材料力學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練（2）一、簡(jiǎn)化問(wèn)題二、平衡與疊加三、結(jié)構(gòu)的失效模型簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化物理事實(shí)簡(jiǎn)化對(duì)稱結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化整體平衡局部平衡疊加原理及其應(yīng)用構(gòu)件的失效訓(xùn)練內(nèi)容危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)組合結(jié)構(gòu)的失效四、變動(dòng)荷載問(wèn)題變動(dòng)荷載對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的最不利位置利用極值性質(zhì)確定最不利位置臨界點(diǎn)、臨界線以及它們所界定的區(qū)域五、極值和優(yōu)化問(wèn)題利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值張量的極值就是其主值利用極值出現(xiàn)處的性質(zhì)和特點(diǎn)求極值結(jié)構(gòu)的優(yōu)化基礎(chǔ)性概念和基本方法六、非線性問(wèn)題七、能量方法八、應(yīng)變的測(cè)量物理非線性幾何非線性穩(wěn)定問(wèn)題互等定理溫度荷載問(wèn)題動(dòng)荷載問(wèn)題非線性問(wèn)題應(yīng)變測(cè)試原理常用測(cè)試方法五、極值和優(yōu)化問(wèn)題利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值提示

利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值的關(guān)鍵，是明確自變量和目標(biāo)函數(shù)，并建立目標(biāo)函數(shù)與自變量之間的函數(shù)關(guān)系。一般可以直接利用目標(biāo)函數(shù)的物理意義來(lái)確定所求出極值是極大或極小。大多數(shù)情況下不必通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)確定極值的性質(zhì)。由于在許多情況下是在有限區(qū)間內(nèi)討論問(wèn)題的，因此應(yīng)注意區(qū)間兩端點(diǎn)處的函數(shù)值是否可能構(gòu)成極值。如果函數(shù)是線性的，那么極值一定出現(xiàn)在所討論的區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處。RRR例

圓形橫截面對(duì)稱地去掉最上下部份，有可能使抗彎截面系數(shù)增加。求使抗彎截面系數(shù)為最大的角度

。圓臺(tái)的慣性矩等于四個(gè)三角形與四個(gè)扇形對(duì)水平對(duì)稱軸慣性矩的和。三角形對(duì)水平對(duì)稱軸的慣性矩I1bhCK直角三角形對(duì)于過(guò)形心的

C

軸的慣性矩。R例

圓形橫截面對(duì)稱地去掉最上下部份，有可能使抗彎截面系數(shù)增加。求使抗彎截面系數(shù)為最大的角度

。圓臺(tái)的慣性矩等于四個(gè)三角形與四個(gè)扇形對(duì)水平對(duì)稱軸慣性矩的和。三角形對(duì)水平對(duì)稱軸的慣性矩扇形對(duì)水平對(duì)稱軸的慣性矩Rr例

圓形橫截面對(duì)稱地去掉最上下部份，有可能使抗彎截面系數(shù)增加。求使抗彎截面系數(shù)為最大的角度

。圓臺(tái)的慣性矩等于四個(gè)三角形與四個(gè)扇形對(duì)水平對(duì)稱軸慣性矩的和。三角形對(duì)水平對(duì)稱軸的慣性矩扇形對(duì)水平對(duì)稱軸的慣性矩RrRrR圓臺(tái)關(guān)于水平對(duì)稱軸的慣性矩抗彎截面系數(shù)圓臺(tái)關(guān)于水平對(duì)稱軸的慣性矩抗彎截面系數(shù)RrRR抗彎截面系數(shù)未切前抗彎截面系數(shù)五、極值和優(yōu)化問(wèn)題利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值利用極值出現(xiàn)處的性質(zhì)和特點(diǎn)求極值提示

函數(shù)在某點(diǎn)處取極值，那么在這一點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。若函數(shù)是撓度，則意味著該點(diǎn)轉(zhuǎn)角為零。例

如圖的簡(jiǎn)支梁中，BC段為剛體。AC

段的抗彎剛度為EI

，求梁中的最大撓度。

qLBALC梁的變形如圖。先求支反力。最大撓度必產(chǎn)生于AC

之間。qBACqBAC3qL

/

4qL

/

4qBAC3qL

/

4

=0qL

/

4將原結(jié)構(gòu)視為兩段懸臂梁。qBAC3qL

/

4xqL

/

4qBAC3qL

/

4LLxqL

/

4qBAqL

/

4LxqL

/

4LqL2

/

4例

如圖的簡(jiǎn)支梁中，BC段為剛體。AC

段的抗彎剛度為EI

，求梁中的最大撓度。

梁的變形如圖。先求支反力。最大撓度必產(chǎn)生于AC

之間。將原結(jié)構(gòu)視為兩段懸臂梁。qBAqL

/

4LxqL

/

4LqL2

/

4qBAqL

/

4LxqL

/

4LqL2

/

4由可解得故有最大撓度qBACwmax

提示簡(jiǎn)支梁?jiǎn)栴}的求解，可以在極值點(diǎn)處分解為兩個(gè)懸臂梁來(lái)進(jìn)行分析。五、極值和優(yōu)化問(wèn)題利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值結(jié)構(gòu)的優(yōu)化利用極值出現(xiàn)處的性質(zhì)和特點(diǎn)求極值提示

優(yōu)化的結(jié)構(gòu)，應(yīng)使結(jié)構(gòu)的各部份的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性都得到充分的利用。在強(qiáng)度問(wèn)題中，優(yōu)化的結(jié)構(gòu)應(yīng)盡量使結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件（或構(gòu)件中的各個(gè)部份）的危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力。例如圖的混凝土梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的重量為q

。為了便于運(yùn)輸，可在梁上預(yù)埋吊鉤。吊鉤位置應(yīng)在何處？如何正確吊裝以避免梁開(kāi)裂？L吊鉤應(yīng)置于橫截面尺寸小的一側(cè)，并關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱預(yù)埋。梁處于吊裝狀態(tài)時(shí)，可簡(jiǎn)化為如圖的梁。aLaqLBAaaCD彎矩的峰值出現(xiàn)在C、D截面。例如圖的混凝土梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的重量為q

