11第一課數(shù)字特性及數(shù)列相關一、整除特性1、能被常見數(shù)字整除的數(shù)字特性（1）被2整除特性：偶數(shù)（2）能被3整除特性：一個數(shù)字每位數(shù)字相加能被3整除?？梢园驯蝗膫€別數(shù)字直接消掉，以減少計算量（3）被4和25整除特性：只看一個數(shù)字的末兩位能不能被4（25）整除（4）被5整除特性：末尾是0或5（5）被6整除特性：兼被2和3整除的特性（6）被7整除特性：劃分出末尾3位，大數(shù)減小數(shù)除以7，能整除說明這個數(shù)能被7整除（7）被8和125整除特性：看一個數(shù)的末3位，能被8（125）整除（8）被9整除特性：一個數(shù)字每位數(shù)字相加能被9整除?？梢园驯蝗膫€別數(shù)字直接消掉，以減少計算量（9）被11整除：奇數(shù)位的和-偶數(shù)位的和，能被11整除2、關于整除的其他注意事項（1）被合數(shù)整除的數(shù)字，也能被其因數(shù)整除（2）三個連續(xù)的自然數(shù)之和（積）能被3整除（3）四個連續(xù)自然數(shù)之和是偶數(shù)，但不能被4整除（4）平方數(shù)的尾數(shù)只能是0、1、4、5、6、9。二、奇、偶、質、合性1、奇偶性奇數(shù)：不能被2整除的整數(shù)偶數(shù)：能被2整除的整數(shù)（0是偶數(shù)）2、奇數(shù)和偶數(shù)的運算規(guī)律奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)士偶數(shù)二奇數(shù)；奇數(shù)X奇數(shù)二奇數(shù)偶數(shù)X偶數(shù)二偶數(shù)；奇數(shù)X偶數(shù)二偶數(shù)3、質合性質數(shù)：一個大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個正整數(shù)叫做質數(shù)（質數(shù)也稱為素數(shù)），如2、5、7、11、13合數(shù)：一個正整數(shù)除了能被1和它本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)1既不是質數(shù)也不是合數(shù)4、方法技巧及規(guī)律（1）兩個連續(xù)的自然數(shù)之和（或差）必為奇數(shù)。（2）兩個連續(xù)自然數(shù)之積必為偶數(shù)。（3）乘方運算后，數(shù)字的奇偶性不變。（4）2是唯一一個為偶數(shù)的質數(shù)如果兩個質數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，那么其中必有一個是2如果兩個質數(shù)的積是偶數(shù)，那么其中必有一個是2基本形式：被除數(shù)二除數(shù)X商+余數(shù)（都是正整數(shù)）1、同余定義兩個整數(shù)a、b除以自然數(shù)m（m>1），所得余數(shù)相同，則稱整數(shù)a、b對自然數(shù)m同余。2、四種常考形式：余同取余、和同加和，差同減差，最小公倍數(shù)做周期。（1）余同取余，公倍數(shù)做周期：一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，余數(shù)相同，則這個數(shù)可以表示成這幾個除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)與余數(shù)相加的形式。（2）和同加和，公倍數(shù)做周期：一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，除數(shù)與余數(shù)之和相同，則這個數(shù)可以表示成這幾個除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)與該和相加的形式。