復數的幾何意義及應用一、教學目標：知識與技能：通過學習復平面上點的軌跡，進一步使學生掌握復數及減法的代數、幾何、向量表示法及彼此之間的關系。過程與方法:1、通過問題導引，探究學習，提高學生數學探究能力；2、提高數形結合能力；培養(yǎng)對應與運動變化的觀點；3、提高知識之間的理解與綜合運用能力。三)情感、態(tài)度、價值觀:通過復數、平面上點及位置向量三者之間聯系及轉化的教學，對學生進行事物間普遍聯系及轉化等辯證觀點的教育。二、教學重點：復平面內兩點間距離公式的應用三、教學難點：復平面內兩點間距離公式的應用四、教學工具：計算機、投影儀五、教學方法：探究式教學法、問題解決教學法六、教學過程：(一)設置情境，問題引入問題1:復數z的幾何意義？設復平面內點Z表示復數z=a+bi(a,b￡R)，連結OZ，則點Z,OZ‘，復數z=a+bi(a,bER)之間具有一一對應關系。直角坐標系中的點Z(a,b)—對應—對應復數z=a+bi＞向量OZ問題2：|z|的幾何意義？若復數z=a+bi(a,b￡R)對應的向量是OZ,則向量是0Z的模叫做復數z=a+bi(a,b￡R)的模，|z|=)Z|=|a+bi|迨2b2(a,b￡R)。問題3：|z-z|的幾何意義？兩個復數的差《zz所對應的向量就是連結ZZ并121212且方向指向(被減數向量)的向量，dlz1I?]寸(氣X)23172)2二)探索研究根據復數的幾何意義及向量表示，求復平面內下列曲線的方程:

圓的定義:平面內到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)設Z(尤,y)以Z°(%,y「為圓心，r(r>0)為半徑的圓上任意一點,則|ZZ|=r(r>0)該圓向量形式的方程是什么?該圓復數形式的方程是什么?該圓代數形式的方程是什么?ZZ0=r(r>0)|z一zJ=r(r>0)(x-x)2+(y_y)2=r2(r>0)2.橢圓的定義:平面內與兩定點Z「Z2的距離的和等于常數(大于|Z1Z21)的點的集合(軌跡)設Z(x,y)是以Z(x,y)Z(x,y)為焦點，2a為長軸長的橢圓的上任意一點,112222則|ZZj+|ZZJ=2a(2a>〔Zg|)該橢圓向量形式的方程是什么？同+|ZZj=2a(2a>〔Z*」)該橢圓復數形式的方程是什么？|z—zj+|z—乙J=2a(2a>|Z1Z21)變式:以Z(x,y)Z(x,y)為端點的線段112222向量形式的方程是什么？|ZZJ+|ZZ2|=2a(2a=吭Z2|)復數形式的方程是什么？|z—氣|+|z一zJ=2a(2a=|Z1Z2|)3.雙曲線的定義:平面內與兩定點Z]，Z2的距離的差的絕對值等于該圓向量形式的方程是什么?該圓復數形式的方程是什么?該圓代數形式的方程是什么?ZZ0=r(r>0)|z一zJ=r(r>0)(x-x)2+(y_y)2=r2(r>0)常數(小于|Z]Z2|)的點的集合(軌跡)設Z(x,y)是以Z(x,y)Z(x,y)為焦點，2a為實軸長的雙曲線的上112222任意一點,則||ZZj—|ZZ21|=2a(2a<〔Zg|)=2a(2a<|Z*21)(1)該雙曲線向量形式的方程是什么？ZZ-ZZ2(2)該橢圓復數形式的方程是什么？||z—"-|z—z2I|=2a(2a<Zgl)=2a(2a<|Z*21)變式:射線向量形式的方程是什么？|同|-jZZ^I=2a(2a=Z#|)復數形式的方程是什么？||z—Z]l—|z—zJI=2a(2a=|Z1Z2|)變式：以Z(x,y)Z(x,y)為端點的線段的垂直平分線112222(1)該線段向量形式的方程是什么？|ZZj-可=2a(2a=0)即|ZZj=|ZZ2(2)該線段復數形式的方程是什么？||z—zJTz—z2||=2a(2a=0)即lz-?=lz—z2I應用舉例例1.復數z滿足條件Iz+2|-|z-2|=4,則復數z所對應的點Z的軌跡是()(A)雙曲線(：8)雙曲線的右支(C)線段(D)射線答案：(D)一條射線變式探究：若復數z所對應的點Z的軌跡是兩條射線，復數z應滿足什么條件？若復數z所對應的點Z的軌跡是線段，復數z應滿足什么條件？若復數z所對應的點Z的軌跡是雙曲線的右支，復數z應滿足什么條件？若復數z所對應的點Z的軌跡是雙曲線，復數z應滿足什么條件？若復數z所對應的點Z的軌跡是橢圓，復數z應滿足什么條件？若復數z所對應的點Z的軌跡是線段的垂直平分線，復數z應滿足什么條件？例2.若復數z滿足條件|z|=1，求|z—2，|的最值。解法1：(數形結合法)由|z|=1可知，z對應于單位圓上的點Z；k-2i\表示單位圓上的點Z到點P(0,2)的距離。由圖可知，當點Z運動到A(0,1)點時，k—2，|.=1,此時z=i；當點Z運動到B(0，-1)點時，k—2l\=3,此時z=-i。解法2：(不等式法)|k|—kIIvk土k|vk|+kI121212???kl一㈣V|z—2z[<|z|+|2i||z|=1,|2/|=2，?-1<k—2z]<3解法3：(代數法)設k=尤+yi(x,yeR)，貝x2+y2=1k—2,=|x+yi—2,=Jx2+(y-2)2=J5-4y?|y|<1，即一1<y<1…當y=1，即k=i時，k—2i|,=1；當y=—1，即k=—i時，k—2i|=3=3,解法4：(性質法)?k—2i|2=(k—2i)(k—2i)=(k—2i)(k—2i)=(k—2i)(k+2i)=k-k+2(k—k)i+4=5+4yi?|y|<1，即-1<y<1???當y=1，即k=i時，|k—2i|.=1；當y=—1，即k=—i時，|k—2i|=3,變式探究：(1)|k—i|.=，k—i|=；0；2(2)z-1i2—，min1?z-_i213—;~,~22max(3)|z—2—2i|=，min|z—2—2i|=max；2很-1;^.''2+1(4)；41z-1--i—1~z-1-i—.，振-f+12min2max22例3.已知z1、z2EC，且kJ—1,TOC\o"1-5"\h\z若z+z—2i，則|z-z|的最大值是()121121(A)6(B)5(C)4(D)3解法1：|z-z|=|z-(2i-z)|—2|z-i|12111|z-i\=2--|z-zI的最大值是4\o"CurrentDocument"1max12解法2：vz1+z2=2i,?-i]=2i-z2|zj=1…|2i-z21—1,即|z2-2i|=1|zj=1表示以原點為圓心，以1為半徑的圓;|z2-2i|=1表示以（0，2）為圓心，以1為半徑的圓。.?lz1—z2l的最大值為兩圓上距離最大的兩點間的距離為4。（四）反饋演練：復數z滿足條件Iz+i|+|z-i|=2，貝JIz+i-1I的最大值是疽5最小值是.1復數z滿足條件Iz-2|+|z+i|=I5，貝JIz|