。為了便于運(yùn)輸，可在梁上預(yù)埋吊鉤。吊鉤位置應(yīng)在何處？如何正確吊裝以避免梁開(kāi)裂？吊鉤應(yīng)置于橫截面尺寸小的一側(cè)，并關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱預(yù)埋。梁處于吊裝狀態(tài)時(shí)，可簡(jiǎn)化為如圖的梁。彎矩的峰值出現(xiàn)在C、D截面。qLBAaaCDqLBAaaCD考察C、D截面的彎矩與a的函數(shù)關(guān)系。MaMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMDMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMD只有C、D

截面彎矩的絕對(duì)值相等，才能使最大絕對(duì)值彎矩為最小。qLBAaaCD為了避免產(chǎn)生附加的彎矩，在吊裝時(shí)可考慮采用輔助吊桿。提示當(dāng)某個(gè)參量同時(shí)決定兩個(gè)函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)處于此長(zhǎng)彼消的態(tài)勢(shì)時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)值的交點(diǎn)往往就是極值點(diǎn)。MqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMD分析和討論

qLAB梁的橫截面為矩形，兩支座怎樣移動(dòng)，才能使梁的承載能力為最大？6030梁的橫截面如圖，兩支座怎樣移動(dòng)，才能使梁的承載能力為最大？例

如圖承受均布荷載的梁由三個(gè)相通的油缸支承。為使梁中彎矩為最小，油缸的直徑比應(yīng)為多少？并求中間支座與兩端支座的高度差。d1d1d2LLAq分析由于底部油缸連通，即油壓相同，因此梁所承受的支反力與油缸支承面積成正比。因此，欲求梁中彎矩為最小的要求，實(shí)際上是對(duì)支反力的要求。AqRR=0M=qL2/2R<qLR=qLM=qL2/2R>qLR=2qLM=qL2/2R問(wèn)題可簡(jiǎn)化為如圖的模型。當(dāng)梁中正彎矩與負(fù)彎矩?cái)?shù)值相等時(shí)，梁中彎矩最小。梁中的正彎矩隨R的增加單調(diào)遞減。梁中的負(fù)彎矩?cái)?shù)值隨R的增加單調(diào)遞增。端部支反力：d1d1d2LLAq例

如圖承受均布荷載的梁由三個(gè)相通的油缸支承。為使梁中彎矩為最小，油缸的直徑比應(yīng)為多少？并求中間支座與兩端支座的高度差。AqxRqL–R/2AqRqL–R/2x'跨中彎矩跨中彎矩取極值的位置該處彎矩d1d1d2LLAq跨中彎矩跨中彎矩取極值的位置該處彎矩AqRqL–R/2x'd1d1d2LLAq中點(diǎn)彎矩AqRqL–R/2x'跨中彎矩極值與中點(diǎn)彎矩?cái)?shù)值相等：由此可得中點(diǎn)支反力：d1d1d2LLAq中點(diǎn)彎矩跨中彎矩極值與中點(diǎn)彎矩?cái)?shù)值相等：由此可得中點(diǎn)支反力：AqRqL–R/2x'd1d1d2LLAqAqRqL–R/2x'端部支反力：兩者之比：若油缸壓力為p：支座高度差：d1d1d2LLAq分析和討論

如圖的懸臂梁承受均布荷載，右端有一鉸支座。為了提高梁的承載能力，可以把支座的位置適當(dāng)向上提升

。支座高度差LqLq等于多少，才能使梁的承載能力提高得最多？d1d1d2LLAqxyx等強(qiáng)度梁的概念

由此即可確定截面的尺寸。截面尺寸主要取決于彎矩，但在剪力很大而彎矩較小的區(qū)段也應(yīng)考慮剪力的影響。根據(jù)強(qiáng)度設(shè)計(jì)梁的截面

PL/

2L/

2PL/

2L/

2h0xh1(x)PL/

2L/

2h0在左端，只考慮剪力的影響隨著x的增加，應(yīng)考慮彎矩的影響由于對(duì)稱性，可以只考慮左半部份。例

圖中梁的寬度b保持不變，材料許用應(yīng)力為[]和[]

，根據(jù)等強(qiáng)度觀點(diǎn)確定梁的高度

h

的變化規(guī)律。bhxh1(x)PL/

2L/

2h0PL/

2L/

2顯然

h1

應(yīng)大于零，即故有例

圖中梁的寬度b保持不變，材料許用應(yīng)力為[]和[]

，根據(jù)等強(qiáng)度觀點(diǎn)確定梁的高度

h

的變化規(guī)律。bh分析和討論

為什么汽車(chē)車(chē)廂的支承彈簧要采取如圖的結(jié)構(gòu)形式？分析和討論

為了提高結(jié)構(gòu)的承載能力和經(jīng)濟(jì)性，可以采取哪些措施？改善荷載分布方式和支承方式利用材料性能改善結(jié)構(gòu)的承載方式改善構(gòu)件的幾何形式在超靜定結(jié)構(gòu)中有意識(shí)地利用裝配應(yīng)力提示梁由混凝土材料制成，如果橫截面從左圖改為右圖，只能改善強(qiáng)度而不能改善剛度。把構(gòu)件的材料由低質(zhì)鋼改為優(yōu)質(zhì)鋼，不能提高其剛度和穩(wěn)定性。qFFRFF分析和討論

兩個(gè)梁材料相同，左梁分為若干層，右梁為整體材料，誰(shuí)能承受更大的力F

？?jī)蓚€(gè)構(gòu)件材料相同，一個(gè)由整體鋼筋制成，一個(gè)由若干根鋼絲組成，兩者有效橫截面積相同，誰(shuí)能承受更大的力F

？五、極值和優(yōu)化問(wèn)題利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值結(jié)構(gòu)的優(yōu)化張量的極值就是其主值利用極值出現(xiàn)處的性質(zhì)和特點(diǎn)求極值提示

應(yīng)力、應(yīng)變、慣性矩和慣性積這三類量都是張量。桿件橫截面上的形心主慣性矩就是該截面上沿不同方位的慣性矩的極值。例

如圖的結(jié)構(gòu)中，若允許在頂端增加一根可拉壓的彈簧以增加抗失穩(wěn)能力，那么彈簧應(yīng)如何安置最為合理？分析圖示的桿件失穩(wěn)，發(fā)生在橫截面形心主慣性矩較小的方向上。故應(yīng)沿x

