第5章基本體體及其其表面面交線線的投投影分分析目錄.ppt教學(xué)提提示：在點(diǎn)點(diǎn)、直直線、、平面面投影影分析析的基基礎(chǔ)上上，本本章主主要闡闡述基基本體體及基基本體體之間間相對(duì)對(duì)位置置交線線關(guān)系系的表表達(dá)和和識(shí)讀讀方法法。各各種基基本體體的表表達(dá)、、基本本體表表面上上取點(diǎn)點(diǎn)及兩兩基本本體之之間的的交線線求解解的方方法和和作圖圖，是是本章章的教教學(xué)重重點(diǎn)在教學(xué)學(xué)中，，要注注意引引導(dǎo)學(xué)學(xué)生認(rèn)認(rèn)真分分析基基本體體在投投影體體系中中所處處的位位置，，特別別是在在分析析和求求解平平面與與立體體、立立體與與立體體的交交線問問題時(shí)時(shí)根據(jù)據(jù)立體體的形形成原原理，，準(zhǔn)確確判斷斷特殊殊位置置點(diǎn)所所處的的位置置，能能夠選選擇正正確的的求解解方法法，運(yùn)運(yùn)用投投影規(guī)規(guī)律求求出一一般點(diǎn)點(diǎn)的各各個(gè)投投影教學(xué)要要求：：要求求學(xué)生生通過過學(xué)習(xí)習(xí)本章章內(nèi)容容，熟熟練掌掌握一一些典典型基基本體體的表表示方方法，，熟悉悉使用用各種種方法法完成成基本本體表表面上上點(diǎn)的的作圖圖，從從而學(xué)學(xué)會(huì)分分析和和求解解基本本體表表面的的各種種交線線的投投影，，同時(shí)時(shí)還要要掌握握利用用計(jì)算算機(jī)繪繪圖軟軟件建建立基基本體體的三三維模模型●5.1基本體體概述述●5.2平面立立體的的投影影分析析●5.3曲面立立體的的投影影分析析●5.4平面與與立體體相交交●5.5立體與與立體體相交交本章內(nèi)內(nèi)容5.1基本體體概述述最基本本的單單一幾幾何形形體稱稱為基基本體體。任任何復(fù)復(fù)雜的的立體體都可可以看看成是是由形形狀簡簡單的的立體體經(jīng)過過疊加加或挖挖切后后組合合而成成。這這在數(shù)數(shù)學(xué)上上稱為為布爾爾運(yùn)算算?；倔w體可分分為平平面立立體和和曲面面立體體兩大大類。。(1)平面立立體：：由若若干平平面所所圍成成的幾幾何體體。常常見的的平面面立體體如棱棱柱體體、棱棱錐體體等。。(2)曲面立立體：：由曲曲面或或曲面面與平平面所所圍成成的幾幾何體體。如如圓柱柱體、、圓錐錐體、、球體體和圓圓環(huán)體等等。平面立立體上上兩平平面之之間的的交線線稱為為立體體的棱棱線，，各個(gè)個(gè)棱線線的交交點(diǎn)稱稱為頂頂點(diǎn)。。平面面立體體的表表示方方法主主要是是畫出出平面面立體體棱線線或各各頂點(diǎn)點(diǎn)的投投影圖圖。對(duì)于曲曲面立立體，，本章章主要要研究究回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體，，凡是是一條條母線線(直線或或曲線線)繞一根根固定定的軸軸線旋旋轉(zhuǎn)而而成的的曲面面，稱稱為回回轉(zhuǎn)面面。回回轉(zhuǎn)體體是由由回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面或或回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面與與平面面所圍圍成的的曲面面立體體，如如圓柱柱體、、圓錐錐體、、球等等?；鼗剞D(zhuǎn)體體的表表示方方法主主要是是畫出出其上上各轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向輪輪廓線線的投投影5.2平面立立體的的投影影分析析由于平平面立立體的的各個(gè)個(gè)表面面都是是平面面圖形形，因因此表表示平平面立立體的的關(guān)鍵鍵在于于畫出出圍成成立體體各表表面線線框的的投影影或它它們頂頂點(diǎn)的的投影影。繪制平平面立立體的的投影影圖時(shí)時(shí)，應(yīng)應(yīng)注意意分析析平面面立體體上各各平面面和棱棱線相相對(duì)投投影面面的位位置置，明明確它它們的的投影影特性性，這這樣就就可使使繪圖圖過程程思路路清晰晰，不不易出出錯(cuò)，，過程程簡潔潔。由由于平平面立立體的的各條條棱線線都是是直線線，所所以只只要畫畫出平平面立立體各各頂點(diǎn)點(diǎn)的投投影，，再判判別可可見性性，依依次連連接即即可得得到棱棱線的的投影影?？煽梢姷牡挠么执謱?shí)線線表示示，不不可見見的用用虛線線表示示，即即可完完成平平面立立體的的投影影。1.棱柱的的形體體分析析棱柱有有兩個(gè)個(gè)平行行的多多邊形形底面面，所所有側(cè)側(cè)面均均垂直直于底底面。。一般般用底底面多多邊形形的邊邊數(shù)來來區(qū)別別和命命名不不同的的棱柱柱，如如果底底面為為六邊邊形，，則稱稱之為為六棱棱柱；；如果果底面面為正正多邊邊形，，則稱稱之為為正棱棱柱。。2.棱柱的的投影影以正六六棱柱柱為例例，將將其置置入三三投影影面體體系中中(注意不不同的的放置置方式式得到到的投投影圖圖是不不同的的)，使正正六棱棱柱上上、下下兩個(gè)個(gè)面平平行于于H面，前前后兩兩個(gè)棱棱面放放置的的同V面平行行，如如圖5.1(a)所示。。這樣樣得到到的正正六棱棱柱的的投影影圖如如圖5.1(b)所示。。5.2平面立立體的的投影影分析析(a)(b)圖5.1正六棱棱柱的的表示示法5.2平面立立體的的投影影分析析觀察對(duì)對(duì)比該該正六六棱柱柱的空空間位位置和和三面面投影影，可可知其其投影影特性性為：：(1)水平投投影。。六棱棱柱上上、下下兩個(gè)個(gè)底面面是水水平面面，其其水平平投影影反映映實(shí)形形(正六邊邊形)，兩底底面的的投影影重合合。由由于六六棱柱柱的6個(gè)棱面面都垂垂直于于H面，所所以正正六邊形形的6條邊又又可以以表示示6個(gè)棱面面的投投影。。注意意前后后2個(gè)棱面面是正正平面面，其其他4個(gè)棱面面是鉛鉛垂面面。(2)正面投投影。。六棱棱柱的的上、、下兩兩個(gè)底底面，，其正正面投投影積積聚為為上、、下兩兩條直直線段段。最最左邊邊線段段a'b'是棱線線AB的正面面投影影，最最右邊邊有一一棱線線與其其相對(duì)對(duì)應(yīng)。。這兩兩條棱棱線的的側(cè)面面投影影相重重合，，都在在中間間a″b″，AB為可見見。c'd'是棱線線CD的正面面投影影，其其后面面也有有一條條棱線線EF與其對(duì)對(duì)應(yīng)，，正面面投影影相互互重合合，CD為可見見。其其他線線段，，讀者者可自自行分分析。。(3)側(cè)面投影。。六棱柱的的上下兩個(gè)個(gè)底面，其其側(cè)面投影影同樣積聚聚為上、下下兩條直線線。在側(cè)面面投影上，，最前與最最后的兩條條直線(c″d″和e″f″)，既可以代表表前后兩條條棱線(CD和EF)的投影，也也可以代表表前、后兩兩個(gè)棱面的的投影。