培優(yōu)課——構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題第五章內(nèi)容索引01重難探究·能力素養(yǎng)全提升02學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.了解導(dǎo)數(shù)中幾種常見的構(gòu)造函數(shù)的形式.2.會(huì)根據(jù)要求通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一構(gòu)造函數(shù)比較大小A.a<c<b B.a<b<c

C.b<c<a D.c<a<b答案

D規(guī)律方法

解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),根據(jù)代數(shù)式的共性特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性比較大小.變式訓(xùn)練1已知x>0,a=x,b=x-,c=ln(1+x),則(

)A.c<b<a B.b<a<cC.c<a<b D.b<c<a答案

D解析

令f(x)=a-c=x-ln(1+x),x>0,∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)>f(0)=0,可得a>c.∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(x)>g(0)=0,可得c>b.綜上可得a>c>b.探究點(diǎn)二構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例2】

(2021廣西西寧月考)已知函數(shù)f(x)=ax2+2lnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a<0時(shí),證明:f(x)≤--2.規(guī)律方法

證明f(x)>g(x)的一般方法是證明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用單調(diào)性),可構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)(可以移項(xiàng),使右邊為零,將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)),并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明要證的不等式.變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=x+aex(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x<0,a≤1時(shí),證明:x2+(a+1)x>xf

'(x).(2)證明設(shè)F(x)=x2+(a+1)x-xf'(x)=x2+ax-axex=x(x+a-aex).設(shè)H(x)=x+a-aex,則H'(x)=1-aex.∵x<0,∴0<ex<1,又a≤1,∴1-aex≥1-ex>0.∴H(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),則H(x)<H(0)=0,即x+a-aex<0.由x<0可得F(x)=x(x+a-aex)>0,所以x2+(a+1)x>xf'(x).探究點(diǎn)三構(gòu)造函數(shù)解不等式【例3】

若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)于?x∈R,f'(x)<f(x),且f(x+1)為偶函數(shù),f(2)=1,則不等式f(x)<ex的解集為(

)A.(2,+∞) B.(0,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,2)答案

B由f'(x)<f(x),可得f'(x)-f(x)<0,所以g'(x)<0,函數(shù)g(x)在R上是減函數(shù).由f(x+1)為偶函數(shù),可得函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,又f(2)=1,所以f(0)=1,所以g(0)==1,不等式f(x)<ex,可化為

<1,即g(x)<g(0),所以x>0,即不等式f(x)<ex的解集為(0,+∞).規(guī)律方法

用單調(diào)性解不等式時(shí)常見的構(gòu)造函數(shù)技巧方法求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù),研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式,因此熟悉以下結(jié)論可以達(dá)到事半功倍的效果.(1)對(duì)于f'(x)>g'(x),構(gòu)造h(x)=f(x)-g(x),更一般地,遇到f'(x)>a(a≠0),即導(dǎo)函數(shù)大于某個(gè)非零常數(shù)(若a=0,則無(wú)須構(gòu)造),則可構(gòu)造h(x)=f(x)-ax.(2)對(duì)于f

'(x)+g'(x)>0,構(gòu)造h(x)=f(x)+g(x).(3)對(duì)于f'(x)+f(x)>0,構(gòu)造h(x)=exf(x).變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)+1<f'(x),f(0)=2,則不等式f(x)+1>3ex的解集為(

)A.(1,+∞) B.(-∞,1)C.(0,+∞) D.(-∞,0)答案

C

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)幾種常見的構(gòu)造形式.(2)掌握由導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式構(gòu)造原函數(shù).2.方法歸納:構(gòu)造法.3.常見誤區(qū):(1)不能正確構(gòu)造出符合題意的函數(shù);(2)代數(shù)式變形時(shí)容易出現(xiàn)不等價(jià)現(xiàn)象.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.已知f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf'(x)+f(x)<0,對(duì)任意的正數(shù)a,b,若a<b,則必有(

)A.bf(b)<af(a) B.bf(a)<af(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)答案

A解析

設(shè)g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),則g'(x)=xf'(x)+f(x)<0,∴g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).∵a<b,∴g(a)>g(b),即af(a)>bf(b),故選A.2.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(2)=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)<1,則f(x)>x-1的解集為(

)A.{x|-2<x<2} B.{x|x<2}C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x>2}答案

B解析

令g(x)=f(x)-(x-1),則g'(x)=f'(x)-1<0,所以g(x)在R上是減函數(shù).又f(2)=1,所以g(2)=f(2)-(2-1)=0.由f(x)>x-1,得g(x)>0,解得x<2.4.已知a,b為實(shí)數(shù),且b>a>e,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求證:ab>ba.證明∵b>a>e,∴要證ab>ba,只需證bln

a>aln

b.設(shè)f(x)=xln

a-aln

x(x>a),則f'(x)=ln

a-.∵x>a>e,∴l(xiāng)n

a>1,且

<1,∴f'