān)系；（Ⅱ）直線MN上是否存在點(diǎn)B，使得過(guò)點(diǎn)B分別作圓M與圓N的切線，切點(diǎn)分別為T，S（不重合，滿足BS＝BT？若存在，求出點(diǎn)B12分）如圖，AP，E，F(xiàn)BCPB，ABEF的中點(diǎn)，且AP＝AC．（Ⅰ）∥平面；（Ⅱ）求直線DG與平面PBC所成角的正弦值．12分）x2 y2已知雙曲線C與橢圓12 6（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

1P3,6)是C上一點(diǎn)．（Ⅱ）CMxCA，B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M．12分）如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PAABCD，且PA＝AB＝2AD＝2DC．（Ⅰ）證明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若M是PB的中點(diǎn)，求平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值．12分）x2 y2已知橢圓

b0)，其長(zhǎng)軸為8，離心率為 ，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作圓O：3a2 b2 23的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB軸的交點(diǎn)分別為E、Q．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求△EOQ面積的最小值．2021－2022數(shù)學(xué)試題參考答案（2023屆）一、選擇題（8540分）題號(hào)12345678答案DAABACCBOAa,OBbOAa,OBbc，∵NBC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且OM＝2MA，且MA 1OA 1a,AB OBOA b 1BC 1OB)1b)，3 3 2 2 2MN MA AB

1ab

1b)

2a1b

1c，故選D．3 2 3 2 23直線3x 3y60的方程轉(zhuǎn)換為y 3x3(0,)，所以 2，故選A．3

，由于3因?yàn)橹本€ly10與直線3

:xmy10相互垂直，所以

＋1xm＝0，解得1 2 1m＝0，即實(shí)數(shù)m0，故選A．45°，所以直線的斜率為y2021B．如圖，由圓C的方程可得圓心坐標(biāo)C，，半徑2，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A3,3)ACxQ點(diǎn)，交圓CP點(diǎn)，則AP為所求的最短距離，證xQAQQPAQQPAP，當(dāng)且僅當(dāng)A三點(diǎn)共線時(shí)取(5(52等號(hào)，所以AP ACr 2(5(526.∵兩條異面直線的方向向量分別是u(3,,2)v(3,2,1),6.∵兩條異面直線的方向向量分別是u(3,,2)v(3,2,1),uv33(1)

，|32 ((

1414兩條異面所成的角為，則cos |v| 9 9，故選C．1414|| 1414143∵⊙O的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，且被直線x 3y2 0截得的弦長(zhǎng)為6，設(shè)的方3023102313程為則弦心距為d 3,(，解得2可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．OAB和FF12

的中點(diǎn)，∴四邊形AFBF1 2

為平行四邊形，又|FF，12∴四邊形AF1BF2為矩形，∵四邊形AF1BF2的面積為6， AF1AF26，又16－12＝4，解得a2＝1，∴b2＝c2－a2＝3，故雙曲線的方程為x2

y2 1，故選B．AF2AFAF2AF2FF12216,AF||AF12a,4a2AF2AF22AFAF1221212二、選擇題（4520分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是502分）題號(hào)題號(hào)9101112答案ACBCDABAD【解析】對(duì)于A，因?yàn)镺M 1

1

1OC111

1，利用平面向量基本定理可3 4 5 345知：點(diǎn)M不在平面ABCMA能構(gòu)成一個(gè)空間基底；對(duì)于B，因?yàn)镺MOA2OB,12MA MB 2MC，利用平面向量基本定理可知：向量MAOMOA2OB,12個(gè)空間基底；對(duì)于C，由 31，利用平面向量基本定理和MA3MB2MC，根O為頂點(diǎn)的對(duì)角線，向量MA,,MA3MB2MC，根間基底；對(duì)于D，由 據(jù)平面向量的基本定理可知：向量MA共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故選AC．直線kxy2k0，即kx2)y0，則直線恒過(guò)定點(diǎn)（，0，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線y2k0與直線l0

:x2y20垂直，故B正確：∵定點(diǎn)（－2，0）在圓O內(nèi)部，∴直線與圓O相交，故C正確：當(dāng)時(shí)，直線O到直線的距離

2，直線l被圓O截22927得的弦長(zhǎng)為2 2 ，故D正確，故選BCD2927當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)點(diǎn)A到直線的距離為5，點(diǎn)Bl1lkl的方程為，即A（－（4，－1）到直線l的距離相等，k2 k2 1

153k|k2 1k2 1

2或當(dāng)k 2時(shí)，直線的方3 3程為y5 23)，整理得當(dāng)時(shí)，直線l的方程為33，整理得2－0綜上，直線l的方程可能為2320或2－10，故AB．設(shè)Px