軸安裝彈簧最合理。404094666xyxyxyxyxy因此，應(yīng)先計(jì)算圖示坐標(biāo)系下的兩個(gè)慣性矩和慣性積，再求其主方向。分析和討論將寬為

6b的硬紙折疊成上圖的形狀粘牢，豎立起來(lái)。FF另外，將寬為

8b的硬紙折疊成下圖的形狀粘牢豎立。如果上圖的結(jié)構(gòu)能夠承受的豎向壓力為

F

，那么下圖結(jié)構(gòu)能夠承受多大的荷載？6b8b分析和討論提示

如果截面的對(duì)稱軸多于兩個(gè)，那么任意過(guò)形心的軸都是該截面的形心慣性主軸。6b8bFF如圖的橫截面中，各部份對(duì)形心慣性主軸的貢獻(xiàn)是相等的。五、極值和優(yōu)化問(wèn)題利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值結(jié)構(gòu)的優(yōu)化張量的極值就是其主值利用極值出現(xiàn)處的性質(zhì)和特點(diǎn)求極值提示

應(yīng)力、應(yīng)變、慣性矩和慣性積這三類量都是張量。應(yīng)力的極值問(wèn)題有三個(gè)層面：（1）是桿件中哪個(gè)橫截面上的應(yīng)力

？（2）是該橫截面上哪個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力

？（3）是該點(diǎn)處哪個(gè)方位上的應(yīng)力？第三個(gè)層面上的極值問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是主應(yīng)力和主方向。O圖解法求張量極值——應(yīng)力圓1.應(yīng)力圓的概念圓心半徑R這是一個(gè)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)（，）的圓方程。O以為橫軸、為縱軸建立坐標(biāo)系。應(yīng)力圓Mohr圓Mohr圓ORO切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定對(duì)單元體中任意點(diǎn)有順時(shí)針?lè)较蚓氐那袘?yīng)力為正。這一規(guī)定無(wú)論是對(duì)單元體本身所有的四個(gè)面，還是對(duì)斜截面都是一樣的。xyxy注意

在應(yīng)力圓的應(yīng)用中，

x

與

y

是區(qū)別開(kāi)的。OOAOAAOAAOOAAO2.根據(jù)單元體應(yīng)力作應(yīng)力圓1)建立–坐標(biāo)系；4)連接A和A，該線段與橫軸交點(diǎn)即為圓心O，

OA即為半徑；2)在–平面中確定點(diǎn)；3)確定點(diǎn)；5)作圓。xyxyxyyxyx

xyn

OOAAxyxyOOAA202QKxyxy用應(yīng)力圓上的點(diǎn)表示斜截面上的應(yīng)力在應(yīng)力圓上，從

A開(kāi)始，與

保持相同的轉(zhuǎn)向，轉(zhuǎn)

2的角度至

K點(diǎn)，K點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為斜截面上的正應(yīng)力，縱坐標(biāo)即切應(yīng)力。在應(yīng)力圓上，A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為單元體左側(cè)面上的正應(yīng)力，縱坐標(biāo)即切應(yīng)力。OAOOAOK2OAOK2OAOK23.應(yīng)力圓的應(yīng)用斜截面上的應(yīng)力：在應(yīng)力圓上，從

A開(kāi)始，與保持相同的轉(zhuǎn)向，轉(zhuǎn)

2的角度至

K點(diǎn)，K點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為斜截面上的正應(yīng)力，縱坐標(biāo)即切應(yīng)力。點(diǎn)面對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)向相同角度加倍xyxyxyxyxyxyxyxy

如果A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)2到P，則對(duì)應(yīng)于

i

的主方向與x軸正向夾角為順時(shí)針?lè)较虻?。如果A點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)2到P，則對(duì)應(yīng)于

i

的主方向與x軸正向夾角為逆時(shí)針?lè)较虻摹AO2OAOmax2xyxxyijxyxyxy

xyxy

xyijOAOOAO

i

j2PQOAO

i

j2PQ主應(yīng)力和主方向：最大切應(yīng)力：O–60–50AO4050AAOAAOOAAOO60°KAAOOKAAOOKAAOOKAAOOOAAOOAAOOAAO40605030°40605030°8.368.3例對(duì)如圖的應(yīng)力狀態(tài)，求=30°

截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。并求主應(yīng)力大小。應(yīng)力狀態(tài)作應(yīng)力圓從A點(diǎn)開(kāi)始，逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°到K點(diǎn)分析和討論應(yīng)力圓退化成一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于什么應(yīng)力狀態(tài)？應(yīng)力圓通過(guò)原點(diǎn)時(shí)是什么應(yīng)力狀態(tài)？應(yīng)力圓的圓心在原點(diǎn)時(shí)是什么應(yīng)力狀態(tài)？OAAOOAAO506011560ABOOOOA(50,60)OB115OA(50,60)O120B115OA(50,60)OAB120BOOAB12060BOOA30B12060BO例求如圖斜面上的切應(yīng)力

。分析已知信息：A

點(diǎn)位置B

點(diǎn)所在的豎直線

BOA

的大小目標(biāo)：確定圓心O

位置注意

BBA=60！OOA5060OA115OA115OA30115OA30B60115OA30B60OOA30BOOA30BOOA30BBOOA35BO例求如圖斜面上的切應(yīng)力

。506011560AB應(yīng)力圓作法過(guò)A

點(diǎn)作豎線垂線。過(guò)A

點(diǎn)作30°斜線交豎線于B。作AB

的垂直平分線交橫軸于O。以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓。OOA(50,60)35OAOAB60OABO60OA60BOOA60BBOOA60BBO115分析和討論如何作應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓？50606035AB4.關(guān)于應(yīng)變圓應(yīng)變圓的原理與應(yīng)力圓相同。

