機械振動基礎(chǔ)※

引言※單自由度系統(tǒng)的自由振動※計算固有頻率的能量法※單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動※單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動※單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動※

結(jié)論與討論機械振動基礎(chǔ)※引言※單自由度系統(tǒng)的自由振1

引言

振動是一種運動形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運動。

物理學(xué)知識的深化和擴展－物理學(xué)中研究質(zhì)點的振動；工程力學(xué)研究研究系統(tǒng)的振動，以及工程構(gòu)件和工程結(jié)構(gòu)的振動。

振動屬于動力學(xué)第二類問題－已知主動力求運動。引言振動是一種運動形態(tài)，是指物體在平2

振動問題的研究方法－與分析其他動力學(xué)問題相類似：選擇合適的廣義坐標(biāo)；分析運動；分析受力；選擇合適的動力學(xué)定理；建立運動微分方程；求解運動微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。振動問題的研究方法－與分析其他動選擇合適的廣義3

振動問題的研究方法－與分析其他動力學(xué)問題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點。

研究振動問題所用的動力學(xué)定理：矢量動力學(xué)基礎(chǔ)中的－動量定理；動量矩定理；動能定理；達朗貝爾原理。分析動力學(xué)基礎(chǔ)中的－拉格朗日方程。振動問題的研究方法－與分析其他動力學(xué)問題不同的是：一4

按激勵特性劃分：振動問題的分類

自由振動－沒有外部激勵，或者外部激勵除去后，系統(tǒng)自身的振動。

參激振動－激勵源為系統(tǒng)本身含隨時間變化的參數(shù)，這種激勵所引起的振動。

自激振動－系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運動所誘發(fā)和控制的激勵下發(fā)生的振動。

受迫振動－系統(tǒng)在作為時間函數(shù)的外部激勵下發(fā)生的振動，這種外部激勵不受系統(tǒng)運動的影響。按激勵特性劃分：振動問題的分類自由振5

按系統(tǒng)特性或運動微分方程類型劃分：

線性振動－系統(tǒng)的運動微分方程為線性方程的振動。

非線性振動－系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時，將得到非線性運動微分方程，這種系統(tǒng)的振動稱為非線性振動。

按系統(tǒng)的自由度劃分：

單自由度振動－一個自由度系統(tǒng)的振動。

多自由度振動－兩個或兩個以上自由度系統(tǒng)的振動。

連續(xù)系統(tǒng)振動－連續(xù)彈性體的振動。這種系統(tǒng)具有無窮多個自由度。按系統(tǒng)特性或運動微分方程類型劃分：線性振動－6§19-1單自由度系統(tǒng)的自由振動l0mkkxOxl0stFW1.自由振動微分方程l0——彈簧原長；k——彈簧剛性系數(shù)；st——彈簧的靜變形；取靜平衡位置為坐標(biāo)原點，x向下為正，則有：§19-1單自由度系統(tǒng)的自由振動l0mkkxOxl07A——振幅；n——固有頻率；（n+）——相位；

——初相位。A——振幅；8單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程物理學(xué)基礎(chǔ)的擴展這一方程，可以擴展為廣義坐標(biāo)的形式單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程物理學(xué)基礎(chǔ)的擴9機械振動基礎(chǔ)培訓(xùn)講義課件10例題1mv提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截面積A＝2.89×10－4m2，材料的彈性模量E＝200GPa。重物的質(zhì)量m＝6000kg，以勻速v＝0.25m/s下降。當(dāng)重物下降到l＝25m

時，鋼絲繩上端突然被卡住。l求：（1）重物的振動規(guī)律；（2）鋼絲繩承受的最大張力。

解：鋼絲繩－重物系統(tǒng)可以簡化為彈簧－物塊系統(tǒng),彈簧的剛度為例題1mv提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截l求：（111mk靜平衡位置Ox設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時t＝0，這時重物的位置為初始平衡位置；以重物在鉛垂方向的位移x作為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動方程為方程的解為利用初始條件求得mk靜平衡位置Ox設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時t＝0，方程的12mk靜平衡位置OxmxWFT（2）鋼絲繩承受的最大張力。取重物為研究對象mk靜平衡位置OxmxWFT（2）鋼絲繩承受的最大張力。取重13l固定端均質(zhì)等截面懸臂梁，長度為l,彎曲剛度為EI。梁的自由端放置一質(zhì)量為m的物塊。若不計梁的質(zhì)量。試寫出梁－物塊系統(tǒng)的運動微分方程。例題2mEIl固定端ystOy考察梁和物塊所組成的系統(tǒng)。以物塊鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)q=y,坐標(biāo)原點O設(shè)在梁變形后的平衡位置，這一位置與變形前的位置之間的距離，即為物塊靜載作用下的撓度，亦即靜撓度，用yst表示。l固定端均質(zhì)等截面懸臂梁，長度為l,例題2mEI14分析物塊運動到任意位置(坐標(biāo)為y)時，物塊的受力：應(yīng)用牛頓第二定律W=mgF分析物塊運動到任意位置(坐標(biāo)為y)時，梁的自由端位移與力之間的關(guān)系EIl固定端F'yystmEIl固定端Oy分析物塊運動到任意位置(坐標(biāo)為y)時，物塊的受力：應(yīng)15此即梁－物塊的運動微分方程此即梁－物塊的運動微分方程16串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度k1k2mgk1mgk21.串聯(lián)串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度k1k2mgk1mgk21.串17k1k2mk1k2mmgF1F22.并聯(lián)k1k2mk1k2mmgF1F22.并聯(lián)18k4k3k2k1m圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，它們的剛度系數(shù)分別為k1、k2、k3、k4且k1=2

