第6章圖像變換（1）引言

圖像的數(shù)學(xué)變換的特點(diǎn)在于其有精確的數(shù)學(xué)背景，是許多圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)。在這些變換中，一種是在空間域上進(jìn)行的，這些變換根據(jù)處理操作的特點(diǎn)，可以分為圖像的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算，它們都是利用對(duì)輸入圖像進(jìn)行加工而得到輸出圖像。另一種重要的數(shù)學(xué)變換則是將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用輸入圖像在這些空間的特有性質(zhì)有效而快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析。最典型的變換有離散

變換，它把空域中的圖像信號(hào)看作二維時(shí)間序列，將其變換到頻率域來(lái)分析圖像的頻譜特性。圖像變換將圖像看成是線性疊加系統(tǒng)(成像原理)圖像在空域上相關(guān)性很強(qiáng)圖像變換是將圖像從空域變換到其它域如頻域的數(shù)學(xué)變換空域與頻域一幅圖像中像元的亮度值在空間上的差異與變化，可以看作是復(fù)雜的波形，是由具有不同的振幅、頻率和相位的許多正弦或余弦波疊合而成。短距離內(nèi)的亮度變化相當(dāng)于高頻波，而長(zhǎng)距離內(nèi)的變化相當(dāng)于低頻波。頻譜圖像是空間圖像的離散變換，通常為復(fù)數(shù)值?？梢苑纸鉃椴ǚ鶊D像和相位圖像。空間頻率信息的分布是按極坐標(biāo)表示，任意一點(diǎn)到頻譜圖像原點(diǎn)的距離代表該點(diǎn)空間頻率的高低，而與原點(diǎn)連線的方位角決定線性特征的，明暗度表示相應(yīng)頻率上振幅大小。變換的重要問(wèn)題原始的坐標(biāo)系是什么？變換后的坐標(biāo)系是什么？變換的目的是什么？對(duì)數(shù)據(jù)集有什么樣的假設(shè)？其它問(wèn)題變換如何實(shí)現(xiàn)（變換公式是什么）？圖像變換的目的使圖像處理問(wèn)題簡(jiǎn)化；有利于圖像特征提?。挥兄趶母拍钌显鰪?qiáng)對(duì)圖像信息的理解。常用的圖像變換方法變換：針對(duì)特定波段，周期性噪聲的去除；主成分變換：針對(duì)多波段，產(chǎn)生新的“波段”，數(shù)據(jù)的壓縮或噪聲的去除；纓帽變換：適用于LANDSAT圖像的多波段經(jīng)驗(yàn)性變換方法，更好地突出主體的地物特征；代數(shù)運(yùn)算：簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算產(chǎn)生新的“波段”，增強(qiáng)特定的地物信息；色彩變換：RGB彩色空間轉(zhuǎn)換到其他彩色空間顯示，突出RGB空間中難以表達(dá)的內(nèi)容。6.1變換把變換是變換域分析中廣泛使用的工具。變換的理論與遙感圖像的物理解釋相結(jié)合,有利于解決大多數(shù)遙感圖像處理問(wèn)題。變換是一種正交變換，它廣泛地應(yīng)用于

很多領(lǐng)域，取得了良好的效果。由于它不僅能把空間域中復(fù)雜的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為頻率域中的乘積運(yùn)算，還能在頻率域中簡(jiǎn)單而有效地實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)處理和進(jìn)行

特征抽取，故而在圖像處理中也得到了廣泛的應(yīng)用。變換是一種線性的積分變換能將(滿足一定條件的)函數(shù)分解成三角函數(shù)

(正弦、余弦)的線性組合，或者它們的積分的線性組合變換(Fourier

Transform)變換(DFT,Discrete

Fourier連續(xù)離散Transform)快速二維離散變換(FFT,FastFourier

Transform)變換變換的提出變換在物理學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、信號(hào)處理、學(xué)、海洋學(xué)、通訊等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。程，1822年整理成《熱分析理論》1807年

