一元二次方程根的判別式知識點一元二次方程根的判別式知識點一元二次方程根的判別式知識點xxx公司一元二次方程根的判別式知識點文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計，管理制度一元二次方程根的判別式知識點及應(yīng)用1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若△＞0則方程有兩個不相等的實數(shù)根若△=0則方程有兩個相等的實數(shù)根若△＜0則方程沒有實數(shù)根2、這個定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△＞0若方程有兩個相等的實數(shù)根，則△=0若方程沒有實數(shù)根，則△＜0特別提示：（1）注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當(dāng)已知△值的符號時，使用定理；當(dāng)已知方程根的情況時，使用逆定理。（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（Δ=b24ac）判別式的情況根的情況定理與逆定理△＞0△＝0△＜03、一元二次方程根的判別式的多種應(yīng)用：不解方程，判斷一元二次方程根的情況。

例1、判斷下列方程根的情況

2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、

已知一元二次方程根的情況，求方程中字母系數(shù)所滿足的條件。

例2、當(dāng)m為何值時關(guān)于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0有兩個實數(shù)根三、

證明方程根的性質(zhì)。

例3、求證：無論m為任何實數(shù)，關(guān)于x的方程x2+（m2+3）x+(m2+2)=0恒有兩個不相等的實數(shù)根。四、

判斷二次三項式能否在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解。

例4、當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的二次三項式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在實數(shù)范圍

內(nèi)因式分解。五、

判定二次三項式為完全平方式。

例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。

例6、當(dāng)m為何值時，代數(shù)式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。

六、

利用判別式構(gòu)造一元二次方程。

例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）

求證：2y=x+z

七、

限制一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。

例8、已知關(guān)于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的兩個實數(shù)根的平方和為17，求k的值。八、

與幾何知識相聯(lián)系的問題。

例9、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有兩個相等的實數(shù)根，a、b、c為一三角形的三條邊，求此三角形的形狀。

例10、已知a、b、c為直角三角形的三條邊，c為斜邊，求證：關(guān)于x的方程

x2-2（a+b）x+c2+ab=0有兩個相等的實數(shù)根。

九、

判斷其他類方程根的情況。

例12、分式方程無實數(shù)根，求m的取值范圍。

例13、a、b、c為一三角形的三條邊長，若方程ax-y+bc=0與方程x2-ax-y+b2=0只有一組公共的實數(shù)解，求次三角形的形狀。

十、

解決二次函數(shù)的相關(guān)問題。

例14、若拋物線y=x2-ax+8的頂點在橫軸上，求a值。

例15、求證：無論m為何值，二次函數(shù)y=x2-（m+4）x+2（m-1）總與橫軸有兩個交點。

例16、直線y=3x-3與y=x2-x+1有幾個交點？

評析：二次函數(shù)與二次方程有密切的聯(lián)系，拋物線與橫軸交點個數(shù)由Δ決定，即Δ>0時，有兩個交點；Δ=0時，有一個交點（或者說頂點在橫軸上）；Δ<0時沒有交點（或者說當(dāng)a>0時函數(shù)值恒為正，當(dāng)a<0