§1.1隨機事件及其運算§1.2概率的定義及其確定方法§1.3概率的性質(zhì)§1.4條件概率§1.5獨立性

第一章隨機事件與概率§1.1隨機事件及其運算第一章隨機事件與概率2.

隨機現(xiàn)象1.1.1隨機現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象1.

確定性現(xiàn)象

每天早晨太陽從東方升起;

水在標準大氣壓下加溫到100oC沸騰;

擲一枚硬幣，正面朝上？反面朝上？

一天內(nèi)進入某超市的顧客數(shù);

某種型號電視機的壽命;§1.1

隨機事件及其運算2.隨機現(xiàn)象1.1.1隨機現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象11.1.1隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.特點：1.結(jié)果不止一個;2.事先不知道哪一個會出現(xiàn).隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性：隨機現(xiàn)象的各種結(jié)果會表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為

統(tǒng)計規(guī)律性.1.1.1隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相1.

隨機試驗

(E)——

對隨機現(xiàn)象進行的實驗與觀察.

它具有兩個特點：隨機性、重復性.2.

樣本點

——隨機試驗的每一個可能結(jié)果.3.

樣本空間(Ω)

——

隨機試驗的所有樣本點構(gòu)成的集合.

4.

兩類樣本空間：

離散樣本空間

樣本點的個數(shù)為有限個或可列個.

連續(xù)樣本空間

樣本點的個數(shù)為無限不可列個.1.1.2樣本空間1.隨機試驗(E)——對隨機現(xiàn)象進行的實驗與觀察.21.

隨機事件

——

某些樣本點組成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集.

5.

隨機變量

表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量.

常用大寫字母X、Y、Z…表示.2.

基本事件

——Ω的單點集.1.1.3隨機事件1.隨機事件——某些樣本點組成的集合,3.必然事件表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量.常用大寫字母X、Y、Z…表示.1.1.4隨機變量表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量.1.1.4隨機變量在試驗中，A中某個樣本點出現(xiàn)了，就說A

出現(xiàn)了、發(fā)生了，記為A.維恩圖

(Venn).事件的三種表示用語言、用集合、用隨機變量.事件的表示在試驗中，A中某個樣本點出現(xiàn)了，事件的表示包含關(guān)系：

A

B,

A

發(fā)生必然導致

B

發(fā)生.相等關(guān)系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同時發(fā)生.1.1.5

事件間的關(guān)系包含關(guān)系：AB,1.1.5事件間的關(guān)系解：1)顯然，B發(fā)生必然導致A發(fā)生，所以BA;.

2)又因為A發(fā)生必然導致B發(fā)生，所以AB，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a個白球、b個黑球，從中一個一個不返回地取球。A=“取到最后一個是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。問A

與B

的關(guān)系？解：1)顯然，B發(fā)生必然導致A發(fā)生，所以BA;.并：

A

B

A

與

B

至少有一發(fā)生

交：

A

B=AB

A

與

B

同時發(fā)生

差：

A

B

A發(fā)生但

B不發(fā)生

對立：

A

不發(fā)生1.1.6

事件的運算并：AB事件運算的圖示

A

B

A

B

A

B

事件運算的圖示ABABAB德莫根公式德莫根公式

記號

概率論

集合論

Ω

樣本空間,必然事件空間

φ

不可能事件空集

樣本點

元素

AB

A發(fā)生必然導致B發(fā)生A是B的子集

AB=φ

A與B互不相容A與B無相同元素

AB

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時發(fā)生

A與B的交集

AB

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對立事件A的余集記號概率論集合論

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意點(1)基本事件互不相容，基本事件之并=Ω注意點(1)注意點(2)注意點(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1A2

……An=Ω

則稱A1，A2，……，An

為Ω的一組分割.樣本空間的分割若A1，A2，……，An有樣本空間的分割1.若A是B的子事件，則

AB=()，AB=()2.設

A與B同時出現(xiàn)時

C也出現(xiàn)，則(

)

①

AB是

C的子事件；

②

C是

AB的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.課堂練習③BA1.若A是B的子事件，則2.設A與B同時3.

