文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型-提綱文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型12345問(wèn)題的提出建模分析數(shù)學(xué)建模模型應(yīng)用結(jié)果分析與討論數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的提出文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型創(chuàng)建文明社區(qū)是精神文明建設(shè)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是近年來(lái)精神文建設(shè)的一個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)。盧灣區(qū)文明社區(qū)指標(biāo)體系研究課題組，經(jīng)過(guò)深入街道和對(duì)有關(guān)職能部門(mén)進(jìn)行充分調(diào)查研究，運(yùn)用科學(xué)的手段和方法構(gòu)建了盧灣區(qū)文明社區(qū)指標(biāo)體系：該體系有一級(jí)指標(biāo)10個(gè)，二級(jí)指標(biāo)達(dá)42個(gè)，三級(jí)指標(biāo)更是達(dá)到176個(gè)。由于文明社區(qū)的建設(shè)涉及面廣，內(nèi)容非常豐富，可以說(shuō)是一個(gè)龐大的社會(huì)系統(tǒng)工程，各級(jí)指標(biāo)的選取具有一定的主觀性，某些指標(biāo)之間還有一定的相關(guān)性，反映的信息不是完全獨(dú)立的。為了更好地展示社區(qū)精神文明建設(shè)的現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì),要求依據(jù)文明社區(qū)指標(biāo)體系建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)各社區(qū)的文明建設(shè)狀況作出科學(xué)的和客觀、公正、公平的綜合評(píng)價(jià)和比較。建模分析數(shù)學(xué)模型文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型傳統(tǒng)的加權(quán)求和再根據(jù)分?jǐn)?shù)高低進(jìn)行評(píng)估和比較的方法簡(jiǎn)便易行，但指標(biāo)體系中指標(biāo)眾多，只是在不同的層面和側(cè)面反映了文明社區(qū)建設(shè)的某些信息，而指標(biāo)的度量單位多種多樣，數(shù)據(jù)繁多，信息量大，信息之間難以避免會(huì)出現(xiàn)重疊，因此要科學(xué)客觀地統(tǒng)一度量和確定各個(gè)指標(biāo)的權(quán)重有一定的難度，通常只好人為確定，這樣做主觀性太強(qiáng)。本模型根據(jù)文明社區(qū)指標(biāo)體系，運(yùn)用多元統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)值代數(shù)和運(yùn)籌學(xué)等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論，對(duì)文明社區(qū)的指標(biāo)體系進(jìn)行科學(xué)分類，建立P個(gè)新指標(biāo)（主成份）。新指標(biāo)的個(gè)數(shù)比原指標(biāo)的要少得多，但反應(yīng)的信息和原指標(biāo)體系反映的基本一樣多，且P個(gè)新指標(biāo)（主成份）是兩兩不相關(guān)的，即反映的信息不會(huì)重疊，同時(shí)這些新指標(biāo)在對(duì)文明社區(qū)評(píng)估中的權(quán)重可以科學(xué)計(jì)算確定。據(jù)此，我們能夠?qū)Ω鱾€(gè)社區(qū)的精神文明建設(shè)作出科學(xué)客觀的綜合評(píng)價(jià)和比較。

假設(shè)有m個(gè)文明社區(qū)，記為，對(duì)這些社區(qū)文明建設(shè)進(jìn)行評(píng)價(jià)的指標(biāo)有n個(gè)，分別記為，設(shè)對(duì)每個(gè)社區(qū)根據(jù)這n個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，收集得到的數(shù)據(jù)如下：根據(jù)上述各指標(biāo)的評(píng)價(jià)結(jié)果我們能夠得到如下的主成分分析的樣本矩陣。由該樣本矩陣可以確定相關(guān)矩陣R，并根據(jù)R的信息確定P個(gè)新指標(biāo)。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型21………

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數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模－確定相關(guān)矩陣R文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型

為了消除指標(biāo)不同的度量（量綱）帶來(lái)的影響，使得評(píng)價(jià)指標(biāo)具有可比性，我們對(duì)文明社區(qū)指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：記，這樣有

由此我們得到標(biāo)準(zhǔn)矩陣其中

數(shù)學(xué)建模－確定相關(guān)矩陣R數(shù)學(xué)模型文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型根據(jù)X和Y之間的關(guān)系易知:Y的協(xié)方差陣正好是X的相關(guān)矩陣R，這樣

