第八章結(jié)構(gòu)的位移計算§8-1應(yīng)用虛功原理求剛體體系的位移§8-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式§8-3荷載作用下的位移計算§8-4荷載作用下的位移計算舉例§8-5圖乘法§8-6溫度作用時的位移計算§8-7互等定理§8-0簡介1本章討論兩個問題：第一，討論剛體體系虛功原理的另一種應(yīng)用形式：虛設(shè)力系，求剛體體系的位移。第二，利用剛體體系有局部變形時的位移，根據(jù)疊加原理求變形體體系整體變形時的位移，得出結(jié)構(gòu)在荷載、溫度等因素作用下的位移計算公式。結(jié)構(gòu)位移計算是本章討論的主題，而虛功原理則為解決這個主題提供理論基礎(chǔ)。2本章要求：1、了解結(jié)構(gòu)位移產(chǎn)生的原因、位移的種類、位移計算的目的；2、掌握單位荷載法求解結(jié)構(gòu)位移的基本原理；3、重點掌握應(yīng)用圖乘進行求解結(jié)構(gòu)位移的方法—圖乘法；4、了解廣義單位荷載和廣義單位位移的概念；5、了解互等定理—是超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算的基礎(chǔ)。3§8-1應(yīng)用虛功原理求剛體體系的位移1、結(jié)構(gòu)位移計算概述(1)計算結(jié)構(gòu)位移目的一是驗算結(jié)構(gòu)的剛度，即驗算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的位移限值(例如吊車梁允許的撓度限值通常規(guī)定為跨度的1/600)；二是為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打下基礎(chǔ)(因為在超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析中，不僅要考慮平衡條件，而且還必須考慮變形方面的條件)。4(2)產(chǎn)生位移的原因(主要有下列三種)：①例如在圖8-1中，如果靜定多跨梁的支座A有給定的位移，那么桿AC將繞B點轉(zhuǎn)動，桿CD繞D點轉(zhuǎn)動。這時，各桿只發(fā)生剛體運動，而應(yīng)變卻等于零。Ac①荷載作用；②溫度變化和材料脹縮；③支座沉降和制造誤差。結(jié)構(gòu)各點產(chǎn)生位移時，結(jié)構(gòu)內(nèi)部是否也同時產(chǎn)生應(yīng)變呢？這里有兩種情況：ll/32l/3CDBAcAC圖8-15圖8-2qxwMMR=1②例如在圖8-2中，簡支梁在荷載作用下，各點產(chǎn)生線位移(撓度w)；同時梁由于承受彎矩M而產(chǎn)生曲率和應(yīng)變。在上面兩個例子中，前一個是剛體體系的位移問題(有位移，但無應(yīng)變)；后一個是變形體體系的位移問題(有位移，也有應(yīng)變)。由此可以看出：計算位移的問題本來是一個幾何問題，自然可以采用幾何方法來求解。6在圖8-1所示剛體體系位移問題中，如果支座位移是一個微量，則根據(jù)幾何關(guān)系即可直接求出下列角位移和線位移：AclcA/=桿AC的角位移：3/3/ACcl==C點的線位移：lclAC2/)3/2/(==桿CD的角位移：圖8-2所示變形體體系位移問題，實際上也是一個幾何問題。根據(jù)曲率與撓度之間的幾何關(guān)系22/1dxwdR==w即可由曲率求出撓度。位移計算雖然是一個幾何問題，但是最好的解法并不是幾何法，而是虛功法。7本章的位移計算有兩個方面：一是：應(yīng)用剛體虛功原理計算剛體體系的位移；二是：應(yīng)用剛體虛功原理與疊加原理計算變形體體系的位移。(3)結(jié)構(gòu)位移的種類②絕對角位移C①絕對線位移C