（3）差同減差，公倍數(shù)做周期：一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，除數(shù)與余數(shù)之差相同，則這個數(shù)可以表示成這幾個除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)與該差相減的形式。（4）如果三個不符合口訣，先兩個結合，再跟第三結合五、尾數(shù)乘方問題尾數(shù)變化規(guī)律：底數(shù)留個位，指數(shù)除4留余數(shù)，余數(shù)為0轉成4

數(shù)的拆分是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經常需要綜合應用整除性質、奇偶性質、因式分解、同余理論等解答數(shù)字的重排問題時，經常需要借助于尾數(shù)法進行考慮、判斷，同時可以利用列方程法、代入法、假設法等一些方法，進行快速求解。七、不定方程未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)叫做不定方程。通常只考慮他的整數(shù)解或正整數(shù)解。常用解法有：綜合利用整數(shù)的奇偶性，質合性、整除特性、尾數(shù)法、余數(shù)特性、特殊之法、代入排除法等多種數(shù)學知識得到答案。八、數(shù)列（等差與等比）點）。（1）等差數(shù)列：求和公式（上底+下底（1）等差數(shù)列：求和公式（上底+下底X高m2）、中位數(shù)求和公式（重（2）等比數(shù)列：an=a】q（n-1）第二課終極比例法比例就是數(shù)量之間的對比關系，或指一種事物在整體中所占的分量，運用比例法是將繁瑣的數(shù)值簡化為簡單的數(shù)值進行分析。比例問題的重點在于找出兩種相關聯(lián)的量，并明確兩者間的比例關系。比和比例的性質正比：amb二k（k二常數(shù)），則稱a、b成正比反比：axb二k（k二常數(shù)），則稱a、b成反比采用比例法的一個重要條件是含有一個固定的乘除等式關系，及1、2所述的正反比例，實際應用中的路程二速度x時間，總量二效率x時間，溶劑二溶液x濃度，利潤二成本x利潤率。需特別注意：三個量中必須有一個量是固定的，另外兩個量才有相對關系。差值比例：U=—d一、常規(guī)比例bd二、工程問題工程問題是重點一、工程問題的本質：將一般的工作問題分數(shù)化，就是研究工作總量、工作效率、工作時間三者之間的關系問題。二、常用的數(shù)量關系式為：工作總量=工作效率X工作時間三、工程問題的兩大利器1、比例法2、特殊值法四、核心要點：方程問題，用比例不用方程，用份數(shù)不用分數(shù)五、題型分類：單人完成工程問題、全程合作問題、分階工程問題、輪流合作型、水管問題、時間效率轉化三、和差比例法、三量比例法遇到三個量或者多個量，建立比例關系，需要通過某一個量的統(tǒng)一，比如①甲：乙=2:3,②乙：丙=4:5，需要對乙進行搭橋統(tǒng)一成12。五、恒值比例法恒值比例法，在研究比例問題的時候，有一個量是恒定不變的，在題干所述的情況下，從頭到尾沒有發(fā)生變化，那么我們可以利用這樣的一個對象所代表的比例點來求解。一般情況下，這種恒量對象在不同的情況下代表的比例點不同，這個時候，需要把不同的比例點化為相同的數(shù)值來代替。第三課行程問題基礎模型之一、相遇追擊基本公式：距離二速度X時間相遇及追及問題：相遇距離二（大速度+小速度）x相遇時間相向追及距離二（大速度-小速度）x相遇時間同向

核心方法：比例、公式、畫圖法解決要點：用比例不用方程、用份數(shù)不用分數(shù)基礎模型之二、順流逆流1、基本行船問題：順水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速船速二（順水速度+逆水速度）m2