應(yīng)變圓的橫軸為線應(yīng)變

，縱軸為切應(yīng)變之半

/2。切應(yīng)變以直角的增加量為正。O/

2例根據(jù)直角應(yīng)變花的測(cè)量值畫(huà)出應(yīng)變圓。abcB/

2AabcCO分析已知信息：三個(gè)應(yīng)變值；a與

c

幅角相差90o；a與

b

幅角相差45o；B/

2AabcCOB/

2OAabcCO圓心必定在AC

中點(diǎn)。/

2OKabcBACO?OAK≌?O

PB。/

2OKabcBACOP例根據(jù)直角應(yīng)變花的測(cè)量值畫(huà)出應(yīng)變圓。abc應(yīng)變圓作法O/

2B/

2AabcCO確定AC

的中點(diǎn)O，B/

2OAabcCO截取OB=AK

。B/

2OAabcCOK以O(shè)為圓心，以O(shè)K

為半徑，即可作應(yīng)變圓。/

2OKabcBACO作a、

b

和

c

三條豎線

；五、極值和優(yōu)化問(wèn)題利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值結(jié)構(gòu)的優(yōu)化張量的極值就是其主值利用極值出現(xiàn)處的性質(zhì)和特點(diǎn)求極值提示

應(yīng)力、應(yīng)變、慣性矩和慣性積這三類量都是張量。應(yīng)力的極值問(wèn)題有三個(gè)層面：（1）是桿件中哪個(gè)橫截面上的應(yīng)力

？（2）是該橫截面上哪個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力

？（3）是該點(diǎn)處哪個(gè)方位上的應(yīng)力？第三個(gè)層面上的極值問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是主應(yīng)力和主方向。六、非線性問(wèn)題物理非線性應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性提示

注意物理非線性不影響靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，僅影響其變形。物理非線性必定影響超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。在拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲等橫截面應(yīng)力公式中，只有拉壓應(yīng)力公式可以直接用于物理非線性問(wèn)題之中。L45°ABCF例圖示結(jié)構(gòu)中，AB材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為，AC為，兩桿橫截面積相同，試求A點(diǎn)鉛垂位移。–F2F–根據(jù)平衡求出各桿內(nèi)力。各桿線應(yīng)變各桿變形量AA'PQRS六、非線性問(wèn)題物理非線性分段線性問(wèn)題當(dāng)構(gòu)件某些部位或某些區(qū)段進(jìn)入了塑性，有可能使外荷載與變形量之間呈現(xiàn)出分段線性的形態(tài)。應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性例

在兩端固定的桿件截面C上，沿軸線作用的

F

力由零緩慢地增長(zhǎng)至桿件完全進(jìn)入塑性。b

>

a

，桿件的橫截面積為

A，材料的彈性模量為E，屈服極限為

S

。根據(jù)理想彈塑性模型，畫(huà)出截面C的位移

uC

隨

F力變化的圖像。baACBF先考慮左右兩段均處于彈性階段的情況。設(shè)兩段的軸力分別為拉力FNA

和壓力FNB

，則有baACBFNANB可得例

在兩端固定的桿件截面C上，沿軸線作用的

F

力由零緩慢地增長(zhǎng)至桿件完全進(jìn)入塑性。b

>

a

，桿件的橫截面積為

A，材料的彈性模量為E，屈服極限為

S

。根據(jù)理想彈塑性模型，畫(huà)出截面C的位移

uC

隨

F力變化的圖像。先考慮左右兩段均處于彈性階段的情況。設(shè)兩段的軸力分別為拉力FNA

和壓力FNB

，則有可得baACBFNANBbaACBFNANB由于

b>a

，故左段先進(jìn)入塑性。左段剛進(jìn)入塑性時(shí)，

FuCFuCFuCFuC荷載繼續(xù)增加時(shí)，

右段的軸力

左段的軸力

baACBFSANBFuCFuCC截面的位移取決于右段FuCFuC由于

b>a

，故左段先進(jìn)入塑性。左段剛進(jìn)入塑性時(shí)，

荷載繼續(xù)增加時(shí)，

右段的軸力

左段的軸力

C截面的位移取決于右段baACBFNANBNBbaACBFSAFuCFuCbaACBFSANB當(dāng)時(shí)，

FuCFuCuCF分析和討論

如果不卸載，加載曲線將如何進(jìn)一步發(fā)展？

baACBSASAFFuCFuCuCF提示在某些超靜定結(jié)構(gòu)中，即使本構(gòu)關(guān)系是線性的，荷載位移關(guān)系也會(huì)呈現(xiàn)出分段線性的情況。分析和討論

圖示結(jié)構(gòu)中，荷載

F

和

C點(diǎn)位移的關(guān)系會(huì)是分段線性的嗎？FEIEIC荷載

F

和

C點(diǎn)位移的關(guān)系圖線具有什么趨勢(shì)？FuC例

如果在右段剛進(jìn)入塑性時(shí)即開(kāi)始卸載，直到外荷載為零。求殘余應(yīng)力和C

截面殘余位移。卸載可認(rèn)為是附加上反向荷載F

。彈性階段FuCFuCuCF右梁剛進(jìn)入塑性FuCFuCuCF反向荷載F

相應(yīng)的變形滿足Hooke

定律。baACBSASAFbaACBFNANBbaACBSASAFbaACBFNANBFFuCFuCuCF卸載可認(rèn)為是附加上反向荷載F

。彈性階段反向荷載F

相應(yīng)的變形滿足Hooke

定律。例

如果在右段剛進(jìn)入塑性時(shí)即開(kāi)始卸載，直到外荷載為零。求殘余應(yīng)力和C

截面殘余位移。右梁剛進(jìn)入塑性baACBFNANBFbaACBFNANBF左段附加壓力右段附加拉力C截面的附加位移左段殘余應(yīng)力右段殘余應(yīng)力C截面的殘余位移例

半徑為

R的剛性圓盤(pán)在圓周上由六根等距排列且完全一樣的立柱支撐。豎向集中力F

可在圓盤(pán)上自由平行移動(dòng)。立柱柔度很小，但其屈服極限

S為

F/4。如果要使每一根立柱都不進(jìn)入塑性，

F應(yīng)該限制在什么區(qū)域內(nèi)？如果要使圓盤(pán)不致于傾翻，F(xiàn)應(yīng)該限制在什么區(qū)域內(nèi)？ABCDEFO與失穩(wěn)分析類似，若要每一根立柱都不進(jìn)入塑性，

F應(yīng)該限制在圖示藍(lán)色區(qū)域內(nèi)。要使圓盤(pán)不致于傾翻，F(xiàn)應(yīng)該限制在橙色區(qū)域內(nèi)。LFRCDExyOFABCDEOFABLFRCDExyOFABCDEOFAB分析和討論如果荷載進(jìn)入如圖的橙色區(qū)域后再返回藍(lán)色區(qū)域，已進(jìn)入塑性的桿件能完全回復(fù)到彈性狀態(tài)嗎？