k2

=3

k3=4

k4。假設(shè)質(zhì)量為的物塊被限制在光滑鉛直滑道中作平動。例題3試求此系統(tǒng)的固有頻率。解：（1）計算3、4的等效剛度（2）計算2、3、4的等效剛度k4k3k2k1m圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，19k4k3k2k1m解：（1）計算3、4的等效剛度（2）計算2、3、4的等效剛度（3）計算系統(tǒng)的等效剛度（4）計算系統(tǒng)的固有頻率k4k3k2k1m解：（1）計算3、4的等效剛度（2）計算220？1mkO在圖中，當(dāng)把彈簧原長在中點O固定后，系統(tǒng)的固有頻率與原來的固有頻率的比值為。kkml在圖中，當(dāng)物塊在中點時其系統(tǒng)的固有頻率為n0，現(xiàn)將物塊改移至距上端處，則其固有頻率=

n0。

？2？1mkO在圖中，當(dāng)把彈簧原長在中點O固定后，kkml21mkal例題4圖示結(jié)構(gòu)中，桿在水平位置處于平衡，若k、m、a、l

等均為已知。

求：系統(tǒng)微振動的固有頻率mgF解：取靜平衡位置為其坐標(biāo)原點，由動量矩定理，得在靜平衡位置處，有mkal例題4圖示結(jié)構(gòu)中，桿在水平位置處于平22mkalmgF在靜平衡位置處，有mkalmgF在靜平衡位置處，有23§19-2計算固有頻率的能量法mk靜平衡位置Ox物塊的動能為取靜平衡位置為零勢能點，有在靜平衡位置處，有§19-2計算固有頻率的能量法mk靜平衡位置Ox物塊的24物塊在平衡位置處，其動能最大物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢能最大無阻尼自由振動系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒物塊在平衡位置處，其動能最大物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢25mkal解：設(shè)OA桿作自由振動時，其擺角的變化規(guī)律為系統(tǒng)的最大動能為系統(tǒng)的最大勢能為由機械能守恒定律有例題5由能量法解例題4mkal解：設(shè)OA桿作自由振動時，系統(tǒng)的最大動能為系統(tǒng)的最26例題6半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的剛性圓槽內(nèi)作純滾動。求：1、圓柱體的運動微分方程；2、微振動固有頻率。RCO例題6半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)求：2、微振動固有27RCO解：取擺角為廣義坐標(biāo)由運動學(xué)可知：系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能拉氏函數(shù)為RCO解：取擺角為廣義坐標(biāo)由運動學(xué)可知：系統(tǒng)的動能系28RCORCO29RCORCO30RCO例題7由能量法求固有頻率解：設(shè)擺角的變化規(guī)律為系統(tǒng)的最大動能為取平衡位置處為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能為RCO例題7由能量法求固有頻率解：設(shè)擺角的變化規(guī)31RCO由機械能守恒定律有RCO由機械能守恒定律有32§19-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動

阻尼－系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤滑表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的阻力。物體運動沿潤滑表面的阻力與速度的關(guān)系C－粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù)1.阻尼§19-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動阻尼－系統(tǒng)332.振動微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置為坐標(biāo)原點，在建立此系統(tǒng)的振動微分方程時，可以不再計入重力的影響。物塊的運動微分方程為2.振動微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置為坐標(biāo)原點34本征方程本征值本征值與運動微分方程的通解的形式與阻尼比有關(guān)。設(shè)其解為其通解為本征方程本征值本征值與運動微分方程的通解的形式與阻尼比有關(guān)。353.小阻尼情形當(dāng)n<

n時，阻尼系數(shù)，這時阻尼較小，稱為小阻尼情形。其兩個根為共軛復(fù)數(shù)，即：其方程的解為利用初始條件求得或3.小阻尼情形當(dāng)n<n時，阻尼系數(shù)36TdA2A1衰減振動的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振動和相應(yīng)的無阻尼自由振動間的關(guān)系：TdA2A1衰減振動的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振動和相37大阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形

這兩種情形下，運動不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減>1＝1xOt大阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形這兩種情形38§19-4單自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動km0e受迫振動系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動。激勵形式

