...kszl.kszl《微積分幾何》復(fù)習(xí)題 本第一部分：練習(xí)題庫及答案一、填空題（每題后面附有關(guān)鍵詞；難易度；答題時(shí)長(zhǎng)）第一章61．已知a(1,1,1),b(1,0,1)，則這兩個(gè)向量的夾角的余弦cos=632．已知a(0,1,1),b(1,0,1)，求這兩個(gè)向量的向量積ab(-1,-1,-1)．3且與向量a(1,0,1)X-Z=04．求兩平面

xyz0與

:xy2z1x1

y z11 2 3 1 25．計(jì)算21)it3jk13i8jk．t26．設(shè)f(t)(sint)itj，g(t)(t21)ietj，求lim(f(t)g(t)) 0 ．t0已知r(uvuvuvuv，其中ut2vsint，則dr(2tcost,2tcost,2vtucost)dt已知t，t2，則dr(,)(asincos2atcossinasinsin2atcoscosacos)dt．已知4rt)dt(1,2,3)，6rt)dt(2,1,2)，求2 44art)dtb6art)dt)，其中a(2,1,1)，b(11,0)2 2已知rt)a（a為常向量，求rt)ac已知rt)ta（a為常向量，求rt) 1tac24已知f(t(2t)j(logt)kg(t(sint)i(cost)jt0，則40

d(fg)dt26cos4．dt第二章曲線r(t)(2t,t3,et)在任意點(diǎn)的切向量為(2,3t2,et)14．曲線r(tacoshtasinhtat在t0點(diǎn)的切向量為(0,aa)15．曲線r(tacostasintbt在t0點(diǎn)的切向量為(0,ab)設(shè)有曲線Cxetyetzt2，當(dāng)t1

xee

yez111 21exetcost,yetsintzet，當(dāng)t0x1yz1第三章設(shè)rr(uvrru v

0，則稱參數(shù)曲面是正則的；如r:Gr(G)是一一的 ，則稱參數(shù)曲面是簡(jiǎn)單的．如果u曲線族和v曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為 正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng) 坐標(biāo);易;3分)平面r(uvuv,0)的第一基本形式為du2dv2，面積元為懸鏈面r(uv)(coshucosv,coshusinvu的第一類基本量是Ecosh2uF0Gcosh2uzaxyx

，y

的交角的余弦值是

a2xy0 00 0 (1a2x0

2)(1a2y2)0正螺面r(uvucosvusinvbv的第一基本形式是du2u2b2)dv2．24 ． 雙 曲 拋 物 面 r(u,v)(a(uv),b(uv),2uv) 的 第 一 基 本 形 式 是(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2正螺面ru,v)(ucosv,usinv,bv)的平均曲率為0 （正螺面、第一基本量、第二基本量；中3分鐘）方向(d)dudv是漸近方向的充要條件是

(d)0Ldu22MdudvNdv20n兩個(gè)方向(d)dudv和(δδuδv共軛的充要條件是II(drδr)0LduδuM(duδvdvδuNdvδv0EL函數(shù)FM方向(d)dudv

FM0GNLdu0Ndv根據(jù)羅德里格定理，如果方向(d)(dudv是主方向，則dn

dr，其中n

是沿(d)方向的法曲率n第四章高斯方程是rij

krijk

Lni,j1,2，魏因加爾吞方程為nij

Likj,k

gkjri

，i,j1,21 g

g gij用g 表示為(gij)ij

det(g

)22

12．g gij 12 11g測(cè)地曲率的幾何意義是曲面S上的曲線(CP點(diǎn)的測(cè)地曲率的絕對(duì)值等于(CP點(diǎn)的切平面上的正投影曲線(C)的曲率35．,,g n

之間的關(guān)系是2

22．g n如果曲面上存在直線，則此直線的測(cè)地曲率為 0 ．d2uk

k

dui

du

0,k1,2ds2

i,j

ijds ds波涅公式為Ksk)g iG G i1．如果G波涅公式為kG i1

()2．i二、單選題第一章．已知a(1,0,1)，b(1,2,1)，則這兩個(gè)向量的內(nèi)積ab為（C （內(nèi)積；易2分鐘）A 2 B C 0 D 1求過點(diǎn)P(1,1,1且與向量a(1,0,1)平行的直線的方程是（A （直線方程；易2分鐘）xz