黎 提出《熱的》 ，將 變換用于解熱量 的微分方。Jean

Baptiste

Joseph

Fourier(1768-1830)級(jí)數(shù)展開nb

1na

1n

nf

(

x

)cos

nxdx,n

1,2,...f

(

x

)

a0

a (sin

nx

)

b

(cos

nx

)假設(shè)f(x)是周期函數(shù)

，且周期為2π，則

有：n1

n1f

(

x

)

sinnxdx,n

0,1,2,...2正弦波的振幅不同的正弦波正弦波sinnx，n越大，頻率越高正弦波asinnx，a越大，振幅越高級(jí)數(shù)展開(一般周期函數(shù))f(x

)cos

nwxdx

,n

1,2,...1T122假設(shè)f(x)是周期函數(shù)，且周期為T

，則有：f(x

)sin

nwxdx

,n

0,1,2,...(x

)

a0

a

(sin

nwx

)

b

(cos

nw2TT2n

1

n

1T2TTnnn

nw=2π/Tw是什么？TT

,則w

2T

/10,則w

10w代表第一個(gè)（最低頻的）正弦（或余弦）函數(shù)在2π的長(zhǎng)度上振動(dòng)的次數(shù)w

1

2

f

2基本概念設(shè)x(t)為（-∞，+∞）上連續(xù)函數(shù)，在一定條件下，有如下關(guān)系：X（f）

x(t)ei2ftdt（1）x(t)

X

(

f

)ei

2ft

df公式(1)稱為 變換，公式(2)稱為逆變換。X(f)為x(t)的連續(xù)頻譜，簡(jiǎn)稱頻譜。公式(1)中，可以由信號(hào)x(t)求出相應(yīng)的頻譜X(f)，這個(gè)過(guò)程稱為頻譜分析。在圖像處理中，該過(guò)程稱為 變換。通過(guò)傳感器所接收到的信號(hào)x(t),一般包括兩種成分：有效信號(hào)s(t)，和干擾信號(hào)n(t)。信號(hào)處理的目的就是削弱干擾信號(hào)n(t)，保持或增強(qiáng)信號(hào)s(t)。在許多情況下，干擾信號(hào)n(t)的頻譜N(f)與有效信號(hào)s(t)的頻譜S(t)是不同的。因此，可以有針對(duì)性的設(shè)計(jì)不同的頻率函數(shù)H(f)，即濾波器，對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行濾波，以削弱干擾增強(qiáng)信號(hào)。變換定義定義：令為實(shí)變量的連續(xù)函數(shù)，如果滿足下面的狄里赫萊條件：（1）有有限個(gè)間斷點(diǎn)；（2）有有限個(gè)極值點(diǎn)；（3）絕對(duì)可積；則有以下二式成立：

式中x為時(shí)域變量，u為頻率變量，i為虛數(shù)單位xF

u

xuf

f

exp

i2uxdx

F

exp

i2uxdu變換定義函數(shù)的表示如下式中：

和分別是實(shí)部和虛部。譜，變換通常是一個(gè)復(fù)數(shù)，它可Fu

Ru

iI

u譜的平方：，一般稱為的能量譜。uRu

I如果表示成指數(shù)形式則為：Fu

Fu

exp

uFu

R2

u

I

2

u幅度函數(shù)被稱為的而u

arctgI

u/Ru

為相角。u

uE

F22

R

u

I

u2將隨時(shí)間（或空間）變化的周期信號(hào)從原始圖像變換到頻率域的圖像(t,f(t))->

(頻率,振幅)一維離散

變換對(duì) 續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣可得到一個(gè)離散序列。設(shè)共采了N個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)離散序列可表示為{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助這種表達(dá)，并令x為離散空域變量，u為離散頻率變量，可將離散 變換定義為：N