若記則有根據(jù)相關(guān)矩陣R，由數(shù)值代數(shù)方法，能夠求出R的特征根和特征向量。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模－求R陣的特征根和特征向量文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型因?yàn)橄嚓P(guān)陣，所以R的n個(gè)特征根非負(fù)，不妨設(shè)它們由大到小排列為。它們對(duì)應(yīng)的正則化特征向量為，則的主成分為。我們把第i個(gè)社區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)代入到第j個(gè)主成分(新指標(biāo))中就可以計(jì)算出第i個(gè)社區(qū)在第j個(gè)主成分上的分值，即得分，該分值越大，則說(shuō)明該社區(qū)在第j個(gè)主成分上的表現(xiàn)越突出。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模－選取主成分的個(gè)數(shù)文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型根據(jù)代數(shù)理論可知是線性無(wú)關(guān)的，因此n個(gè)主成分是互不相關(guān)的，所表示的信息是不重疊的，并且有我們用比值表示的方差在總方差的比率。根據(jù)實(shí)際背景，通常稱為第i個(gè)主成分（新指標(biāo)i）的貢獻(xiàn)率，越大，

的方差也越大，社區(qū)間的差異在第i個(gè)主成分上的表現(xiàn)越明顯。數(shù)學(xué)模型文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型由于，因此相應(yīng)主成分的貢獻(xiàn)率越來(lái)越小。也就是說(shuō)社區(qū)間的差異主要反映在前面幾個(gè)主要的主成分上。通常我們是以累計(jì)貢獻(xiàn)率確定選取互相獨(dú)立的主成分（新指標(biāo)呢）的個(gè)數(shù)。

數(shù)學(xué)建模－選取主成分的個(gè)數(shù)因此我們由下式確定主成分的個(gè)數(shù)：一般來(lái)說(shuō)，p比n要小得多，即新指標(biāo)（主成分）的個(gè)數(shù)比原社區(qū)評(píng)價(jià)指標(biāo)個(gè)數(shù)要少得多，但它們反映的信息幾乎一樣多。數(shù)學(xué)建模－綜合評(píng)估算法數(shù)學(xué)模型文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型第一步：根據(jù)m個(gè)社區(qū)在n個(gè)社區(qū)指標(biāo)上的數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本矩陣R第二步：計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)矩陣和相關(guān)矩陣

第三步：計(jì)算R的特征值和相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量第四步：確定，和主成分。第五步：首先計(jì)算各社區(qū)在第j個(gè)主成分上的得分，并按所有社區(qū)的得分進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得到第i個(gè)社區(qū)在第j個(gè)主成分的標(biāo)準(zhǔn)化得分為然后計(jì)算各社區(qū)綜合評(píng)價(jià)最后按照的降序?qū)λ械纳鐓^(qū)進(jìn)行比較和排名。由實(shí)踐可知，通常第一個(gè)主成分反映樣本主要方面情況。一般來(lái)說(shuō)，每個(gè)主成分反映社區(qū)的某一層面的發(fā)展或建設(shè)狀況，前p個(gè)主成分基本上反映了各個(gè)社區(qū)的總體情況。因此，用前p個(gè)主成分來(lái)評(píng)價(jià)各社區(qū)精神文明建設(shè)狀況具有較好的綜合性和客觀性。

數(shù)學(xué)模型模型應(yīng)用文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型

根據(jù)課題組提供的指標(biāo)體系：一級(jí)指標(biāo)10個(gè)，二級(jí)指標(biāo)42個(gè)，三級(jí)指標(biāo)176個(gè)，為了方便起見(jiàn)，我們僅考慮42個(gè)二級(jí)指標(biāo)，分別記為。下面我們通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明模型的應(yīng)用效果。其中，我們僅根據(jù)文明社區(qū)指標(biāo)體系研究課題組提供的指標(biāo)體系來(lái)綜合評(píng)估模型的合理性和有效性，然后對(duì)模型的結(jié)果進(jìn)行分析和討論。指標(biāo)數(shù)據(jù)指標(biāo)數(shù)據(jù)指標(biāo)數(shù)據(jù)ⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ居住環(huán)境5555社區(qū)設(shè)施4.5332文化活動(dòng)1.51.511公共環(huán)境3311社區(qū)組織3.53.532文化資源1.51.511公共設(shè)施2.52.52.52民政福利2.5211科技普及1.21.211環(huán)境質(zhì)量21.81.51管理評(píng)價(jià)2211服務(wù)質(zhì)量2211管理評(píng)價(jià)1.5111教育設(shè)施2.8222物質(zhì)生活2.5211管理機(jī)構(gòu)3222教育內(nèi)容4.2432精神生活2210.5居委建設(shè)3222教育管理2222心理評(píng)價(jià)1.5111制度建設(shè)2.5211教育評(píng)估2.2212組織制度2.2222黨支部2.5222公益活動(dòng)2.4211資源共享1.81.51.51外來(lái)人口1111規(guī)范服務(wù)2.3211共建活動(dòng)1110管理績(jī)效1111樓組家庭2.3211共建評(píng)估1111綜合治理5.5553主義教育2221人口素質(zhì)2.2211安全小區(qū)4.544.53新風(fēng)活動(dòng)2222健康保健1.5111法制教育2.5222文化設(shè)計(jì)1.81.511.5生育狀況1.3111例1、我們考慮4個(gè)社區(qū)，它們關(guān)于42個(gè)二級(jí)指標(biāo)的數(shù)據(jù)如下表：表1、四個(gè)社區(qū)的二級(jí)指標(biāo)的評(píng)價(jià)表數(shù)學(xué)模型模型應(yīng)用文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型根據(jù)上面建立的綜合評(píng)估算法和應(yīng)用數(shù)學(xué)方法軟件包，我們能夠計(jì)算出該問(wèn)題的所有特征值，其中前三個(gè)特征值為：它們的累計(jì)貢獻(xiàn)率為：93.68%．因此取主成份的個(gè)數(shù)為：P=3．這三個(gè)特征值的特征向量分別為：社區(qū)名次1190.901241.8423-93.2734-205.414社區(qū)分?jǐn)?shù)名次11001287237134624根據(jù)上面建立的綜合評(píng)估算法計(jì)算得到的結(jié)果與傳統(tǒng)的評(píng)估結(jié)果是一致的，所得的排名如下表：表2.綜合評(píng)估算法的排名結(jié)果表3.傳統(tǒng)評(píng)估方法的排名結(jié)果