外界激勵一般為時間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。

簡諧激勵是最簡單的激勵。一般的周期性激勵可以通過傅里葉級數(shù)展開成簡諧激勵的疊加。§19-4單自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動km0e受迫振動39FkF1.振動微分方程mOxx振動微分方程FkF1.振動微分方程mOxx振動微分方程40微分方程的解為：將x2代入微分方程，得解得微分方程的解為：將x2代入微分方程，得解得412.受迫振動的振幅幅頻特性曲線2.受迫振動的振幅幅頻特性曲線423.共振現(xiàn)象當(dāng)＝n

時，激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，振幅在理論上應(yīng)趨于無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。這表明無阻尼系統(tǒng)發(fā)生共振時，振幅將隨時間無限地增大。3.共振現(xiàn)象當(dāng)＝n時，激振力頻率等于系統(tǒng)這表明43§19-5單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動FkmcFmOxFkFc

這一微分方程的全解等于齊次方程的全解與非齊次方程的特解之和?！?9-5單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動FkmcFmOxF44有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解代入微分方程，解得有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解代入微分方程，解得45運動微分方程的通解為：在簡諧激勵的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)由二部分組成：第一部分是衰減振動；第二部分是受迫振動。引入：運動微分方程的通解為：在簡諧激勵的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)464748幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，

→1，＝0，響應(yīng)與激勵同相；對于不同的

值，曲線密集，阻尼影響不大。2、>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，

→0，→

，響應(yīng)與激勵反相；阻尼影響也不大。幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或49幅頻特性與相頻特性在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)<<1時，由于阻尼影響不大，為了簡化計算，可將有阻尼系統(tǒng)簡化為無阻尼系統(tǒng)。幅頻特性與相頻特性在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)50幅頻特性與相頻特性3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，

急劇增大并在

＝1略為偏左處有峰值。通常將＝1，即＝n稱為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小，＝1時，總有，＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。幅頻特性與相頻特性3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，51例題8慣性測振儀的內(nèi)部安裝有“質(zhì)量(m)－彈簧(k)－阻尼器(c)”系統(tǒng)。測振儀外殼安置在被測振動的物體上。儀器內(nèi)置質(zhì)量塊相對于外殼(被測振動的物體)的運動被轉(zhuǎn)換成電信號輸出。當(dāng)被測振動的物體的運動規(guī)律為xe=asint時，試分析儀器內(nèi)置質(zhì)量塊相對于外殼(被測振動的物體)的振動。kcm例題8慣性測振儀的內(nèi)部安裝kcm52

解：在測振儀外殼上固結(jié)動坐標(biāo)系O－xr，系統(tǒng)的牽連運動為平移。以質(zhì)量塊相對于儀器外殼(被測振動的物體)的位移xe作為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的運動為非慣性系運動。應(yīng)用達朗貝爾原理，在質(zhì)量塊上附加慣性力Fe，建立系統(tǒng)的運動微分方程。kcmFexrOxeO1解：在測振儀外殼上固kcmFexrOxeO153

解：應(yīng)用達朗貝爾原理，在質(zhì)量塊上附加慣性力Fe，建立系統(tǒng)的運動微分方程。kcmFexrOxeO1其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為解：應(yīng)用達朗貝爾原理，在kcmFexrOxe54解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性與相頻特性曲線幅頻特性曲線的特點：

在高頻區(qū)，當(dāng)>>1時，B/a→1

。因此，設(shè)計時應(yīng)當(dāng)使測振儀具有比較低的固有頻率，才能有比較大的

值。

被測頻率愈高，測量精度也高；被測頻率低，測量精度便低。對于同一

值，阻尼較大時，B/a趨近于1。解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性與相頻特性曲線幅頻特性55例題9工作臺ckmxe已知：m、k、c,xe=asint

試分析：儀器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

解：假設(shè)觀察者在不動的地面上觀察儀器的運動，儀器在鉛垂方向的位移x作為廣義坐標(biāo)，以平衡位置為廣義坐標(biāo)的原點。儀器的運動方程為Ox例題9工作臺ckmxe已知：m、k、c,xe56

激勵由兩部分組成：一部分是彈簧的運動激勵，其幅值與激勵頻率無關(guān)；另一部分是阻尼的運動激勵，其幅值與繳勵頻率成正比，且相位比彈簧激勵超前/2。根據(jù)疊加原理，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也由兩部分疊加而成:對于僅有彈簧的運動激勵，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差激勵由兩部分組成：一部分是彈簧的運動激勵，其幅值與激57對于僅有阻尼的運動激勵，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差對于僅有阻尼的運動激勵，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差58機械振動基礎(chǔ)培訓(xùn)講義課件59幅頻特性和相頻特性曲線幅頻特性和相頻特性曲線60本例所研究的實際上是隔振問題－將外界振源盡可能與研究對象隔離（稱為被動隔振）。為取得隔振效果，即儀器振幅B小于振源振幅a，應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計隔振層的剛度k？對于隔振效果，阻尼大一點好還是小一點好？關(guān)于本例的討論本例所研究的實際上是隔振問題－將外界振源盡關(guān)于本例的61單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力和激勵力在一個周期內(nèi)怎樣作功？又有怎樣的能量關(guān)系呢？無阻尼自由振動系統(tǒng)機械能守恒，既無能量的損耗又無外界能量的輸入，一個周期內(nèi)僅有系統(tǒng)動能和勢能的轉(zhuǎn)換。有阻尼自由振動阻尼不斷耗散能量，而外界又無能量補充，因此振動幅值隨時間衰減。受迫振動單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系慣62單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系根據(jù)力在dt時間內(nèi)所作之元功dW=Fvdt當(dāng)力和速度同相位時，每一時刻都作正功；而當(dāng)力和速度反相位時，每一時刻都作負(fù)功。

