二項(xiàng)式定理應(yīng)用問題綜析作者：魏學(xué)軍來源：《廣東教育?高中》2020年第04期二項(xiàng)式定理的有關(guān)知識(shí)是每年高考必不可少的內(nèi)容，往往以一道選擇題或填空題的形式出現(xiàn).“年年歲歲花相似”，考查的落腳點(diǎn)總是與二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)相關(guān).二項(xiàng)式公式看似單一，但“歲歲年年題不同”，面對(duì)試題，須詳究細(xì)察，分析揣摩，方可靈活應(yīng)用，游刃有余.本文擬就高考中有關(guān)二項(xiàng)式定理應(yīng)用的試題作“全掃描”，并進(jìn)行分類分析與解，旨在把握命題方向，探索解題規(guī)律，揭示解題方法.一、求展開式中的某一指定項(xiàng)例1.(2x3-.)7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是()A.14B.-14C.42D.-42分析與解：Tr+1=.(2x3)7-r(-■)r=(-1)r.27-r?.，由題意知21-.=0，得r=6,即展開式中常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，T7=(-1)6■?2=14,故選A.例2.在(x+.)(1-x)4的展開式中，常數(shù)項(xiàng) .分析與解：第一^括號(hào)取■，第二個(gè)括號(hào)為■(-x)1，?:常數(shù)項(xiàng)是.x.(-x)1=-8.解題方略：直接利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.例3.(x2-3x+.)(1-.)5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A.-30B.30C.-25D.25分析與解：(1-.)5的通項(xiàng)為Tr+1=.(-1)r(.)r，(x2-3x+.)(1-.)5=x2(1-.)5-3x(1-.)5+.(1-.)5,根據(jù)式子可知當(dāng)r=4或r=2時(shí)有常數(shù)項(xiàng)，令r=4,T5=.(-1)4(.)4;令r=2，/.T3=.(-1)2(.)2，故所求常數(shù)項(xiàng)為.-3x.=5-30=-25，故選C.解題方略：求解與二項(xiàng)式相關(guān)的復(fù)雜式子的一般方法及步驟是：(1)將復(fù)雜式子分解轉(zhuǎn)化成與簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式相關(guān)的式子;(2)根據(jù)條件找到符合條件的二項(xiàng)式的項(xiàng);(3)利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)求出符合條件的項(xiàng);(4)整合后最終得出所求.例4.在二項(xiàng)式（■+■）n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B,且A+B=72，則展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為（）A.6B.9C.12D.18分析與解：【解析】在二項(xiàng)式（■+■）n的展開式中，令x=1得各項(xiàng)系數(shù)之和為4n，???A=4n，二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，B=2n，/.4n+2n=72，解得n=3，??（■+■）n=（■+■）3的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=■（■）3-r（■）r=3r■■，令?=0得r=l，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為T2=3■=9，故選B.二、求展開式中某一指定項(xiàng)的系數(shù)例5.（x-.）8展開式中x5的系數(shù)為 .分析與解：利用公式Tr+l=.an-r?br求得Tr+1=（-1）「■?■.令8-?r=5，得r=2，進(jìn)而得x5的系數(shù)為28.例6.（2x+.）4的展開式中x3的系數(shù)是（）A.6B.12C.24D.48分析與解：Tr+1=.（2x）4-r?（■）尸■?24-r?x4-r?.=.?24-r?.由題意設(shè)4-?=3，r=2即展開式中含x3的項(xiàng)是第3項(xiàng)，其系數(shù)為.22=24，故選C.例7?已知（■+■）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是 （以數(shù)字作答）分析與解：由展開式得通項(xiàng)Tr+1=.?.，??各項(xiàng)系數(shù)和為■+■+...+.=2n=128，??n=7，由?n-?r=5知r=3，則.=35，故填35.解題方略：分清某一項(xiàng)的系數(shù)與它的二項(xiàng)式系數(shù)是否相同.常規(guī)解法是利用通項(xiàng)公式Tr+1=.an-rbr，先確定r，再求其系數(shù).例8.（1+x）8（1+y）4的展開式中x2y2的系數(shù)是（）A.56B.84C.112D.168分析與解：根據(jù)(1+x)8和(1+y)4的展開式的通項(xiàng)公式可得，X2y2的系數(shù)為??=168,故選D.三、 求兩個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中某一指定項(xiàng)的系數(shù)例9.在(1-x3)(1+x)10的展開式中，x5的系數(shù)是()A.-297B.-252C.297D.207分析與解：由題意可知，只需求出(1+x)10展開式中x5與x2的系數(shù)分別是■、所以(1-x3)(1+x)10的展開式中，x5的系數(shù)為■-■=207，故選D.