溫環(huán)宇數(shù)學(xué)系PB06210447hywen@關(guān)于化簡2階線性偏微分方程的一些直觀想法課本第一章談到化簡2階2元線性偏微分方程，以便更好的分類進(jìn)而方便其求解，個人認(rèn)為其方法稍顯突兀，并且難以向高維情況推廣，以下討論一些對于課本方法的改進(jìn)。2階半線性偏微分方程的一般形式是：其二次的主部為：化簡的實(shí)質(zhì)是做變換，而現(xiàn)階段我們能夠使用的僅有2種：①自變量變換；②未知函數(shù)變換第一部分：過程推導(dǎo)§1首先我們知道，二階方程困難之處是在于它的主部，于是我們單獨(dú)就進(jìn)行討論。受到二次型理論的啟發(fā)，我們利用算子復(fù)合的概念將寫成二次型的形式：在這里要注意的一點(diǎn)的是，雖然是x的函數(shù)，但在這個二次型里只當(dāng)作系數(shù)，即不能理解為：，而應(yīng)該理解為，這一點(diǎn)在后面仍會碰到?！?接下來，首先我們看一般的自變量的光滑變換會產(chǎn)生什么效果。令記，，當(dāng)然我們可以要求A是對稱陣。然后我們計算新參數(shù)下的(應(yīng)用愛因斯坦求和約定)寫成等價的矩陣形式：注：在第二項[]中，同樣要將A的元素看作二次型系數(shù)，即只作用在的元素上§3現(xiàn)在利用二次型理論，將中間的矩陣化簡。我們首先討論的是2元2階的方程，令n=2，變換后的二階主部可以直接寫出來：若解出滿足一階方程的，就可以使得方程對角化，然而這里有2個未知函數(shù)，一起求解可能非常復(fù)雜，好在我們要求的僅僅是一個特解，不妨令，這樣一來，就化成了，而這個方程是很好解的。于是，我們便完成了方程主部的對角化?！?由上面的理論，總可以設(shè)：再做未知函數(shù)的變換：，便可以將一階導(dǎo)數(shù)項消去，化成便是標(biāo)準(zhǔn)型了。第二部分：推廣就課本的方法而言，其對于2個自變量的處理方法自有其可取之處，因為它巧妙的利用了特征曲線法將偏微分方程約化到常微分方程的求解，由此顯得簡潔，然而其弊端也是顯而易見的，即對于自變量大于等于3個的情況就沒有這么好的事了。而采用我們剛剛討論的方法，我們?nèi)匀豢梢栽诙嘧宰兞康那闆r下化簡方程?！?考慮主部矩陣：，令變換，則變換后的主部為：，其中于是，我們要解一階線性偏微分方程組：用課本第7章的知識可以求出它的特解，于是，主部化為然后重復(fù)這一過程，直到主部矩陣成為對角的即可?！?為了形象起見，我們舉個簡單的例子，考慮方程：首先解方程組，取特解，主部化為類似的再取的特解，，主部化為所以總的變換是§3我在與同學(xué)討論這個問題的時候，有同學(xué)指出，不存在統(tǒng)一的自變量變換能將方程在區(qū)域上化成同一種類型，因此將方程在上對角化可能是辦不到的。但從結(jié)果來看是辦得到的，因為它變化后的