阻尼力和速度反相，因此始終作負(fù)功，在一個周期內(nèi)所作的負(fù)功為單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系根據(jù)力在d63單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系若力與速度相位相差/2，則力在一個周期內(nèi)作功等于零。慣性力和彈性恢復(fù)力的相位都與速度相位相差/2，因此，慣性力與彈性恢復(fù)力在一個周期內(nèi)所作之功都作功等于零。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系若64單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系激勵力超前位移相位，可將其分解為與速度和位移同相位的兩部分。對于微分方程簡諧激勵力第二部分的相位與位移的相位相同，一個周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵力在一個周期內(nèi)所作之功為單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系激65單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系第二部分的相位與位移的相位相同，一個周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵力在一個周期內(nèi)所作之功為這表明，穩(wěn)態(tài)受迫振動一個周期內(nèi)激勵力所作之功等于阻尼力耗散的能量。這就可以解釋為什么有阻尼系統(tǒng)受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有一個穩(wěn)定的振幅。根據(jù)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的表達式有單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系第66單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系因為在一個周期內(nèi)激勵力所作之功與振幅成正比，而阻尼耗散的能量與振幅平方成正比，當(dāng)振動幅值還未達到穩(wěn)定值B0時，激勵力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅將增加。當(dāng)振幅到達B0時，激勵力所作之功與阻尼耗散的能量相等，系統(tǒng)能夠維持等幅振動。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系因67單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系若由于某種干擾使振幅大于B0時，阻尼耗散的能量大于激勵力所作之功，振幅又會衰減，直至在B0處又維持穩(wěn)定的振幅。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系若68

結(jié)論與討論

按激勵不同，可將振動分為自由振動、強迫振動和自激振動等，若按系統(tǒng)特性分類，則可分為線性振動和非線性振動。

關(guān)于振動概念

工程力學(xué)將振動的概念從物理學(xué)中的單個質(zhì)點擴展到系統(tǒng)。系統(tǒng)可以是單自由度，也可以是多自由度，乃至無限多自由度。系統(tǒng)要產(chǎn)生振動必須有內(nèi)因和外因：內(nèi)因是系統(tǒng)本身既要有彈性又要有慣性，二者缺一不可。對有阻尼系統(tǒng)，僅在弱阻尼時運動才有振動形態(tài)。外因是系統(tǒng)要受到激勵。結(jié)論與討論按激勵不同，可將振動分為自69

結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程建立系統(tǒng)運動方程屬于動力學(xué)第二類問題，即：已知主動力求運動的問題。主要過程與求解動力學(xué)其它問題相似，但振動問題還要注意廣義坐標(biāo)原點的選擇，通常以靜平衡位置作為廣義坐標(biāo)原點。結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程建立系70

結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學(xué)原理

拉格朗日方程－對于無阻尼的情形結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程建立振動系統(tǒng)運71

結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學(xué)原理

拉格朗日方程－對于有阻尼的情形結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程建立振動系統(tǒng)運72

結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程

動量矩定理－對于有一固定軸，并且繞固定軸轉(zhuǎn)動的系統(tǒng)，特別對于扭轉(zhuǎn)振動的情形，采用動量矩定理更好。JO－系統(tǒng)繞固定軸O的轉(zhuǎn)動慣量的代數(shù)和；LO－所有外力對固定軸O之矩的代數(shù)和。力矩方向

與廣義坐標(biāo)方向相同時為正，反之為負(fù)。建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學(xué)原理結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程動量矩定理－對73

結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程

機械能守恒－對于沒有能量損耗的保守系統(tǒng)建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學(xué)原理結(jié)論與討論關(guān)于運動微分方程機械能守恒－對74

結(jié)論與討論有阻尼系統(tǒng)僅在弱阻尼時才有振動形態(tài)，阻尼使自由振動頻率略有降低使振幅按指數(shù)衰減，振動過程中有能量耗散。單自由度線性系統(tǒng)自由振動要點固有頻率是系統(tǒng)的固有屬性，它僅與系統(tǒng)的等效剛度和等效質(zhì)量有關(guān)。無阻尼系統(tǒng)的自由振動是簡諧振動，其頻率就是固有頻率；振幅和初相位取決于初始條件；振動過程中沒有能量的補充或耗散。結(jié)論與討論有阻尼系統(tǒng)僅在弱阻尼時才有振動形態(tài)，75