x1

yz1y1

2 3xyC x1yz1 D z1．已知a(1,11),b(1,0,1),c(1,1,1，則混合積為（D （混合積；較易2分鐘）A 2 B C 1 D 已知rt)(et,t,et)，則r(0)為（ A （導(dǎo)數(shù)；易2分鐘Ａ(１，０，１) Ｂ(-１，０，１)Ｃ(０，１，１) Ｄ(１，０，-１)．已知rt)r(t)，為常數(shù)，則r(t)為（ C （導(dǎo)數(shù)；易2分鐘）Ａta Ｂa ＣＤ上述a為常向量．已知r(x,y)(x,y,xy)，求dr(1,2)為（D （微分；較易2分鐘）Ａ(dx,dy,dx2dy) Ｂ(dxdy,dxdy,0)第二章圓柱螺線r(cost,sint,t)的切線與z軸（C ）.(螺線、切向量、夾角；較易2分)Ａ平行 Ｂ垂直 Ｃ有固定夾角

Ｄ有固定夾角4 3設(shè)有平面曲線C:rr(s)，s為自然參數(shù)，α,β是曲線的基本向量．下列敘錯(cuò)的是C．Ａα為單位向量 ＢααＣαβ Ｄβα直線的曲率為（B（2分鐘）Ａ–１ Ｂ０ Ｃ１ Ｄ２關(guān)于平面曲線的曲率C:rr(s)的是（D（2分鐘）Ａ(s)α(s) Ｂ(s)(s)，為α(s)的旋轉(zhuǎn)Ｃ(s)αβ Ｄ(s)r(s)|對(duì)于平面曲線“曲率恒等于０”是“曲線是直線”的（D）（曲率；易2分Ａ充分不必要條件 Ｂ必要不充分條件Ｃ既不充分也不必要條件 Ｄ充要條件下列論不正的是（D （基本向量；易2分鐘）Ａα,β,γ均為單位向量 ＢαβＣβγ Ｄα//β（）（2)A充分不必要條件B必要不充分條件C既不充分也不必要條件D充要條件對(duì)于空間曲線C（D（2分鐘)A充分不必要條件B必要不充分條件C既不充分也不必要條件D充要條件xa(tsintycostz4asint在點(diǎn)t

的切線與z軸關(guān)系為（D．2 2Ａ垂直 Ｂ平行 Ｃ成第三章

的角 Ｄ成的角3 4x2a2

y2z2b2 c2

1的參數(shù)表示為C（2分鐘）A(x,y,z)(coscos,cossin,sin) B(x,y,z)(acoscos,bcossin,sin)C(x,y,z)(acoscos,bcossin,csin) D(x,y,z)(acoscos,bsincos,csin)x2a2

y2b2

z21的參數(shù)表示的是D（2分鐘）c2A(x,y,z)(acoshusinv,bcoshucosv,sinhu) B(x,y,z)(coshucosv,coshusinv,sinhu)C(x,y,z)(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu) D(x,y,z)(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)x2a2

y2b2

z21的參數(shù)表示的是A（2分鐘）c2A(x,y,z)(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu) B(x,y,z)(acoshucosv,bsinhusinv,ccoshu)C(x,y,z)(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) D(x,y,z)(coshucosv,coshusinv,sinhu)x2a2

y22z的參數(shù)表示的是B（2分鐘）b2A(x,y,z)(ucosv,usinv,u2) B(x,y,z)(aucosv,businv,u2)2 2C(x,y,z)(aucoshv,businhv,u2) D(x,y,z)(acosv,bsinv,v)2x2a2

y22z的參數(shù)表示的是C（2分鐘）b2A(x,y,z)(acoshu,bsinhu,u) B(x,y,z)(coshu,sinhu,u)C(x,y,z)(a(uv),b(uv),2uv) D(x,y,z)(au,bv,uv)．曲面r(u,v)(2uv,u2v2,u3v3)在點(diǎn)M(3,5,7)的切平面方程為B（2分鐘）A21x3y5z200 B18x3y4z410C7x5y6z180 D18x5y3z160球面ru,v)(Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu)的第一基本形式為D（2分鐘）AR2(du2sin2udv2)BR2(du2cosh2udv2)CR2(du2sinh2udv2)DR2(du2cos2udv2)正圓柱面ru,v)(Rcosv,Rsinv,u)的第一基本形式為（C（2分鐘）du2dv2

du2dv2

du2R2dv2

du2R2dv2在第一基本形式為I(du,dv)du2sinh2udv2uv(v1

vv2

)的曲線段的弧長(zhǎng)為B（弧長(zhǎng)；中；2分鐘）coshv2

coshv1

sinhv2

sinhv1coshv1

coshv2

sinhv1

sinhv2設(shè)M為R3中的2維C2正則曲面，則M的參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)的充要條件是（B．AE0 BF0 CG0 DM0以下正確的是（D（2分鐘）Adn