在作圖時(shí)，，可先用點(diǎn)點(diǎn)劃線畫出出水平投影影的對(duì)稱中中心線和正正面投影、、側(cè)面投影影的對(duì)稱中中心線，再再畫出正六六棱柱的水水平投影(為一正六邊邊形)，根據(jù)棱柱柱的高度畫畫出頂面和和底面的正正面投影與與側(cè)面投影影。連接頂頂面、底面面對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)點(diǎn)的正面投投影和側(cè)面面投影，即即可得到棱棱線和棱面面的投影。?？梢娎饩€線畫成粗實(shí)實(shí)線，不可可見棱線畫畫虛線，當(dāng)當(dāng)它們重合合時(shí)畫成粗粗實(shí)線。5.2平面立體的的投影分析析1.棱錐的形體體分析棱錐有一個(gè)個(gè)多邊形的的底面，所所有的側(cè)棱棱線都交于于頂點(diǎn)。通通常用底面面多邊形的的邊數(shù)來區(qū)區(qū)別不同的的棱錐，如如底面為三三角形，稱稱之為三棱棱錐。底面面為四邊形形稱之為四四棱錐。若若棱錐的底底面為正多多邊形，且且棱錐頂點(diǎn)點(diǎn)在底面上上的投影與與底面的形形心重合，，稱之為正正棱錐。若若用一個(gè)平平行于底面面的平面切切割棱錐，，則棱錐位位于切割平平面與底面面之間的部部分稱為棱棱臺(tái)。2.棱錐的投影影以正三棱錐錐為例，將將其置入三三投影面體體系中，使使其底面與與H面平行，棱棱線AC垂直于W面，如圖5.2(a)所示。正三三棱錐的投投影圖如圖圖5.2(b)所示，其投投影特性為為(1)水平投影。。棱面ABC為水平面，，因此其水水平投影abc反應(yīng)實(shí)形。。棱面SAB和SBC是一般位置置平面，其其水平投影影為實(shí)際圖圖形的類似似形。注意意到棱線AC是側(cè)垂線，，因此包含含該棱線的的棱面SAC是側(cè)垂面。。水平投影影sac為實(shí)際圖形形的類似形形圖形。(2)正面投影。。水平面ABC的正面投影影和側(cè)面投投影都積聚聚為直線。。棱面SAB和SBC的正面投影影是實(shí)際圖圖形的相似似圖形，都都可見。側(cè)側(cè)垂面SAC的正面投影影s′a′c′同樣是實(shí)際際圖形的類類似圖形，，且不可見見。(3)側(cè)面投影。。由于是從從左向右投投影，因此此棱面SAB是可見的，，棱面SBC不可見。側(cè)垂面SAC則積聚為直直線。5.2平面立體的的投影分析析正三棱錐上上，各個(gè)棱棱線相對(duì)于于投影面的的位置，讀讀者可自行行分析。在在畫棱錐的的投影圖時(shí)時(shí)，可先從從反應(yīng)底面面ABC實(shí)形的水平平投影畫起起，畫出ABC的三面投影影；再畫出出頂點(diǎn)S的三面投影影。分別連連接頂點(diǎn)S同底面ABC各個(gè)頂點(diǎn)的的同面投影影，即可得得到三棱錐錐各棱面與與棱線的投投影圖5.2正三棱錐的的表示法5.2平面立體的的投影分析析平面立體表表面的取點(diǎn)點(diǎn)問題，可可歸結(jié)為平平面上的取取點(diǎn)問題，，即點(diǎn)在平平面上，則則點(diǎn)必在平平面上的一一條直線上上。通常，，可以過點(diǎn)點(diǎn)的已知投投影，在平平面立體的的相關(guān)棱面面上作一條條輔助線。。求出該輔輔助線的另另外兩個(gè)投投影，則點(diǎn)點(diǎn)的另外兩兩個(gè)投影必必在輔助線線的同面投投影上。在在取點(diǎn)作圖圖過程中，，要注意給給定條件，，充分利用用積聚性。。下面舉例例說明圖解解過程【例5.1】已知正六棱棱柱表面上上一點(diǎn)K的正面投影影k′，試求其水水平投影和和側(cè)面的位位置，投影影。如圖5.3所示。分分析與與作圖：由由于K點(diǎn)的正面投投影k′不可見，因因此其必在在棱柱左、、后表面上上，根據(jù)其其正面投影影可知K點(diǎn)應(yīng)該在面面ABFE上。面ABFE為鉛垂面，，其水平投投影積聚為為直線a(b)e(f)上。因此k必在直線a(b)e(f)上，根據(jù)投投影規(guī)律可可求出k。K點(diǎn)的正面投投影k′和側(cè)面投影影k″連線垂直于于OZ軸，再利用用k點(diǎn)到棱柱對(duì)對(duì)稱中心面面的坐標(biāo)差差Y，即可求出出k″，如圖5.3所示5.2平面立體的的投影分析析(a)(b)圖5.3棱柱表面上上取點(diǎn)5.2平面立體的的投影分析析【例5.2】已知正三棱棱錐表面上上M點(diǎn)的正面投投影，N點(diǎn)的水平投投影，求M、N點(diǎn)的其他投投影(如圖5.4所示(a)(b)圖5.4棱錐表面上上取點(diǎn)5.2平面立體的的投影分析析分析與作圖圖：由于m′可見，所以以M點(diǎn)在棱面SAB上。棱面SAB為一般位置置平面，因因此可過S點(diǎn)作一輔助助直線SI，并作出SI的各個(gè)投影影，由于M點(diǎn)在SI上，M點(diǎn)必在SI的同面投影影上。輔助線SI的作法有兩兩種，一種種是過已知知兩點(diǎn)，如如S點(diǎn)和M點(diǎn)。另一種種是過已知知一點(diǎn)并平平行于平面面內(nèi)的一條條直線，如如過M點(diǎn)，平行于于AB。這里選用用的是第一一種方法。。由于n可見，所以以N點(diǎn)在棱面SAC上，注意到到棱面SAC是側(cè)垂面，，其側(cè)面投投影積聚成成直線s″a″(c″)。因此n″必在s″a″(c″)上。求出n″后，即可根根據(jù)投影規(guī)規(guī)律求出n′。此處也可可利用輔助助直線先求求出N點(diǎn)的正面投投影n′，再求出n″，注意側(cè)面面投影在s″a″(c″)上。整個(gè)作作圖過程如如圖5.4所示。5.2平面立體的的投影分析析根據(jù)基本體體的投影圖圖繪制軸測測圖，通常常首先確定定坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)的位置，，原點(diǎn)一般般定在立體體的對(duì)稱軸軸或?qū)ΨQ面面上，且放放在頂面或或底面較為為方便，然然后繪出軸軸測軸。在在繪圖過程程中，優(yōu)先先確定形體體在軸測軸軸上的點(diǎn)和和線的位置置，并運(yùn)用用平行投影影的投影特特性作圖。。與投影軸軸不平行的的線，不可可直接測量量，一般先先定點(diǎn)后畫畫線，逐步步繪制，不不可見部分分省略不畫畫?！纠?.3】如圖5.5(a)所示，根據(jù)據(jù)正六棱柱柱的投影圖圖，繪制其其正等測圖圖。(a)(b)5.2平面立體的的投影分析析(a)(b)圖5.5六棱柱正等等測圖的畫畫法5.2平面立體的的投影分析析分析與作圖圖：六棱柱正等等測圖的繪繪圖步驟為為：(1)在投影圖上上確定坐標(biāo)標(biāo)軸，如圖圖5.5(a)所示。坐標(biāo)標(biāo)軸符合“右手定則”，將坐標(biāo)原原點(diǎn)定在上上頂面正六六邊形的中中心，坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)也可可定在其他他位置，不不影響最后后的形狀。。(2)在軸測圖上上，繪制出出軸測軸，，軸間角為為120°。A、D在X軸上，可以以很容易確確定其位置置。