無窮級數(shù)數(shù)一、數(shù)項項級數(shù)二、冪級級數(shù)討論斂散散性求收斂范范圍，將將函數(shù)展展開為冪冪級數(shù)，，求和。。1.數(shù)項級數(shù)數(shù)及收斂斂定義：給定一個個數(shù)列將各項依依即稱上式為為無窮級數(shù)數(shù)，其中第n項叫做級數(shù)數(shù)的一般項,級數(shù)的前前n項和稱為級數(shù)數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮窮級數(shù)并稱S為級數(shù)的的和。等比級數(shù)數(shù)(又稱幾何何級數(shù))(q稱為公比比).級數(shù)收斂斂,級數(shù)發(fā)散散.其和為P-級數(shù)2.無窮級數(shù)數(shù)的基本本性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)c是非零常常數(shù)，則則級數(shù)收斂于S,則有相同的的斂散性性。若與收斂于cS.性質(zhì)2.設(shè)有兩個個收斂級級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為說明:(2)若兩級數(shù)數(shù)中一個個收斂一一個發(fā)散散,則必發(fā)散.但若二級級數(shù)都發(fā)發(fā)散,不一定發(fā)發(fā)散.(1)性質(zhì)2表明收斂斂級數(shù)可可逐項相相加或減減.(用反證法法可證)性質(zhì)3.在級數(shù)前前面加上上或去掉掉有限項,不會影響響級數(shù)的斂散性性.性質(zhì)5：設(shè)收斂級級數(shù)則必有可見:若級數(shù)的的一般項項不趨于于0,則級數(shù)必必發(fā)散.*例1.判斷下列列級數(shù)的的斂散性性:(比較審斂斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù)數(shù),(常數(shù)k>0),3.正項級數(shù)數(shù)審斂法法(比較審斂斂法的極極限形式式)則有兩個級數(shù)數(shù)同時收收斂或發(fā)發(fā)散;(2)當(dāng)l=0(3)當(dāng)l=∞設(shè)兩正項項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,的斂散性性.例3.判別級數(shù)數(shù)解:根據(jù)比較較審斂法法的極限限形式知知發(fā)散比值審斂斂法(D’’alembert判別法)設(shè)為正項級級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂斂;或時,級數(shù)發(fā)散散..根值審審斂法法(Cauchy判別法法)設(shè)為正項項級數(shù),且則因此級級數(shù)收斂.解:4.交錯級級數(shù)及及其審審斂法法則各項項符號號正負負相間間的級級數(shù)稱為交錯級級數(shù).(Leibnitz判別法法)若交錯錯級數(shù)數(shù)滿足足條件件:則級數(shù)數(shù)收斂。。5.絕對收收斂與與條件件收斂斂定義:對任意意項級級數(shù)若若原級級數(shù)收收斂,但取絕絕對值值以后后的級級數(shù)發(fā)發(fā)散,則稱原原級收斂,數(shù)絕對收收斂；；則稱原原級數(shù)條件收收斂.絕對收收斂的的級數(shù)數(shù)一定定收斂斂.由絕對對收斂斂概念念和萊萊布尼尼茲定定理知知:交錯級級數(shù)例5.證明下下列級級數(shù)絕絕對收收斂:證:而收斂,收斂因此絕對收收斂.判斷數(shù)數(shù)項級級數(shù)斂斂散的的方法法1、利用用已知知結(jié)論論：等等比級級數(shù)、、P-級數(shù)及及級數(shù)數(shù)性質(zhì)質(zhì)2、利用用必要要條件件：主主要判判別發(fā)發(fā)散3、求部部分和和數(shù)列列的極極限4、正項項級數(shù)數(shù)的審審斂法法1）比值值審斂斂法（（根值值審斂斂法））2）比較較審斂斂法（（或極極限形形式））5、交錯錯級數(shù)數(shù)審斂斂法：：萊布布尼茲茲定理理6、一般般級數(shù)數(shù)審斂斂法：：先判判斷是是否絕絕對收收斂，，如果果絕對對收斂斂則一一定收收斂；；否則則判斷斷是否否條件件收斂斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散1.Abel定理若冪級級數(shù)則對滿滿足不不等式式的一切切x冪級數(shù)數(shù)都絕絕對收收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺星衳,該冪級級數(shù)也也發(fā)散散.