第四節(jié)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性腺通法函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合問題解題思路（1）解決比擬大小、最值問題應(yīng)充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.（2）解決不等式問題時(shí)一定要充分利用的條件,把不等式轉(zhuǎn)化成バX1）＞/（X2）或ズス1）〈_/（尤2）的形式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，列出不等式（組）,要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響.就典例（1）（2021?全國卷III）設(shè)ズス）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減,那么（）A.d1噌?＞/（2り＞42ーラ）B.イ叫3?＞1/（2ーり＞/（2みD.ス2ー扌）＞/（2?乂嚙力（2）（2021?全國卷I）函數(shù)ズ外在（-8,+8）上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).假設(shè)ハ1）=-1,那么滿足ー1勺けー2）く1的x的取值范圍是（ ）A.[-2,2] B.[-1,1]C.[0,4] D.[1,3](1)C(22[(1)'ズ幻是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),.??ズーx)=/(x).?,.イIog30=ズ-Iog34)=/(log34).又,門Og34>log33=l,且1>2_3>22>0,.,.log34>2-'>2ネ>0.?./&)在(0,+8)上單調(diào)遞減,.?ノ(2%>>/(2_*)>/Uog34)=/(log3ユ應(yīng)選C.(2)'."U)為奇函數(shù),Ax).?.?川)=一1,.,?ズー1)=-/U)=1.故由一iqu-2)wi,得川)勺(スー2)</(一1).又/(X)在(-8,十8)上單調(diào)遞減,；.—1Wx—2W1,...14く3.］［逆向問題］設(shè)か)是定義在［-2仇3+b］上的偶函數(shù),且在［—2。0］上為增函數(shù),那么バ尤ー1)ユバ3)的解集為()A.［-3,3］ B.［-2,4］C.［-1,5］ D.［0,6］B［因?yàn)楗亥?是定義在［-243+ム］上的偶函數(shù),所以有一2〃+3+b=0,解得ム=3,由函數(shù)/(幻在［-6,0］上為增函數(shù),得/(幻在(0,6］上為減函數(shù),故/(スー1)ユバ3)=V(ト一1|)?バ3)=>以一1|く3,故一2Wx<4.］を點(diǎn)評(1)函數(shù)值的大小比擬問題,可以利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,再利用其單調(diào)性比擬大小.(2)對于抽象函數(shù)不等式的求解,應(yīng)變形為ズXD>?X2)的形式,再結(jié)合單調(diào)性脫去法那么‘プ變成常規(guī)不等式,如X|VX2(或X1>X2)求解.麴典題Z(x)滿足以下兩個(gè)條件:①任意X1，X2￡(O,+8)且イ|WX2,(XI—X2>［/U1)-/X2)］<0;②對定義域內(nèi)任意X有/(x)+y(—X)=0,那么符合條件的函數(shù)是( )A./(x)=2x B.j(x)—1—|x|C.於)=-バ D./(x)=ln(x2+3)C［由條件①可知,火x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,那么可排除A、D選項(xiàng),由條件②可知,ズ勸為奇函數(shù)，那么可排除B選項(xiàng),應(yīng)選C.］2.函數(shù)y=/(x)在［0,2］上單調(diào)遞增,且函數(shù)T(x+2)是偶函數(shù),那么以下結(jié)論成立的是()A.バド棟娟B.回(川)く周B.c.イ?伽歐D.0〈川)強(qiáng))B「.?函數(shù)y=ズ幻在［0,2］上單調(diào)遞增,且函數(shù)ズx+2)是偶函數(shù),ュ函數(shù)ぎ=ズス)在［2,4］上單調(diào)遞減,且在［0,4］上函數(shù)y=/(x)滿足バ2ー勸=バ2+x),...バ1)=バ3),y(1)</(3)<y(1),即獲v川)〈娟.］(2021?濱州模擬)設(shè)奇函數(shù)バx)定義在(-8,0)U(0,+8)上,ズ対在(〇,+8)上為增函數(shù),且/(1)=0,那么不等式翅答二々VO的解集為()(-l,0)U(l,+〇〇)(-8,-l)U(0,l)(-8,-1)U(1,+°o)(-l,0)U(0,l)D「.?奇函數(shù);(x)定義在(一8,0)U(0,+8)上,在(0,+8)上為增函數(shù),且バ1)=0,..?函數(shù)/(幻的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且過點(diǎn)(1,0)和(ー F1,0),且/(幻在(一8,0)上也是增函數(shù)..,.函數(shù)/(幻的大致圖 Z尸冋像如下圖...ソ(ーガ=ーバス)，...不等式訓(xùn)め;チー")VO可化 //為々V0,即ガ3c的范圍,據(jù)圖像可知xW(—1,0)U(O,1).］考點(diǎn)2函數(shù)的周期性與奇偶性限通法Zは)是周期函數(shù)且為偶函數(shù),求函數(shù)值,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到解析式的函數(shù)定義域內(nèi),把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解.處典例(2021?福州質(zhì)量檢測)函數(shù)y(x)對任意的xGR都滿