繪制出出過B、C及E、F點(diǎn)，平行于于X軸的兩條直直線，量取取這些點(diǎn)與與Y軸的距離，，確定這些些點(diǎn)的位置置，如圖5.5(b)所示。(3)過A、B、C、D、E、F點(diǎn)向下作平平行于Z軸的直線，，由尺寸H確定底面諸諸點(diǎn)，如圖圖5.5(c)所示。(4)連接底面諸諸點(diǎn)，并加加深，完成成六棱柱的的正等測圖圖，如圖5.5(d)所示。注注意在最最終完成成的軸測測圖中應(yīng)應(yīng)擦去軸軸測軸。5.2平面立體體的投影影分析曲面立體體的投影影可以看看成是曲曲面立體體所有面面的投影影，主要要的曲面面立體有有圓柱、、圓錐、、圓球和和圓環(huán)等等。這些些立體的的表面都都是由母母線(直線或圓圓)繞某一軸軸線旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而成的的，所以以它們又又稱為回回轉(zhuǎn)體。。本節(jié)主主要研究究回轉(zhuǎn)體體的投影影。5.2平面立體體的投影影分析5.3.1常見曲面面立體的的形成方方式表5-1表示了4種常見回回轉(zhuǎn)面的的形成方方式。圓柱面圓錐面圓球面圓環(huán)面5.3曲面立體體的投影影分析5.3.2圓柱1.圓柱的形形體分析析如圖5.6(a)所示，圓圓柱由圓圓柱面及及上、下下底面所所圍成。。其中圓圓柱面可可以看成成是由一一平行于于軸線的的直線(母線)繞其軸線線旋轉(zhuǎn)而而成的。。在這里里，我們們把母線線在每一一時(shí)刻的的位置稱稱為素線線，因此此，圓柱柱面又可可看成是是無數(shù)條條平行于于軸線的的素線圍圍成的。。2.圓柱的投投影如圖5.6(b)所示為一一軸線垂垂直于水水平投影影面的正正圓柱的的三面投投影。其其投影特特性為：：(1)水平投影影。由于于圓柱的的上、下下兩個(gè)底底面為水水平面，，其水平平投影反反應(yīng)實(shí)形形(圓平面)。正面投影和和側(cè)面投影積積聚成直線；；圓柱面垂直直于H面，其水平投投影也具有積積聚性。(2)正面投影。在在正立投影面面上畫出轉(zhuǎn)向向輪廓線AC、BD的投影a′c′、b′d′，注意其側(cè)面面投影在相應(yīng)應(yīng)的軸線(點(diǎn)畫線)上，不需要畫畫出。(3)側(cè)面投影。在在側(cè)立投影面面上畫出轉(zhuǎn)向向輪廓線EG、FH的投影e″g″、f″h″，注意其正面面投影在相應(yīng)應(yīng)的軸線(點(diǎn)畫線)上，不需要畫畫出。5.3曲面立體的投投影分析(a)(b)圖5.7圓錐的表示法法5.3曲面立體的投投影分析與圓柱相似，，對(duì)于正面投投影來說，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向輪廓線SA、SB為圓錐面的虛虛實(shí)分界線。。即前半圓錐錐面可見，后后半個(gè)圓錐面面不可見；對(duì)對(duì)于側(cè)面投影影，轉(zhuǎn)向輪廓廓線SC、SD為圓錐面的虛虛實(shí)分界線。。即左半個(gè)圓圓錐面可見，，而右半個(gè)圓圓錐面不可見見；對(duì)于水平平投影來說，，底面不可見見，整個(gè)圓錐錐面都可見。。對(duì)于圓錐面面來說，其3個(gè)投影都沒有有積聚性。畫圖時(shí)，可首首先畫出圓錐錐體的軸線和和圓的中心線線，然后畫出出投影為圓的的投影，最后后根據(jù)圓錐的的高度畫出為為等腰三角形形的另外兩個(gè)個(gè)投影圖5.3曲面立體的投投影分析5.3.4球1.球的形體分析析如圖5.8(a)所示，圓球由由圓球面所圍圍成。圓球面面可以看成是是一個(gè)母線圓圓繞其通過圓圓心的軸線(直徑)旋轉(zhuǎn)而成的。。2.球的投影如圖5.8(b)所示為一圓球球體的三面投投影圖，其投投影特性為：：(1)水平投影。為為一圓，該圓圓反映平行于于H面的最大素線線圓B的實(shí)形。其水水平投影和側(cè)側(cè)面投影與水水平中心線重重合，但不畫畫出。(2)正面投影。為為一圓，該圓圓反映平行于于V面的最大素線線圓A的實(shí)形。其水水平投影影與水平中中心線重合；；其側(cè)面投影影與直立中心心線重合，但但不畫出。(3)側(cè)面投影。為為一圓，該圓圓反映平行于于V面的最大素線線圓C的實(shí)形。其水水平投影和正正面投影與直直立中心線重重合，但不畫畫出。5.3曲面立體的投投影分析(a)(b)圖5.8球的表示法5.3曲面立體的投投影分析注意，球的三三面投影都是是圓，但這3個(gè)圓分屬于球球面上3個(gè)不同素線圓圓的投影。畫畫圓時(shí)一定要要畫出中心線線。對(duì)于正面面投影來說，，前半個(gè)球面面可見，后半半個(gè)球面不可可見；對(duì)于水水平投影，上上半個(gè)球面可可見，下半個(gè)個(gè)球面不可見見；對(duì)于側(cè)面面投影，左半半個(gè)球面可見見，右半個(gè)球球面不可見。。5.3曲面立體的投投影分析5.3.5圓環(huán)1.圓環(huán)的形體分分析如圖5.9(a)所示，圓環(huán)體體由圓環(huán)面所所圍成。圓環(huán)環(huán)面則由一母母線圓繞與該該圓共面但不不過圓心的軸軸線旋轉(zhuǎn)而成成。2.圓環(huán)的投影如圖5.9(b)所示為一軸線線垂直于水平平投影面的圓圓環(huán)體的三面面投影圖，其其投影特性為為：(1)水平投影。為為一對(duì)同心圓圓，分別反映映圓環(huán)內(nèi)、外外直徑的真實(shí)實(shí)大小。(2)正面投影。兩兩個(gè)平行于V面的素線圓及及內(nèi)、外圓環(huán)環(huán)面分界圓的的投影(即上、下兩條條直線)。因?yàn)閮?nèi)圓環(huán)環(huán)面不可見，，所以素線圓圓靠近軸線的的一半畫出虛虛線。(3)側(cè)面投影。兩兩個(gè)平行于W面的素線圓及及內(nèi)、外圓環(huán)環(huán)面分界圓的的投影(即上、下兩條條直線)。素線圓靠近近軸線的一半半畫出虛線。。5.3曲面立體的投投影分析(a)(b)圖5.9圓環(huán)體的表示示法5.3曲面立體的投投影分析如圖所示，對(duì)對(duì)于正面投影影來說，外圓圓環(huán)面的前半半部分可見，，外圓環(huán)面的的后半部分及及內(nèi)圓環(huán)面都都不可見；對(duì)對(duì)于側(cè)面投影影來說，外圓圓環(huán)面的左半半部分可見，，外圓環(huán)面的的右半部分及及內(nèi)圓環(huán)面都都不可見；對(duì)對(duì)于水平投影影來說，內(nèi)、、外圓環(huán)面的的上半部分都都可見，下半半部分都不可可見。5.3曲面立體的投投影分析5.3.6回轉(zhuǎn)體表面上上點(diǎn)的投影分分析在回轉(zhuǎn)體表面面的平面上取取點(diǎn)的方法與與在平面立體體表面上的取取點(diǎn)方法相似似。分析時(shí)，，都是將點(diǎn)看看成是基本體體表面上某線線段上的點(diǎn)，，首先找到該該線段的投影影，然后再在在該線段上取取點(diǎn)。對(duì)于回回轉(zhuǎn)體來說，，總是先作出出通過所求點(diǎn)點(diǎn)的某素線(直線或平行于于投影面的素素線圓)的投影，再利利用線段上取取點(diǎn)的方法求求作該點(diǎn)的投投影。