中南大學(xué)考試試卷(B)2008--2009學(xué)年第二學(xué)期 時間110分鐘復(fù)變函數(shù)與積分變換課程40學(xué)時2.5學(xué)分考試形式：閉專業(yè)年級教改信息班 總分100分，占總評成績70%注：此頁不作答題紙，請將答案寫在答題紙上一、單項選擇題（15分，每小題3分）z2,z01fz

z fz的連續(xù)點集合為（。0,z0（A）單連通區(qū)域 （B）多連通區(qū)域（C）開集非區(qū)域 （D）閉集非閉區(qū)域f(zu(xyiv(xy)u(xyv(xyxy0 0

可微是fz在點z x0

可微的（。0A充分但非必要條件C充分必要條件下列命題中，不正確的是（。

B必要但非充分條件D既非充分也非必要條件A如果無窮遠是f的可去奇那么Refz, 0BfD

z鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù),則f0

C冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是解析函數(shù).Dezi0I映射為單位圓1.eziczit，t12的線段，則argzdz（。cA4

B4

i 4

i

D1ifz在0z1內(nèi)解析且limzfz1，那么Resfz（。z0應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計試題第1頁共5頁A2i B2i C1 D1二、填空題（15分，每空3分）Ln1i的主值。函數(shù)z+Imz僅在點處可導(dǎo)。2n zn羅朗級數(shù)的 1n 1n1 收斂域。z3 3n1 n1映射w

1，將圓域z11映射為 。z1dz 。coszz1三．(10分求解析函數(shù)已知uy2 1i四．(20分求下列積分的值ezdzz2z12z4xsinx dxa00x2 a五．(15分若函數(shù) z在點z0

解析，試分析在下列情形：z0z0

為函數(shù)fz的m階零點；為函數(shù)fz的m階極點；fz求Res z 。fz 0ez2六（15分）寫出函數(shù) 的冪級數(shù)展開式至含項為止，并指出其收斂范圍。cosz七（10分）求函數(shù)ft1tut 3tsi傅氏變換。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計試題第2頁共5頁中南大學(xué)考試試卷答案(B)2008--2009學(xué)年第二學(xué)期 時間110分鐘復(fù)變函數(shù)與積分變換課程40學(xué)時2.5學(xué)分考試形式：閉專業(yè)年級教改信息班0701 總分100分，占總評成績70%注：此頁不作答題紙，請將答案寫在答題紙上2三、單項選擇題（15分，每小題3分）1．A。2．B。3．A。4．C。5．C。四、填空題（15分，每空3分）2ln

i。2．i 。3．2z33。4．半平面Rew1。5．0。4 2三．(10分)解:容易驗證u是全平面的調(diào)和函數(shù)。利用C-R條件，先求出v的兩個偏導(dǎo)數(shù)。v

2yx,

u

2xyx y y xv(x,y)x,y2yxdx2xydyC0,0xxdxy2xydyC0 01 1x22xy y2C2 2四．(20分)求下列積分的值1．ei這里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在實軸上無孤立奇點，因而所求的積分是存在的x2

xa2

eixdx2πiRes[R(z)eiz,ai]ilim

zeiz

2πi πieaeziaziae因此

xsin

dxIm(1 x

eixdx)

1ea.0 x2

a2

2

x2a2 2五．(15分)應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計試題第3頁共5頁解:函數(shù)z在點z0

解析等價于在z的一個鄰域內(nèi)0nzzzz0

zz0

0 zzn!

n為fz的階零點等價于在z的一個鄰域內(nèi)fzzz

mz其中

在點z0

解析,z

0 00,于是在z的去心領(lǐng)域0fz z z

z

zz

z

0 m z

n1z

f z zz0

z zz000

n1 n!

z Res

z

fz,zz fz 2與上面類似Resz ,z zfz 0 0 六．函數(shù)ez2

距原點最近的奇點

,其距離就是函數(shù)在冪級數(shù)展開式的收斂半徑, cosz 1 12即R=

,z2

2由ez 1z22!z4n!z2n

z,1 1 n cosz12!z24!z4

2n

z2n z及冪級數(shù)的除法,可設(shè)ez2 cosz

cz

z2z20 1 2 2ez2與cosz2n,cc1 3

02!1 1 2!

1

n 于1z2 z4 z2n

ccz21 z2 z4

z2n2! n!

0 2

2n! 比較同次系數(shù)得c

1,c

3,c

29,ez2

0 2 2 4 243 29 故cos

1z2 z4z z 2 24（10分）

2證明F[tu(t)]1