足/W+ズーx)=o,ル+|)為偶函數(shù)，當(dāng)。時(shí)，於)=—X,那么ズ2017)+バ2018)=.[依題意,バース)=~/(x),[依題意,バース)=~/(x),彳所以/(x+3)=/(~x)=-於),所以於+6)=/(x),所以/(2O17)=7(l)=-1,/(2018)=y(2)=7(1+|)=7(-1+|)=/(1)=-1,所以ズ2017)+バ2018)=.2.]?點(diǎn)評解奇偶性、周期性的綜合性問題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)利用奇偶性和等式求周期.(2)將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的問題求解.そ典題R上的奇函數(shù)/(X)滿足?x)=ーイ%+§,且ズ1)=2,那么ズ2018)=-2[因?yàn)?(x)=_《x+|),所以/(x+3)=/G+|)+]=ー1+4=於).所以/(x)是以3為周期的周期函數(shù).那么1/(2018)=/(672X3+2)=/(2)=/(—1)=-Z(1)=一2.]2.ん0是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),假設(shè)バ1)V1,ズ5)=2。-3,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(-8,2)「.選幻是定義在R上的周期為3的偶函數(shù),.\/(5)=/(5—6)=バー1)=川),-.y(l)<l,.1./(5)=2a-3<l,即aV2.]考點(diǎn)3單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等綜合問題限通法函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì),在高考中常常將它們綜合在ー起命題,解題時(shí),往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另ー區(qū)間上的單調(diào)性,即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換,再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.?典例L題多解](2。21?全國卷n)y(尤)是定義域?yàn)?―8，+8)的奇函數(shù)，滿足バ1ー幻=/(1+幻.假設(shè)ズ1)=2,那么バ1)+ズ2)+バ3)+…+バ50)=()A.-50 B.0C.2D.C.2C[法一:(直接法)；/(x)是奇函數(shù),???バーx)=~/U),由/(1—x)=/(l+x),得一T(X—1)=ズス+1),.??/+2)=—")，：.J(x+4)=-J(x+2)=/(x),.,?函數(shù)ズx)是周期為4的周期函數(shù).由ズx)為奇函數(shù)得バ0)=0.又?.7(1—x)=/(l+x),...火X)的圖像關(guān)于直線X=1對稱,.?-2)=/(0)=0，.??ズー2)=0.又バ1)=2，...ハー1)=-2,.?.パ1)+バ2)+バ3)+バ4)=バ1)+バ2)+ハー1)+バ0)=2+0—2+0=0,...パ1)+バ2)+バ3)+バ4)+…+バ49)+バ50)=0X12+バ49)+バ50)=バ1)+バ2)=2+0=2.法二:(特例法)由題意可設(shè)ハx)=2sin&]作出バx)的局部圖像如下圖.由圖可知,ハ幻的ー個(gè)周期為4,所以パ1)+バ2)+バ3)+…+バ50)=12/Q)+バ2)+バ3)+バ4)]+バ49)+バ50)=12X0+バ1)+バ2)=2.]を點(diǎn)兩1)函數(shù)的奇偶性與對稱性的關(guān)系①假設(shè)函數(shù)ハ尤)滿足ハ。+ス)=ハ。ーx),那么其函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對稱;當(dāng)。=0時(shí)可以得出バx)=ハーx),函數(shù)為偶函數(shù),即偶函數(shù)為特殊的線對稱函數(shù).②假設(shè)函數(shù)ハ幻滿足パ2aー尤)=2。ーバx),那么其函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)(a,。)對稱;當(dāng)a=0,b=0時(shí)得出ハー幻=ーパ尤),函數(shù)為奇函數(shù),即奇函數(shù)為特殊的點(diǎn)對稱函數(shù).(2)函數(shù)的對稱性與周期性的關(guān)系①假設(shè)函數(shù)パ幻關(guān)于直線x=a與直線x=b對稱,那么函數(shù)的周期是2抜一a|.②假設(shè)函數(shù)ハ幻關(guān)于點(diǎn)(40)對稱,又關(guān)于點(diǎn)(ん〇)對稱,那么函數(shù)的周期是2|。-a\.③假設(shè)函數(shù)ズ外關(guān)于直線對稱,又關(guān)于點(diǎn)(6,0)對稱,那么函數(shù)的周期是4ぬ一。|,(3)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的關(guān)系:①函數(shù)ズx)是偶函數(shù);②函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對稱;③函數(shù)的周期\是21al.