初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題答案第初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題答案第頁(yè)（共7頁(yè)）如圖，是滿足條件的一種填數(shù)字的方法．三、解答題（本大題共4小題，每小題滿分20分，共80分）（11）（本小題滿分20分）X+yX+zX+yX+zy+z【解】???Xy■=2，???11+1，①x+y2xy同理-=丄+1—，②3xz111=+?③4yz由①+②-③，得-=11+_'124，解得x=-.x2347由①+③-②，得2=11+—124，解得y=-y2435由②+③-①，得-=11+1，解得z=24.z342所以，7x+5y-2z=0.已知且=2，且=3，壬=4,求7x+5y-2z的值.10分20分（12）（本小題滿分20分）從一個(gè)等邊三角形（如圖①）開(kāi)始，把它的各邊分成相等的三段，再在各邊中間一段上向外畫(huà)出一個(gè)小等邊三角形，形成六角星圖形（如圖②）；然后在六角星各邊上，用同樣的方法向外畫(huà)出更小的等邊三角形，形成一個(gè)有18個(gè)尖角的圖形（如圖③）；如果在其各邊上，再用同樣的方法向外畫(huà)出更小的等邊三角形（如圖④），繼續(xù)下去，圖形的輪廓就能形成分支越來(lái)越多的曲線，這就是瑞典數(shù)學(xué)家科赫將雪花理想化得到的科赫雪花曲線.△車(chē)**圖①圖②圖③圖④如果設(shè)原等邊三角形邊長(zhǎng)為a,不妨把每一次的作圖變化過(guò)程叫做“生長(zhǎng)”例如，1第1次生長(zhǎng)后，得圖②，每個(gè)小等邊三角形的邊長(zhǎng)為1a，所形成的圖形的周長(zhǎng)為4a?請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表：（用含a的代數(shù)式表示）■-第1次第2次第3次第n次生長(zhǎng)后生長(zhǎng)后生長(zhǎng)后??????生長(zhǎng)后值．每個(gè)小等邊三角形的邊長(zhǎng)1_a3所形成的圖形的周長(zhǎng)4a解】第1次第2次第3次第n次.生長(zhǎng)后生長(zhǎng)后生長(zhǎng)后生長(zhǎng)后每個(gè)小等邊111(1)_a_a—a(-)na三角形的邊長(zhǎng)3927所形成的16644n圖形的周長(zhǎng)4a39a3n—110分20分（13）（本小題滿分20分）已知m,n為正整數(shù)，關(guān)于x的方程x2-mnx+（m+n）=0有正整數(shù)解，求m,n的【解】設(shè)方程x2-mnx+（m+n）=0的兩個(gè)根為a,a+卩=mn,a-0=m+n.由m,n,a,0均為正整數(shù)，不妨設(shè)a三0三1,m三n三1,于是，a+0-a0=mn-(m+n)．即(a-1)(0—1)+(m—1)(n—1)=2.10分當(dāng)(a—1)(0—1)=2時(shí)，(m—1)(n—1)=0,有n=1.只有a=3,0=2,此時(shí)m=5；當(dāng)(a—1)(0—1)=1時(shí)，(m—1)(n—1)=1,只有a=2,0=2,此時(shí)m=2,n=2；當(dāng)(a—1)(0—1)=0時(shí)，有0=1,(m—1)(n—1)=2,得m=3,n=2.所以，m=5,Im=2,Im=3,n=1;或In=2;或In=2.20分（14）（本小題滿分20分）已知點(diǎn)P是銳角△ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，且使PA+PB+PC最小，試確定點(diǎn)P的位置，并證明你的結(jié)論.解】如圖，分別以AC,BC為邊向外作正△ACB'，正△BCA',連接BB',AA'交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.5分證明如下：易證△BCB'A'CA.有ZB'BC=ZAA'C..??ZBPA'=ZBCA'=60。.???ZAPB'與ZBPA'為對(duì)頂角,.ZAPB'=ZBPA'60。10分15分15分在PB'上可截取PD=AP，連接AD,CP，有△APD為正三角形.易證△APCADB'.可得CP=B'D.PA+PB+PC=PD+PB+B'D=BB'為定值.在厶ABC內(nèi)任取一點(diǎn)M（不同于點(diǎn)P），連接MA，MB，MC．將厶AMC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o,AC與AB'重合，得△AGB有厶AGB'AMC.可得B'G=CM.連接GM，則△AGM為正三角形，有MA=MG..??MA+MB+MC=MG+MB+B'G=BM+MG