(dr) Bdn

(dr)(dr(dr)Cdn u

(drv

) Ddn以下正確的是（C（2分鐘）AI(dr,CI(dr,

(δr))II(dr,δr) BI(dr,(δr))I( (dr),δr) DI(d(δr))

(δr))I((δr))II(

(δr),dr)(dr),δr)以下正確的是A（2分鐘）AI(dr,(δr))CI(δr))

(δr))II(dr,δr) BI(dr,I( (dr),δr) DII(dr,

(δr))II((δr))II(

(dr),δr)(dr),δr)高斯曲率為常數(shù)的的曲面叫C（2分鐘）A極小曲面 B球面 C常高斯曲率曲面 D平面第四章B69．gijgjii,j

（2分鐘）A 1 B 2 C 0 D -1B70．g kjj

j l

（2分鐘）A g Bg C g D gkj kl ki ijAkij

（2分鐘）A 1gkl(gil

g gjl ij)

1gkl(gil

g gjl ij)2 ui

ui ul

2 ui

ui ul...kszl.kszlC 1gkl(gil

g gjl ij)

1gkl(gil

g gjl ij)2 ui

ui ul

2 ui

ui ul72．曲面上直線（如果有的話）的測(cè)地曲率等于 ．A 0 B 1 C2 D 3．當(dāng)參數(shù)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，參數(shù)曲線曲線的測(cè)地曲率為 （劉維爾定理、測(cè)地曲率；中4分鐘）1 lnE2 E 2 E u

1 lnE2 G 2 G v1lnG12 E 2 E v

1 lnE2 G 2 G u．如果測(cè)地線同時(shí)為漸進(jìn)線，則它必為 （測(cè)地曲率、法曲率、曲率；中2分鐘）A直線 B平面曲線 C拋物線 D圓柱螺線．在偽球面(K1)上，任何測(cè)地三角形的內(nèi)角之和 （高斯波涅定理；中4分鐘）A等于 B小于 C大于 D不能確定三、多選題第一章76.若r(t(x(t

(t),

(t)),i1,2,3為向量函數(shù)，則下列論述正確的是（D）（4分鐘）i i i iＡr(t)(x(t),y(t),z(t))1 1 1 1Ｂr(t)(x(t),y(t),z

(t))(x(t),y(t),

(t))(x),y),z(t))1 1 1

1 1

1 1 1Ｃ(r(t),r(t),r(t))(r(t),r(t),r(t))1 2 3 1 2 3Ｄ(r(t),r(t),r

(t)) (r(t),r(t),

(t))(r(t),r(t),

(t))(r(t),r(t),r(t))1 2

1 2

1 2

1 2 3Ｅ(r(t),r(t),r(t))(r(t),r(t),r

(t))1 2 3 1 2 3m,n 為常向量，r(t)為向量函數(shù)，則下述正確的是（C（4分鐘）Ａbmrt)dtmbrt)dt Ｂbmrt)dtmbrt)dta a a aＣbm,n,rt))dtmn)brt)dt Ｄbm,n,rt))dtmn)brt)dta a a aＥbm,n,rt))dtmn)brt)dta a第二章下列曲線中為正則曲線的有（4分鐘）Ａr(x)(x,x3)，x(,) Ｂr(x)(x2,x3)，x(,)Ｃr(x)(x2,x3)，x(0,) Ｄr(x)(cosx,x)，x(,) Ｅr(x)(x,x)，x(1,2)下列曲線中是正則曲線的有（4分鐘）Ａr(cost,sint,t)， t(,)Ｂr(sin3t,3t,0)， t(,)Ｃr(cost,cos2t,sint)， t(,)Ｄr(cost,1costsint,sint)， t(,)Ｅr(2sin2t,2sin2ttant,t)， t(,)下列式子正確的是（4分鐘）Ａγαβ ＢγαＣβkαγ ＤγβＥγ∥β．第三章曲面zx3y3在點(diǎn)M(1,2,9)的（D（4分鐘）A切平面方程為3x12yz180切平面方程為3x14yz80x13