解題方略：利用兩因式展開式相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)配對(duì)的方法.四、 求展開式中某些項(xiàng)系數(shù)的和例10.若(1-2x)2019=a0+a1x+a2x2+...+a2019x2019(x^R)，貝IJ(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+...+(a0+a2019)= .(用數(shù)字作答)分析與解：(賦值法)令x=0，得a0=1.(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+.+(a0+a2019)=2019a0+(a1+a2+.+a2019)=2018a0+(a0+a1+a2+.+a2019)，令x=1，得a0+a1+a2+...+a2019=-1，???(a0+1)+(a0+a2)+(a0+a3)+...+(a0+a2019)=2017.解題方略：賦值法.例11.若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0-a1+a2-a3+a4-a5=()A.0B.1C.32D.-1分析與解：【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=.(-x)r=.(-1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.則a0-a1+a2-a3+a4-a5=a0+a1+a2+a3+a4+a5.在原二項(xiàng)展開式中令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0.故本題答案選A.五、求展開式中系數(shù)滿足某些特殊要求的項(xiàng)數(shù)例12.由（?x+?）100展開所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有（）A.50項(xiàng)B.17項(xiàng)C.16項(xiàng)D.15項(xiàng)分析與解：設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，則Tr+1=.■xlOO-r■=■■■xlOO-r.依題意r既然為偶數(shù)又為3的倍數(shù)，即r為6的倍數(shù)，且0~三100，r共有17個(gè)值，故選B.解題方略：先將展開式的通項(xiàng)進(jìn)行整理，再令其冪指數(shù)為整數(shù)，進(jìn)而求出所需項(xiàng)數(shù).六、 求二項(xiàng)式中所含參數(shù)的值例13.若在（1+ax）5的展開式中x3的系數(shù)為-80，則a=—.分析與解：?.?T4=?（ax）3=-80x3，A10a3x3=-80x3，A10a3=-80，a3=-8， a=-2.例14.（x+1）3+（x-2）8=a0+a1（x+1）+a2（x-1）2+...+a8（x-1）8，則a6= .分析與解：令x-1=t，則（t+2）3+（t-1）8=a0+a1t+a2t2+...+a6t6+...+a8t8，設(shè)（t-1）8的展開式含有t6項(xiàng)，Tr+1=■t8-r（-1）r，令8-r=6，r=2，T3=■t6=28t6，所以a6=28.解題方略：利用展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意建立方程，求出參數(shù)的值.七、 求二項(xiàng)式的冪指數(shù)例15.若（■+■）n展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的值可以是（）A.8B.9C.10D.12分析與解：Tr+1=.（■）n-k（■）k=.?2k?.其中?=0，即n=.k.當(dāng)k=6時(shí)，n=10.故選C.例16.若（x3+.）n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n= .分析與解：Tr+1=■x3n-3r?.=■?■.令3n-?r=0,得r-.n..*.n為3的倍數(shù).又由■=84,驗(yàn)證:n=3時(shí)，■=3邦4;當(dāng)n=6時(shí)，■=15主84;當(dāng)n=9時(shí)，■=.=84.解題方略：依條件建立指數(shù)的方程.八、 與數(shù)列交匯例17.若（l-2x）9展開式的第3項(xiàng)為288,則■+■+...+■的值是 .分析與解：T3=■（-2x）2=288， x=.. ■+■+_+■=2[1-（■）n].九、 與不等式交匯例18.在（x-?）8的展開式中，含x2項(xiàng)的為p,（2x+.-.）3的展開式中含x-2項(xiàng)的為q,則p+q的最大值為 .分析與解：（x-.）8展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+1=.x8-r（-.）rx-r=.（-.）rx8-2r，令8-2r=2可得:r=3，則p=■（-■）3x8-2x3=-7x2，結(jié)合排列組合的性質(zhì)可知q=■（■）2（-■）=-■，由p+q=-7x2-■=-（7x2+.）＜-2.=-4.，當(dāng)且僅當(dāng)x2=■時(shí)等號(hào)成立.綜上可得：p+q的最大值為-4..解題方略：（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n^r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）;第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng);（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.求最大最小值時(shí)，仍然需借助函數(shù)、不等式等知識(shí)獲得.十、與概率交匯例19.若在二項(xiàng)式（x+1）10的展開式中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)為奇數(shù)的概率是 .