設事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則A的對立事件為（）①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.4.設x

表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質(zhì)點位置，試說明下列各對事件間的關(guān)系①A={|xa|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④AB相容不相容3.設事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，5.試用A、B、C表示下列事件：①A出現(xiàn)；②僅A出現(xiàn)；③恰有一個出現(xiàn)；④至少有一個出現(xiàn)；⑤至多有一個出現(xiàn)；⑥都不出現(xiàn)；⑦不都出現(xiàn)；⑧至少有兩個出現(xiàn)；5.試用A、B、C表示下列事件：

設Ω為樣本空間，F(xiàn)

是由Ω的子集組成的集合類，若F滿足以下三點,則稱F為事件域1.1.7

事件域1.ΩF;2.

若AF

，則F;3.若AnF

，n=1,2,…,

則F.設Ω為樣本空間，F(xiàn)是由Ω的子集組成的集合1.1.7直觀定義

——

事件A出現(xiàn)的可能性大小.統(tǒng)計定義

——

事件A在大量重復試驗下出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法直觀定義——事件A出現(xiàn)的可能性大小.§1.2概率的非負性公理：

P(A)0;正則性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，則1.2.1

概率的公理化定義非負性公理：P(A)0;1.2.1概率的公理化定義從n

個元素中任取r

個，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!=1.重復排列：nr選排列：1.2.2

排列與組合公式從n個元素中任取r個，求取法數(shù).1.2.2排列與組合組合：重復組合：組合組合：重復組合：

求排列、組合時，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.注意求排列、組合時，要掌握和注意：注意加法原理

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n

類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n

步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.加法原理完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中隨機試驗可大量重復進行.1.2.3

確定概率的頻率方法進行n次重復試驗，記n(A)為事件A的頻數(shù)，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會穩(wěn)定于某一常數(shù)(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率.隨機試驗可大量重復進行.1.2.3確定概率的頻率方法進行

古典方法設為樣本空間，若①只含有限個樣本點;②每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點的個數(shù)/樣本點總數(shù)1.2.4

確定概率的古典方法古典方法設為樣本空間，若1.2.拋一枚硬幣三次拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此樣本空間中的樣本點等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此樣本空間中的樣本點不等可能.注意拋一枚硬幣三次拋三枚硬幣一次注意例1.2.1

六根草，頭兩兩相接、尾兩兩相接。求成環(huán)的概率.解：用乘法原則直接計算所求概率為例1.2.1六根草，頭兩兩相接、解：用乘法原則直接計算所n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n個人圍一圓桌坐，解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐n個人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請與上一題作比較)解：1)先考慮樣本空間的樣本點數(shù)：甲先坐、乙后坐，則共有n(n1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n2)個位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n2)種可能。由此得所求概率為：例1.2.3n個人坐成一排，解：1)先考慮樣本空間的樣本點數(shù)：例1.21.2.5

確定概率的幾何方法

若①樣本空間充滿某個區(qū)域，其度量(長度、面積、體積)為S；

②落在中的任一子區(qū)域A的概率，只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)，而與子區(qū)域的位置無關(guān)(等可能的).

則事件A的概率為:P(A)=SA

/S1.2.5確定概率的幾何方法若①樣本空間幾何方法的例子

例1.2.3

蒲豐投針問題平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率.幾何方法的例子例1.2.3蒲豐投針問題蒲豐投針問題(續(xù)1)解：以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以表示針與此直線間的交角.

易知樣本空間滿足：0x

d/2;0

.形成x-平面上的一個矩形，其面積為：S=d(/2).

蒲豐投針問題(續(xù)1)解：以x表示針的中點與最近一條平行線的蒲豐投針問題(續(xù)2)

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

l

sin(/2).

針是任意投擲的，所以這個問題可用幾何方法求解得蒲豐投針問題(續(xù)2)A=“針與平行線相交”的由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實際去做N次試驗，得n次針與平行線相交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：2lN/(dn).歷史上有一些實驗數(shù)據(jù).的隨機模擬由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一個邊長為a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形與平行線相交的概率．分析：三角形與平行線相交有以下三種情況：

1)

一個頂點在平行線上;

2)

一條邊與平行線重合;

3)

兩條邊與平行線相交.前兩種情況出現(xiàn)的概率為零.所以只要去確定兩條邊與平行線相交的概率.蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab,ac,bc,

a,b,c與平行線相交的概率，則所求概率為

p=P(三角形與平行線相交)=Pab+Pac+Pbc.