荷載從原點(diǎn)出發(fā)，沿不同路徑進(jìn)入橙色區(qū)域再返回原點(diǎn)，剛性板的豎向位移相同嗎？LFRCDExyOFABCDEOFAB例各桿抗拉剛度均為

EA，屈服極限均為

S=F/4

。現(xiàn)荷載由

O點(diǎn)緩慢移動(dòng)到

K

點(diǎn)后再返回到

O

點(diǎn)，A桿處的豎向位移是如何變化的？CDExyOFABCDEOFABK顯見(jiàn)，剛在

O

點(diǎn)加上荷載時(shí)

A

點(diǎn)的豎向位移為荷載在

K

點(diǎn)時(shí)

A

桿處的位移此時(shí)

A、B、F

桿進(jìn)入塑性，它們對(duì)圓盤(pán)的支承力將保持為

F/4

，但不會(huì)對(duì)圓盤(pán)的位移形成約束。LFRLFR例各桿抗拉剛度均為

EA，屈服極限均為

S=F/4

。現(xiàn)荷載由

O點(diǎn)緩慢移動(dòng)到

K

點(diǎn)后再返回到

O

點(diǎn)，A桿處的豎向位移是如何變化的？顯見(jiàn)，剛在

O

點(diǎn)加上荷載時(shí)

A

點(diǎn)的豎向位移為荷載在

K

點(diǎn)時(shí)

A

桿處的位移此時(shí)

A、B、F

桿進(jìn)入塑性，它們對(duì)圓盤(pán)的支承力將保持為

F/4

，但不會(huì)對(duì)圓盤(pán)的位移形成約束。LFRCDExyOFABCDEOFABKCDExyOFABCDEOFABKC、D、E

桿的軸力分別為：（壓）（拉）LFRC

、D

處的豎向位移為：A

處的豎向位移為：即R

/

2R

/

2RCDExyOFABCDEOFABKLFRC、D、E

桿的軸力分別為：（壓）（拉）C

、D

處的豎向位移為：A

處的豎向位移為：即CDExyOFABCDEOFABKLFR荷載由

K

點(diǎn)返回到

O

點(diǎn)，相當(dāng)于原有荷載疊加上如圖的反方向荷載。LFRF反方向加載各桿相應(yīng)的軸力LFRFCDExyOFABCDEOFABK反方向加載各桿相應(yīng)的軸力荷載由

K

點(diǎn)返回到

O

點(diǎn)，相當(dāng)于原有荷載疊加上如圖的反方向荷載。LFRFCDExyOFABCDEOFABK反方向加載時(shí)

A

處的附加位移為：荷載回到

O

點(diǎn)時(shí)

A

桿處的位移LRF六、非線性問(wèn)題物理非線性幾何非線性分段線性問(wèn)題在未變形構(gòu)形中不能實(shí)現(xiàn)力平衡，或特殊的變形形式導(dǎo)致外荷載與變形量不呈線性關(guān)系，都是幾何非線性的例子。應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性LL例重量為P

的雜技演員在表演走鋼絲。鋼絲的總長(zhǎng)庋為2L

，抗拉剛度為EA

，求演員行至中央處時(shí)鋼絲的最大撓度。PL設(shè)中點(diǎn)的豎向位移為，則半長(zhǎng)鋼絲的伸長(zhǎng)量該伸長(zhǎng)量由其軸力F

引起：故有根據(jù)力平衡PLF例重量為P

的雜技演員在表演走鋼絲。鋼絲的總長(zhǎng)庋為2L

，抗拉剛度為EA

，求演員行至中央處時(shí)鋼絲的最大撓度。設(shè)中點(diǎn)的豎向位移為，則半長(zhǎng)鋼絲的伸長(zhǎng)量該伸長(zhǎng)量由其軸力F

引起：故有根據(jù)力平衡PLFPLF故有將F

表達(dá)式代入即可得分析和討論

圖示結(jié)構(gòu)中，可以在未變形的構(gòu)形中討論力平衡嗎？提示

幾何非線性問(wèn)題的處理應(yīng)同時(shí)考慮變形前后的構(gòu)形。幾何非線性問(wèn)題中的荷載與變形量不呈線性關(guān)系。記容器傾斜的角度為，h/2Pahhah2h1chaP例

如圖的長(zhǎng)方體容器中盛了一半的水。鋼繩的抗拉剛度為EA，初始時(shí)容器左右下方均由鉸支承，鋼繩伸直但無(wú)應(yīng)力?，F(xiàn)將容器右部下方的支座緩慢移開(kāi)。不考慮容器的重量和繩的自重，在水未溢出的前提下求鋼繩的伸長(zhǎng)量。考慮由于水的傾斜而引起的重心位置變化：Labhh2h1chaP記容器傾斜的角度為，例

如圖的長(zhǎng)方體容器中盛了一半的水。鋼繩的抗拉剛度為EA，初始時(shí)容器左右下方均由鉸支承，鋼繩伸直但無(wú)應(yīng)力。現(xiàn)將容器右部下方的支座緩慢移開(kāi)。不考慮容器的重量和繩的自重，在水未溢出的前提下求鋼繩的伸長(zhǎng)量?？紤]由于水的傾斜而引起的重心位置變化：Labhh2h1chaPh2h1chaPca鋼繩拉伸點(diǎn)到支座的水平距離：重心到容器左側(cè)面的距離：Labhh2h1chaPca鋼繩拉伸點(diǎn)到支座的水平距離：重心到容器左側(cè)面的距離：Labhh2h1chaPca記水的重量為P，鋼繩拉力為F，重心到支座的水平距離：可以認(rèn)為比a小很多，則有：h2h1chaPcaFLabh記水的重量為P，鋼繩拉力為F，重心到支座的水平距離：可以認(rèn)為比a小很多，則有：h2h1chaPcaFLabh記故鋼繩的伸長(zhǎng)量

h2h1chaPcaFLabh分析和討論

本題何處用到有關(guān)小量的假定并將其二階量忽略？六、非線性問(wèn)題物理非線性幾何非線性穩(wěn)定問(wèn)題分段線性問(wèn)題應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念構(gòu)件是否存在失穩(wěn)問(wèn)題——考察柔度