『①函數(shù)スx)是奇函數(shù)；②函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)0)對稱；③函數(shù)的周期是；2\a\.f①函數(shù)ズx)是奇函數(shù)；②函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對稱；③函數(shù)的周期\是41al.『①函數(shù)ズx)是偶函數(shù)；②函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)(。,0)對稱；③函數(shù)的周期是141al.其中“W0,上面每組三個(gè)結(jié)論中的任意兩個(gè)能夠推出第三個(gè).［教師備選例題］(1次幻是定義在R上的偶函數(shù),且/(x+l)=-/U),假設(shè)ズ幻在［-1,0］上單調(diào)遞減,那么バx)在［1,3］上是()A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.先增后減的函數(shù) D.先減后增的函數(shù)(2)定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)“X)滿足ズスー4)=-/(x),且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù),有以下命題;①函數(shù)於)的圖像關(guān)于直線x=4A+2(AGZ)對稱；②函數(shù)ズx)的單調(diào)遞增區(qū)間為［8k—6,8k—2］(kwz)；③函數(shù)ズイ)在區(qū)間(一2018,2018)上恰有1008個(gè)極值點(diǎn)；④假設(shè)關(guān)于x的方程ズx)ー加=0在區(qū)間［-8,8］上有根,那么所有根的和可能為〇或士4或±8.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4(1)D(2)C[(1)根據(jù)題意,因?yàn)榇髕+l)=-/(x),所以/U+2)=-/U+l)=?x),所以函數(shù)ズX)的周期是2.又因?yàn)?U)在定義域R上是偶函數(shù),在［-1,0］上是減函數(shù),所以函數(shù);U)在。1］上是增函數(shù),所以函數(shù)ズ外在［1,2］上是減函數(shù),在［2,3］上是增函數(shù),所以/(幻在［1,3］上是先減后增的函數(shù),應(yīng)選D.(2)①正確,?.?定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)/(幻滿足ズx-4)=-/(x),.?ノ［(x—4)-4］=ーズスー4)=ハス),即y(x—8)=/(x),.\/(幻是以8為周期的周期函數(shù)，8k(kRZ且んWO)也是其周期.又ズx)為R上的連續(xù)奇函數(shù),由/(x-4)=-/(x),即ズx)=—j(x—4),得ズx)=/(4—x)，4?,.函數(shù)/(x)的一條對稱軸為x=/=2.又8&(&GZ且た工0)是ズイ)的周期,...於)=於+8た)=ズ4ース)，.,.函數(shù)的對稱軸為x=——=必+2(たGZ且ん工〇).綜上,函數(shù)ズx)的圖像關(guān)于直線x=4攵+2/ミZ)對稱,故①正確;②錯(cuò)誤，作圖如下:由圖可知，函數(shù)ズx)的單調(diào)遞減區(qū)間為［8ん-6,弘一2］(AGZ),故②錯(cuò)誤;③正確,由圖可知,火x)在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),在區(qū)間(一2016,2016)上有504個(gè)完整周期,有1008個(gè)極值點(diǎn),在區(qū)間(一2018,-2016］和［2016,2018)上沒有極值點(diǎn),故在區(qū)間(一2018,2018)上有1008個(gè)極值點(diǎn)，③正確;④正確,由圖中如,m2,rm,rm,血5五條直線可知,關(guān)于x的方程T(x)一6=0在區(qū)間［-8,8］上有根，那么所有根的和可能為〇或±4或±8,故④正確.綜上所述,①③④正確,應(yīng)選C.］喝典題1.(2021?全國卷II)函數(shù)於)(xCR)滿足T(―x)=2—x+1J(x),假設(shè)函數(shù)y=—一與y=/(x)圖像的交點(diǎn)為(xi,yi),(X2,p),1?1,(xm,ym),m那么.￡(xi+?)=()1=IA.0 B.mC.2m D.4〃フB［函數(shù)7U)(x￡R)滿足ズ一幻=2一"),即ズめ+ズース)=2,可得ズめ的圖像關(guān)x+1 1 x+1于點(diǎn)(0,1)對稱,函數(shù)y=ーこ,即y=l+;的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱,.,.函數(shù)與y=?x)圖像的交點(diǎn)也關(guān)于(0,1)對稱,關(guān)于(0,1)對稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為0,縱坐標(biāo)和為2.當(dāng)交點(diǎn)不在對稱軸上時(shí),m為偶數(shù),TOC\o"1-5"\h\zm m m ,聾 m.,.L(劉+y)=ZXi+￡y，=0Xy+2Xy=nz；r=l z=1 i=y ， 乙m mm 一］當(dāng)有交點(diǎn)在對稱軸上時(shí),m為奇數(shù),那么￡(xi+yi)=Zx,+Zyi=0X—z—+0+2X—+l=/n.m綜上，E(Xi+yi)=m.］2.