由蒲豐投針問題知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),Pc=2c/(d).

因為Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc

所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),

由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d).解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab

性質(zhì)1.3.1

P(φ)=0.

注意:

逆不一定成立.§1.3

概率的性質(zhì)性質(zhì)1.3.1P(φ)=0.§1.3概率的性質(zhì)1.3.2(有限可加性)

若AB=φ，則P(AB)=P(A)+P(B).

可推廣到n個互不相容事件.性質(zhì)1.3.3(對立事件公式)

P()=1P(A).1.3.1

概率的可加性性質(zhì)1.3.2(有限可加性)1.3.1概率的可加性性質(zhì)1.3.4

若AB，則P(AB)=P(A)P(B)；若AB，則P(A)P(B).性質(zhì)1.3.5

P(AB)=P(A)P(AB).1.3.2

概率的單調(diào)性性質(zhì)1.3.41.3.2概率的單調(diào)性(6)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)1.3.3

概率的加法公式(6)P(AB)=P(A)+P(B)P(A

AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求B

的對立事件的概率。解：由P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1

得P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，

所以P()=10.2=0.8.AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，解：由例1.3.2解：因為P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4+0.30.6=0.1

所以P(AB)=P(A)P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求

P(AB).

例1.3.2解：因為P(AB)=P(A)P(AB)例1.3.3解：因為A、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.例1.3.3解：因為A、B、C都不出現(xiàn)的概率為=1P(口袋中有n1個黑球、1個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用對立事件解：記A為“第k次取到黑球”，則A的對立事件為“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味著：“第1次……第k1次取到黑球，而第k次取到白球”口袋中有n1個黑球、1個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，思考題

口袋中有2個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.

求第k次取到黑球的概率.思考題口袋中有2個白球，每次從口袋中隨例1.3.4解：用對立事件進行計算,記A=“至少出現(xiàn)一次6點”，則所求概率為

一顆骰子擲4次，求至少出現(xiàn)一次6點的概率.例1.3.4解：用對立事件進行計算,記A=“至少出現(xiàn)一次6例1.3.5解：記B=“至少出現(xiàn)一次雙6點”，則所求概率為

兩顆骰子擲24次，求至少出現(xiàn)一次雙6點的概率.例1.3.5解：記B=“至少出現(xiàn)一次雙6點”，則所求概從1,2,……,9中返回取n次，求取出的n個數(shù)的乘積能被10整除的概率.利用對立事件和加法公式解：因為“乘積能被10整除”意味著：

“取到過5”(記為A)且“取到過偶數(shù)”(記為B)。因此所求概率為P(AB).利用對立事件公式、德莫根公式和加法公式從1,2,……,9中返回取n次，利用對立事件和加法公甲擲硬幣n+1次，乙擲n次.(習題1.3第10題)求甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率.

利用對稱性解：記甲正=甲擲出的正面數(shù)，乙正=乙擲出的正面數(shù).

甲反=甲擲出的反面數(shù)，乙反=乙擲出的反面數(shù).因為

P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反乙反)=1P(甲正>乙正)(對稱性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正>乙正)=1/2甲擲硬幣n+1次，乙擲n次.(習題1.3第10題)利用N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、NM個合格品.(口袋中有M個白球，NM個黑球)常見模型(1)

——

不返回抽樣從中不返回任取n個,則此n個中有m個不合格品的概率為：此模型又稱超幾何模型.

nN,mM,

nmNM.N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、NM個合格品.常見模型(1)口袋中有5

個白球、7個黑球、4個紅球.從中不返回任取3

個.求取出的3

個球為不同顏色的球的概率.思考題口袋中有5個白球、7個黑球、4個紅球.思考題購買：從01，……，35中選7個號碼.開獎：7個基本號碼，1個特殊號碼.