y312

z91x13Ex14

y212y212

z91z91正螺面rucosv,usinv,av)的C（4分鐘）Axasinvyacosvzuauv0Bxasinuyacosuzvauv0Cxasinuyacosuzvauv0xucosvD法線方程為

yusin

zavasinv acosv uxucosvE法線方程為

yusinv

zavasinu acosu v（）不能作為曲面的第一基本形式（4分鐘）I(du,dv)du24dudvdv2I(du,dv)du24dudv4dv2I(du,dv)du24dudv6dv2I(du,dv)du24dudv2dv2I(du,dv)du24dudv5dv2一般螺面ru,v)ucosv,usinv,f(u)av)的第一類基本量是（（4分鐘）A E1(f(u))2

B E1(f(u))2C Faf(u) D Ga2u2E Ga2u2（D）是旋轉(zhuǎn)常高斯曲率曲面（4分鐘）A 正螺面 B 平面 C 球面 D 圓柱面 E 懸鏈面第四章ABC 86．對(duì)于曲面上的正交坐標(biāo)網(wǎng)，測(cè)地曲率g

（設(shè)曲線的切方向與ru

的夾角為．v2E Gd v2E G

cos

sinuE2 G uE2 G vds

1 lnEcos

1 lnGsin2 E ud2 E uds d

cosgvsin

sincosds dds gu

gvcosgv

sin曲面上的曲線是測(cè)地線的充分必要條件是ABCD（分鐘）A滿足方程d2uk

duik

du

0的曲線ds2

i,j

ijds dsB滿足g

0的曲線...kszl.kszlC除了曲率為零的點(diǎn)外，曲線的主法線重合于曲面的法線D滿足0的曲線E滿足n

0的曲線四、敘述題第三章解]設(shè)GSR3，如果存在一個(gè)連續(xù)一一映射rGR3使得r(GS，則稱S是一張曲面，而rr(xS的參數(shù)表示．坐標(biāo)曲線Srr(uvuvG，r(uv的像叫uv的像叫v曲線和v0 0曲線都叫坐標(biāo)曲線．第一基本形式I(du,dv)Edu22FdudvGdv2（Eru

r，F(xiàn)r

r，Gr

r）為v曲面的第一基本形式．而E、F、G叫曲面的第一類基本量．第二基本形式II(du,dv)Ldu22MdudvNdv2（Lruu

n，Mruv

n，Nrvv

n）為曲面的第二基本形式．而LMN為曲面的第二類基本量．PLNM20P點(diǎn)為曲面的橢圓點(diǎn)．S上一點(diǎn)P處的一個(gè)切向量(d)dudv，則P點(diǎn)沿方向(d)的法曲率定義為 (d)II(dr,dr)/I(dr,dr)．n

(d)達(dá)到極值的方向叫曲面在該點(diǎn)的主方向，而主方向的法曲率叫該點(diǎn)的主曲率．nK1

叫曲面的高斯曲率．2H0的曲面叫極小曲面．五、計(jì)算題第二章求旋輪線xatsint),ya1cost)的0t（5分鐘）r(t)a(tsinta(1cost))的切向量為r(t)aacostasint0t一段的弧長(zhǎng)為：s

rt)dt

2a 1costdt8a．0 0求曲線xtsint,ytcost,ztet在原點(diǎn)的切向量、主法向量、副法向量（0分鐘【解】由題意知 r(t)(sinttcost,costtsint,ettet)，r(t)(2costtsint,2sinttcost,2ettet)，在原點(diǎn)時(shí)有 r(0)(0,1,1),r(0)(2,0,2)。rrrα ,β

，γ ，(r(r,r)r(r,rrrrr

α(0,

, 2),β( ,

336),γ( , ,33

3)。2662 2 3 6 6 3 3 3266圓柱螺線為r(t)acostasintbt（分鐘）①求基本向量αβγ；②求曲率和撓率；【解】①由題意有又由公式α

r(t)(asint,acost,b)，γ(t)(acost,asint,0)，rr(rr)rrr(rr)r(rr)rrrrrrrra2b2a2b2

(asint,acost,b),β(cost,sint,0),a2b2a2b2

(bsint,bcost,a).rr②由一般參數(shù)的曲率公式rr②由一般參數(shù)的曲率公式

(t)