時該冪冪級數(shù)數(shù)發(fā)散散,則對滿滿足不不等式式二、求求冪級級數(shù)收收斂域域*例6.已知冪冪級數(shù)數(shù)在處收斂斂，則則該級級數(shù)在處是收收斂還還是發(fā)發(fā)散？？若收收斂，，是條條件收收斂還是絕絕對收收斂？？解：由Abel定理，，該該冪級級數(shù)在在處絕對對收斂斂，故在絕對收收斂。。例7.已知處條件件收斂斂,問該級級數(shù)收收斂半徑是是多少少?答:根據(jù)Abel定理可可知,級數(shù)在在收斂,時發(fā)散散.故收斂斂半徑徑為若的系數(shù)數(shù)滿足足1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝∞時時,則的收斂斂半徑徑為2.求收斂斂半徑徑對端點點x=－1,的收斂斂半徑徑及收收斂域域.解:對端點點x=1,級數(shù)為為交錯錯級數(shù)數(shù)收斂;級數(shù)為為發(fā)散.故收斂斂域為為例8..求冪級級數(shù)例9.的收斂斂域.解:令級數(shù)變變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)為為此級數(shù)數(shù)發(fā)散散;當(dāng)t=––2時,級數(shù)為為此級數(shù)數(shù)條件件收斂斂;因此級級數(shù)的的收斂斂域為為故原級級數(shù)的的收斂斂域為為即三、求求函數(shù)數(shù)的冪冪級數(shù)數(shù)展開開式1、對函函數(shù)作作恒等等變形形（如如果需需要的的話））2、利用用已知知結(jié)論論，用用變量量代換換或求求導(dǎo)積積分得得所求求函數(shù)數(shù)的冪冪級數(shù)數(shù)3、寫出收斂斂范圍的冪級數(shù)展展開式展開成解：例10.求函數(shù)四、求冪級級數(shù)的和函函數(shù)這是冪級數(shù)數(shù)展開問題題的逆問題題，利用已已知結(jié)論或或求導(dǎo)積分分，求冪級級數(shù)在收斂斂域內(nèi)的和和函數(shù)。微分方程一、微分方方程的基本本概念二、解微分分方程含未知函數(shù)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)數(shù)的方程叫叫做微分方程.方程中所含含未知函數(shù)數(shù)導(dǎo)數(shù)的最最高階數(shù)叫叫做微分方方程一、微分方方程的基本本概念的階.例如：一階微分方方程二階微分方方程—使方程成為為恒等式的的函數(shù).通解—解中所含獨獨立的任意意常數(shù)的個個數(shù)與方程程—確定通解中中任意常數(shù)數(shù)的條件.初始條件(或邊值條件件):的階數(shù)相同同.特解微分方程的的解—不含任意常常數(shù)的解,定解條件其圖形稱為為積分曲線.例1.驗證函數(shù)是微分方程程的解.解:是方程的解解.二、解微分分方程1.一階微分方方程可分離變量量，一階線線性2.高階微分方方程可降階微分分方程，二二階線性微微分方程解解的結(jié)構(gòu)，，二階線性性常系數(shù)齊齊次微分方方程求解。。分離變量方方程的解法法:(2)兩邊積分①②(3)得到通解稱②為方程程①的隱式通解,或通積分.(1)分離變量*例2.求微分方程程的通解.解:分離變量得得兩邊積分得即(C為任意常數(shù)數(shù))因此可能增增、減解.一階線性微微分方程一階線性微微分方程標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程程.稱為齊次方程;解*例3.利用一階線線性方程的的通解公式式得：令因此即同理可得依次通過n次積分,可得含n個任意常數(shù)數(shù)的通解.型的微分方方程例5.求解解:型的微分方方程設(shè)原方程化為為一階方程程設(shè)其通解為為則得再一次積分分,得原方程的的通解例6.求解解:代入方程得得分離變量積分得利用于是有兩端再積分分得利用因此所求特特解為型的微分方方程令故方程化為為設(shè)其通解為為即得分離變量后后積分,得原方程的的通解例7.求解代入方程得得兩端積分得得故所求通解解為解:定理1.是二階線性性齊次方程程的兩個線線性無關(guān)特解解,則數(shù))是該方程的的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通通解為二階線性齊齊次方程解解的結(jié)構(gòu)特征方程:實根特征根通解二階線性常常系數(shù)齊次次微分方程程求解例9.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程程的通解為為例10.求解初值問問題解:特征方程有重根因此原方程程的通解為為利用初始條條件得