彩票問題——幸運35選7購買：從01，……，35中選7個號碼.彩票問題——幸運35中獎規(guī)則

1)7個基本號碼

2)6個基本號碼+1個特殊號碼

3)6個基本號碼

4)5個基本號碼+1個特殊號碼

5)5個基本號碼

6)4個基本號碼+1個特殊號碼

7)4個基本號碼，或3個基本號碼+1個特殊號碼

中獎規(guī)則1)7個基本號碼中獎概率中所含樣本點個數(shù)：將35個號分成三類：

7個基本號碼、1個特殊號碼、27個無用號碼記pi

為中i等獎的概率。利用抽樣模型得：

中獎概率中所含樣本點個數(shù)：將35個號分成三類：中獎概率如下：不中獎的概率為：

p0=1p1p2p3p4p5p6p7中獎概率如下：不中獎的概率為：

N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、NM個合格品.

從中有返回地任取n個.則此n個中有m個不合格品的概率為：常見模型(2)——返回抽樣條件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、NM個合格品.常見模型(2n個不同球放入N個不同的盒子中.每個盒子中所放球數(shù)不限.求恰有n個盒子中各有一球的概率(nN)

常見模型(3)

——

盒子模型n個不同球放入N個不同的盒子中.常見模型(3)——求n個人中至少有兩人生日相同的概率.看成n個球放入N=365個盒子中.P(至少兩人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少兩人生日相同)=生日問題p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

求n個人中至少有兩人生日相同的概率.生日問題p20=0.4n個人、n頂帽子，任意取，至少一個人拿對自己帽子的概率.記Ai

=“第i

個人拿對自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1A2……An)，不可用對立事件公式.用加法公式：常見模型(4)——

配對模型n個人、n頂帽子，任意取，至少一個人拿對自己帽子的概率.P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(n1)(n2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1A2……An)=

配對模型(續(xù))P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1因為概率是事件(集合)的函數(shù)，所以先討論事件(集合)的“極限”

.本節(jié)給出可列可加性的充要條件.1.3.4

概率的連續(xù)性因為概率是事件(集合)的函數(shù)，1.3.4概率的連續(xù)性若事件序列{Fn}滿足：F1F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調(diào)不減事件序列，其極限事件為事件序列的極限若事件序列{Fn}滿足：F1F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調(diào)不增事件序列，其極限事件為若事件序列{Fn}滿足：F1F2…Fn

設P(·)是一個集合函數(shù)，

(1)

若任對單調(diào)不減集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是下連續(xù)的.集合函數(shù)的連續(xù)性

(2)若任對單調(diào)不增集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是上連續(xù)的.

設P(·)是一個集合函數(shù)，集合函數(shù)的連續(xù)性(2)

性質(zhì)1.3.7

若P(·)是事件域F上的一個概率函數(shù)，

則P(·)既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.概率的連續(xù)性性質(zhì)1.3.7概率的連續(xù)性性質(zhì)1.3.8若P(·)是事件域F上滿足：非負、正則的集合函數(shù)，則P(·)有可列可加性的充要條件是它具有有限可加性和下連續(xù)性.可列可加性的充要條件性質(zhì)1.3.8可列可加性的充要條件問題的提出：

1)10個人摸彩，有3張中彩.

問：第1個人中彩的概率為多少？第2個人中彩的概率為多少？

2)10個人摸彩，有3張中彩.

問：已知第l個人沒摸中，第2個人中彩的概率為多少？§1.4

條件概率問題的提出：§1.4條件概率

定義1.4.1

對于事件A、B，若P(B)>0，則稱P(A|B)=P(AB)/P(B)

為在B

出現(xiàn)的條件下，A

出現(xiàn)的條件概率.1.4.1

條件概率的定義定義1.4.11.4.1條件概率的定義

1)

縮減樣本空間：將縮減為B=B.