以下分分別介紹在圓圓柱面、圓錐錐面、球面和和圓環(huán)面上取取點(diǎn)的方法。。1.圓柱面上取點(diǎn)點(diǎn)圓柱面上取點(diǎn)點(diǎn)，通常利用用圓柱面對(duì)某某一投影面的的積聚性進(jìn)行行作圖?！纠?.4】如圖5.10(a)所示，已知圓圓柱面上A點(diǎn)的正面投影影a′和B點(diǎn)的側(cè)面投影影b″，求A、B兩點(diǎn)的另外兩兩個(gè)投影。分析與作圖：：由于a′可見，點(diǎn)A必在前半個(gè)圓圓柱面上，由由于點(diǎn)A在圓柱面上，，其水平投影影積聚在圓上上，根據(jù)投影影關(guān)系可求出出A的水平投影a。根據(jù)“高平齊”和“寬相等”的投影規(guī)律可可求出側(cè)面投投影a″，注意A點(diǎn)在右半個(gè)圓圓柱面上，側(cè)側(cè)面投影a″不可見。根據(jù)B點(diǎn)側(cè)面投影的的位置，可以以看出B點(diǎn)在圓柱的最最左輪廓線上上，根據(jù)點(diǎn)的的投影規(guī)律可可求出B點(diǎn)的正面投影影b′和水平投影b，如圖5.10(b)所示5.3曲面立體的投投影分析(a)(b)圖5.10圓柱面上取點(diǎn)點(diǎn)5.3曲面立體的投投影分析2.圓錐面上取點(diǎn)點(diǎn)圓錐面上取點(diǎn)點(diǎn)的作圖原理理如圖5.11所示。由于圓圓錐面的各個(gè)個(gè)投影都不具具有積聚性，，因此，取點(diǎn)點(diǎn)時(shí)必須借助助于輔助素線線或輔助圓。。圖5.11圓錐面上取點(diǎn)點(diǎn)的作圖原理理5.3曲面立體的投投影分析1)輔助素線法在圓錐面上，，先過已知點(diǎn)點(diǎn)和錐頂可以以做一條直素素線，再根據(jù)據(jù)點(diǎn)在直線上上的投影規(guī)律律，完成圓錐錐面上取點(diǎn)的的投影作圖，，該方法稱為為輔助素線法法?！纠?.5】如圖5.12(a)所示，已知圓圓錐面上點(diǎn)A的水平投影a，求作其正面面投影和側(cè)面面投影。分析與作圖：：過錐頂S和點(diǎn)A作一輔助線SE，先在水平投投影上過a確定SE的水平投影se，再求出其正正面投影s′e′和側(cè)面投影s″e(cuò)″，最后根據(jù)直直線上點(diǎn)的投投影規(guī)律，作作出a′和a″。注意判別A點(diǎn)的可見性，，由水平投影影可知，點(diǎn)A在圓錐面的前前半部分和左左半部分，故故a′和a″都可見。2)輔助圓法將所求之點(diǎn)看看成是圓錐面面上某一緯圓圓上的點(diǎn)。則則利用該緯圓圓的各個(gè)投影影，同樣可以以完成圓錐面面上取點(diǎn)的投投影作圖，該該方法稱為輔輔助圓法，又又稱為緯圓法法。輔助圓法法非常重要，，它是回轉(zhuǎn)面面上取點(diǎn)的常常用方法。5.3曲面立體的投投影分析例5.6】如圖5.12(b)所示，已知圓圓錐面上點(diǎn)B的正面投影b′，求作其水平平面投影和側(cè)側(cè)面投影。(a)輔助素線法(b)輔助圓法(緯圓法)圖5.12圓錐面上取點(diǎn)點(diǎn)的投影作圖圖5.3曲面立體的投投影分析分析與作圖：：由于圓錐的的軸線垂直于于H面，故過點(diǎn)B的輔助圓平行行于H面，水平投影影反映實(shí)形，，仍為一個(gè)圓圓；正面投影影和側(cè)面投影影積聚為直線線。過b′作該輔助圓的的正面投影，，與最右輪廓廓線的正面投投影交于f′點(diǎn)；作出輔助助圓的水平投投影，注意該該圓的半徑為為sf。根據(jù)點(diǎn)B在圓上以及點(diǎn)點(diǎn)的投影規(guī)律律，可求出B點(diǎn)的水平投影影b及側(cè)面投影b″。由b′可知，點(diǎn)B在圓錐面的前前半部和右半半部，故b可見而b″不可見。3.球面上取點(diǎn)在球面上取點(diǎn)點(diǎn)，只能利用用平行于某一一投影面的輔輔助圓來進(jìn)行行作圖，這是是因?yàn)樾纬汕蚯蛎娴哪妇€是是圓，因而在在球面上沒有有直線可用來來作為輔助線線。【例5.7】如圖5.13(a)所示，已知球球面上點(diǎn)C的水平投影c，求作其正面面投影和側(cè)面面投影。分析與作圖：：過C點(diǎn)在球面上可可作一水平輔輔助圓，其水水平投影是以以oc為半徑的圓，，正面投影和和側(cè)面投影均均為直線。由由此即可求出出c′和c″，其作圖方法法如圖5.13(b)所示。從水平平投影c可以看出，C點(diǎn)位于右半球球和后半球上上，因此c′和c″都不可見。實(shí)實(shí)際上，在球球面上過C點(diǎn)也可以作正正平圓或側(cè)平平圓，讀者可可自行分析。。5.3曲面立體的投投影分析(a)(b)圖5.13球面上取點(diǎn)的的投影作圖5.3曲面立體的投投影分析4.圓環(huán)面上取點(diǎn)點(diǎn)在圓環(huán)面上取取點(diǎn)，同樣只只能利用垂直直于回轉(zhuǎn)軸線線的輔助圓來來求解，因?yàn)闉閳A環(huán)表面亦亦無直線。【例5.8】如圖5.14(a)所示，已知圓圓環(huán)面上點(diǎn)D的正面投影d′，求作該點(diǎn)的的水平投影和和側(cè)面投影。。(a)(b)圖5.14圓環(huán)面上取點(diǎn)點(diǎn)的投影作圖圖5.3曲面立體的投投影分析分析與作圖：：圓環(huán)面的軸軸線垂直于H面，因此可過過D點(diǎn)在圓環(huán)面上上可作一水平平輔助圓，該該圓的正面投投影和側(cè)面投投影積聚為直直線，由此可可作出水平投投影d和側(cè)面投影d″。其作圖過程程如圖5.14(b)所示。由于正正面投影d′可見，D點(diǎn)位于外環(huán)面面的下半部分分、前半部分分和左半部分分。因此d和d″都可見。常見的不完整整回轉(zhuǎn)體見表表5-2。5.3曲面立體的投投影分析半圓柱1/4圓柱圓臺(tái)半球1/8球1/4圓環(huán)表5-2不完整回轉(zhuǎn)體體5.3曲面立體的投投影分析5.3.7回轉(zhuǎn)體的正等等測圖1.圓柱的正等測測圖【例5.9】如圖5.15(a)所示，根據(jù)圓圓柱的投影圖圖繪制其正等等測圖。分析與作圖：：繪制圓柱的的正等軸測投投影時(shí)，應(yīng)先先繪制出平行行于投影面的的上、下底圓圓的正等測圖圖(一般采用前述述四心橢圓法法近似代替圓圓的正等測)，然后作出兩兩個(gè)橢圓的公公切線。在軸軸測投影圖上上不可見的線線一般不畫，，所以在繪制制圓的正等軸軸測投影時(shí)，，應(yīng)先畫完全全可見的部分分，平行圓的的軸測投影可可用平移圓心心的方法繪制制。作圖步驟驟如下：(1)如圖5.15(a)所示，設(shè)定坐坐標(biāo)軸，將原原點(diǎn)設(shè)置在圓圓柱頂面圓的的圓心處。(2)繪制軸測軸，，用四心橢圓圓法近似繪制制出圓柱頂面面圓的正等軸軸測投影，如如圖5.15(b)所示。。(3)移動(dòng)圓圓柱頂頂面圓圓的正正等軸軸測投投影中中的三三段圓圓弧的的圓心心，移移動(dòng)距距離為為圓柱柱的高高度，，繪制制圓柱柱底面面圓的的正等等軸測測投影影。