1

j

2

uxNF

(u)

f(x)ex0一維離散變換反變換定義由表示：f

(x)j

2

ux

NN

1N

u

01

F

(u)e可以證明離散 變換對(duì)總是存在的。其 譜、相位和能量譜如下：|

F

(u)

|

[R2

(u)

I

(u)]12/R(u)

(u)

arctan

I

(u)E(u)

|

F

(u)

|2

R2

(u)

I

2

(u)一維離散

變換離散

變換（DFT）的矩陣表示法由DFT的定義，N＝4的原信號(hào)序列f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的 變換F(u)展開為：u

0

:

F

(0)

[

f

(0)e0

f

(1)e0

f

(2)e0

f

(3)e0

]

j

22

j

32

j

2u

1:

F

(1)

[

f

(0)e0

f

(1)e

f

(2)e

f

(3)e

]

j

42

j

62

j

22u

2

:

F

(2)

[f

(0)e0

f

(1)e

f

(2)e

f

(3)e

]

j

62

j

92

j

32u

3

:

F

(3)

[

f

(0)e0

f

(1)e

f

(2)e

f

(3)e

]一維離散

變換將e指數(shù)項(xiàng)化簡(jiǎn)可寫成矩陣形式：2F

(0)

F

(3)ee

j

2e

je0

e0

e0

e0

j

je

2

e

j

e

2e

j

e0

e

j

j

33

f

(0)

F

(1)

e0

f

(1)

F

(2)

f

(2)

f

(3)e0e0

記作：F

Wf可用復(fù)平面的單位圓來(lái)求W的各元素。當(dāng)N=4時(shí)，把單位圓分為N=4份， 變換矩陣第u行每次移動(dòng)u份得到該行系數(shù)。一維離散變換4W

14W

23W48W

08W

1W

23W88W

0

W

48W

58W

67W84(a)8(b)復(fù)平面單位圓(a)N＝4(b)N＝8一維離散變換00

3

2W

3

1j

W

W

0

W

0

W

0

W

0

W

1

W

2W

0

W

2

W

0

W

2

1

1

1

1 1

j

1

1

1

1

11

j

1

jW

W

W

W

同理N=8的W陣應(yīng)把單位圓分為8份，順時(shí)順次轉(zhuǎn)0份,1份、…,7份，可得W陣為:一維離散變換03WW

WW

0

W

40

W

50

W

6W

7W

0

W

2W

0圖像的變換圖像理論把通信中的一維問(wèn)題推廣到二進(jìn)行研究。通信研究的是一維時(shí)間信息，圖像研究的是二

信息；通信研究的是時(shí)間域和頻率域之間的關(guān)系，圖像理論研究的是空間域和頻率域之間的關(guān)系。圖像理論認(rèn)為：平面圖像是由許多相位、振幅不同的x-y方向的空間頻率疊加的結(jié)果。空間上高頻率波決定圖像的細(xì)節(jié)，空間上低頻率波決定圖像的背景和動(dòng)態(tài)范圍。二維連續(xù)函數(shù)（圖像）變換二維離散（圖像）變換二維連續(xù)函數(shù)變換若f(x,y)為(x,y)二元連續(xù)函數(shù)（圖像函數(shù)），則它的 變換為：F(u,v)

f(x,y)ej2(uxvydxd)

yF(u,v)的 逆變換為：

udvxvufyedFuyj(),,()

v2)x(F(u,v)為f(x,y)的頻譜。離散變換由于遙感圖像是由灰度值組成的二維離散數(shù)據(jù)矩陣，對(duì)它進(jìn)行 變換就必須知道離散的 變換。一維變換如下u1NF