2)

用定義：

P(A|B)=P(AB)/P(B).條件概率P(A|B)的計算條件概率P(A|B)的計算10個產(chǎn)品中有7個正品、3個次品，從中不放回地抽取兩個，已知第一個取到次品，求第二個又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：設A={第一個取到次品}，

B={第二個取到次品}，例1.4.110個產(chǎn)品中有7個正品、3個次品，從中P(B|A)條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.由此得：

P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；

若A與B互不相容，則P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).條件概率是概率條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.條件概率是概率P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注意點注意點(1)

設P(B)＞0，且AB，則下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,

則P(B)=().課堂練習(1)設P(B)＞0，且AB，則下列必然成立的是(乘法公式;全概率公式；貝葉斯公式.條件概率的三大公式條件概率的三大公式性質(zhì)1.4.2

(1)若

P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，則

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2

乘法公式性質(zhì)1.4.21.4.2乘法公式乘法公式主要用于求幾個事件同時發(fā)生的概率.一批零件共有100個，其中10個不合格品。從中一個一個不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：記Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的應用乘法公式主要用于求幾個事件同時發(fā)生的概率.乘法公式的應用性質(zhì)1.4.3

若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(Bi)>0，則1.4.3

全概率公式性質(zhì)1.4.31.4.3全概率公式全概率公式用于求復雜事件的概率.使用全概率公式關(guān)鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間.全概率公式最簡單的形式：注意點(1)全概率公式用于求復雜事件的概率.注意點(1)若事件B1,B2,

······,Bn是互不相容的，且

P(Bi)>0，注意點(2)

則由可得

若事件B1,B2,······,Bn是互不相容的，且

設10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中不放回地取兩次，每次一件，求取出的第二件為不合格品的概率。解：設A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例1.4.2設10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中解：設An張彩票中有一張中獎，從中不返回地摸取，記Ai為“第i次摸到中獎券”，則

(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式計算得P(A2)=1/n.

(3)可用歸納法計算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n張彩票中有一張中獎，從中不返回地摸摸彩模n張彩票中有k張中獎，從中不返回地摸取，記Ai

為“第i次摸到獎券”，則

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n結(jié)論：不論先后，中彩機會是一樣的.摸彩模型(續(xù))n張彩票中有k張中獎，從中不返回地摸取，摸彩模型

口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情況下，求第k次取出的是白球的概率：

(1)從中一只一只返回取球；

(2)從中一只一只不返回取球；

(3)從中一只一只返回取球，且返回的同時再加入一只同色球.思考題口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情況下，思考

罐中有b

個黑球、r

個紅球，每次從中任取一個，取出后將球放回，再加入c

個同色球和d

個異色球.(1)當c=1,d=0時，為不返回抽樣.(2)當c=0,d=0時，為返回抽樣.(3)當c>0,d=0時，為傳染病模型.(4)當c=

0,d>0時，為安全模型.波利亞罐子模型罐中有b個黑球、r個紅球，每次從中任取一個，取

記

pk(b,r)為“口袋中有b個黑球、r個紅球時，第k

次取出黑球”的概率，k=1,2,……(1)當c=1,d=0時為不返回抽樣，所以由摸彩模型得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(2)當c=0,d=0時為返回抽樣，所以

pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(3)當c>0,d=0時，為傳染病模型。此時pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……波利亞罐子模型(續(xù))記pk(b,r)為“口袋中有b個黑球、r個紅甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.從甲口袋任取一球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.概率為：全概率公式的例題甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、全概率公式的例甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.從甲口袋任取兩球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙兩口袋的球數(shù)不同，如果兩口袋裝的黑、白球個數(shù)都相同，則情況又如何？思考題甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑要調(diào)查“敏感性”問題中某種比例p；兩個問題：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考試作弊？拋硬幣回答A或B.答題紙上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”問題.敏感性問題的調(diào)查要調(diào)查“敏感性”問題中某種比例p；敏感性問題的調(diào)查乘法公式是求“幾個事件同時發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果”，求“原因”的概率.1.4.4

貝葉斯公式1.4.4貝葉斯公式

某人從甲地到乙地，乘飛機、火車、汽車遲到的概率分別為0.1、0.2、0.3，他等可能地選擇這三種交通工具。若已知他最后遲到了，求他分別是乘飛機、火車、汽車的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“結(jié)果”