p

ss穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念構(gòu)件是否存在失穩(wěn)問(wèn)題——考察柔度構(gòu)件往什么方向失穩(wěn)兩個(gè)主慣性矩方向上約束不同——考察柔度穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念構(gòu)件是否存在失穩(wěn)問(wèn)題——考察柔度構(gòu)件往什么方向失穩(wěn)兩個(gè)主慣性矩方向上約束不同——考察柔度兩個(gè)主慣性矩方向上約束相同——考察主慣性矩大小穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念構(gòu)件是否存在失穩(wěn)問(wèn)題——考察柔度構(gòu)件往什么方向失穩(wěn)兩個(gè)主慣性矩方向上約束不同——考察柔度兩個(gè)主慣性矩方向上約束相同——考察主慣性矩大小在多大壓力下構(gòu)件會(huì)失穩(wěn)——特征方程臨界荷載如何失穩(wěn)——理想壓桿：分岔失穩(wěn)——非理想壓桿：極值失穩(wěn)臨界應(yīng)力uFuF分析和討論如果壓桿的下端四周固定，上端自由并承受軸向壓力，其橫截面如下圖所示。試判斷失穩(wěn)的方向。六、非線性問(wèn)題物理非線性幾何非線性穩(wěn)定問(wèn)題分段線性問(wèn)題剛性桿穩(wěn)定的臨界荷載應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念LFLFLFmP螺旋彈簧的旋轉(zhuǎn)剛度為，桿是剛性的。剛性桿的穩(wěn)定問(wèn)題在什么條件下剛性桿能夠返回初始的平衡位置？彈簧提供的阻止剛性桿傾斜的力偶矩力

F在此位置上對(duì)左端的力偶矩能夠返回初始平衡位置不能返回初始平衡位置臨界荷載L/

2FL/

2L/

2FL/

2FL/

2FL/

2mRRmL/

2FFmRL/

2mRF考慮右段的平衡中間鉸處的相對(duì)轉(zhuǎn)角為2再考慮左段的平衡例

若螺旋彈簧的旋轉(zhuǎn)剛度為，桿是剛性的，求臨界荷載Fcr。提示

穩(wěn)定問(wèn)題的分析中，應(yīng)先設(shè)想結(jié)構(gòu)一個(gè)失穩(wěn)狀態(tài)，然后在已變形的構(gòu)形中考慮力和矩的平衡。HhPHhPHhPNHhPN例

鉛垂立柱為剛性的，設(shè)鋼絲繩抗拉剛度為EA，初始拉力為零，求臨界荷載。設(shè)失穩(wěn)時(shí)立柱偏轉(zhuǎn)角為，考慮立柱的平衡：鋼繩的伸長(zhǎng)量鋼繩伸長(zhǎng)量與偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系為六、非線性問(wèn)題物理非線性幾何非線性穩(wěn)定問(wèn)題分段線性問(wèn)題剛性桿穩(wěn)定的臨界荷載彈性穩(wěn)定的微分方程應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念FLEIFLEIFLEIxFLEIxRwFLEIxRRMw考慮右半部的平衡A、B、R不全為零。彈性穩(wěn)定的二階微分方程FLEIxRRMwFLEIkLykLykLy4.493kLy特征方程A、B、R有非零解的必要條件臨界荷載

彈性穩(wěn)定的二階微分方程提示特征方程包含了穩(wěn)定問(wèn)題的全面信息。根據(jù)特征方程，可以用數(shù)值方法尋求臨界荷載。特征量kL

是無(wú)量綱量。特征方程是關(guān)于kL

的方程。推導(dǎo)特征方程時(shí)，要將kL

作為一個(gè)整體處理。

特征方程的推導(dǎo)方法：

利用齊次邊界條件（位移為零、轉(zhuǎn)角為零等）建立關(guān)于待定系數(shù)的齊次線性方程組，再?gòu)南禂?shù)行列式為零的條件引出特征方程。在推導(dǎo)特征方程時(shí)，如果事先將撓度、彎矩等按正方向設(shè)定，可以有效地減少出錯(cuò)的可能性。例

圖示結(jié)構(gòu)中，AB段為剛體，BC段抗彎剛度為EI，A處有一螺旋彈簧，其剛度，求這個(gè)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定特征方程。

結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)如圖。aFaEIABCaFa建立如圖的坐標(biāo)系。考慮整體平衡。aFayxaFaym

x在彈性區(qū)段取右段考慮其彎矩aFayxwm

Mx其通解例

圖示結(jié)構(gòu)中，AB段為剛體，BC段抗彎剛度為EI，A處有一螺旋彈簧，其剛度，求這個(gè)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定特征方程。

結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)如圖。建立如圖的坐標(biāo)系。考慮整體平衡。在彈性區(qū)段取右段考慮其彎矩其通解aFayxwm

MxaFayxwm

MxaFaym

xA、B、

有非零解的必要條件特征方程考慮彈性區(qū)的邊界條件六、非線性問(wèn)題物理非線性幾何非線性穩(wěn)定問(wèn)題分段線性問(wèn)題剛性桿穩(wěn)定的臨界荷載彈性穩(wěn)定的微分方程非理想壓桿應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念提示非理想壓桿的處理方式是利用微分方程的非齊次項(xiàng)或和非齊次邊界條件尋求微分方程的解答，通過(guò)解答的分析尋求臨界荷載。例分析有橫向均布荷載的受壓桿的臨界荷載。FLEIq建立坐標(biāo)系，F(xiàn)LEIxyqFqL

/

2xyFqL

/

2q建立彎矩方程：FqL

/

2xyFqqL

/

2xMw這是一個(gè)非齊次線性微分方程。數(shù)學(xué)工具箱線性非齊次微分方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解再加上一個(gè)滿足非齊次方程的特解。由于非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式，所以特解可選取同階多項(xiàng)式，其系數(shù)可由待定系數(shù)法確定。FqL