(CH，CV)CCHCVCP荷載產(chǎn)生(a)圖8-3CCHt1t2CCVt2>t1溫變產(chǎn)生(b)支座沉陷產(chǎn)生CHCVCC′cAcAA′ABC(c)8BABABP1P2AAHBH圖8-4③相對線位移ABH=AH+BH④相對角位移AB=A+B相對線位移和相對角位移又稱為廣義位移。在梁中，一般水平位移，與豎向位移相比較小，通?？珊雎圆挥?，故一般只求豎向位移，就是通常所說的“撓度”。2、利用虛功原理求剛體體系的位移(1)虛功原理設(shè)體系上作用有任意的平衡力系，又設(shè)體系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體體系位移，則主動力在位移上所做的虛功總和恒等于零。9“虛”——指形成功的力和位移彼此獨立無關(guān)?！皩嵐Α薄噶υ谄浔旧懋a(chǎn)生的位移上做功。(2)應(yīng)用形式虛設(shè)位移，求未知力→虛位移原理(虛位移法)；虛設(shè)力系，求未知位移→虛力原理(虛力法)。本章主要介紹虛力法求位移。(3)虛設(shè)力系求剛體位移如圖8-5a所示的靜定梁，支座A向上移動一個已知的距離c1，現(xiàn)在擬求B點的豎向位移。AA′B′CBc1ab圖8-5(a)10①對圖圖8-5a中的的位位移移狀狀態(tài)態(tài)應(yīng)應(yīng)用用虛虛功功原原理理要點點：位位移移狀狀態(tài)態(tài)是是給定定的，，力力系系則則可可根根據(jù)據(jù)我我們們的的意意圖圖來來虛設(shè)設(shè)。②意圖圖：為了了便便于于求求出出，希希望望在在虛虛功功方方程程中中除除了了擬擬求求的的未未知知位位移移外，，不不再再包包含含別別的的未未知知位位移移。。因因此此，，在在選選擇擇虛虛力力系系時時應(yīng)應(yīng)當(dāng)當(dāng)只只在在擬求位移的方向設(shè)置單位荷載，而在其他地地方不再設(shè)置置荷載。這個個單位荷載與與相應(yīng)的支座座反力組成一一個虛設(shè)的平衡力力系，如圖8-5b如所示。圖8-5(b)1BCAR1R1=-b/a根據(jù)平衡條件，可求出支座A的反力：③列虛功方程：令圖8-5b中的虛設(shè)平衡衡力系在圖8-5a中的實際剛體體位移上作虛虛功，即得出出虛功方程如如下：·1+c1R1=011=-c1R1=b/a·c1④求位移：方法特點：①虛功方程實質(zhì)質(zhì)上是幾何方方程；②關(guān)鍵是在擬求求位移方向虛設(shè)單位位荷載單位荷載法；③采用靜力平衡衡方法解幾何何問題。(3)支座移動時靜靜定結(jié)構(gòu)的位位移計算首先要說明的的是：①在靜定結(jié)構(gòu)中中，支座移動動時并不引起起內(nèi)力，也不不引起應(yīng)變。。因此，支座座移動時靜定定結(jié)構(gòu)的位移移計算問題都都是剛體體系系的位移計算算問題，因而而可用剛體體體系虛功原理理來求解。12②應(yīng)用單位荷載載法求不同的的位移時，應(yīng)應(yīng)當(dāng)選擇不同同的單位荷載載。我們虛設(shè)單位位荷載的目的是希望在虛功功方程中正好好包含擬求的的未知位移。。因此，虛設(shè)設(shè)的單位荷載載應(yīng)當(dāng)正好是是與擬求位移移相應(yīng)的單位位荷載。也就就是說，這個單位荷載載所作的虛功功在數(shù)值上應(yīng)應(yīng)當(dāng)正好等于于擬求的位移移。CHCVCC′cACAA′ABC圖8-6(a)例8-1圖8-6a示剛架，各桿桿的長度為L，支座A產(chǎn)生位移，下下移cA，順時針轉(zhuǎn)動為為A。求：B點的水平位移移BH、C點的豎向位移移CV和C點的轉(zhuǎn)角C。解：(1)求B點的水平位移移BH(如圖8-6b)：13ABP=1CHAMAYA(b)①根據(jù)擬求位移移BH在B點虛設(shè)水平單單位荷載P=1②可求出支座A的支座反力為為YA=0、HA=1、MA=-L③列虛功方程1·BH