，求“原因”已知“結(jié)果”，求“原因”若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

若事件B1,B2,······,Bn是樣本空間的一

1)B1,B2,...,Bn可以看作是導致A發(fā)生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下,

某個原因Bj

發(fā)生的概率,

稱為“后驗概率”;

3)Bayes公式又稱為“后驗概率公式”或“逆概公式”;4)稱P(Bj)為“先驗概率”.注意點1)B1,B2,...,Bn可以看作是導致A例1.4.3某商品由三個廠家供應，其供應量為：甲廠家是乙廠家的2倍；乙、丙兩廠相等。各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%.若從市場上隨機抽取一件此種商品，發(fā)現(xiàn)是次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率?

解：用1、2、3分別記甲、乙、丙廠，設

Ai

=“取到第i

個工廠的產(chǎn)品”，B=“取到次品”，由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；

P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:例1.4.3某商品由三個廠家供應，其供應量為：甲廠家是乙

口袋中有一只球，不知它是黑的還是白的?，F(xiàn)再往口袋中放入一只白球，然后從口袋中任意取出一只，發(fā)現(xiàn)是白球。試問口袋中原來的那只球是白球的可能性多大？課堂練習2/3口袋中有一只球，不知它是黑的還是白的?，F(xiàn)再往口袋中放

事件的獨立性

直觀說法：對于兩事件，若其中任何一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生，

則這兩事件是獨立的.P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)

=P(A)P(B)§1.5

獨立性事件的獨立性§1.5獨立性定義1.5.1

若事件A

與B

滿足：P(AB)=P(A)P(B),

則稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立.結(jié)論

A、B為兩個事件，若P(A)>0,則

A與B

獨立等價于

P(B|A)=P(B).性質(zhì)1.5.1

若事件A與B獨立，則

A與獨立、與B獨立、與獨立.1.5.1

兩個事件的獨立性定義1.5.1若事件A與B滿足：1.5.1兩

實際應用中，往往根據(jù)經(jīng)驗來判斷兩個事件的獨立性：例如

返回抽樣、甲乙兩人分別工作、重復試驗等.事件獨立性的判斷實際應用中，往往根據(jù)經(jīng)驗來判斷兩個事件事件獨立性的判1.5.2

多個事件的相互獨立性對于A、B、C三個事件，稱滿足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

為A、B、C兩兩獨立.稱滿足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

為A、B、C三三獨立.定義1.5.3

若事件A1,A2,……,An滿足：兩兩獨立、三三獨立、……、n

n獨立則稱A1,A2,……,An

相互獨立.1.5.2多個事件的相互獨立性對于A、B、C三個事件

若A、B、C相互獨立，則AB與C獨立,AB與C獨立,AB與C獨立.一些結(jié)論若A、B、C相互獨立，則一些結(jié)論

例1.5.1

兩射手獨立地向同一目標射擊一次，其命中率分別為0.9和0.8，求目標被擊中的概率.解:

設A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目標被擊中”,所以解法i)

P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.80.90.8=0.98.解法ii)

用對立事件公式

P(C)=P(AB)=1(10.9)(10.8)=10.02=0.98.例1.5.1兩射手獨立地向同一目標射擊一次，其解:

例1.5.2

甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.7，現(xiàn)已知目標被擊中，求它是甲擊中的概率.。解:設A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目標被擊中”,所以

P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)]=0.6/0.88=15/22例1.5.2甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊解:設A

例1.5.3

兩射手輪流對同一目標進行射擊，甲先射，誰先擊中則得勝。每次射擊中，甲、乙命中目標的概率分別為和，求甲得勝的概率。解:

因為P(甲勝)=+(1)(1)P(甲勝)所以P(甲勝)=/[1(1)(1)].例1.5.3兩射手輪流對同一目標進行射擊，甲先射，解

例1.5.4

口袋中有3個白球、5個黑球，甲、乙兩人輪流從口袋中有返回地取一球，甲先取.

誰先取到白球為勝，求甲勝的概率.解：P(甲勝)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲勝)所以P(甲勝)=8/13.例1.5.4口袋中有3個白球、5個黑球，甲、乙解：P(

例1.5.5

元件工作獨立，求系統(tǒng)正常工作的概率.