NN

1x0

i2ux

f

x

exp

xNN

1u0i2ux

f

F

u

exp

1M

1

N

1MN

x0

y0ux

vy

M

N

F

u,v

f

x,y

exp

i2M

1

N

1u0

v0ux

vy

M

N

F

x,y

F

u,v

exp

i2二維離散

變換在一幅 的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。

如果一幅二維離散圖像f(x,y)的大小為M*N，則二維 變換可用下面二式表示。x0

y0

ux

N2()/v/

y

MMNN

1

M

1F

(u,)

v

1

f x

(y),e

j

N v

M

111u

其逆變換為：N

1

M

1f

(x,

y)

F

(u,

v)e

j

2

(ux/

N

vy

/

M

)u

0

v0(x

1,2, ,

N

1;

y

1,2,,

M

1)X和y分別代表圖像的空間坐標(biāo)，u和v分別代表x和y軸方向的空間頻率分量。空間頻率是指單位長(zhǎng)度內(nèi)亮度周期性變化的數(shù)量。二維離散變換在圖像處理中，一般總是選擇方形陣列，所以通常情況下總是M=N。正逆變換對(duì)具有下列對(duì)稱的形式：1NF

(u,

v)

u,

v

0,1,

2,,

N

1NN

1

N

1

j

2

(

uxvy

)

f

(x,

y)ex0

y

0j

2

(

uxvy

)N

1

N

1N

u0

v01f

(x,

y)

F

(u,

v)ex,

y

0,1,

2,,

N

1N二維離散變換變換的性質(zhì)二維離散二維離散

變換有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為使用提供了極大的方便。1）分離性1NNN

1

N

1

j

2

(

uxvy

)x0

y0二維離散

變換具有分離性F

(u,

v)

f

(x,

y)e1NNNN

1N

1

j

2

ux

j

2

vyex0

f

(x,

y)ey

01NNN

1

j

2

uxx0

F

(x,

v)eN

1

j

2

vy

1F

(x,

v)

N

N

f

(x,

y)ey

0

N二維離散變換分離性質(zhì)的主要優(yōu)點(diǎn)是可借助一系列一維 變換分兩步求得F(u,v)。第1步，沿著f(x,y)的每一行取變換，將其結(jié)果乘以1/N,取得二維函數(shù)F(x,v);第2步，沿著F(x,v)的每一列取變換，再將結(jié)果乘以1/N,就得到了F(u,v)。這種方法是先行后列。如果采用先列后行的順序，其結(jié)果相同。二維離散變換f(x,y)(0,0)

N-1N-1xyF(x,v)(0,0) N-1N-1vx

u變換作為一系列一維的計(jì)算方法F(u,v)(0,0) N-1N-1v行變換列變換把二維二維離散

變換對(duì)逆變換f(x,y)也可以類似地分兩步進(jìn)行。u

0

v0u

0v0M

NM

1

N

1j

2

(

ux

vy

)f

(x,

y)

F

(u,

v)eNj

2

uxj

2

vyN

1N

1

e

N

F

(u,

v)eNj

2

uxN

1

f

(u,

y)eu

02）平移性變換和逆變換對(duì)的位移性質(zhì)是指：F

(u

u0

,

v

v0

)

f(x,

y)ej

2

(

u0

xv0

y

)NNf

(x

x0

,

y

y0

)

F

(u,

v)e

j

2

ux0

vy0由f(x,y)乘以指數(shù)項(xiàng)并取其乘積的

變換，使頻率平面的原點(diǎn)位移至(u0,v0)。同樣地，以指數(shù)項(xiàng)乘以F(u,v)并取其反變換，將空間域平面的原點(diǎn)位移至(x0,y0)。當(dāng)u0=v0=N/2時(shí)，指數(shù)項(xiàng)為：j

2

(

u0

xv0

y

)

e

j

(

x

y

)

(1)(

x

y

)Ne即為：2020/11/26f

(x,

y)(1)(

x

y)