,Qx,y

，則l

:xx

yy1，即3x

4

24，過(guò)M，NPPp p Q PP

MN 8 6 p p作C2x

切線交于Q，則l:MNy

xxyQ

y24，所以xQ

3x,yP Qx2

4y，即Py2x2 y2 Q Qx QP 3

Q，因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C:4 1

8 6 1上的動(dòng)點(diǎn)，所以3 4 1，8 6可得點(diǎn)Q的軌跡方程為

x2 y27296

1，故C錯(cuò)誤 D正確；因?yàn)镺P xOQ|sinPOQOQ|sinPOQ12OP2OQ21POQ12OP2OQ2OQ

3xP

,4yP

， 所 以S 12x2y2PPx2y2PP1212x2Py2P9x2P16y2P3x2P4y2P2PPx2 y2P P

xyx

23，所以

S 的最3612x2y2PP48OPQ3612x2y2PP48OPQ3，即

OPQ3大值為 ，故A正確錯(cuò)誤，故選AD．3三、填空題（4520分）題號(hào)題號(hào)13141516答案1或－5－9x＋y－4＝026；43311【解析】(2(2∵點(diǎn)A（－2(2(2a 5．

5,a1或14由圓C：2＋－6－8－m＝，可得－）＋－）＝2m，則圓心C（34，25m半徑r ，由圓2＋2，可得圓心（，，半徑R＝25m(3(4(3(425m15圓C：2＋－4＝0，即－2＋2＝，則圓心C，0，所以直線MC的斜率為k101，則以點(diǎn)M為中點(diǎn)的圓C的弦所在的直線的斜率為k 1，所以所求直線的32方程為1＝1×，即＋－40AFEC，2，以D，DC，DF所在直線為x軸，y軸，zD，00B2，，0，A（0，C，，0E24，，C（，4，AFEC，1（1）設(shè) F（0，0，a），

得(2,0,a)(2,0,2),a2，1FBF (2,|26．（2）設(shè)nAEC1F的法向量，由（2）設(shè)nAEC1F的法向量，由nAE04yz0，得nAF02x2z0，取4又CC1

到平面

F的距離dCCCCn1|43311．四、解答題（70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）10分）解（Ⅰ）∵點(diǎn)A5，）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Bxy,B(5,) 1分）1 1又∵點(diǎn)A（5，－1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Cx2 2

,C(5,1，… 2分）AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是，，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)是．… 4分）y0 x510 05過(guò)，0（，1y0 x510 05整理得分）（Ⅱ）由題意知||1(||55|10,AB BC，………………（8分）∴△ABC的面積S1||1

21010．… 分）2 212分）（Ⅰ）由題意知，圓N的圓心N也在直線0上，xy10x0聯(lián)立 ，解得xy10x02N（01，半徑為rNA| ，… 2分）2圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為|(3(4|(3(422而r r2M N

2 3 22∴圓M與圓N相外切．… 分）22（Ⅱ）N（，1，M（，，直線MN的方程為＋－0，… 7分）設(shè)直線MN上是存在點(diǎn)B滿足題意，設(shè)BBS＝2BT可知，BS2＝4BT2，即BN2－＝（BM－8，所以BN＝4BM2－3，… 9分）即a2＋（1－a－1）2＝4[（a＋3）2＋（1－a－4）2]－30，整理得a2＋8a＋7＝0，解得a＝－7，B（－，）或（，… 11分）B（－1，2）時(shí)，點(diǎn)B為圓N與圓M的公切點(diǎn)，T，S，B重合，不符合題意．∵存在點(diǎn)B（78，滿足BSBT．… 12分）12分）（Ⅰ）證明：如圖3，連接DE，∵E，F(xiàn)分別為PB，AB∥PA，PA 平面PAC，EF 平面PAC，∴EF∥平面，… 分）∵D，E分別為BC，PB∥PC，PC 平面PAC，DE 平面PAC，∴DE∥平面PAC，… 分）又EF平面DGE，且EF DE E，∴平面DEG∥平面，而DG 平面DEG，∴DG∥平面PAC．… 分）（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵△ABC是正三角形，且AP＝AC，不妨設(shè)AP＝4，P(1,PB 3,(1,分）設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n(x,y,z)，nPB2x23y4z0nDB2x0則 取nPB2x23y4z0nDB2x0

0,1,

．… 分）2設(shè)直線DG與平面PBC所成角為，3DG|32|nDG|1343DG|32|nDG|134510535105∴直線DG與平面PBC所成角的正弦值為10535

．… 分）12分）x2 y2（Ⅰ）解：由已知設(shè)雙曲線C的方程為

0)，a2 b29 6由已知得a2＋b2＝12－6＝6，且 1，a2 b2解得a2＝b2＝3，x2 y2∴雙曲線C的方程為3 3

1．… 分）（Ⅱ）證明：設(shè)直線的方程為m（m≠0，m23m23與聯(lián)立解m23m23不妨設(shè)A m

m2 ，由（Ⅰ）知點(diǎn)M(3,0)，… 分）AM∴AM，BM的斜率分別為kAM

m mm2 3m2 33m2 33，m2 m2 33AM BM

mm2 331，… m2 33所以AM⊥BM，故以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M．… 分）12分）（Ⅰ）證明：如圖4，∵PA⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，∴AP⊥DC由題設(shè)知⊥DC，AP AD A，由此得DC⊥平面，又DC 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．… 分）（Ⅱ）AAD，AB，AP標(biāo)系，由于PA＝AB＝2AD＝2DC，設(shè)PA＝2，則A（，00B20C（，10D（1，，0P（，0，M（，，1，則AC (1,1,0M (0,1,1