因因?yàn)橹恢挥星扒懊婧秃妥蟆?、右兩兩段圓圓弧的的一部部分可可見，，所以以只需需繪制制出三三段圓圓弧即即可，，如圖圖5.15(c)所示。。(4)作上、、下兩兩個(gè)橢橢圓的的公切切線，，擦去去多余余不可可見部部分的的線和和軸測測軸，，完成成結(jié)果果如圖圖5.15(d)所示。。5.3曲面立立體的的投影影分析析5.3.7回轉(zhuǎn)體體的正正等測測圖(a)(b)(c)(d)圖5.15圓柱的的正等等測圖圖5.3曲面立立體的的投影影分析析2.圓臺(tái)的的正等等測圖圖圓臺(tái)(錐)的正等等測圖圖的求求解思思路與與圓柱柱相同同，也也是首首先繪繪制平平行于于投影影面的的上、、下底底圓的的正等等測，，然后后作出出兩橢橢圓之之間的的公切切線。。如圖圖5.16(a)、圖5.16(b)分別表表示某某圓臺(tái)臺(tái)的兩兩面投投影和和正等等測的的作圖圖步驟驟。圖5.16圓臺(tái)的的正等等測圖圖(a)(b)5.3曲面立立體的的投影影分析析3.帶圓角角四棱棱柱的的正等等測圖圖工程對(duì)對(duì)象中中常見見一種種矩形形底板板結(jié)構(gòu)構(gòu)，其其頂角角處常常有1/4圓柱與與之相相切，，如圖圖5.17(a)所示，，這種種結(jié)構(gòu)構(gòu)稱為為圓角角。對(duì)對(duì)于圓圓角的的正等等測圖圖，往往往也也采用用近似似畫法法，即即根據(jù)據(jù)已知知圓弧弧半徑徑R，找出出切點(diǎn)點(diǎn)A、B、C、D，過切切點(diǎn)作作邊線線的垂垂線，，兩垂垂線的的交點(diǎn)點(diǎn)即為為圓心心，以以圓心心到切切點(diǎn)的的距離離為半半徑，，即能能畫出出頂圓圓左右右圓角角的正正等測測圖。。將切切點(diǎn)和和圓心心平行行下移移底板板厚度度，繪繪制圓圓弧，，完成成底面面左右右圓角角的正正等測測圖，，如圖圖5.17(b)所示(a)(b)圖5.17圓角的的正等等測圖圖的近近似畫畫法5.3曲面立立體的的投影影分析析5.3.8基于CAD三維建建模技技術(shù)的的基本本體創(chuàng)創(chuàng)建AutoCAD支持的的3種三維維建模模類型型包括括：線線框建建模、、曲面面建模模和實(shí)實(shí)體建建模。。其中中實(shí)體體建模模技術(shù)術(shù)可使使用下下拉菜菜單“繪圖/實(shí)體”命令調(diào)調(diào)出，，或單單擊如如圖5.18所示的的“實(shí)體”工具欄欄中的的工具具按鈕鈕，可可以很很方便便地創(chuàng)創(chuàng)建基基本平平面立立體和和回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體。。圖5.18“實(shí)體”工具欄欄5.3曲面立立體的的投影影分析析常用的的創(chuàng)建建基本本體的的CAD建模方方法見見表5-3。長方體體(BOX)楔體(WEDGE)圓柱(CYLINDER)圓錐(CONE)按鈕命令圖示說明指定長方體的兩個(gè)角點(diǎn)1和2，和長方體的高3

指定楔體的兩個(gè)角點(diǎn)1和2，和楔體的高3

指定圓柱體底面圓的中心點(diǎn)1，指定圓柱的半徑2和圓柱的高3指定圓錐體底面圓的中心點(diǎn)1，指定圓錐的半徑2和圓柱的高3表5-3基本體體的創(chuàng)創(chuàng)建命命令及及說明明5.3曲面立立體的的投影影分析析球體(SPHERE)圓環(huán)體體(TORUS)按鈕命令圖示說明指定球心1和球的半徑2指定圓環(huán)體的中心1，指定圓環(huán)體中心到圓管中心的距離2和圓管半徑3（續(xù)））5.3曲面立立體的的投影影分析析“拉伸”(EXTRUDE)命令是是創(chuàng)創(chuàng)建基基本體體的另另一種種常用用方法法，可可以將將封閉閉多邊邊形、、圓、、橢圓圓、封封閉樣樣條曲曲線、、圓環(huán)環(huán)和面面域等等平面面，在在給定定其高高度或或路徑徑后，，拉伸伸為柱柱體或或錐(臺(tái))體。如圖5.19(b)、(c)、(d)所示，，分別別是由由圖5.19(a)所示的的平面面正五五邊形形，通通過拉拉伸命命令中中的“指定定拉拉伸伸高高度度”選項(xiàng)項(xiàng)拉拉伸伸而而成成的的正正五五棱棱柱柱、、正正五五棱棱臺(tái)臺(tái)和和正正五五棱棱錐錐。。而而如如圖圖5.20所示示的的L型柱柱體體，，則則是是在在準(zhǔn)準(zhǔn)備備好好如如圖圖5.20(a)所示示的的底底圓圓和和拉拉伸伸路路徑徑后后，，通通過過命命令令中中的的“指定定拉拉伸伸路路徑徑”選項(xiàng)項(xiàng)拉拉伸伸而而成成的的。。拉拉伸伸路路徑徑可可以以是是直直線線、、圓圓、、圓圓弧弧、、橢橢圓圓、、橢橢圓圓弧弧、、多多段段線線或或樣樣條條曲曲線線。。拉拉伸伸實(shí)實(shí)體體始始于于輪輪廓廓所所在在平平面面，，終終于于路路徑徑端端點(diǎn)點(diǎn)處處與與路路徑徑垂垂直直的的（a)(b)(c)(d)圖5.19使用用“拉伸伸”命令令中中的的“指定定拉拉伸伸高高度度”選項(xiàng)項(xiàng)創(chuàng)創(chuàng)建建基基本本體體5.3曲面面立立體體的的投投影影分分析析(a)(b)圖5.20使用用“拉伸伸”命令令中中的的“指定定拉拉伸伸路路徑徑”選項(xiàng)項(xiàng)創(chuàng)創(chuàng)建建基基本本體體5.3曲面面立立體體的的投投影影分分析析“旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”(REVOLVE)命令令是是創(chuàng)創(chuàng)建建回回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的一一個(gè)個(gè)常常用用方方法法。。該該命命令令通通過過將將某某一一封封閉閉的的二二維維對(duì)對(duì)象象圍圍繞繞旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一定定角角度度來來創(chuàng)創(chuàng)建建實(shí)實(shí)體體，，如如圖圖5.21所示示。?？煽梢砸孕D(zhuǎn)轉(zhuǎn)閉閉合合多多段段線線、、多多邊邊形形、、圓圓、、橢橢圓圓、、封封閉閉樣樣條條曲曲線線、、圓圓環(huán)環(huán)和和面面域域。。一一次次只只能能旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)象象。。根根據(jù)據(jù)右右手手定定則則確確定定旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的方方向向。。