結(jié)論與討論單自由度線性系統(tǒng)簡諧激勵的受迫振動要點激勵引起的穩(wěn)態(tài)受迫振動，即微分方程的特解。振動頻率為激勵頻率。即使系統(tǒng)有阻尼，振幅也不會隨時間衰減。簡諧激勵的響應(yīng)包括三部分：激勵引起的自由振動，頻率也為d，振幅與激勵有關(guān)。

這兩部分振動疊加就是運動微分方程滿足初始條件的齊次解。對有阻尼系統(tǒng)，它們的振幅隨時間衰減。穩(wěn)態(tài)受迫振動中最重要的是共振區(qū)、彈性區(qū)和慣性區(qū)幅頻特性和相頻特性研究。初始條件引起的自由振動，頻率為d，振幅與激勵無關(guān)。結(jié)論與討論單自由度線性系統(tǒng)激勵引起76

結(jié)論與討論單自由度線性系統(tǒng)簡諧激勵的受迫振動要點

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅是穩(wěn)定的，不會因受干擾而偏離；無阻尼系統(tǒng)共振時，振幅將越來越大。這些現(xiàn)象都可以由穩(wěn)態(tài)受迫振動中的能量關(guān)系加以解釋。結(jié)論與討論單自由度線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響77

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動的概念結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)78

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動的概念結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)79

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動的概念結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)80

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動的概念對于多自由度系統(tǒng)，固有頻率怎樣定義？多自由度系統(tǒng)的振動有什么特點？多自由度系統(tǒng)的自由振動是否也是簡諧振動？結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)對于多自由度系統(tǒng)81

結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)振動的概念

一般情形下，多自由度系統(tǒng)的自由振動并不是簡諧振動。但在特定條件下可以是簡諧振動，此時系統(tǒng)各質(zhì)點同步到達最大偏離位置或同步到達平衡位置。結(jié)論與討論多自由度線性系統(tǒng)一般情形下，82謝謝大家返回本章目錄頁謝謝大家返回本章目錄頁83機械振動基礎(chǔ)※

引言※單自由度系統(tǒng)的自由振動※計算固有頻率的能量法※單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動※單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動※單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動※

結(jié)論與討論機械振動基礎(chǔ)※引言※單自由度系統(tǒng)的自由振84

引言

振動是一種運動形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運動。

物理學(xué)知識的深化和擴展－物理學(xué)中研究質(zhì)點的振動；工程力學(xué)研究研究系統(tǒng)的振動，以及工程構(gòu)件和工程結(jié)構(gòu)的振動。

振動屬于動力學(xué)第二類問題－已知主動力求運動。引言振動是一種運動形態(tài)，是指物體在平85

振動問題的研究方法－與分析其他動力學(xué)問題相類似：選擇合適的廣義坐標(biāo)；分析運動；分析受力；選擇合適的動力學(xué)定理；建立運動微分方程；求解運動微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。振動問題的研究方法－與分析其他動選擇合適的廣義86

振動問題的研究方法－與分析其他動力學(xué)問題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點。

研究振動問題所用的動力學(xué)定理：矢量動力學(xué)基礎(chǔ)中的－動量定理；動量矩定理；動能定理；達朗貝爾原理。分析動力學(xué)基礎(chǔ)中的－拉格朗日方程。振動問題的研究方法－與分析其他動力學(xué)問題不同的是：一87

按激勵特性劃分：振動問題的分類

自由振動－沒有外部激勵，或者外部激勵除去后，系統(tǒng)自身的振動。

參激振動－激勵源為系統(tǒng)本身含隨時間變化的參數(shù)，這種激勵所引起的振動。

自激振動－系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運動所誘發(fā)和控制的激勵下發(fā)生的振動。

受迫振動－系統(tǒng)在作為時間函數(shù)的外部激勵下發(fā)生的振動，這種外部激勵不受系統(tǒng)運動的影響。按激勵特性劃分：振動問題的分類自由振88

按系統(tǒng)特性或運動微分方程類型劃分：

線性振動－系統(tǒng)的運動微分方程為線性方程的振動。

非線性振動－系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時，將得到非線性運動微分方程，這種系統(tǒng)的振動稱為非線性振動。

按系統(tǒng)的自由度劃分：

單自由度振動－一個自由度系統(tǒng)的振動。

多自由度振動－兩個或兩個以上自由度系統(tǒng)的振動。

連續(xù)系統(tǒng)振動－連續(xù)彈性體的振動。這種系統(tǒng)具有無窮多個自由度。按系統(tǒng)特性或運動微分方程類型劃分：線性振動－89§19-1單自由度系統(tǒng)的自由振動l0mkkxOxl0stFW1.自由振動微分方程l0——彈簧原長；k——彈簧剛性系數(shù)；st——彈簧的靜變形；取靜平衡位置為坐標(biāo)原點，x向下為正，則有：§19-1單自由度系統(tǒng)的自由振動l0mkkxOxl090A——振幅；n——固有頻率；（n+）——相位；