/

2xyFqqL

/

2xMw由邊界條件確定A

和B例分析有橫向均布荷載的受壓桿的臨界荷載。建立坐標(biāo)系，建立彎矩方程：這是一個(gè)非齊次線性微分方程。由邊界條件確定A

和B例分析有橫向均布荷載的受壓桿的臨界荷載。建立坐標(biāo)系，建立彎矩方程：這是一個(gè)非齊次線性微分方程。FqL

/

2xyFqqL

/

2xMwFqL

/

2xyFqqL

/

2xMw當(dāng)時(shí)上式趨于無(wú)窮大,故可認(rèn)為L(zhǎng)LLF例

圖示空心圓柱E為已知，如果柱頂位移最多只允許為

，鋼索的拉緊力最大為多少？建立彎矩方程：由邊界條件確定A

、B

和LeFLFFeFFeyxFFeyxwMxFFeyxdDe例

圖示空心圓柱E為已知，如果柱頂位移最多只允許為

，鋼索的拉緊力最大為多少？建立彎矩方程：由邊界條件確定A

、B

和FFeyxdDeFFeyx式中LLNNFdDe頂端撓度最大允許值為柱頂端壓力與鋼索拉緊力之間有六、非線性問(wèn)題物理非線性幾何非線性穩(wěn)定問(wèn)題分段線性問(wèn)題剛性桿穩(wěn)定的臨界荷載彈性穩(wěn)定的微分方程非理想壓桿應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念七、能量方法基礎(chǔ)性概念和基本方法應(yīng)變能和外力的功應(yīng)變比能應(yīng)變能外力的功

W桿件的拉壓圓軸的扭轉(zhuǎn)梁的彎曲應(yīng)變能和外力的功應(yīng)變比能應(yīng)變能外力的功

W桿件的拉壓圓軸的扭轉(zhuǎn)梁的彎曲

W=

R0

1

2例橫截面如圖的變厚度圓環(huán)的中心線半徑為

R，壁厚

隨

呈線性變化

（上下對(duì)稱），圓環(huán)長(zhǎng)度為

L，兩端轉(zhuǎn)矩為

T，求橫截面上方位角為

處的切應(yīng)力，以及兩端面的相對(duì)轉(zhuǎn)角

。薄壁桿件扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式中線所包圍的面積壁厚扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力例橫截面如圖的變厚度圓環(huán)的中心線半徑為

R，壁厚

隨

呈線性變化

（上下對(duì)稱），圓環(huán)長(zhǎng)度為

L，兩端轉(zhuǎn)矩為

T，求橫截面上方位角為

處的切應(yīng)力，以及兩端面的相對(duì)轉(zhuǎn)角

。薄壁桿件扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式中線所包圍的面積壁厚扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力R0

1

2應(yīng)變比能取微元體積應(yīng)變能R0

1

2應(yīng)變比能取微元體積應(yīng)變能R0

1

2外力的功由功能關(guān)系R0

1

2主要的計(jì)算方法卡氏第二定理

F卡氏第二定理僅限于線彈性系統(tǒng)。單位荷載法

1AqAw單位荷載法可廣泛地應(yīng)用于各類彈性系統(tǒng)，包括曲桿、變截面桿、非線彈性桿，以及溫度變形等情況。主要的計(jì)算方法圖乘法

AqA1圖乘法僅限于線彈性等截面直桿（梁、軸）及其組合結(jié)構(gòu)。圖乘法還可用于計(jì)算軸力圖和扭矩圖。同時(shí)存在軸力、扭矩和彎矩的區(qū)段必須分別計(jì)算各種內(nèi)力圖乘。F

(

ax

)F

x1例如圖的剛度各段的抗彎剛度均為

EI

，球形重物置于最下方橫梁的何處，才不致于沿梁滾動(dòng)？aaaF只有球所在的位置梁的轉(zhuǎn)角為零，才能使球不會(huì)滾動(dòng)。作相應(yīng)彎矩圖。在球所在位置作用一單位力偶矩，并作相應(yīng)彎矩圖。設(shè)球與左端的距離為

x。aaxaFaaxa1用能量法求解超靜定問(wèn)題用能量法求解簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題的要點(diǎn)：1)

用多余支反力代替結(jié)構(gòu)中某點(diǎn)的約束以形成靜定基。2)

在靜定基上用能量法計(jì)算解除約束點(diǎn)處由原有荷載和多余支反力所引起的位移。3)

利用協(xié)調(diào)條件建立關(guān)于多余約束力的方程并求解。例

如圖結(jié)構(gòu)中，，求CD桿的軸力與A截面的內(nèi)力。結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，荷載是反對(duì)稱的。設(shè)想在中部將橫桿切開(kāi)。截面處對(duì)稱內(nèi)力為零，故軸力為零。設(shè)想在A截面將圓環(huán)切開(kāi)。截面處對(duì)稱內(nèi)力為零，故軸力為零，彎矩為零，僅有剪力。圓環(huán)彎矩REAmBACDqEIREAmBAqEICDREAmBAqEIAFSAFSACDRmBAqEIAFSAFSACDRmBAqEIAFSAFSAMCD例

如圖結(jié)構(gòu)中，，求CD桿的軸力與A截面的內(nèi)力。結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，荷載是反對(duì)稱的。設(shè)想在中部將橫桿切開(kāi)。截面處對(duì)稱內(nèi)力為零，故軸力為零。設(shè)想在A截面將圓環(huán)切開(kāi)。截面處對(duì)稱內(nèi)力為零，故軸力為零，彎矩為零，僅有剪力。圓環(huán)彎矩RmBAqEIAFSAFSAMCD單位力引起的彎矩由協(xié)調(diào)條件RmBAqEIAFSAFSAMCDDRBAEIA11CDRAEIA11CBMˉREAmBAqEIAFSAFSACD七、能量方法互等定理基礎(chǔ)性概念和基本方法mmFwFmFFmmFFm功的互等定理互等定理中的力和位移都是廣義的。

P1在

P2所引起的位移上所做的功，等于

P2在

P1所引起的位移上所做的功?；サ榷ɡ碇械膬蓚€(gè)力不一定是同時(shí)存在于結(jié)構(gòu)之中的。L/

2bL/

2FF例

矩形板軸向抗拉剛度為EA，泊松比為，求板在圖示的一對(duì)力F的作用下的軸向變形。PP設(shè)想板的另一受力狀態(tài)如圖。易得第二種狀態(tài)下的橫向變形為設(shè)第一種狀態(tài)下所求的軸向變形為L(zhǎng)，由功的互等定理：力學(xué)量和幾何量的功共軛集中力P——