(a)(b)圖5.21應(yīng)用“旋轉(zhuǎn)”命令創(chuàng)建建回轉(zhuǎn)體體5.3曲面立體體的投影影分析5.4平面與立立體相交交一個(gè)機(jī)器器零件往往往可看看成是由由兩個(gè)或或多個(gè)基基本體組組合而成成，或者者是某個(gè)個(gè)基本體體經(jīng)一個(gè)個(gè)或多個(gè)個(gè)平面切切截而成成，因此此其表面面上常見見的交線線有兩種種：一種種是平面面(稱為截平平面)與立體相相交，在在立體表表面產(chǎn)生生的交線線，稱為為截交線線；另一一種是兩兩立體相相交，在在立體表表面產(chǎn)生生的交線線，稱為為相貫線線。如圖5.22(a)所示的拉拉桿頭，，是一個(gè)個(gè)回轉(zhuǎn)體體被前后后對(duì)稱的的兩平面面所截切切的結(jié)果果，其截截交線由由兩部分分光滑連連接而成成：一部部分是截截平面與與圓球的的交線，，另一部部分是截截平面與與圓弧回回轉(zhuǎn)面的的交線；；圖5.22(b)所示的頂頂尖，其其頭部可可以看作作是圓錐錐和圓柱柱被平面面截切的的結(jié)果(a)(b)圖5.22拉桿頭和和頂尖頭頭部截交線有有如下兩兩個(gè)基本本性質(zhì)：：(1)封閉性。。由于相相交的立立體占有有一定的的空間，，所以截截交線一一般是一一個(gè)封閉閉的平面面圖形，，且其形形狀與大大小取決決于立體體的形狀狀及截平平面與立立體的相相對(duì)位置置。(2)共有性。。即截交交線既在在立體表表面上，，又在截截平面上上，是二二者共有有點(diǎn)的集集合。因因此，求求作截交交線的投投影可歸歸結(jié)為求求作立體體表面上上一系列列的線段段(棱線、緯緯圓或素素線)與截平面面的交點(diǎn)點(diǎn)，然后后將其按按一定順順序連線線即可。。值得注意意的是：：如果立立體的形形狀確定定，截平平面與立立體的相相對(duì)位置置也確定定，則在在兩者相相交后，，截交線線的形狀狀便會(huì)自自然產(chǎn)生生，而不不是由人人工刻意意要求的的。因此此，在求求作截交交線投影影時(shí)，必必須首先先根據(jù)相相交立體體的形狀狀和截平平面相對(duì)對(duì)于立體體的位置置來分析析截交線線的性質(zhì)質(zhì)和形狀狀，然后后再根據(jù)據(jù)幾何作作圖原理理和投影影三等定定理找到到截交線線的投影影。5.4平面與立立體相交交5.4.1平面與平平面立體體相交平面與平平面立體體相交的的截交線線是平面面多邊形形。平面面多邊形形的每條條邊是截截平面與與立體各各棱面的的交線，，而多邊邊形的頂頂點(diǎn)是截截平面與與各棱線線的交點(diǎn)點(diǎn)。因此此，平面面立體上上截交線線的投影影作圖，，可視為為求棱線線與截平平面的交交點(diǎn)，或或求棱面面與截平平面的交交線。如如圖5.23所示為一一個(gè)三棱棱錐被平平面所截截切，其其交線Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-ⅠⅠ即為截交交線。從從圖中可可以看出出，這條條截交線線是一個(gè)個(gè)封閉的的平面三三角形，，其3個(gè)頂點(diǎn)正正是截平平面與三三棱柱的的3條棱線的的交點(diǎn)，，3條邊就是是截平面面與3個(gè)棱面的的交線。。圖5.23平面與平平面立體體相交5.4平面與立立體相交交1.根據(jù)棱線線與截平平面的交交點(diǎn)求平平面與平平面立體體的截交交線【例5.10】如圖5.24(a)所示，為為一正垂垂面與三三棱錐相相截，求求棱錐的的水平投投影和側(cè)側(cè)面投影影。圖5.24正垂面截截切三棱棱錐5.4平面與立立體相交交分析與作作圖：由由于截平平面為特特殊位置置平面(正垂面)，根據(jù)直直線與平平面求交交點(diǎn)的方方法，可可以直接接求出棱棱線SA、SB、SC與截平面面的交點(diǎn)點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投投影1′、2′、3′。根據(jù)投投影關(guān)系系，可求求出相應(yīng)應(yīng)的水平平投影1、2、3。依次連連接各點(diǎn)點(diǎn)的同面面投影，，即可得得到截交交線的水水平投影影和正面面投影。。其作圖圖過程如如圖5.24(b)所示。在在求出截截交線的的投影后后還應(yīng)注注意判斷斷截交線線的可見見性，如如果截交交線所在在的平面面可見，，則截交交線可見見，否則則不可見見2.根據(jù)棱面面與截平平面的交交線求平平面與平平面立體體的截交交線【例5.11】如圖5.25(a)所示，為為一個(gè)正正五棱柱柱被一側(cè)側(cè)平面和和一正垂垂面相截截，求作作截切后后正五棱棱柱的側(cè)側(cè)面投影影。分析與作作圖：一一般情況況下，對(duì)對(duì)于平面面立體帶帶切口的的截交線線問題，，截平面面通常都都是一些些特殊位位置的平平面，這這時(shí)可以以根據(jù)截截平面相相對(duì)于投投影面的的位置來來求截交交線如果截平平面是投投影面平平行面，，則它有有兩個(gè)積積聚性的的投影，，此時(shí)要要根據(jù)具具體情況況判斷出出截?cái)嗝婷?平面多邊邊形)的實(shí)形，，作出其其投影。。例如，，如圖5.25(a)所示的位位置為側(cè)側(cè)平面的的截平面面，已知知的是兩兩個(gè)有積積聚性的的投影(正面投影影和水平平投影為為直線)，求作的的側(cè)面投投影應(yīng)該該反映該該截?cái)嗝婷娴膶?shí)形形。由于于該截平平面與正正五棱柱柱的兩個(gè)個(gè)棱面相相交，與與頂面和和另一位位置為正正垂面的的截平面面相交，，因而可可以判斷斷出實(shí)形形應(yīng)該是是一個(gè)矩矩形5.4平面與立立體相交交如果截平平面是投投影面垂垂直面，，則它有有一個(gè)投投影積聚聚為直線線，另兩兩個(gè)投影影應(yīng)為類類似形線線框。此此時(shí)可根根據(jù)投影影面垂直直面投影影的類似似性原理理，判斷斷出該截截平面在在空間和和另一個(gè)個(gè)投影的的特性，，根據(jù)該該投影特特性作圖圖。如圖圖5.25(a)所示的位位置為正正垂面的的截平面面，已知知投影為為正面投投影(積聚為直直線)和水平投投影(五邊形)，因此，，求作的的另一個(gè)個(gè)投影即即側(cè)面投投影也應(yīng)應(yīng)該為一一個(gè)類似似形線框框(五邊形)，如圖5.25(b)所示。(a)(b)圖5.25正垂面和和側(cè)平面面截切五五棱柱5.4平面與立立體相交交在作圖過過程中，，還應(yīng)該該注意整整理輪廓廓線(五棱柱的的最前和和最后兩兩個(gè)棱線線被正垂垂面截去去)，以及求求出兩截截平面之之間的交交線(正垂線)。5.4平面與立立體相交交5.4.2平面與曲曲面立體體相交平面與曲曲面立體體相交，，截交線線一般是是封閉的的平面曲曲線；在在特殊情情況下，，截交線線可能由由直線和和曲線或或完全由由曲線所所組成。。曲面立立體的形形狀不同同，截交交線相對(duì)對(duì)于立體體的位置置不同，，截交線線的形狀狀也不相相同。因因此，在在求作截截交線的的過程中中，首先先要判斷斷出截交交線段是是何種性性質(zhì)的曲曲線，再再根據(jù)實(shí)實(shí)際情況況使用相相應(yīng)的方方法如曲曲面立體體表面上上取點(diǎn)的的方法來來作圖。。1.