171二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)

第二章171二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)172學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.教學(xué)目的：通過本節(jié)學(xué)習(xí)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念,掌握高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。2.基本練習(xí)：學(xué)習(xí)這部分應(yīng)進(jìn)行的基本練習(xí)是熟記幾個(gè)基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式；熟記和、差、積、商的高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則；利用上述公式與法則進(jìn)行高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算。3．注意事項(xiàng)：學(xué)習(xí)這部分應(yīng)注意求的n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，往往要先利用初等數(shù)學(xué)方法先將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后再利用已知函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法去求。172學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.教學(xué)目的：通過本節(jié)學(xué)習(xí)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念173

我們把函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)yf

(x)的導(dǎo)數(shù)(如果可導(dǎo))叫做函數(shù)yf(x)的二階導(dǎo)數(shù)記作

類似地二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù);

一般地

(n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)分別記作y

y(4)

y(n)

高階導(dǎo)數(shù)的定義173我們把函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)yf174f(x)在x處有n階導(dǎo)數(shù)，那么在x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù)；二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。174f(x)在x處有n階導(dǎo)數(shù)，那么在x的某175一步一步來，利用已知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則問題：如何求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)？175一步一步來，利用已知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則問題：176高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例解

例1

y=ax+b,求

例2求

解

求n階導(dǎo)數(shù)就是連續(xù)地求n次一階導(dǎo)數(shù)。176高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例解例1y=ax+b,求177

例3證明:函數(shù)滿足關(guān)系式證將求導(dǎo),得于是177例3證明:函數(shù)滿足關(guān)系178

例4

求函數(shù)ye

x

的n階導(dǎo)數(shù)即(ex)(n)ex一般地可得y(n)exyex

解

y(4)exyexyex

例5

求函數(shù)ln(1x)的n階導(dǎo)數(shù)一般地可得y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4

解

yln(1x)y(n)=(-1)(-2)

(-n+1)(1+x)-n

y=-(1+x)-2y(1+x)-1y=(-1)(-2)(1+x)-3幾個(gè)初等函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)178例4求函數(shù)yex的n階導(dǎo)數(shù)179

例6

求正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

解

ysinx一般地可得179例6求正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)1710

例7

求冪函數(shù)yxm(m是任意常數(shù))的n階導(dǎo)數(shù)公式而(xn)(n1)0

當(dāng)mn時(shí)得到即(x

m

)(n)m(m1)(m2)

(mn1)xmn

一般地可得ymxm1ym(m1)xm2ym(m1)(m2)xm3y(4)m(m1)(m2)(m3)xm4y(n)m(m1)(m2)

(mn1)xmn

(xn)(n)m(m1)(m2)

321n!

解

1710例7求冪函數(shù)yxm(m是任意常1711

求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，求出若干階后不要急于合并，分析結(jié)果的規(guī)律性，寫出n階導(dǎo)數(shù)(數(shù)學(xué)歸納法證明).1711求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，求出若干階后不要急于合并，1712例8解1712例8解1713這一公式稱為萊布尼茨公式函數(shù)和差的n階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)積的n

階導(dǎo)數(shù)

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明(uv)(n)u(n)v(n)

(uv)uvuv(uv)uv2uvuv(uv)uv3uv3uvuv

函數(shù)和差、積的n

階導(dǎo)數(shù)（高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則）1713這一公式稱為萊布尼茨公式函數(shù)和差的n階導(dǎo)數(shù)171417141715例9解代入萊布尼茨公式,得1715例9解代入萊布尼茨公式,得1716內(nèi)容小結(jié)(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4)利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法如,1716內(nèi)容小結(jié)(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)1717

作業(yè)P1031(5),(7),(9),(11),(12);3;4(2);6;10(1)1717作業(yè)1718二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)

第二章171二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)1719學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.教學(xué)目的：通過本節(jié)學(xué)習(xí)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念,掌握高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。2.基本練習(xí)：學(xué)習(xí)這部分應(yīng)進(jìn)行的基本練習(xí)是熟記幾個(gè)基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式；熟記和、差、積、商的高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則；利用上述公式與法則進(jìn)行高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算。3．注意事項(xiàng)：學(xué)習(xí)這部分應(yīng)注意求的n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，往往要先利用初等數(shù)學(xué)方法先將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后再利用已知函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法去求。172學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.教學(xué)目的：通過本節(jié)學(xué)習(xí)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念1720

我們把函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)yf

(x)的導(dǎo)數(shù)(如果可導(dǎo))叫做函數(shù)yf(x)的二階導(dǎo)數(shù)記作

類似地二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù);

一般地

(n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)分別記作y

y(4)

y(n)

高階導(dǎo)數(shù)的定義173我們把函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)yf1721f(x)在x處有n階導(dǎo)數(shù)，那么在x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù)；二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。174f(x)在x處有n階導(dǎo)數(shù)，那么在x的某1722一步一步來，利用已知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則問題：如何求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)？175一步一步來，利用已知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則問題：1723高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例解

例1

y=ax+b,求

例2求

解

求n階導(dǎo)數(shù)就是連續(xù)地求n次一階導(dǎo)數(shù)。176高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例解例1y=ax+b,求1724

例3證明:函數(shù)滿足關(guān)系式證將求導(dǎo),得于是177例3證明:函數(shù)滿足關(guān)系1725

例4

求函數(shù)ye

x

的n階導(dǎo)數(shù)即(ex)(n)ex一般地可得y(n)exyex

解

y(4)exyexyex

例5

求函數(shù)ln(1x)的n階導(dǎo)數(shù)一般地可得y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4

解

yln(1x)y(n)=(-1)(-2)

(-n+1)(1+x)-n

y=-(1+x)-2y(1+x)-1y=(-1)(-2)(1+x)-3幾個(gè)初等函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)178例4求函數(shù)yex的n階導(dǎo)數(shù)1726

例6

求正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

解

ysinx一般地可得179例6求正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)1727

例7

求冪函數(shù)yxm(m是任意常數(shù))的n階導(dǎo)數(shù)公式而(xn)(n1)0

當(dāng)mn時(shí)得到即(x

m

)(n)m(m1)(m2)

(mn1)xmn

一般地可得ymxm1ym(m1)xm2ym(m1)(m2)xm3y(4)m(m1)(m2)(m3)xm4y(n)m(m1)(m2)

(mn1)xmn

(xn)(n)m(m1)(m2)

321n!

解

1710例7求冪函數(shù)yxm(m是任意常1728

求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，求出若干階后不要急于合并，分析結(jié)果的規(guī)律性，寫出n階導(dǎo)數(shù)(數(shù)學(xué)歸納法證明).1711求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，求出若干階后不要急于合并，1729例8解1712例8解1730這一公式稱為萊布尼茨公式函數(shù)和差的n階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)積的n

階導(dǎo)數(shù)

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明(uv)(n)u(n)v(n)

(uv)uvuv(uv)uv2uvuv(uv)uv3uv3uvuv

函數(shù)和差、積的n

階導(dǎo)數(shù)（高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則）1713這一公式稱為萊布尼茨公式函數(shù)和差的n階導(dǎo)數(shù)173117141732例9解代入萊