（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）分析與解：展開式中所有系數(shù)依次為.、.、.、.、.、.、.、.、.、.、..在這11個(gè)數(shù)中.、.、.、.為奇數(shù)，其余均為偶數(shù)，故所求的概率為..解題方略：解決此類問題關(guān)鍵要先找出符合要求的對(duì)象.本題因數(shù)目不多，故既可用通項(xiàng)公式一一列舉，也可用本文例13中的二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）觀察，從而使問題得到解決.十一、滲透在研究性學(xué)習(xí)課題的探究之中例20.如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中第 行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2:3.分析與解：設(shè)第n行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2:3,則依題意可得：■:■=2:3，解得n=34.解題方略：分析所給題設(shè)特征，恰當(dāng)使用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式.二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)應(yīng)重視基礎(chǔ)，對(duì)二項(xiàng)式定理的展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)特征要弄懂原理，注意分辨通解通法，牢固掌握，不必追求解難題、尋巧解.例11.若（1-x）5=a0+alx+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a0-al+a2-a3+a4-a5=（）A.0B.1C.32D.-1分析與解：【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=.（-x）r=.（-1）rxr，可知al，a3，a5都小于0.則a0-a1+a2-a3+a4-a5=a0+a1+a2+a3+a4+a5.在原二項(xiàng)展開式中令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0.故本題答案選A.五、求展開式中系數(shù)滿足某些特殊要求的項(xiàng)數(shù)例12.由（?x+?）100展開所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有（）A.50項(xiàng)B.17項(xiàng)C.16項(xiàng)D.15項(xiàng)分析與解：設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，則Tr+1=.■x100-r■=■■■x100-r.依題意r既然為偶數(shù)又為3的倍數(shù)，即r為6的倍數(shù)，且0~三100，r共有17個(gè)值，故選B.解題方略：先將展開式的通項(xiàng)進(jìn)行整理，再令其冪指數(shù)為整數(shù)，進(jìn)而求出所需項(xiàng)數(shù).六、求二項(xiàng)式中所含參數(shù)的值例13.若在（1+ax）5的展開式中x3的系數(shù)為-80,則a=—.分析與解：?.?T4=?（ax）3=-80x3,A10a3x3=-80x3,A10a3=-80,a3=-8, a=-2.例14.（x+1）3+（x-2）8=a0+a1（x+1）+a2（x-1）2+...+a8（x-1）8,則a6= .分析與解：令x-1=t,則（t+2）3+（t-1）8=a0+alt+a2t2+...+a6t6+...+a8t8,設(shè)（t-1）8的展開式含有t6項(xiàng)，Tr+1=■t8-r（-1）r,令8-r=6,r=2,T3=■t6=28t6，所以a6=28.解題方略：利用展開式的通項(xiàng)公式,根據(jù)題意建立方程,求出參數(shù)的值.七、 求二項(xiàng)式的冪指數(shù)例15.若（■+■）n展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的值可以是（）A.8B.9C.10D.12分析與解：Tr+1=.（■）n-k（■）k=.?2k?.其中?=0，即n=.k.當(dāng)k=6時(shí)，n=10.故選C.例16.若（x3+.）n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84,則n= .分析與解：Tr+1=■x3n-3r?.=■ 令3n-.r=0,得r-.n.An為3的倍數(shù).又由■=84,驗(yàn)證:n=3時(shí)，■=3邦4;當(dāng)n=6時(shí)，■=15主84;當(dāng)n=9時(shí)，■=.=84.解題方略：依條件建立指數(shù)的方程.八、 與數(shù)列交匯例17.若（1-2x）9展開式的第3項(xiàng)為288,則■+■+...+■的值是 .分析與解：T3=.（-2x）2=288,.x=....+.+.+.=2[1-（.）n].九、與不等式交匯例18.在（x-?）8的展開式中，含x2項(xiàng)的為p,（2x+■-■）3的展開式中含x-2項(xiàng)的為q,則p+q的最大值為 .分析與解：（x-?）8展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+1=■x8-r（-■）rx-r=■（-■）rx8-2r,令8-2r=2可得:r=3，則p=■（-■）3x8-2x3=-7x2，結(jié)合排列組合的性質(zhì)可知q=■（■）2（-■）=-■，由p+q=-7x2-■二（7x2+?）三-2?=-4?，當(dāng)且僅當(dāng)x2=■時(shí)等號(hào)成立.綜上可得：p+q的最大值為-4?.解題方略：