水速二（順水速度-逆水速度）m22、順水漂流問題:漂流速度=水速漂流時間t=2認基礎模型之三、上下扶梯L21順行扶梯長度=（人速+電梯速度）X順行時間2、逆行扶梯長度二（人速-電梯速度）X逆行時間3、順行扶梯級數(shù)=人走過的梯級數(shù)+扶梯運行梯級數(shù)4、逆行扶梯級數(shù)=人走過的梯級數(shù)－扶梯運行梯級數(shù)基礎模型之四、環(huán)形運動1同向運動：環(huán)形周長二（大速度-小速度）x時間2、反向運動：環(huán)形周長二（大速度+小速度）x時間基礎模型之五、等距離平均速度公式基礎模型之六、公車模型（雙向數(shù)車）1、題型特征：人按一定速度出行，每隔一段時間迎面遇到一輛公交車，每隔一段時間從背后超出一輛公交車，求發(fā)車間隔或撤人速度2、經典公式：發(fā)車間隔時間二t=2、經典公式：發(fā)車間隔時間二t=竺基礎模型之七、隊首隊尾t+t12車速_t1+12

人速—t-112隊尾f隊首：隊伍長度二（人的速度-隊伍速度）X時間隊首-隊尾：隊伍長度二（人的速度+隊伍速度）x時間從隊尾趕到隊首，可看做該人與隊首的追擊過程從隊首趕到隊尾，可看做該人與隊尾的相遇過程基礎模型之八、火車過橋1、核心思維：火車本身長度也是路程的一部分，以火車的頭或為作為運動點，按相遇或追擊問題考慮基礎模型之九、往返相遇1、題目特征：題目表述為兩個運動體從一條線段的兩端或一端出發(fā)，在兩端點之間不斷往返，求一定時間后相遇次數(shù)或第N次相遇時間等。2、核心知識：兩運動體從兩端同時出發(fā)，相向而行，不斷往返：第N次迎面相遇，路程和二全程x(2n-1)第N次追上相遇，路程差二全程x(2n-1)兩運動體從一端同時出發(fā)，同向而行，不斷往返：第N次迎面相遇，路程和二全程x2n第N次追上相遇，路程差二全程x2n單人的路程第N次迎面相遇，路程二第一次相遇時所走的路程x2n(或2n-1)第N次追上相遇，路程二第一次相遇時所走的路程x2n(或2n-1)基礎模型之十、二次相遇1、題型特征：兩物體從兩端點，相向而行，相遇后繼續(xù)前行到達端點后折返至而次相遇。題目給出的相遇點到端點的距離，帶球兩端點距離。2、核心知識：兩邊型：S=3S1-S2單邊型：S=(3S1+S2)/2其中，S表示兩端點之間的距離，單邊型兩次距離都是相對于統(tǒng)一端點。兩邊型指兩次距離分別相對于兩端點。<■urfaIrttnil第四課計數(shù)模型雞兔同籠1、列方程法2、假設法：先假設全部是某一種，然后求出的值與實際值的差值，除以它們單個的差值，得出來的是另一種。植樹問題關鍵在于理清間隔數(shù)與端點數(shù)之間的關系1、兩端植樹：棵樹二線路總長一株距+12、一端植樹：棵樹二線路總長一株距3、兩端都不栽樹：棵樹二線路總長一株距-14、雙邊植樹需要在一條的基礎上乘以25、封閉性植樹，棵樹二線路總長三株距二總段數(shù)6、類似于兩端不植樹的還有〃上樓梯問題”，則上每層用M/(N-1)分鐘。鋸木頭，劍圣自，鋸成N段需要鋸N-1次；站成一列，相鄰兩人間隔M米，隊伍長Mx(N-1)米。方陣問題1、方陣的核心是一個等差數(shù)列?？梢詫⒎疥嚨拿恳粚涌醋鍪且豁?。每一層邊長之差是2，每層周長之差為8，也就是方陣等差數(shù)列的所謂公差。2、每一層，邊長和周長的關系：周長二(邊長-1)x4(2)邊長二周長三4+13、方陣總數(shù)：(1)實心方陣：m=a2(a為最外層每邊人數(shù)，即邊長)(2)空心方陣：m=(最外層每邊人數(shù)-層數(shù))x層數(shù)x44、增加或取消行列(1)增加m行n列，，人數(shù)增加二邊長x(m+n)+mn(2)取消m行n列，，人數(shù)減少二邊長x(m+n)-mn剪繩問題1、題目表述：將一根繩子折成幾段，然后在上面剪幾刀，求分成段數(shù)。