圓與相似三形、解直角角形及二次數(shù)的綜合類型一圓與相似三形的綜．如圖BC是A的徑，的個(gè)頂點(diǎn)均在A上⊥于求證＝BC·BF.．如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC，ACB＝90°，以AC為徑的⊙O與交于點(diǎn)D過點(diǎn)作⊙O的線，交BC于求證：點(diǎn)E是BC的點(diǎn)；求證：當(dāng)以點(diǎn)，，E，為點(diǎn)的四邊形是正形時(shí)，求證：ABC是腰直角三角形．解：(1)連結(jié)OD，∵DE為切線，∴∠＋ODC°.ACB＝°ECD＋∠OCD＝°又∵OD＝OC∴∠＝OCD，∴∠＝∴＝EC.∵AC為徑∠＝°∴BDE∠＝90°，B＋∠＝90，∴∠＝∠BDE∴＝，∴EB＝，即點(diǎn)為邊BC的點(diǎn)∵AC為徑，∴∠＝∠ACB90°又∠＝∠eq\o\ac(△,∴)ABC△CBDABBC＝BCBD∴BC2＝BD?當(dāng)四邊形為方形時(shí)，OCD°∵AC為徑，∴＝°，∴CAD＝°－∠＝°－45°＝°，∴eq\o\ac(△,Rt)為腰直角三角形

類型二圓與解直角角形的合．如圖，在ABC，以AC為徑作O交BC于，于，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，垂足為點(diǎn)E，交AC的長(zhǎng)于點(diǎn)求證：直線EF是O切線；已知＝，cosA＝25求BE的．解：連結(jié)OD.∵CD＝DBCO＝，∴OD是△的位線，∴∥，AB∵DEAB∴DEOD，即OD⊥，∴直線⊙O的線∵ODAB，∴∠＝∠A，∴cosCOD＝＝在eq\o\ac(△,Rt)中∵ODF＝°cos∠＝ODOF25.設(shè)O的徑為，則rr＋＝25解得r＝，AB2OD＝AC在eq\o\ac(△,Rt)AEF，∵AEF°∴＝＝AE5＝25AE＝143∴BE＝－＝－143＝．2015資)圖，在△中BC是AB為直徑的⊙O切線，且O與AC交于點(diǎn)DE為的點(diǎn)，連結(jié)求證：是的線；連結(jié)AE，若C＝45°求CAE的．解：(1)連結(jié)OD，BD，∵OD＝OB∴ODB∠OBD.是直徑∴∠ADB90∴CDB90°∵為BC的點(diǎn)，∴DEBE∴＝EBD，∴∠ODB＋∠＝∠OBD＋∠EBD，即EDO＝∠∵BC是AB為徑的O的切線，AB⊥BC∴EBO＝°，∴ODE＝°，∴是⊙O的線過點(diǎn)E作⊥于點(diǎn)F，設(shè)EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF△ABC都等直角三角形，CF＝＝，∴BE＝＝，AB＝＝在eq\o\ac(△,Rt)ABE中AE＝AB2＋BE2＝，∴∠＝EFAE．如圖，△ABC內(nèi)于O直徑BD交AC于，過點(diǎn)作FGAB交AC于點(diǎn)，交AB于H，O于G.求證：＝；若⊙O半徑為12，且OEOFOD∶∶，求陰影部分的面積．結(jié)果保留根號(hào)解：(1)∵是徑，∴＝°∵⊥AB∴DAFO∴△FOE∽△，＝OEDE，即OF?DE＝OE是BD的點(diǎn)DA∥，∴＝，?DE?∵⊙O的半徑為12且∶OFOD＝∶3，∴＝4ED＝＝6，OH＝在eq\o\ac(△,Rt)中＝2OH，∴OBH＝°，∴∠BOH＝°BH＝BOsin60°×32＝，S陰S扇形－△OHB＝×π－××63＝π－183-2-

類型三圓與二次函的綜合．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(，0)，B(1，，且以為直的圓交y軸的正半軸于點(diǎn)，2)過點(diǎn)作的線交軸點(diǎn)D.求過ABC三的拋物線的解析式；求點(diǎn)的標(biāo)；設(shè)平行于x的直線交拋物線于，點(diǎn)，問：是否存在以線段EF為徑的圓，恰好與x軸切？若存在，求出該圓的半徑，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)y＝－－32x＋2以AB為徑圓的圓心坐標(biāo)為O′－，，∴O＝，OO∵CD為圓′切線，O′C⊥CD，∴∠′＋∠DCO90又∵∠CO′＋∠′CO＝°，∴∠′Oeq\o\ac(△,O)eq\o\ac(△,)∽△CDO∴′OOC，322＝2OD，OD，∴點(diǎn)D的標(biāo)(83，0)存在拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－32設(shè)滿足條件的圓的半徑為，點(diǎn)的坐標(biāo)(－32，r)或－32－，r)而點(diǎn)在物線y＝－－＋2上∴＝12(32＋|r|)2－32(－32＋＋，∴r1＝－1＋，r2－－292(舍去)．故存在以線段為徑的圓，恰好與x軸切，該圓的半徑為1．如圖，拋物線y

－3軸于A，B兩，與y軸于點(diǎn)，過A，，三點(diǎn)的圓的圓心M(1，恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上，M半徑為.⊙M與y軸于D，物的頂點(diǎn)為求m的及拋物線的解析；設(shè)∠＝，∠＝，(αβ)的；探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P，A，C頂點(diǎn)的三角形與△BCE相？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的置，并直接寫出點(diǎn)的標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解(1)由題意，可知C(0，，b2a，∴拋物線的解析式為y＝－2ax－＞0)M作MN軸點(diǎn)，連結(jié)CM，則MN＝1，CM＝5CN，于是＝－同理，可求得B(3，，∴a－×3－30解得＝∴拋物的解析式為＝x2－2x由(1)得，A(，0)E(1，－4)，D(0，1)，∴BCE為直角三角形＝32，CE＝，∴＝＝3BCCE322＝3＝BCCE即OBBC，∴eq\o\ac(△,Rt)BODeq\o\ac(△,Rt)BCE，得CBE＝∠OBDβ，因此α－β)∠DBCOBD)sin∠＝COBC顯然eq\o\ac(△,Rt)COARtBCE此時(shí)點(diǎn)O(0，．過點(diǎn)A作AP2AC交y軸正半軸于點(diǎn)，由eq\o\ac(△,Rt)∽