F

(u

N

,

v

N

)2

2這樣，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以將f(x,y)的葉變換原點(diǎn)移動(dòng)到N*N頻率方陣的中心，這樣才能看到整個(gè)譜圖。另外，對(duì)f(x,y)的平移不影響其 變換的幅值。此外，與連續(xù)二維變換一樣，二維離散變換也具有周期性、共軛對(duì)稱性、線性、旋轉(zhuǎn)性、相關(guān)定理、卷積定理、比例性等性質(zhì)。這些性質(zhì)在分析及處理圖像時(shí)有重要意義。3.DFT應(yīng)用中的問(wèn)題1）頻譜的圖像顯示DFT在計(jì)算機(jī)圖像處理中計(jì)算的中間過(guò)程和結(jié)果要圖像化。對(duì)DFT來(lái)講不但f(x,y)是圖像,F(u,v)也要用圖像來(lái)顯示其結(jié)果。譜圖像就是把|F(u,v)|作為亮度顯示在屏幕上。但在變換中F(u,v)隨u,v的衰減太快，其高頻項(xiàng)只看到一兩個(gè)峰，其余皆不清楚。由于人的視覺(jué)可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示效果，即為了顯示這個(gè)頻譜，可用下式處理，設(shè)顯示信號(hào)為D(u,v),D(u,v)

log(1

|

F(u,v)

|

)2020/11/26即用顯示D(u,v)來(lái)代替只顯示|F(u,v)|不夠清楚的補(bǔ)救方法。譜的顯示加深了對(duì)圖像的視覺(jué)理解。如一幅遙感圖像受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可干擾的空間頻率并可方便地從頻域去除。2020/11/264.7

圖像的

頻譜圖像，原始圖像，(b)頻譜直接顯示，(c)頻譜經(jīng)過(guò)變換后的結(jié)果2020/11/26(b)(c).2.頻譜圖像的移中顯示常用的 正反變換公式都是以零點(diǎn)為中心的公式，其結(jié)果中心最亮點(diǎn)卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其中心最亮點(diǎn)將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的零點(diǎn)移到顯示的中心。當(dāng)周期為N時(shí)，應(yīng)在頻域移動(dòng)N/2。利用DFT的平移性質(zhì)，先把原圖像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再進(jìn)行

變換，，而實(shí)際F(u,v)數(shù)據(jù)仍保留其結(jié)果譜就是移N/2的F(u,v)。應(yīng)當(dāng)注意，顯示是為了為原來(lái)的值。頻譜圖像的移中顯示

(a)未移至中心的頻譜圖像，(b)移至中心后的頻譜圖像(a)(b)3.旋轉(zhuǎn)性應(yīng)用中，對(duì)兩幅圖像進(jìn)行變換后，為求兩幅圖，則變換對(duì)為：像的相似性，常須對(duì)頻域圖進(jìn)行旋轉(zhuǎn)尋找匹配。此時(shí)FT公式常用極坐標(biāo)表示為 變換對(duì)。設(shè)f(x,y)為原圖中任一點(diǎn)的坐標(biāo)，

x

cos

y

sin

，θ為(x,y)點(diǎn)與x軸的夾角若空域

y

sin

x

cosF

(R,

)

f

(,

)u

R

cos

v

R

sin

頻域則旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)為：F

(R,

0

)

f

(,

0

)上式表明，在空域中對(duì)圖像f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0對(duì)應(yīng)于將其葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)θ0，類似的，對(duì)F(u,v)旋轉(zhuǎn)θ0也對(duì)應(yīng)于將其 反變換f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0。(a)(b)變換的旋轉(zhuǎn)性，對(duì)比頻譜圖像的移中顯示4.