2、經典公式：2nxM+1(—根繩子連續(xù)對折N次，剪M刀，問繩子被剪成幾段)3、實戰(zhàn)秒殺：最后的段數(shù)一定是奇數(shù)，直接秒殺過河問題題目表述：一只船只能運送N個人，現(xiàn)在M個人等待過河，求過河安排信息2核心知識：共需：M-1次，如需N個人劃船，則1變成N;過一次河指的是單程，往返一次扌指的是雙程。載人過河時，最后一次不需要返回。空瓶換水1、題目特征：一定數(shù)量的空瓶子可以換到一瓶水，已有部分空瓶子，求可以換取水的瓶數(shù)。2、經典公式：若M個空瓶換一瓶水，相當于M-1個空瓶喝到一瓶水。第五課星期、日期、鐘表、年齡一、年月、星期問題1、星期推移口訣：平年就是1，閏年再加1，小月就是2，大月要補加1,7天一循環(huán)，28年一周期2、閏年判定口訣：四年一閏，百年不閏，四百年再閏。3、平年是52周余1天，該年最后一天與第一天星期數(shù)相同。閏年是52周余2天，該年最后一天是第一天星期數(shù)加1.二、緊鄰的兩日：多的在前，墊后；多的在后，墊前。當題目中出現(xiàn)連續(xù)多個日期之和，或連續(xù)幾個星期幾的日期之和時，這些日期本質上都是等差數(shù)列，可以通過計算其平均數(shù)來定位這些日期的中位數(shù)，從而完成打答題三、解題技巧（求某一天是星期幾）（1）所求日期與已知日期同月同日不同年。解決此類問題只用記住一句話，每過一年星期數(shù)增加1。過閏年再加1，也就是說，每過一年星期數(shù)就在原來的基礎上加1，如果這個時間段包含2月29日這一天則需要再加1。有幾個2月29日就加幾個1。（2）所求日期與已知日期同年同日不同月解決此類問題，同樣只用記住一句話，每過一個月星期數(shù)將增加2（或3）。（3）所求日期與已知日期同年同月不同日日期之差除以七所得的余數(shù)。年齡問題1、年齡問題的主要特點：隨著時間推移，年齡差始終不變、年齡倍數(shù)變小2、三大必殺技：方程、畫圖、代入排除鐘表問題鐘表問題即時針和分針之間的運動規(guī)律和的位置關系。因此鐘表問題其實就是追擊問題的變形，從而可以利用鐘面上的路程時間以及速度的關系來求解。

一、按格來分，則鐘面上的路程（角度）和速度（角速度）有如下關系。1、每小時：時針走1大格，5小格；分鐘走一圈12大格，60小格2、每小時：時針走30°。分針走360°，他們每小時相差330°。3、每分鐘：時針0.5°，分鐘走6°。他們每分鐘相差5.5°。4、分針的速度是時針的12倍，時針是分針速度的1/12。三、解題技巧。1可以轉化成時針和分針的相遇追及問題，時針速度為0.5°/min;分針速度為6°/min，該方法適用于定量計算。2、借助畫圖縮小范圍然后進行排除該方法適用于定性計算。3、直接應用是工具手表通過旋轉手表解體。第六課排列組合排列及組合問題排列及組合問題二、特殊優(yōu)先法三、捆綁法插空法插板法數(shù)六、逆向計算法七、錯位排列：元素數(shù)為1、2、3、4、5、6時，情況數(shù)9、44、265周排列：n個元素，共有（n-1）!種排列方法。九、多人傳球問題M個人傳N次球，X=也込與X最接近的整數(shù)為傳給非自己的某人的方法數(shù)，第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。十、比賽問題涉及多支隊伍比賽場次的問題（N個隊伍）淘汰賽：僅需決出冠亞軍：N-1;需決出1234:N循環(huán)賽：單循環(huán)：C2；雙循環(huán)：A2單循環(huán)：任意兩只隊伍打一場比賽雙循環(huán)：任意兩只隊伍打兩場比賽第七課幾何統(tǒng)籌問題一、幾何問題1.直線和線段的性質：過兩點有且只有一條直線；兩點之間線段最短2.三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。多邊形的角的定理：n邊形的內角的和等于（n-2）x180;任意多邊形的外角和等于360度。與周長、面積相關：面積相等，越接近圓周長最小；周長相等，越接近圓面積越大7.體積一定，球表面積最小；表面積一定，球體積最大球體圓柱體圓錐表面積S=4nr2S=2nr2/r/