線位移a集中力偶矩m——

角位移均布荷載q——

面積A壓力p——

體積V功的量綱提示

在應(yīng)用互等定理時(shí)，一般應(yīng)構(gòu)造同一個(gè)結(jié)構(gòu)的另一種狀態(tài)，這種狀態(tài)應(yīng)包含所求的變形，以及產(chǎn)生這種變形所需的荷載。FFp例

圓形板的彈性模量為E，泊松比為

，直徑為d

，厚度為t

。求板在圖示的一對(duì)力F的作用下的面積改變量。設(shè)想板的另一受力狀態(tài)如圖。易得第二種狀態(tài)下的徑向應(yīng)力和周向應(yīng)力均為p，故徑向應(yīng)變?yōu)楣手睆阶兓繛樵O(shè)第一種狀態(tài)下所求的面積改變量為A，由功的互等定理：FFp七、能量方法互等定理溫度荷載問(wèn)題基礎(chǔ)性概念和基本方法單位荷載法在熱應(yīng)力問(wèn)題中的應(yīng)用單位荷載法其中故有真實(shí)荷載下的微元變形量dxd(L)FNdxTd

Mddx單位荷載法在熱應(yīng)力問(wèn)題中的應(yīng)用T

是溫升提示

在熱應(yīng)力問(wèn)題中，d(L)、d和

d

是溫度所引起的微元變化量。dxd(L)dxh

T1dx

T2dxddxh/

2h/

2dxh/

2h/

2

T1dx

T2dxdL

T1

T2hLyxL1例

一矩形截面懸臂梁底面溫度升高了

T2，頂面溫度升高了T1，且溫度沿高度線性變化，T2>

T1，計(jì)算自由端的豎向位移和橫向位移。取微元長(zhǎng)度如圖在自由端作用向上的單位1的力，相應(yīng)的虛彎矩為則微元兩側(cè)面由于溫度升高而產(chǎn)生的夾角為dxh/

2h/

2

T1dx

T2dxdL1例

一矩形截面懸臂梁底面溫度升高了

T2，頂面溫度升高了T1，且溫度沿高度線性變化，T2>

T1，計(jì)算自由端的豎向位移和橫向位移。取微元長(zhǎng)度如圖在自由端作用向上的單位1的力，相應(yīng)的虛彎矩為則微元兩側(cè)面由于溫度升高而產(chǎn)生的夾角為dxh/

2h/

2

T1dx

T2dxddxh/

2h/

2

T1dx

T2dxdL1根據(jù)單位荷載法：

又，微元長(zhǎng)度由于溫度升高而產(chǎn)生的增量為：dxh/

2h/

2

T1dx

T2dxdL1根據(jù)單位荷載法：

又，微元長(zhǎng)度由于溫度升高而產(chǎn)生的增量為：dxh/

2h/

2

T1dx

T2dxdL1L1在自由端作用向左的單位1的力，相應(yīng)的虛軸力為：根據(jù)單位荷載法：LLEIEIABC例兩段抗彎剛度均為EI的梁制成剛架安裝于剛性壁和鉸之間。安裝時(shí)梁內(nèi)無(wú)應(yīng)力。安裝后梁BC段的溫度升高，底面溫度升高了

T2，頂面溫度升高了T1，且溫度沿高度h

線性變化，T2>

T1，AB

段溫度不變。材料的線熱膨脹系數(shù)為

。求

C截面處的彎矩。解除A處的水平約束和豎直約束FxFy

0

0

0溫度橫梁豎梁考慮溫度、多余約束力以及單位荷載對(duì)彎曲的影響：FxxxFyxx1x1yxx協(xié)調(diào)條件

0

0

0溫度橫梁豎梁1x1yxx協(xié)調(diào)條件

0

0

0溫度橫梁豎梁1x1yxx協(xié)調(diào)條件1x1yxxFxFy由此可得C截面彎矩

0

0

0溫度橫梁豎梁LLEIEIABC七、能量方法互等定理溫度荷載問(wèn)題非線性問(wèn)題基礎(chǔ)性概念和基本方法單位荷載法在物理非線性問(wèn)題中的應(yīng)用單位荷載法滿足物理非線性關(guān)系的微元變形量dxd(L)FNdxTd

Mddx提示

在物理非線性問(wèn)題中，需要導(dǎo)出新的微元變形量的表達(dá)式，然后再將其代入單位荷載法計(jì)算式中。Lqbh例

懸臂梁承受均布荷載作用。若梁的材料的應(yīng)力應(yīng)變的絕對(duì)值間的關(guān)系滿足，求自由端處的撓度。先求梁的微元段兩端面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角平截面假設(shè)依然成立

正應(yīng)力

正應(yīng)力關(guān)于中性軸的矩構(gòu)成截面上的彎矩

記

Lqbhyx例

懸臂梁承受均布荷載作用。若梁的材料的應(yīng)力應(yīng)變的絕對(duì)值間的關(guān)系滿足，求自由端處的撓度。先求梁的微元段兩端面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角平截面假設(shè)依然成立

正應(yīng)力

正應(yīng)力關(guān)于中性軸的矩構(gòu)成截面上的彎矩

記

Lqbhyx同樣根據(jù)平截面假設(shè)

故有為求自由端處撓度，在該處加上單位荷載對(duì)于矩形截面Lqbhyx七、能量方法互等定理溫度荷載問(wèn)題非線性問(wèn)題動(dòng)荷載問(wèn)題提示

在動(dòng)荷載問(wèn)題（尤其是沖擊問(wèn)題）中，多考慮直接采用能量守恒方法?；A(chǔ)性概念和基本方法HHH2d1dH例

兩根正方形截面梁在中央垂直交錯(cuò)，但之間有間隙。一重物F從高度h處自由落下，求梁中最大應(yīng)力。重物下落高度兩梁中間撓度關(guān)系重物勢(shì)能應(yīng)變能機(jī)械能守恒HL2L2②F①aaH2d1dH例

兩根正方形截面梁在中央垂直交錯(cuò)，但之間有間隙。一重物F從高度h處自由落下，求梁中最大應(yīng)力。重物下落高度兩梁中間撓度關(guān)系重物勢(shì)能應(yīng)變能機(jī)械能