-YA·cA+MA·A=0(RKcK=-YA·cA+MA·A)④求出BHBH=YA·cA

-MA·A=L

·A

()(2)同理可求C點的豎向位移移CV(如圖8-6c)CHA=0ABP=1MA

=-LYA

=1(c)CV=cA-L·A14(3)同理可求C點的轉(zhuǎn)角C(如圖8-6d)ABP=1CHA=0MA=-1YA=0圖8-6(d)C

=A(剛體轉(zhuǎn)動)()可以看出結(jié)構(gòu)構(gòu)上任一點的的轉(zhuǎn)動皆為A，即剛體是整體體轉(zhuǎn)動的。分析可知：虛設(shè)單位荷載時，應(yīng)該是單位集中力在相應(yīng)的線位移上做虛功，單位集中力偶在相應(yīng)的角位移上做虛功。這樣才能為虛設(shè)的單位力系提供方便。支座移動時靜靜定結(jié)構(gòu)的位位移計算的步驟：(1)沿擬求位移方向(雙向)虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載P=1，并求出P=1作用下的支座反力。RK(2)令虛設(shè)單位力力系P=1在實際位移狀狀態(tài)上做功，，列出虛功方方程：151·+RKcK=0—擬求位移，是是廣義位移；；cK—實際位移狀狀態(tài)的支座座沉陷量；；RK—單位荷載下對應(yīng)cK的支座反力。

是代數(shù)和，乘積為兩者方向一致時為正，反之為負。RKcKRKcK(3)解出擬求位移：=-RKcK。注意：當(dāng)為正時，說說明實際位位移方向與與P=1指向相同，，為負時則則相反。16§8-2結(jié)構(gòu)位移計計算的一般般公式本節(jié)討論：：變形體系的的位移計算算，即：結(jié)結(jié)構(gòu)內(nèi)部有有應(yīng)變產(chǎn)生的情況況。選擇一靜定定剛架說明明位移計算算的一般公公式推導(dǎo)過過程。一、公式推推導(dǎo)虛功方程涉涉及兩種狀狀態(tài)，一種種是實際位移狀態(tài)態(tài)(可由多種因素素造成，支座座沉陷引起的的位移計算已已經(jīng)講過)，一種是虛設(shè)力系狀態(tài)態(tài)，現(xiàn)在以結(jié)構(gòu)構(gòu)在荷載作用用下引起的位位移計算為例例。討論的問題：實際位移狀狀態(tài)由荷載引引起，擬求k點沿n-n方向的位移kn。17圖8-7(a)實際位移狀態(tài)didididsp1M0p2kk′knndsn(b)虛設(shè)單位力系狀態(tài)kP=1dsnnNNQQMdsM181、虛設(shè)一個單單位力系狀態(tài)態(tài)(如圖8-7b)；2、取微段ds進行分析(如圖8-7a、b)；3、列虛功功方程程：根根據(jù)變變形體體虛功功原理理(證明見見§14-2節(jié))外力虛虛功We=內(nèi)力虛虛功WikneWD·=1在此：M()++==iiiiidNdQddwWlhq(單桿)M()++D·iiikndNdQdlhq=1即：對于多多桿結(jié)結(jié)構(gòu)，，有：：M()++D·iiikndNdQdlhq=1這里：：di、di、di描述微微段的的總變變形，，由材材料力力學(xué)知知：194、當(dāng)考考慮到到實際際位移移同時時有支支座沉沉陷時時，則則考慮到到k點及n-n方向的的任意意性則則有此即為為結(jié)構(gòu)構(gòu)位移移計算算的一一般公公式。。20二、公公式的的幾點點說明明1、公式式是一一個普普遍性性公式式，可可用于于求解解結(jié)構(gòu)構(gòu)(靜定或或超靜靜定)上任一一截面面的沿沿任意意方向向的位位移(廣義位位移)(彈性材材料或或非彈彈性材材料)。2、P=1是廣義義單位位荷載載———其性性質(zhì)取取決于于擬求求位移移的性性質(zhì)，，求得得的位位移的的量綱綱是正正確的的(考慮公公式左左邊是是功的的量綱綱、或或公式式兩邊邊同除除以P=1)。4、公式式適用用于直直桿桿桿系，，也適適用于于小曲曲率桿桿件，，當(dāng)R>5h時可用(R—曲率半徑徑，h—桿件截面面高度)。215、公式可用用于各種因素素引起的各種種結(jié)構(gòu)的位移移計算，只是是此時、0、(di、di、di)的計算不同而而已。6、結(jié)果分析析：當(dāng)>0時，說明擬求求位移的指向與虛設(shè)設(shè)P=1指向一致；當(dāng)當(dāng)<0時，表示方向向相反。三、計算步驟驟1、虛設(shè)單位力力系，P=1沿的方向和性質(zhì)質(zhì)施加；2、求出