定義在R上的奇函數(shù)/U)滿足ズスー4)=一Z"),且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù),那么()A.バー25)勺(11)Vバ80)B.バ80)V/(ll)Vズー25)C.バ11)〈パ80)〈ハー25)D.ハー25)〈パ80)〈ハ11)D［因?yàn)楗匣脻M足バスー4)=ーハス)，所以バx—8)=バx),所以函數(shù)バx)是以8為周期的周期函數(shù),那么ハー25)=ハー1),バ80)=ハ〇),バ11)=バ3).由バイ)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足バx—4)=ーパx),得パ11)=バ3)=ーハー1)=ハい因?yàn)楗褁)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù),バx)在R上是奇函數(shù),所以バx)在區(qū)間［一2,2］上是增函數(shù),所以バー1)Vハ0)＜パ1),即ハー25)〈ハ80)Vバ11).］課外素養(yǎng)提升②數(shù)學(xué)運(yùn)算——用活函數(shù)性質(zhì)中的三個(gè)結(jié)論數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的根本手段,通過運(yùn)算能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的開展.通過常見的“二維結(jié)論”解決數(shù)學(xué)問題,可優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程,使學(xué)生逐步形成標(biāo)準(zhǔn)化、程序化的思維品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.奇函數(shù)的最值性質(zhì)函數(shù)/(x)是定義在區(qū)間。上的奇函數(shù),那么對任意的xWO,都有/(x)+/(—x)=0.特別地,假設(shè)奇函數(shù)/U)在。上有最值,那么“r)max+バX)min=0,且假設(shè)0@D,那么ズ0)=0.【例1】 設(shè)函數(shù)ズx)=比乎吉典ノ的最大值為M,最小值為m,那么M+m=?2[顯然函數(shù)“r)的定義域?yàn)镽,(x+l)2+sinx,2x+sinx段尸 f+1 =1+ゼ+1'設(shè)g(x)=--’4「ー,那么g(ー幻=一g(x),；.g(x)為奇函數(shù),由奇函數(shù)圖像的對稱性知g(x)max+g(x)min=0,??A/+m=k(X)+1]max+k(X)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.]【素養(yǎng)提升練習(xí)】 函數(shù)y(犬)=111(41+9メー3x)+1,那么バl(wèi)g2)+/lgラ=()A.-1 B.0C.1 D.2D[設(shè)g(x)=ln(qi+9f-3x),易知函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，:g(x)+g(—x)=ln(71+9?—3x)+ln(+9f+3x)=ln(+9?—3x)(3+9d+3x)=In1=°，，g(x)為奇函數(shù)，.,.g(lg2)+gig；=g(lg2)+g(-1g2)=0,又.?VU)=g(x)+l,.,?川g2)+fig：=g(lg2)+l+glg1+1=2.]抽象函數(shù)的周期性(1)如果/(x+a)=-/(x)(aW0),那么ズお是周期函數(shù),其中一個(gè)周期T=2a.(2)如果ズイ+a)=六(aWO),那么ズx)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=2a.(3)如果/U+a)+;(x)=c(aW0),那么ズx)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=2a.TOC\o"1-5"\h\z【例2】函數(shù)バx)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x20時(shí),有/(x+3)=—/(幻,且當(dāng)スG(0,3)時(shí),/(x)=x+l,那么バー2017)+バ2018)=( )A.3 B.2C.1 D.0C[因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以ズー2017)=ーバ2017),因?yàn)楫?dāng)x20時(shí)，有バx+3)=ーバx),所以バx+6)=ー*x+3)=バx),即當(dāng)スユ0時(shí),自變量的值每增加6,對應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次.又當(dāng)xG(0,3)時(shí)，バx)=x+l,???パ2017)=バ336X6+1)=バ1)=2,バ2018)=バ336X6+2)=バ2)=3.故ハー2017)+バ2018)=ーバ2017)+3=1.]【素養(yǎng)提升練習(xí)】(2021.山西八校聯(lián)考求x)是定義在R上的函數(shù),且滿足バx+2)=ー焉,當(dāng)2くxW3時(shí),バx)=x,那么＜一や=.5「??パx+2)=ーホ,.,.バx+4)=バx),???/一歩=z得)，又2?時(shí),バx)=x,抽象函數(shù)的對稱性函數(shù)バx)是定義在R上的函數(shù).d-]~h(1)假設(shè)パa(bǔ)+x)=パカーx)恒成立，那么y=パ幻的圖像關(guān)于直線「對稱,特別地，假設(shè)ハ。+ズ)=パ。