——初相位。A——振幅；91單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程物理學(xué)基礎(chǔ)的擴展這一方程，可以擴展為廣義坐標(biāo)的形式單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程物理學(xué)基礎(chǔ)的擴92機械振動基礎(chǔ)培訓(xùn)講義課件93例題1mv提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截面積A＝2.89×10－4m2，材料的彈性模量E＝200GPa。重物的質(zhì)量m＝6000kg，以勻速v＝0.25m/s下降。當(dāng)重物下降到l＝25m

時，鋼絲繩上端突然被卡住。l求：（1）重物的振動規(guī)律；（2）鋼絲繩承受的最大張力。

解：鋼絲繩－重物系統(tǒng)可以簡化為彈簧－物塊系統(tǒng),彈簧的剛度為例題1mv提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截l求：（194mk靜平衡位置Ox設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時t＝0，這時重物的位置為初始平衡位置；以重物在鉛垂方向的位移x作為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動方程為方程的解為利用初始條件求得mk靜平衡位置Ox設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時t＝0，方程的95mk靜平衡位置OxmxWFT（2）鋼絲繩承受的最大張力。取重物為研究對象mk靜平衡位置OxmxWFT（2）鋼絲繩承受的最大張力。取重96l固定端均質(zhì)等截面懸臂梁，長度為l,彎曲剛度為EI。梁的自由端放置一質(zhì)量為m的物塊。若不計梁的質(zhì)量。試寫出梁－物塊系統(tǒng)的運動微分方程。例題2mEIl固定端ystOy考察梁和物塊所組成的系統(tǒng)。以物塊鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)q=y,坐標(biāo)原點O設(shè)在梁變形后的平衡位置，這一位置與變形前的位置之間的距離，即為物塊靜載作用下的撓度，亦即靜撓度，用yst表示。l固定端均質(zhì)等截面懸臂梁，長度為l,例題2mEI97分析物塊運動到任意位置(坐標(biāo)為y)時，物塊的受力：應(yīng)用牛頓第二定律W=mgF分析物塊運動到任意位置(坐標(biāo)為y)時，梁的自由端位移與力之間的關(guān)系EIl固定端F'yystmEIl固定端Oy分析物塊運動到任意位置(坐標(biāo)為y)時，物塊的受力：應(yīng)98此即梁－物塊的運動微分方程此即梁－物塊的運動微分方程99串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度k1k2mgk1mgk21.串聯(lián)串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度k1k2mgk1mgk21.串100k1k2mk1k2mmgF1F22.并聯(lián)k1k2mk1k2mmgF1F22.并聯(lián)101k4k3k2k1m圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，它們的剛度系數(shù)分別為k1、k2、k3、k4且k1=2

k2

=3

k3=4

k4。假設(shè)質(zhì)量為的物塊被限制在光滑鉛直滑道中作平動。例題3試求此系統(tǒng)的固有頻率。解：（1）計算3、4的等效剛度（2）計算2、3、4的等效剛度k4k3k2k1m圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，102k4k3k2k1m解：（1）計算3、4的等效剛度（2）計算2、3、4的等效剛度（3）計算系統(tǒng)的等效剛度（4）計算系統(tǒng)的固有頻率k4k3k2k1m解：（1）計算3、4的等效剛度（2）計算2103？1mkO在圖中，當(dāng)把彈簧原長在中點O固定后，系統(tǒng)的固有頻率與原來的固有頻率的比值為。kkml在圖中，當(dāng)物塊在中點時其系統(tǒng)的固有頻率為n0，現(xiàn)將物塊改移至距上端處，則其固有頻率=