記Ai=“第i個元件正常工作”，pi=P(Ai).(1)兩個元件的串聯(lián)系統(tǒng)：P(A1A2)=p1p2(2)兩個元件的并聯(lián)系統(tǒng)：

P(A1A2)=p1+

p2p1p2=1(1p1)(1p2)(3)五個元件的橋式系統(tǒng)：用全概率公式

p3(p1+

p4p1p4)(p2+

p5p2p5)+(1p3)(p1p2+

p4p5p1p2p4p5)例1.5.5元件工作獨立，求系統(tǒng)正常工作的概率.(1)

若試驗E1的任一結(jié)果與試驗E2的任一結(jié)果都是相互獨立的事件，則稱這兩個

試驗相互獨立，或稱獨立試驗.1.5.3

試驗的獨立性若試驗E1的任一結(jié)果與試驗E2的任一1.5.3試驗

伯努里試驗：

若某種試驗只有兩個結(jié)果

(成功、失??；黑球、白球；正面、反面)，則稱這個試驗為伯努里試驗.

在伯努里試驗中，一般記“成功”的概率為p.

n重伯努里試驗：

n次獨立重復的伯努里試驗.n

重伯努里試驗伯努里試驗：n重伯努里試驗在n

重伯努里試驗中，記成功的次數(shù)為X.X的可能取值為：0，1，……，n.X取值為k

的概率為：n

重伯努里試驗成功的次數(shù)在n重伯努里試驗中，記成功的次數(shù)為X.n重伯努里試驗成功§1.1隨機事件及其運算§1.2概率的定義及其確定方法§1.3概率的性質(zhì)§1.4條件概率§1.5獨立性

第一章隨機事件與概率§1.1隨機事件及其運算第一章隨機事件與概率2.

隨機現(xiàn)象1.1.1隨機現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象1.

確定性現(xiàn)象

每天早晨太陽從東方升起;

水在標準大氣壓下加溫到100oC沸騰;

擲一枚硬幣，正面朝上？反面朝上？

一天內(nèi)進入某超市的顧客數(shù);

某種型號電視機的壽命;§1.1

隨機事件及其運算2.隨機現(xiàn)象1.1.1隨機現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象11.1.1隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.特點：1.結(jié)果不止一個;2.事先不知道哪一個會出現(xiàn).隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性：隨機現(xiàn)象的各種結(jié)果會表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為

統(tǒng)計規(guī)律性.1.1.1隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相1.

隨機試驗

(E)——

對隨機現(xiàn)象進行的實驗與觀察.

它具有兩個特點：隨機性、重復性.2.

樣本點

——隨機試驗的每一個可能結(jié)果.3.

樣本空間(Ω)

——

隨機試驗的所有樣本點構(gòu)成的集合.

4.

兩類樣本空間：

離散樣本空間

樣本點的個數(shù)為有限個或可列個.

連續(xù)樣本空間

樣本點的個數(shù)為無限不可列個.1.1.2樣本空間1.隨機試驗(E)——對隨機現(xiàn)象進行的實驗與觀察.21.

隨機事件

——

某些樣本點組成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集.

5.

隨機變量

表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量.

常用大寫字母X、Y、Z…表示.2.

基本事件

——Ω的單點集.1.1.3隨機事件1.隨機事件——某些樣本點組成的集合,3.必然事件表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量.常用大寫字母X、Y、Z…表示.1.1.4隨機變量表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量.1.1.4隨機變量在試驗中，A中某個樣本點出現(xiàn)了，就說A

出現(xiàn)了、發(fā)生了，記為A.維恩圖

(Venn).事件的三種表示用語言、用集合、用隨機變量.事件的表示在試驗中，A中某個樣本點出現(xiàn)了，事件的表示包含關(guān)系：

A

B,

A

發(fā)生必然導致

B

發(fā)生.相等關(guān)系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同時發(fā)生.1.1.5

事件間的關(guān)系包含關(guān)系：AB,1.1.5事件間的關(guān)系解：1)顯然，B發(fā)生必然導致A發(fā)生，所以BA;.

