第七章平面向量第18課平面向量的概念與運算（2）------平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示一、考綱要求及重難點1、考綱要求（1）了解平面向量的基本定理及其意義，并掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（2）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算，理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件2、重難點重點：（1）了解平面向量基本定理及其意義,了解基底和兩個非零向量夾角的概念,會進行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐標(biāo)的概念,掌握平面向量的坐標(biāo)運算,會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；難點：用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件,能用向量的坐標(biāo)形式判斷兩向量以及三點是否共線.二、考點梳理及復(fù)習(xí)指導(dǎo)1、平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個_____不共線_____不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的__任一__向量，有且只有_一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2特別提醒：(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量2、平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個__單位向量_、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得…………eq\o\ac(○,1)，我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標(biāo)表示與相等的向量的坐標(biāo)也為特別地，，，特別提醒：設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來，點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示3、平面向量的坐標(biāo)運算（1）若，，則=，=兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差（2）若，，則一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)（3）若和實數(shù)，則實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)4、向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要條件是三、2022年高考考察情況1、（2022·北京卷）已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．若a－2b與c共線，則k＝________.【解析】因為a－2b＝(eq\r(3)，3)，由a－2b與c共線，有eq\f(k,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，可得k＝1.2、（2022·湖南卷）設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________．【解析】因為a與b的方向相反，根據(jù)共線向量定義有：a＝λb(λ<0)，所以a＝(2λ，λ)．由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2eq\r(5)，得eq\r(2λ2＋λ2)＝2eq\r(5)?λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．3、（2022·山東卷）設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2，已知平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B，則下面說法正確的是()A．C可能是線段AB的中點B．D可能是線段AB的中點C．C、D可能同時在線段AB上D．C、D不可能同時在線段AB的延長線上【解析】若C、D調(diào)和分割點A；B，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.對于A：若C是線段AB的中點，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))?λ＝eq\f(1,2)?eq\f(1,μ)＝0，故A選項錯誤；同理B選項錯誤；對于C：若C、A同時在線段AB上，則0<λ<1,0<μ<1?eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)>2，C選項錯誤；對于D：若C、D同時在線段AB的延長線上，則λ>1，μ>1?eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)<2，故C、D不可能同時在線段AB的延長線上，D選項正確．4、（2022·福建卷）若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，則a·b等于________．【解析】由已知a＝(1,1)，b＝(－1,2)，得a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.5、（2022·湖北卷）若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－bA．－eq\f(π,4)\f(π,6)\f(π,4)\f(3π,4)【解析】因為2a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，3))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋b))＝3eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝3.設(shè)2a＋b與a－b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋b))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋b))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，3))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3)),3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，又θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，所以θ＝eq\f(π,4).四、核心考點分析1、平面向量基本定理對基底的選擇和靈活應(yīng)用是高考重點考查內(nèi)容2、向量的坐標(biāo)運算使得幾何問題可以通過代數(shù)運算加以解決，在對向量的幾何特征掌握透徹的前提下，理解記憶相關(guān)公式。如：向量共線、垂直的充要條件，向量的數(shù)量積運算，線段定比分點公式、平移公式等。3、要把平面幾何的性質(zhì)、定理遷移到平面向量來，使得利用平面向量來推導(dǎo)幾何問題。如：①在平行四邊形中，若，則，即菱形模型。若，則，即矩形模型。②在中，，是的外心；