n0。

？2？1mkO在圖中，當(dāng)把彈簧原長在中點O固定后，kkml104mkal例題4圖示結(jié)構(gòu)中，桿在水平位置處于平衡，若k、m、a、l

等均為已知。

求：系統(tǒng)微振動的固有頻率mgF解：取靜平衡位置為其坐標(biāo)原點，由動量矩定理，得在靜平衡位置處，有mkal例題4圖示結(jié)構(gòu)中，桿在水平位置處于平105mkalmgF在靜平衡位置處，有mkalmgF在靜平衡位置處，有106§19-2計算固有頻率的能量法mk靜平衡位置Ox物塊的動能為取靜平衡位置為零勢能點，有在靜平衡位置處，有§19-2計算固有頻率的能量法mk靜平衡位置Ox物塊的107物塊在平衡位置處，其動能最大物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢能最大無阻尼自由振動系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒物塊在平衡位置處，其動能最大物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢108mkal解：設(shè)OA桿作自由振動時，其擺角的變化規(guī)律為系統(tǒng)的最大動能為系統(tǒng)的最大勢能為由機械能守恒定律有例題5由能量法解例題4mkal解：設(shè)OA桿作自由振動時，系統(tǒng)的最大動能為系統(tǒng)的最109例題6半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的剛性圓槽內(nèi)作純滾動。求：1、圓柱體的運動微分方程；2、微振動固有頻率。RCO例題6半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)求：2、微振動固有110RCO解：取擺角為廣義坐標(biāo)由運動學(xué)可知：系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能拉氏函數(shù)為RCO解：取擺角為廣義坐標(biāo)由運動學(xué)可知：系統(tǒng)的動能系111RCORCO112RCORCO113RCO例題7由能量法求固有頻率解：設(shè)擺角的變化規(guī)律為系統(tǒng)的最大動能為取平衡位置處為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能為RCO例題7由能量法求固有頻率解：設(shè)擺角的變化規(guī)114RCO由機械能守恒定律有RCO由機械能守恒定律有115§19-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動

阻尼－系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤滑表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的阻力。物體運動沿潤滑表面的阻力與速度的關(guān)系C－粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù)1.阻尼§19-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動阻尼－系統(tǒng)1162.振動微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置為坐標(biāo)原點，在建立此系統(tǒng)的振動微分方程時，可以不再計入重力的影響。物塊的運動微分方程為2.振動微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置為坐標(biāo)原點117本征方程本征值本征值與運動微分方程的通解的形式與阻尼比有關(guān)。設(shè)其解為其通解為本征方程本征值本征值與運動微分方程的通解的形式與阻尼比有關(guān)。1183.小阻尼情形當(dāng)n<

n時，阻尼系數(shù)，這時阻尼較小，稱為小阻尼情形。其兩個根為共軛復(fù)數(shù)，即：其方程的解為利用初始條件求得或3.小阻尼情形當(dāng)n<n時，阻尼系數(shù)119TdA2A1衰減振動的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振動和相應(yīng)的無阻尼自由振動間的關(guān)系：TdA2A1衰減振動的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振動和相120大阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形

這兩種情形下，運動不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減>1＝1xOt大阻尼(>1)情形臨界阻尼(＝1)情形這兩種情形121§19-4單自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動km0e受迫振動系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動。激勵形式

外界激勵一般為時間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。

簡諧激勵是最簡單的激勵。一般的周期性激勵可以通過傅里葉級數(shù)展開成簡諧激勵的疊加?！?9-4單自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動km0e受迫振動122FkF1.振動微分方程mOxx振動微分方程FkF1.振動微分方程mOxx振動微分方程123微分方程的解為：將x2代入微分方程，得解得微分方程的解為：將x2代入微分方程，得解得1242.受迫振動的振幅幅頻特性曲線2.受迫振動的振幅幅頻特性曲線1253.共振現(xiàn)象當(dāng)＝n

時，激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，振幅在理論上應(yīng)趨于無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。這表明無阻尼系統(tǒng)發(fā)生共振時，振幅將隨時間無限地增大。3.共振現(xiàn)象當(dāng)＝n時，激振力頻率等于系統(tǒng)這表明126§19-5單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動FkmcFmOxFkFc

這一微分方程的全解等于齊次方程的全解與非齊次方程的特解之和?！?9-5單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動FkmcFmOxF127有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解代入微分方程，解得有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解代入微分方程，解得128運動微分方程的通解為：在簡諧激勵的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)由二部分組成：第一部分是衰減振動；第二部分是受迫振動。引入：運動微分方程的通解為：在簡諧激勵的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)129130131幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，

→1，＝0，響應(yīng)與激勵同相；對于不同的

值，曲線密集，阻尼影響不大。2、>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，

→0，→

，響應(yīng)與激勵反相；阻尼影響也不大。幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或132幅頻特性與相頻特性在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)<<1時，由于阻尼影響不大，為了簡化計算，可將有阻尼系統(tǒng)簡化為無阻尼系統(tǒng)。幅頻特性與相頻特性在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)133幅頻特性與相頻特性3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，

急劇增大并在

＝1略為偏左處有峰值。通常將＝1，即＝n稱為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小，＝1時，總有，＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。幅頻特性與相頻特性3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，134例題8慣性測振儀的內(nèi)部安裝有“質(zhì)量(m)－彈簧(k)－阻尼器(c)”系統(tǒng)。測振儀外殼安置在被測振動的物體上。儀器內(nèi)置質(zhì)量塊相對于外殼(被測振動的物體)的運動被轉(zhuǎn)換成電信號輸出。當(dāng)被測振動的物體的運動規(guī)律為xe=asint時，試分析儀器內(nèi)置質(zhì)量塊相對于外殼(被測振動的物體)的振動。kcm例題8慣性測振儀的內(nèi)部安裝kcm135