數(shù)字圖像1)數(shù)字圖像變換的頻譜分布和統(tǒng)計(jì)特性變換的頻譜分布數(shù)字圖像的二維離散變換所得結(jié)果的頻率成分如圖所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個(gè)角的周圍對(duì)應(yīng)于低頻成分，部位對(duì)應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的，可采用圖示的換位方法，根據(jù)因子進(jìn)行頻率位移的性質(zhì)，只需要用f(x，y)乘上變換即可實(shí)現(xiàn)，變換后的坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到了窗口中心，圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻。二維變換的頻譜分布2020/11/26頻率位移示例圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對(duì)中心點(diǎn)是共軛對(duì)稱的，利用這個(gè)特性，在數(shù)據(jù)和傳輸時(shí)，僅和傳輸它們中的一部分，進(jìn)行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對(duì)稱性補(bǔ)充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。2）圖像（1）量，根據(jù)變換的統(tǒng)計(jì)分布變換后的零頻分量F（0，0），也稱作直流分變換公式有：x0

y0MN1

N

1F

(0,0)

1

M

f

(x,

y)它反映了原始圖像的平均亮度。（2）對(duì)大多數(shù)無(wú)明顯顆粒噪音的圖像來(lái)說(shuō)，低頻區(qū)集中了85％的能量，這一點(diǎn)成為對(duì)圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對(duì)高頻分量不傳送，反變

換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達(dá)到壓縮的目的。（3）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域，對(duì)應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。2020/11/26假設(shè)f(x,y)代表原始圖像，g(x,y)代表處理后的圖像則：(5)g(x,

y)

h(x,

y)

f

(x,

y)式中：h(x,y)為響應(yīng)函數(shù)如果G(u,v),H(u,v),F(u,v)分別是g(x,y)，h(x,y)，f(x,y)的傅里葉變換，由卷積定理可知，上面的卷積關(guān)系可表示為頻率域的乘積關(guān)系：G(u,

v)

H

(u,

v)

F(u,

v)

(6)式中：H(u,v)為傳遞函數(shù)，或?yàn)V波器，直接影響變換的結(jié)果。給定了原始圖像f(x,y)，計(jì)算得到F(u,v)之后，目的是要選擇H(u,v)，然后通過(guò)下式：g(x,

y)

F

1H

(u,

v)

F

(u,

v)計(jì)算后得到所需的圖像效果。F-1表示 逆變換。利用函數(shù)H(u,v)強(qiáng)調(diào)F(u,v)的高頻分量，使f(x,y)的邊緣得到增強(qiáng)，也可以強(qiáng)調(diào)F(u,v)的低頻分量，使圖像顆粒噪聲得以消除。一維和二維離散函數(shù)的

譜、相位和能量譜也分別由前面式子給出，唯一的差別在于獨(dú)立變量是離散的。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)一幅圖像進(jìn)行 變換運(yùn)算量很大，不直接利用以上公式計(jì)算?，F(xiàn)在都采用

變換快速算法，這樣可大大減少計(jì)算量。為提高

變換算法的速度，從

角度來(lái)講，要不斷改進(jìn)算法；另一種途徑為硬件化，它不但體積小且速度快。原圖離散變換后的頻域圖快速

變換減少運(yùn)算步驟和節(jié)省時(shí)間用兩次一維的FFT進(jìn)行快速運(yùn)算處理，把遙感圖像轉(zhuǎn)換為一系列不同頻率的二維的正弦/余弦波。有專門的

包，使用方便。周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN),

f(x,y)=f(x+aN,y+bN)共軛對(duì)稱性：f

*

(x,

y)

F

*

(u,v)變換的性質(zhì)平均值平均值定義：x0

y0N

1

N

1f

(x,

y)

1

f

(x,

y)N

2變換定義：由x0

y0N

2N

1

N

1F

(0,0)