平面與圓柱柱相交根據(jù)截平面面相對(duì)于圓圓柱軸線的的不同位置置，其截交交線有3種情況，見見表5-45.4平面與立體體相交截平面的位置與軸線垂直與軸線平行與軸線傾斜名稱圓兩平行直線橢圓立體圖視圖表5-4圓柱的截交交線5.4平面與立體體相交求作截交線線投影的步步驟一般有有以下3個(gè)過程：(1)求特殊點(diǎn)。。特殊點(diǎn)包包括兩類點(diǎn)點(diǎn)，①相交交曲線上的的特征點(diǎn)，，如圓的一一對(duì)垂直相相交的、分分別平行于于相應(yīng)投影影軸的直徑徑與該圓的的四個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)、橢圓長長、短軸上上的端點(diǎn)，，拋物線和和雙曲線上上的頂點(diǎn)和和兩個(gè)對(duì)稱稱的最低點(diǎn)點(diǎn)等；②相相交曲線上上的最高、、最低、最最左、最右右、最前和和最后點(diǎn)以以及回轉(zhuǎn)體體轉(zhuǎn)向輪廓廓線(即特殊素線線)上的點(diǎn)，這這些點(diǎn)往往往圍成了截截交線的大大致范圍。。要注意的的是，上述述這些特殊殊點(diǎn)并不是是截然分開開的，有時(shí)時(shí)一個(gè)特殊殊點(diǎn)同時(shí)兼兼有幾種性性質(zhì)。(2)求中間點(diǎn)。。在特殊點(diǎn)點(diǎn)求出后，，往往還不不能確定截截交線的形形狀，因此此應(yīng)根據(jù)需需要在特殊殊點(diǎn)之間插插入一些中中間點(diǎn)，以以便完成曲曲線的光滑滑連接。(3)判別可見性性，光滑連連接。5.4平面與立體體相交【例5.12】】如圖5.26(a)所示，為一一圓柱體被被一正垂面面相截，要要求畫出截截切后圓柱柱的側(cè)面投投影。分析與作圖圖：由于截截平面傾斜斜于圓柱的的軸線，因因此截交線線為一橢圓圓。由如圖圖5.26(a)所示可以看看出，截交交線的水平平投影和正正面投影均均具有積聚聚性，作圖圖步驟為：：(1)求特殊點(diǎn)。。如圖5.26(b)所示，Ⅰ和Ⅳ點(diǎn)為最左和和最右輪廓廓線上的點(diǎn)點(diǎn)，也是最最低點(diǎn)和最最高點(diǎn)，同同時(shí)也是空空間橢圓長長軸上的點(diǎn)點(diǎn)。Ⅱ點(diǎn)和Ⅲ點(diǎn)為最前和和最后輪廓廓線上的點(diǎn)點(diǎn)，同時(shí)也也是空間橢橢圓短軸上上的點(diǎn)。(2)求中間點(diǎn)。。Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ點(diǎn)為作圖需需要的中間間點(diǎn)?？筛鶕?jù)圓柱面面水平投影影具有積聚聚性，利用用點(diǎn)的投影影規(guī)律作圖圖。(3)判別可見性性，光滑連連接。在求求出這些點(diǎn)點(diǎn)的側(cè)面投投影后，可可以看出這這些點(diǎn)的側(cè)側(cè)面投影均均可見，光光滑連接后后，如圖5.26(b)所示。(4)整理輪廓線線。可以看看到，自Ⅱ點(diǎn)和Ⅲ點(diǎn)向上，圓圓柱最前和和最后輪廓廓線被切去去。5.4平面與立體體相交圖5.26正垂面與圓圓柱相交(a)(b)5.4平面與立體體相交2.平面與圓錐錐相交平面與圓錐錐相截，根根據(jù)截平面面與圓錐軸軸線的相對(duì)對(duì)位置，其其截交線有有五種情況況，見表5-5。截平面位置與軸線垂直與軸線傾斜且與所有素線相交平行于任一素線平行于軸線通過錐頂截交線名稱圓橢圓拋物線雙曲線兩相交直線(直素線)立體圖表5-5圓錐的截交交線5.4平面與立體體相交截平面位置與軸線垂直與軸線傾斜且與所有素線相交平行于任一素線平行于軸線通過錐頂投影圖(續(xù))5.4平面與立體體相交【例5.13】】如圖5.27(a)所示，為圓圓錐被正垂垂面所截，，求作截切切后圓錐的的水平投影影和側(cè)面投投影。(a)(b)圖5.27正垂面與圓圓錐相交5.4平面與立體體相交分析與作圖圖：由于正正垂面與圓圓錐的所有有素線都相相交，因此此截交線為為一橢圓。。對(duì)于橢圓圓，其特征征點(diǎn)應(yīng)該是是其長、短短軸的4個(gè)端點(diǎn)。由由圖5.27可明顯看出出，Ⅰ、Ⅱ點(diǎn)是長軸上上的兩點(diǎn)，，也是最高高點(diǎn)和最低低點(diǎn)，其正正面投影在在1′和2′。注意到橢橢圓的長、、短軸之間間垂直平分分，因此短短軸上的兩兩點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ的正面投影影3′和4′在1′、2′兩點(diǎn)連線的的中點(diǎn)處，，Ⅲ、Ⅳ同時(shí)也是最最前點(diǎn)和最最后點(diǎn)。Ⅴ、Ⅵ兩點(diǎn)為對(duì)W面轉(zhuǎn)向輪廓廓線上的兩兩點(diǎn)，其正正面投影在在5′、6′。兩點(diǎn)為一一般位置點(diǎn)點(diǎn)。整個(gè)作作圖步驟為為：(1)求特殊點(diǎn)。。這些特殊殊點(diǎn)包括Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ。已知這些些點(diǎn)的正面面投影，對(duì)對(duì)于轉(zhuǎn)向輪輪廓線上的的點(diǎn)可直接接利用投影影關(guān)系作圖圖。對(duì)于其其他非轉(zhuǎn)向向輪廓線上上的點(diǎn)，可可利用輔助助圓法作圖圖。(2)求中間點(diǎn)。。對(duì)于Ⅶ、Ⅷ可利用輔助助圓法作圖圖。(3)判別可見性性光滑連接接。對(duì)于水水平投影來來講，圓錐錐面上的點(diǎn)點(diǎn)都可見。。對(duì)側(cè)面投投影來講，，左半個(gè)圓圓錐面可見見，右半個(gè)個(gè)圓錐面不不可見。因因此Ⅰ、Ⅴ、Ⅵ三個(gè)點(diǎn)的側(cè)側(cè)面投影可可見，其他點(diǎn)的側(cè)側(cè)面投影不不可見。(4)整理輪廓線線。對(duì)于側(cè)側(cè)面投影來來說，從Ⅴ、Ⅵ兩點(diǎn)往上，，圓錐的最最前和最后后輪廓線被被截去。整整個(gè)作圖過過程如圖5.27(b)所示5.4平面與立體體相交3.平面與球相相交平面與球相相交，無論論平面與球球的相對(duì)位位置如何，，其截交線線都是圓。。但由于截截平面對(duì)投投影面的位位置不同，，所得到的的截交線(圓)的投影也不相相同。【例5.14】如圖5.28(a)所示，求作鉛鉛垂面與圓球球的截交線。。分析與作圖：：由于截平面面為鉛垂面，，所以截交線線(圓)的水平投影積積聚為一條直直線，而正面面投影和側(cè)面面投影均為橢橢圓。其作圖圖步驟如下所所述。(1)求特殊點(diǎn)。①①橢圓長、短短軸的端點(diǎn)：：點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ的正面投影1、2和側(cè)面投影1″、2″分別為V面和W面上橢圓短軸軸的端點(diǎn)；在在H面上，過球心心的水平投影影向1、2作垂線，垂足足為1、2的中點(diǎn)，此點(diǎn)點(diǎn)即為橢圓長長軸兩端點(diǎn)的的水平投影3、4利用輔助圓法法和點(diǎn)的投影影規(guī)律可求出出其正面投影影3′、4′和側(cè)面投影3″、4″；②特殊素線線圓上的點(diǎn)：：球面上對(duì)W面的轉(zhuǎn)向輪廓廓線與截平面面的交點(diǎn)為Ⅴ、Ⅵ，對(duì)V面的轉(zhuǎn)向輪廓廓線與截平面面的交點(diǎn)為Ⅶ、Ⅷ，這些點(diǎn)均可可利用各輪廓廓線的投影規(guī)規(guī)律求得。