解：在測振儀外殼上固結(jié)動坐標(biāo)系O－xr，系統(tǒng)的牽連運動為平移。以質(zhì)量塊相對于儀器外殼(被測振動的物體)的位移xe作為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的運動為非慣性系運動。應(yīng)用達朗貝爾原理，在質(zhì)量塊上附加慣性力Fe，建立系統(tǒng)的運動微分方程。kcmFexrOxeO1解：在測振儀外殼上固kcmFexrOxeO1136

解：應(yīng)用達朗貝爾原理，在質(zhì)量塊上附加慣性力Fe，建立系統(tǒng)的運動微分方程。kcmFexrOxeO1其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為解：應(yīng)用達朗貝爾原理，在kcmFexrOxe137解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性與相頻特性曲線幅頻特性曲線的特點：

在高頻區(qū)，當(dāng)>>1時，B/a→1

。因此，設(shè)計時應(yīng)當(dāng)使測振儀具有比較低的固有頻率，才能有比較大的

值。

被測頻率愈高，測量精度也高；被測頻率低，測量精度便低。對于同一

值，阻尼較大時，B/a趨近于1。解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性與相頻特性曲線幅頻特性138例題9工作臺ckmxe已知：m、k、c,xe=asint

試分析：儀器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

解：假設(shè)觀察者在不動的地面上觀察儀器的運動，儀器在鉛垂方向的位移x作為廣義坐標(biāo)，以平衡位置為廣義坐標(biāo)的原點。儀器的運動方程為Ox例題9工作臺ckmxe已知：m、k、c,xe139

激勵由兩部分組成：一部分是彈簧的運動激勵，其幅值與激勵頻率無關(guān)；另一部分是阻尼的運動激勵，其幅值與繳勵頻率成正比，且相位比彈簧激勵超前/2。根據(jù)疊加原理，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也由兩部分疊加而成:對于僅有彈簧的運動激勵，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差激勵由兩部分組成：一部分是彈簧的運動激勵，其幅值與激140對于僅有阻尼的運動激勵，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差對于僅有阻尼的運動激勵，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差141機械振動基礎(chǔ)培訓(xùn)講義課件142幅頻特性和相頻特性曲線幅頻特性和相頻特性曲線143本例所研究的實際上是隔振問題－將外界振源盡可能與研究對象隔離（稱為被動隔振）。為取得隔振效果，即儀器振幅B小于振源振幅a，應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計隔振層的剛度k？對于隔振效果，阻尼大一點好還是小一點好？關(guān)于本例的討論本例所研究的實際上是隔振問題－將外界振源盡關(guān)于本例的144單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力和激勵力在一個周期內(nèi)怎樣作功？又有怎樣的能量關(guān)系呢？無阻尼自由振動系統(tǒng)機械能守恒，既無能量的損耗又無外界能量的輸入，一個周期內(nèi)僅有系統(tǒng)動能和勢能的轉(zhuǎn)換。有阻尼自由振動阻尼不斷耗散能量，而外界又無能量補充，因此振動幅值隨時間衰減。受迫振動單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系慣145單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系根據(jù)力在dt時間內(nèi)所作之元功dW=Fvdt當(dāng)力和速度同相位時，每一時刻都作正功；而當(dāng)力和速度反相位時，每一時刻都作負(fù)功。

阻尼力和速度反相，因此始終作負(fù)功，在一個周期內(nèi)所作的負(fù)功為單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系根據(jù)力在d146單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系若力與速度相位相差/2，則力在一個周期內(nèi)作功等于零。慣性力和彈性恢復(fù)力的相位都與速度相位相差/2，因此，慣性力與彈性恢復(fù)力在一個周期內(nèi)所作之功都作功等于零。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系若147單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系激勵力超前位移相位，可將其分解為與速度和位移同相位的兩部分。對于微分方程簡諧激勵力第二部分的相位與位移的相位相同，一個周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵力在一個周期內(nèi)所作之功為單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系激148單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系第二部分的相位與位移的相位相同，一個周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵力在一個周期內(nèi)所作之功為這表明，穩(wěn)態(tài)受迫振動一個周期內(nèi)激勵力所作之功等于阻尼力耗散的能量。這就可以解釋為什么有阻尼系統(tǒng)受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有一個穩(wěn)定的振幅。根據(jù)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的表達式有單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系第149單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系因為在一個周期內(nèi)激勵力所作之功與振幅成正比，而阻尼耗散的能量與振幅平方成正比，當(dāng)振動幅值還未達到穩(wěn)定值B0時，激勵力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅將增加。當(dāng)振幅到達B0時，激勵力所作之功與阻尼耗散的能量相等，系統(tǒng)能夠維持等幅振動。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系因150單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動中的能量關(guān)系若由于某種干擾使振幅大于B0時，阻尼耗散的能量大于激勵力所作之功，振幅又會衰減，直至在B0處又維持穩(wěn)定的振幅。單自由度線性系統(tǒng)受迫振動中的能量關(guān)系