2)＝＋，22)＝＋，2第章二1、古埃及人曾用三角形三邊關(guān)作出了直角，下面我們?cè)佻F(xiàn)一下當(dāng)時(shí)的情境。這兒有一根繩子，上面有13個(gè)距的結(jié)，把這根繩子分成等長(zhǎng)的12段一位同學(xué)同時(shí)握住繩子的第1個(gè)和第13個(gè)結(jié)另兩位學(xué)分別握住第4結(jié)和第結(jié)，拉緊繩子。大家發(fā)現(xiàn)了什么？很快地，得到一個(gè)直角三角形，其直角在第個(gè)結(jié)。我們?cè)賮砜丛诘?個(gè)到第4個(gè)是3個(gè)單長(zhǎng)度，即ACb＝；同理＝＝，＝＝，而3+4＝，所以a+=。那么是不是三角形的三邊滿足a+=c，就可以得到一個(gè)直角三角形呢？我們不妨再找?guī)捉M數(shù)試一試。答案略2、勾股數(shù)如果三個(gè)正整數(shù)滿足于勾股定理逆定理，那么就稱這三個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)3、4、是簡(jiǎn)單的一組勾股數(shù)，因?yàn)樗鼈儩M足3＋＝．勾股數(shù)是一種重要的數(shù)組，那么什么樣的數(shù)才能組成勾股數(shù)?看下面一些簡(jiǎn)單的勾股數(shù)3，455，1213；，24，259，40，41；…觀察這些勾股數(shù)組成的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方減1再除以2第三個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)加1，也就第一個(gè)數(shù)的平方加1除以2．

2

n

2

結(jié)論：如果是個(gè)奇數(shù)，且≥，那么n

、就一組勾股數(shù)．證明：∵＋

424n2n2),42

2

n

2

∴、、是組勾股數(shù)．這樣，我們?nèi)我饨o出一個(gè)奇數(shù)(1113，)，同學(xué)們就可以寫出各組勾股數(shù)來．再看一些簡(jiǎn)單的勾股數(shù)：4，，；，8，；，，17；10，24，；觀察這些勾股數(shù)組成的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的一半的平方減1，三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)一半的平方加1．mm結(jié)論：如果是個(gè)偶數(shù)，且≥，那么m、()－、)＋就是一組勾股數(shù)．1

證明：∵＋［()－］＝＋)－＋2證明：∵＋［()－］＝＋)－＋222

2

222＝＋

mm

＋＝

m

4

m2m2m))2

2

2

,m∴、)1、()＋是一勾股數(shù)．這樣，我們?nèi)我饨o出一個(gè)偶數(shù)(1012，)，同學(xué)們就可以寫出各組勾股數(shù)來．3、勾股定理的證明方法【證法】ab

ba

aca

a

c

ba

cb

bbb

c

c

aab圖1

圖2如圖所示，作8個(gè)全等的直角三形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三邊長(zhǎng)分別為a、、的正方形，它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是+b所以面積相等.即a

1abc422

，整得

a

2

2

2

.【證法】以ab為直邊，以c為邊四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖2所示狀使B三點(diǎn)在一條直線上BFC三在一條直線C、G、三在一條直線.四形EFGH一個(gè)邊長(zhǎng)為的正形.它的積等于c.四邊形ABCD一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，它的積等于.∴

12

ab

2

.∴

a

2

2

2

.【證法】1ab以a為角c為邊作四個(gè)全等的直角三角形個(gè)直角三角形的面積等于.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形.ABCD是個(gè)邊長(zhǎng)為的方形，它的面積等于c.EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的方形，它的積等于.∴.∴

2

2

2

.DA

c

a

GH

C

Da

c

c

Cb

2A

bE

a

BB

222a222a2122圖3

圖4【證法】以a為直角邊c為邊兩個(gè)全等的直角三角形每直角三角形的面積等于.把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀A(yù)三在一條直線上則ΔDEC是個(gè)腰直角三角形，c2它的面積等于.ABCD是個(gè)直角梯形，它的面積等于.111a2c2∴∴【證法5】對(duì)任意的符合條件的直角三角形繞其銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°圖，該圖是旋轉(zhuǎn)90°得到的，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE面相等，而四邊形ABFE面等于Rt⊿BAE和Rt⊿的積之和所以：S=S+S即：

2

c22整理：

2

2

∴+b=c.

A

b

B

c

b

a

E

c

b-a

Ca

D圖5

圖6【證法】對(duì)任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt⊿BEA和Rt⊿拼成圖6(此圖也可以看成Rt⊿BEA繞其直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向下平移得)一方面，四邊形ABCD的面積等于ABC和Rt⊿ACD