(r,rrrrrr2有 ，

b及撓率公式r3及撓率公式

a2b2

a2b2第三章求正螺面ru,v)(ucosv,usinv,bv)的切平面和法線方程（5分鐘）【解】ru

(cosv,sinv,0)，rv

(usinv,ucosv,b)，切平面方程為xucosvyusinvzbvcosvsinv00bsinvxbcosuyuzbuv0,usinvucosvb...kszl.kszlxucosv法線方程為

yusin

zbv ．bsinv bcosv u求球面r(,acoscosacossinasin)上任一點(diǎn)處的切平面與法線方程．【解】

r (asincos,asinsin,acos)，r(acossin,acoscos,0)，e e e1 2 3rr

asincos asinsin acosacossin acoscos 0a2cos(coscos,cossin,sin) 球面上任意點(diǎn)的切平面方程為(xacoscos,yacossin,zasin)a2cos(coscos,cossin,sin)0,即coscosxcossinysinza0，法線方程為(xacoscos,yacossin,zasin)a2cos(coscos,cossin,sin),xacoscos即 coscos

yacossincossin

zasinsin ．求旋轉(zhuǎn)拋物面za(x2y2)（5分鐘）【解】參數(shù)表示為r(x,y)(x,y,a(x2y2))，r(1,0,2ax)，rx

(0,1,2ay)，ErrxGrr

14a2x2，F(xiàn)rrx y14a2y2，

4a2xy，I(dx,dy)(14a2x2)dx28a2xydxdy(14a2y2)dy2．求正螺面ru,v)(ucosv,usinv,bv)（5分鐘）【解】ru

(cosv,sinv,0)，rv

(usinv,ucosv,b)，Erru u

1，F(xiàn)rru v

0，Grrv v

u2b2，I(du,dv)du2(u2b2)dv2．...kszl.kszl計(jì)算正螺面ru,v)(ucosv,usinv,bv)（5分鐘）【解】ru

(cosv,sinv,0)，rv

(usinv,ucosv,b)，r (0,0,0)，ruu

(sinv,cosv,0)，rvv

(ucosv,usinv,0)，rru

i j k cosv sinv 0(bsinv,bcosv,u)，usinv ucosv bvrn ur vr|rr|u v

(bsinv,bcosv,u)b2b2u2Erru u

1，F(xiàn)rru v

0，Grrv v

u2b2，Lruu

n0，Mruv

n

，Nrvv

n0．b2u2計(jì)算拋物面zx2y2的高斯曲率和平均曲率（b2u2【解】設(shè)拋物面的參數(shù)表示為r(x,y)(x,y,x2y2)，則r(1,0,2x)，rx

(0,1,2y)，r (0,0,2)，rxx

r (0,0,0)，ryx

(2)，rrx

i j k1 0 2x(2x,2y,1)，0 1 2yrrn x y |rr|x y

(2x,2y,1)4x4x24y21Errx x

14x2，F(xiàn)rrx y2

4xy，Grry y

14y2，Lrxx

n

，Mr4x4x24y21

n0，Nr nyy

24x4x24y214 0LNMKEGF2

4x24y21(14x2)(14y2)(4xy)2

4(4x24y21)2，1GL2FMEN 4x24y22H ．2 EGF2 3(4x24y21)2計(jì)算正螺面r(uvucosvusinvbv（分鐘）【解】直接計(jì)算知u2a2E1，F(xiàn)0，Gu2a2，L0u2a2

a ，N0，K

LNM2 a2 ．EGF2 (u2a2)2第四章求位于正螺面xucosvyusinvzavxucosvyusinvzav（u=常數(shù)）的測(cè)地曲0 0 0（5分）du2u2a2)dv2v-曲線uu0正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線的測(cè)地曲率得

得d 2 ds

0．由u2G E G uu2G E六、證明題

g u2a20第二章證明曲線r(etcost,etsint,0)的切向量與曲線的位置向量成定角（5分鐘）r(etcostetsint,0)r(et(costsint),et(sintcost),0)，則有：cos

r

，rrrre2t2etet2故夾角為

。由所取點(diǎn)的任意性可知，該曲線與曲線的切向量成定角．4證明：若r和r對(duì)一切t線性相關(guān)，則曲線是直線（0分鐘）【證明】若r和r對(duì)一切線性相關(guān)，則存在恒不同時(shí)為0f(tg(t使f(t)r(tg(t)r(t)0。則 r(t)r(t)0。又(t)

rrrrr

，故k(t)0。于是該曲線是直線．證明圓柱螺線xacost,yasint,zbt的主法線和z（0分鐘）【證明】由題意有

r(t)(asint,acost,b),r(t)(acost,asint,0)。rrr由β(rr)rrrr

知βcostsint,0)