1

f

(x,

y)因此，f(x,y)的平均值與 變換系數(shù)的關(guān)系為：F

(0,0)

f

(x,

y)頻率域圖像線性的地物為高頻部分，大塊面狀的地物為低頻部分；頻率域圖像以圖像的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左上-右下、右上-左下對(duì)稱。圖像中心為原始圖像的平均亮度值，頻率為0；從圖像中心向外，頻率增高；高亮度表明頻率特征明顯；頻率域圖像中明顯的頻率變化方向與原始圖像中地物分布方向垂直。SPOT圖像及其頻率域圖像變換之后的頻譜圖像1.頻率圖像中心對(duì)稱；2.低頻在中心，離中心越遠(yuǎn)頻率越高變換之后的頻譜圖像3.頻譜圖像中高亮度的方向與地物分布的方向垂直變換之后的頻譜圖像3.頻譜圖像中高亮度的方向與地物分布的方向垂直變換之后的頻譜圖像3.頻譜圖像中高亮度的方向與地物分布的方向垂直圖像中的高頻和低頻變換流程正向FFT定義濾波器逆向FFT6.2主成分變換（K-L變換）

K—L變換（

Karhunen-Loeve

Transform）也常稱為主成分變換(PCA)或

（Ho

ling）變換是利用變換距陣對(duì)多光譜圖像進(jìn)行線性組合，最終產(chǎn)生一組新的多光譜圖像，它的協(xié)方差矩陣除對(duì)角線以外的元素都是零，消除了數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，其目的是數(shù)據(jù)壓縮和圖像增強(qiáng)。每個(gè)象元點(diǎn)在多光譜空間中的位置都可以表示為一個(gè)

n維向量X

。K-L變換的意義在模式識(shí)別和圖像處理中一個(gè)主要的問(wèn)題就是降維，在實(shí)際的模式識(shí)別問(wèn)題中，我們選擇的特征經(jīng)常彼此相關(guān)，在識(shí)別這些特征時(shí)，數(shù)量很多，大部分都是無(wú)用的。如果我們能減少特征的數(shù)量，即減少特征空間的維數(shù)，那么 以更少的

和計(jì)算復(fù)雜度獲得更好的準(zhǔn)確性。如何尋找一種合理的綜合性方法，使得：1.減少特征量的個(gè)數(shù)。2.盡量不損失或者稍損失原特征中所包含的信息。3.使得原本相關(guān)的特征轉(zhuǎn)化為彼此不相關(guān)（用相關(guān)系數(shù)陣衡量）

K-L變換即主成分分析就可以簡(jiǎn)化大維數(shù)的數(shù)據(jù)集合。它還可以用于許多圖像的處理應(yīng)用中，例如：壓縮、分類、特征選擇等。K-L變換的意義遙感影像中不同波段的數(shù)據(jù)之間往往存在著一定的相關(guān)性，因此總體數(shù)據(jù)集存在著冗余。主成分分析的目的是通過(guò)線性正交變換把多個(gè)波段數(shù)據(jù)集的信息量集中到數(shù)量盡可能少的主成分影像數(shù)據(jù)中，而這些主成分之間相互無(wú)關(guān)，這樣就減少總的數(shù)據(jù)量并使影像的特 息得到增強(qiáng)。在遙感應(yīng)用領(lǐng)域，主成分分析常用作數(shù)據(jù)壓縮(去相關(guān))的一種 ，它將過(guò)多的波段數(shù)據(jù)壓縮進(jìn)較少的波段內(nèi)。一幅主成分圖像中包含了比一幅原始波段內(nèi)容豐富的信息，起到圖像增強(qiáng)作用。K-L變換基本思想目的是尋找任意統(tǒng)計(jì)分布的數(shù)據(jù)集合主要分量的子集?；蛄繚M足相互正交性，且由它定義的空間最優(yōu)的考慮了數(shù)據(jù)的相關(guān)性。將原始數(shù)據(jù)集合變換到主分量空間使單一數(shù)據(jù)樣本的互相關(guān)性(cross-correlation)降低到最低點(diǎn)。多波段(N波段)圖像可以看作是N