例2、假設(shè)有4個(gè)社區(qū)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，它們?cè)?2個(gè)二級(jí)指標(biāo)的評(píng)價(jià)結(jié)果如下表：表5、四個(gè)社區(qū)的二級(jí)指標(biāo)的評(píng)價(jià)表數(shù)學(xué)模型模型應(yīng)用文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型指標(biāo)數(shù)據(jù)指標(biāo)數(shù)據(jù)指標(biāo)數(shù)據(jù)ⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ居住環(huán)境5555社區(qū)設(shè)施4.5333文化活動(dòng)1.51.511公共環(huán)境3311社區(qū)組織3.53.533文化資源1.51.511公共設(shè)施2.52.522民政福利2.5211科技普及1.21.211環(huán)境質(zhì)量21.811管理評(píng)價(jià)2211服務(wù)質(zhì)量2211管理評(píng)價(jià)1.5111教育設(shè)施2.8222物質(zhì)生活2.5211管理機(jī)構(gòu)3222教育內(nèi)容4.2433精神生活2211居委建設(shè)3222教育管理2222心理評(píng)價(jià)1.5111制度建設(shè)2.5211教育評(píng)估2.2222組織制度2.2222黨支部2.5222公益活動(dòng)2.4211資源共享1.81.51.51.5外來(lái)人口1111規(guī)范服務(wù)2.3211共建活動(dòng)1111管理績(jī)效110.51樓組家庭2.3211共建評(píng)估1111綜合治理5.554.53主義教育2222人口素質(zhì)2.2211安全小區(qū)4.544.54.5新風(fēng)活動(dòng)2222健康保健1.5111法制教育2.5222文化設(shè)計(jì)1.81.511生育狀況1.3111根據(jù)上面建立的綜合評(píng)估算法，我們能夠計(jì)算出上述問(wèn)題的所有特征值，其中前兩個(gè)特征值分別為：它們的累計(jì)貢獻(xiàn)率為：93.16%．因此取主成份的個(gè)數(shù)為：P=2．這三個(gè)特征值的特征向量分別為：數(shù)學(xué)模型模型應(yīng)用文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型社區(qū)名次1197.041261.2123-166.7644-166.93

3社區(qū)分?jǐn)?shù)名次11001287237034694根據(jù)上面建立的綜合評(píng)估算法和傳統(tǒng)的評(píng)估方法所得的排名結(jié)果如下表：表5.綜合評(píng)估算法的排名結(jié)果表6.傳統(tǒng)評(píng)估方法的排名結(jié)果數(shù)學(xué)模型結(jié)果分析與討論文明社區(qū)綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型①根據(jù)數(shù)值模擬可知，綜合評(píng)估模型和算法可以客觀公正的對(duì)文明社區(qū)進(jìn)行綜合評(píng)估和比較，它在多數(shù)情況下和傳統(tǒng)的評(píng)估排序法得到的評(píng)價(jià)排序結(jié)果是一致的。例如在例1中，兩種評(píng)估方法得到的排序結(jié)果不變。②當(dāng)兩個(gè)社區(qū)的評(píng)估結(jié)果相差