。另一方面z軸的方向向量為

a

，而aβ

，故aβ，即主法線與z軸垂直．證明曲線xasin2t,yasintcost,zacost的所有法平面皆通過坐標(biāo)原點(diǎn)（5分鐘）【證明】由題意可得r(t)(asin2t,acos2t,asint)，則任意點(diǎn)的法平面為asin2txasin2tacos2tyasint costasintzacost)0將點(diǎn)（0,0,0）代入上述方程有0 0 0 0 0 0 0左邊asin2t(0asin2t)acos2t(0asint costasint(0acost)0右邊，故結(jié)論成立．0 0 0 0 0 0 01t 1 1x

1

,y ,z1t2

1

為平面曲線，并建立曲線所在平面的方程（分鐘）1t 1 1【證明】設(shè)A B C D0，整理比較兩邊同次項(xiàng)可得1t 1t2 1tAD0,2AC0,ABCD0，ADB4DC2Dx4y2z10．第三章求證正螺面上的坐標(biāo)曲線（即u曲線族v曲線族）（5分鐘）【證明】設(shè)正螺面的參數(shù)表示是r(u,v)(ucosv,usinv,bv)，則r(cosv,sinv,0)，ru

(usinv,ucosv,b)，rru v

(cosv,sinv,0)(usinv,ucosv,b)0，故正螺面上的坐標(biāo)曲線互相垂直．證明馬鞍面zxy（5分鐘）【證明】參數(shù)表示為r(x,y)(x,y,xy)，則r(1,0,y)，rx

(0,1,x)，rxx

(0,0,0)，rxy

(0,0,1)，ryy

(0,0,0)，rrx

(y,x,1)，n

rrx y |rr|x y

(y,x,1)x2x2y21Lrxx

n0，Mrxy

n

1 ，Nrx2x2y21

n0，LNM200

1 1 0，x2y21 x2y21故馬鞍面zxy上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)．II(du,dv)I(du,dv)

與方向無關(guān)，則稱該點(diǎn)是曲面的臍點(diǎn)；如果曲面上所有點(diǎn)都是臍點(diǎn)，則稱曲面是全臍的．試證球面是全臍的（5分鐘）【證明】設(shè)球面的參數(shù)表示為r(u,v)(Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv)，則r(Rcosvsinu,Rcosvcosu,0)，ur(Rsinvcosu,Rsinvsinu,Rcosv)，vr (Rcosvcosu,Rcosvsinu,0)，uur ruv

(Rsinvsinu,Rsinvcosu,0)，r (Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv)，vvErru u

R2cos2v，F(xiàn)rru v

0，Grrv v

R2，(r,r,u v uuEGu v uuEGF2

)Rcos2v，M

(r,r,

)0，u v uvEGF2(ru v uvEGF2u v vvEGu v vvEGF2

)R，(L,M,N)1R

(E,F,G)，故球面是全臍的．證明平面是全臍的（5分鐘）【證明】設(shè)平面的參數(shù)表示為r(x,y)(x,y,0)，則r(1,0,0)，rx

(0,1,0)，r (0,0,0)，rxx

(0,0,0)，ryy

(0,0,0)，Errx x

1，F(xiàn)rry

0，Grry

1，Lrxx

n0，Mrxy

n0，Nryy

n0(L,M,N)0(E,F,G)，故平面是全臍的．設(shè)有曲面zf(x,y)，試證曲面的第二基本形式與函數(shù)f(x,y)（分鐘）zf(x,y的參數(shù)表示為r(x,y)(x,y,f(x,y，則r(1,0,f，rx x

(0,1,f)，ry xx

(0,0,

)，rxx

(0,0,

)，r (0,0,f)，xy yy yyi j k

rr

(ff,1)f2f21x yrr1 0 f(fff2f21x y

x y ，xx y x yx0 1 fyf

|rr|x yff2ff2f21xxxyf2f21x yxxNr

nn

，Mrxyff2f2f21x y

n

xy ，yyf2f21f2f21x y

1 (

dx22fxx

dx