。每個(gè)象元點(diǎn)在多光譜空間中的位置都可以表示為一個(gè)n維向量XK-L變換的原理對(duì)某一n個(gè)波段的多光譜圖像實(shí)行一個(gè)線性變換，即對(duì)該多光譜圖像組成的光譜空間X乘以一個(gè)線性變換矩陣A，產(chǎn)生一個(gè)新的光譜空間Y，即產(chǎn)生一幅新的n個(gè)波段的多光譜圖像。其表達(dá)式為：Y

=

AX式中：X為變換前多光譜空間的像元矢量；Y為變換后多光譜空間的像元矢量；

A為一個(gè)n×n的線性變換矩陣。對(duì)于K-L變換中的矩陣A，必須滿足以下要求：A為n×n正交矩陣，A=[φ1,φ2,φ3,…,φn]對(duì)正交矩陣A來(lái)說(shuō)，取φi為X的協(xié)方差矩陣∑x的特征向量，協(xié)方差矩陣除對(duì)角線以外的元素都是零變換Y=ATX與反變換X=AY即為K-L變換的變換公式。根據(jù)K-L變換的原理，A是X空間的協(xié)方差矩陣∑x的特征向量矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，即A=

ΦT

=由Y=AX因此當(dāng)n=3時(shí),Φ從上式可以看出，A的作用實(shí)際上對(duì)各分量加一個(gè)權(quán)重系數(shù)，實(shí)現(xiàn)線性變換。Y的各分量的信息的線性組合，它綜合了原有各分量的信息而不是簡(jiǎn)單的取舍，這使得新的n維隨機(jī)向量Y能夠較好的反映事物的本質(zhì)特征。變換后的矢量Y的協(xié)方差矩陣∑y是對(duì)角矩陣，且作為Y的各分量

yi

的方差的對(duì)角元素就是

∑x的特征值，即∑y

=這里λ按由小到大的順序排列。K-L變換后新的坐標(biāo)軸的

y1,y2,y3…yn為個(gè)特征矢量的方向，由上式表明這實(shí)際上是選擇分布的主要分量作為新的坐標(biāo)軸，對(duì)角化表明了新的分量彼此之間是互不相關(guān)的，即變換后的圖像Ｙ的各分量之間的信息是相互獨(dú)立的。

n

...

λ

0...

......λ1

0

... 0

0

λ2

... 0

...0協(xié)方差和數(shù)據(jù)冗余一維K-L變換一種可以去掉隨機(jī)向量中各元素間相關(guān)性的線性變換。STEP1：定義協(xié)方差矩陣。,

fn

1N即fi都是隨

量,f

的均值可統(tǒng)計(jì)N個(gè)樣本向量估計(jì)。iNTCf

E

f

f

Ti1

f

f

TTi

iNi1N

E

f

1

ff

fN

i1

1

N

假設(shè)f

是一個(gè)N

1的隨機(jī)向量集合f

f1

,f2

,f3

,其協(xié)方差矩陣定義為STEP2：求協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量。i

iCf

i

式中i是特征值，相應(yīng)的特征向STEP3：定義變換核矩陣和反變換。因此變換核矩陣為特征向量組成

1

2

n

正交化后為*，將*T

記作A。因此定義一維K

L變換為F

*T

f

A

f

反變換定義為

f

*

F

AT

F圖像K-L變換fl

x,

y

f

x,

y

f1

x,

y

i,1Step2:采用行堆疊將每一個(gè)M

N大小樣本表為向量iiijif

j,1f

fi,0

fi

j,0

f

f

j,

N

1

fi,M

1

思想：將二維圖像采用行堆疊或列堆疊轉(zhuǎn)換為一維處理。Step1：同一幅圖象l次傳送，形成圖象集合其中元素f

Step4：定義二維K

-L變換。F

A

f

-u

f

1

MNe2

...

eA

eTf

f

f

-

f

-

1

LStep3：定義f

向量的協(xié)方差陣和相應(yīng)變換核矩陣fi

if

fTf f

T

-

TMN

C

E

i1

顯然Cf

陣是MN

MN維。令i和ei為C

f

陣的特征值和特征向