2)又因為A發(fā)生必然導致B發(fā)生，所以AB，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a個白球、b個黑球，從中一個一個不返回地取球。A=“取到最后一個是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。問A

與B

的關(guān)系？解：1)顯然，B發(fā)生必然導致A發(fā)生，所以BA;.并：

A

B

A

與

B

至少有一發(fā)生

交：

A

B=AB

A

與

B

同時發(fā)生

差：

A

B

A發(fā)生但

B不發(fā)生

對立：

A

不發(fā)生1.1.6

事件的運算并：AB事件運算的圖示

A

B

A

B

A

B

事件運算的圖示ABABAB德莫根公式德莫根公式

記號

概率論

集合論

Ω

樣本空間,必然事件空間

φ

不可能事件空集

樣本點

元素

AB

A發(fā)生必然導致B發(fā)生A是B的子集

AB=φ

A與B互不相容A與B無相同元素

AB

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時發(fā)生

A與B的交集

AB

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對立事件A的余集記號概率論集合論

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意點(1)基本事件互不相容，基本事件之并=Ω注意點(1)注意點(2)注意點(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1A2

……An=Ω

則稱A1，A2，……，An

為Ω的一組分割.樣本空間的分割若A1，A2，……，An有樣本空間的分割1.若A是B的子事件，則

AB=()，AB=()2.設

A與B同時出現(xiàn)時

C也出現(xiàn)，則(

)

①

AB是

C的子事件；

②

C是

AB的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.課堂練習③BA1.若A是B的子事件，則2.設A與B同時3.

設事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則A的對立事件為（）①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.4.設x

表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質(zhì)點位置，試說明下列各對事件間的關(guān)系①A={|xa|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④AB相容不相容3.設事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，5.試用A、B、C表示下列事件：①A出現(xiàn)；②僅A出現(xiàn)；③恰有一個出現(xiàn)；④至少有一個出現(xiàn)；⑤至多有一個出現(xiàn)；⑥都不出現(xiàn)；⑦不都出現(xiàn)；⑧至少有兩個出現(xiàn)；5.試用A、B、C表示下列事件：

設Ω為樣本空間，F(xiàn)

是由Ω的子集組成的集合類，若F滿足以下三點,則稱F為事件域1.1.7

事件域1.ΩF;2.

若AF

，則F;3.若AnF

，n=1,2,…,

則F.設Ω為樣本空間，F(xiàn)是由Ω的子集組成的集合1.1.7直觀定義

——

事件A出現(xiàn)的可能性大小.統(tǒng)計定義

——

事件A在大量重復試驗下出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法直觀定義——事件A出現(xiàn)的可能性大小.§1.2概率的非負性公理：

P(A)0;正則性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，則1.2.1

概率的公理化定義非負性公理：P(A)0;1.2.1概率的公理化定義從n

個元素中任取r

個，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!=1.重復排列：nr選排列：1.2.2

排列與組合公式從n個元素中任取r個，求取法數(shù).1.2.2排列與組合組合：重復組合：組合組合：重復組合：

求排列、組合時，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.注意求排列、組合時，要掌握和注意：注意加法原理

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n

類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n

步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.加法原理完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中隨機試驗可大量重復進行.1.2.3

確定概率的頻率方法進行n次重復試驗，記n(A)為事件A的頻數(shù)，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會穩(wěn)定于某一常數(shù)(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率.隨機試驗可大量重復進行.1.2.3確定概率的頻率方法進行

古典方法設為樣本空間，若①只含有限個樣本點;②每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點的個數(shù)/樣本點總數(shù)1.2.4

確定概率的古典方法古典方法設為樣本空間，若1.2.拋一枚硬幣三次拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此樣本空間中的樣本點等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此樣本空間中的樣本點不等可能.注意拋一枚硬幣三次拋三枚硬幣一次注意例1.2.1

六根草，頭兩兩相接、尾兩兩相接。求成環(huán)的概率.解：用乘法原則直接計算所求概率為例1.2.1六根草，頭兩兩相接、解：用乘法原則直接計算所n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