(2)求中間點(diǎn)。作作出若干中間間點(diǎn)以使投影影作圖更加準(zhǔn)準(zhǔn)確。(3)判別可見性并并光滑連接。。(4)整理輪廓線。。整個(gè)作圖過過程如圖5.28(b)所示。5.4平面與立體相相交(a)(b)圖5.28鉛垂面截切圓圓球5.4平面與立體相相交5.4.3截交線投影分分析綜合舉例例在實(shí)際應(yīng)用中中，立體被平平面所截的情情況是比較復(fù)復(fù)雜的。除了了被單一的平平面所截切之之外，還包括括單個(gè)立體被被多個(gè)截平面面所截、多個(gè)個(gè)立體組合后后被一個(gè)或多多個(gè)平面所截截等情況。因因此在求解截截交線投影的的過程中，關(guān)關(guān)鍵的一步是是準(zhǔn)確地分析析及判斷形體體。即首先要要根據(jù)所給條條件判斷被截截基本體的類類型及其投影影特性、截平平面與被截基基本體的相對(duì)對(duì)位置及與投投影面的相對(duì)對(duì)位置，從而而確定所求截截交線的空間間形狀和投影影形狀。下面面通過幾個(gè)例例子進(jìn)一步說說明。【例5.15】根據(jù)如圖5.29(a)所示物體的投投影，求作其其完整的水平平投影和側(cè)面面投影。分析與作圖：：首先根據(jù)所所給投影(如圖5.29(a)所示)可知，這是一一個(gè)軸線垂直直于W面的圓柱被一一水平面和一一正垂面所截截。對(duì)于位置置為水平面的的截平面，由由于其與圓柱柱的軸線平行行，所以截交交線應(yīng)為兩平平行軸線的直直線(即直素線)。對(duì)于位置為為正垂面的截截平面，由于于其與圓柱的的軸線傾斜，，但沒有完全全截切圓柱，，因此截交線線應(yīng)為橢圓弧弧。兩截平面面之間的交線線ⅣⅤ是一條正垂線線，也是上述述兩段截交線線的分界線；；交線的兩個(gè)個(gè)端點(diǎn)Ⅳ、Ⅴ正是上述兩段段交線的起點(diǎn)點(diǎn)和終點(diǎn)。為清楚起見，，作圖時(shí)可在在V面投影上標(biāo)出出特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的正面投影上上1′、2′(3′)、4′(5′)，根據(jù)圓柱側(cè)側(cè)面投影所具具有的積聚性性，求出其水水平投影。作作出各點(diǎn)的投投影后，判別別可見性，光光滑連接。最最后注意整理理輪廓線，以以及截平面之之間的交線(正垂線)。整個(gè)作圖過過程如圖5.29(b)所示。5.4平面與立體相相交(a)(b)圖5.29水平面和正垂垂面截切圓柱柱5.4平面與立體相相交【例5.16】根據(jù)如圖5.30(a)所示的立體，，求作其完整整的水平投影影和側(cè)面投影影。分析與作圖：：很明顯，這這是一個(gè)軸線線垂直于H面的正圓錐被被兩個(gè)正垂面面所截。對(duì)照照前述圓錐截截交線的五種種情況，對(duì)于于過錐頂?shù)恼姑妫浣亟亟痪€應(yīng)為過過錐頂?shù)膬蓷l條直素線。因因此只要利用用輔助圓法求求出Ⅶ、Ⅷ的水平投影和和側(cè)面投影，，連接錐頂和和Ⅶ、Ⅷ的同面投影即即可作出截交交線的兩面投投影。而另一個(gè)正垂垂面的截平面面，由于其與與圓錐的軸線線傾斜，延長長后與圓錐的的所有素線相相交，因此截截交線應(yīng)為橢橢圓連線弧(沒有完全截切切圓錐)。在V面上延長該截截平面與圓錐錐的最右輪廓廓線相交于2′點(diǎn)。取1′、2′的中點(diǎn)3′(4′)為橢圓短軸上上兩點(diǎn)的正面面投影，同時(shí)時(shí)也為該橢圓圓上的最前點(diǎn)點(diǎn)和最后點(diǎn)。。Ⅴ和Ⅵ為圓錐面上最最前和最后輪輪廓線上的兩兩點(diǎn)。利用輔輔助圓法和圓圓錐輪廓線上上點(diǎn)的投影特特性，可以求求出這些點(diǎn)的的另外兩個(gè)投投影。Ⅸ、Ⅹ兩點(diǎn)為中間點(diǎn)點(diǎn)，可用輔助助圓法求出其其另外兩個(gè)投投影。在求出出特殊點(diǎn)和中中間點(diǎn)后，判判別可見性并并光滑連接。。整理輪廓線。?？梢钥闯鲈谠赪面上，Ⅴ和Ⅵ點(diǎn)以上的圓錐錐的最前和最最后輪廓線被被截去。最后后注意兩個(gè)截截平面之間的的交線及其可可見性，整個(gè)個(gè)作圖過程如如圖5.30(b)所示。5.4平面與立體相相交圖5.30水平面和正垂垂面截切圓柱柱5.4平面與立體相相交【例5.17】如圖5.31(a)所示，組合回回轉(zhuǎn)體被一水水平面和一正正垂面所截，，求作其完整整的水平投影影和側(cè)面投影影。分析與作圖：：從投影圖可可以看出該組組合回轉(zhuǎn)體左左邊的半球和和右邊的圓柱柱相切而成。。截平面為一一個(gè)水平面和和一個(gè)正垂面面。其中，水水平面同時(shí)截截切半球和圓圓柱的一部分分，正垂面只只截切圓柱。。水平面與半半球相截，截截交線為一半半圓，該半圓圓的水平投影影反應(yīng)實(shí)形，，側(cè)面投影積積聚為直線。。水平面與圓圓柱相截，截截交線為兩條條相互平行的的直線。正垂面與圓柱柱相截，由于于該正垂面與與圓柱的軸線線傾斜，且沒沒有與圓柱完完全相截，截截交線為橢圓圓弧。可利用用圓柱面上取取點(diǎn)的方法求求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ這5個(gè)點(diǎn)的水平投投影和側(cè)面投投影。注意兩兩個(gè)截平面之之間的交線，，交線為正垂垂線。整個(gè)作作圖過程如圖圖5.31(b)所示。5.4平面與立體相相交(a)(b)圖5.31組合回轉(zhuǎn)體被被截5.4平面與立體相相交工程零件上常常見的還有一一類帶切口的的基本體，其其立體形狀與與三面投影見見表5-6。實(shí)心圓柱含軸線切槽實(shí)心圓柱兩邊切槽空心圓柱含軸線切槽空心圓柱兩邊切槽表5-6常見的帶切口口基本體的投投影5.4平面與立體相相交5.4.4使用CAD系統(tǒng)產(chǎn)生截交交線在AutoCAD中，可以使用用“截面”(SECTION)命令獲得實(shí)體體模型在任意意位置被截平平面截交產(chǎn)生生的截交線(實(shí)質(zhì)上，AutoCAD使用定義的截截平面和實(shí)體體的交集創(chuàng)建建一個(gè)面域)。在選定了被截截對(duì)象后，系系統(tǒng)提供了很很多選項(xiàng)來定定義截平面，，如指定截面面上的3個(gè)點(diǎn)、或依照照對(duì)象(O)/Z軸(Z)/視圖(V)/XY平面(XY)/YZ平面(YZ)/ZX平面(ZX)等方式來定義義截平面，這這里僅介紹常常用的幾種定定義方式。1)三點(diǎn)(3)通過不在一條條直線上的3個(gè)點(diǎn)來定義一一個(gè)截平面，，如圖5.32所示圖5.32三點(diǎn)定義截平平面圖5.33Z軸定義截平面面5.4平