；M、Q、N、RK3、利用公式計算算(、0、、cK為已知)。關(guān)鍵：根據(jù)擬求位移移虛設(shè)單位力系系，在此提出出廣義位移和廣義荷載的概念。22四、廣義位移移和廣義荷載載(看例子)廣義位移線位移角位移相對線位移相對角位移廣義單位荷載載P=1單位力單位力偶矩一對單位力(方向相反)一對單位力偶偶矩(方向相反)2324§8-3荷載作用下的的位移計算前提：只考慮荷載作作用，其他情情況不考慮。。結(jié)構(gòu)位移計算算的一般公式式：當(dāng)不考慮支座座沉陷時有：：利用材料力學(xué)學(xué)的結(jié)果：25這里：E和G分別為材料的的彈性模量和和剪切彈性模模量；A和I分別是桿件截截面的面積和和慣性矩；EI、EA、GA分別是桿件截截面的抗彎、、抗拉、抗剪剪剛度；k是一個與截面面形狀有關(guān)的的系數(shù)。一、荷載作用用下彈性位移移的一般公式式為：式中：MP，NP，QP——實際荷載引起的內(nèi)力；M，N，Q——虛設(shè)單位荷載引起的內(nèi)力。關(guān)于內(nèi)力的正正負號規(guī)定如如下：軸力NP，——以拉力為正；N剪力QP，——以微段順時針轉(zhuǎn)動者為正；Q26彎矩MP，——只規(guī)定乘積的正負號。當(dāng)與MP使桿件同側(cè)纖維受拉時，其乘積取正值。MMPMM截面形狀系數(shù)數(shù)k：截面形式系數(shù)k矩形6/5圓形10/9薄壁圓環(huán)形2工字形或箱形A/A1(A1為腹板面積)**此值值為近近似值值。27二、各各類結(jié)結(jié)構(gòu)的的位移移公式式對于各各種不不同形形式的的結(jié)構(gòu)構(gòu)，三三種變變形影影響比比重不不一，，如桁桁架只只有軸軸力，，只產(chǎn)產(chǎn)生軸軸向變變形；；梁結(jié)結(jié)構(gòu)、、剛架架主要要考慮慮彎曲曲變形形的影影響。。為簡簡化計計算，，略去去次要要因素素的影影響，，對不不同的的結(jié)構(gòu)構(gòu)可以以考慮慮主要要影響響項。。1、梁梁、、剛剛架架M=DdSEIMP2、桁桁架架N===DEAlNNdsEANNdsEANPPP283、組組合合結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)———桁梁梁混混合合結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)MN+=DEAlNdsEIMPP公式式中中的的右右邊邊第第一一項項只只考考慮慮梁梁式式桿桿，，第第二二項項只只考考慮慮桁桁架架桿桿。。4、拱拱M+=DEANNdsEIMPPds在拱拱的的位位移移計計算算中中，，當(dāng)當(dāng)壓壓力力線線與與拱拱的的軸軸線線相相近近時時，，應(yīng)應(yīng)考考慮慮彎彎曲曲變變形形和和拉拉伸伸變變形形對對位位移移的的影影響響；；否否則則，，只只需需考考慮慮彎彎曲曲變變形形的的影影響響。。29§8-4荷載載作作用用下下的的位位移移計計算算舉舉例例例8-2求圖圖示示梁梁A端的的豎豎向向位位移移，梁梁的的抗抗彎彎剛剛度度為為EI=常數(shù)數(shù)。。設(shè)設(shè)梁梁的的截截面面為為矩矩形形。。圖8-8(b)BAxP=1lM

圖(a)BAqlxMP圖22ql30解：：先先求求實實際際荷荷載載作作用用下下的的彎彎矩矩MP，再求求虛虛設(shè)設(shè)單單位位荷荷載載作作用用下下的的彎彎矩矩，，取取A點為為坐坐標(biāo)標(biāo)原原點點，，任任意意截截面面x的彎彎矩矩為為：：實際荷載qxMP-=221虛設(shè)單位荷載Mx-=彎曲曲變變形形引引起起的的位位移移為為：：MEIqldxEIqxxdsEIMlP8)21)((402=--==D關(guān)鍵鍵：：在寫寫彎彎矩矩表表達達式式時時，，注注意意坐坐標(biāo)標(biāo)取取向向必必須須一一致致，，兩兩種種狀狀態(tài)態(tài)下下規(guī)規(guī)定定同同側(cè)側(cè)受受拉拉為為正正。。31例8-3求圖圖示示剛剛架架C點的的豎豎向向位位移移CV和角角位位移移C，EI=常數(shù)數(shù)。。ABqCxxaa圖8-9(a)解：：1、求求CV(1)虛設(shè)設(shè)單單位位力力系系，，如如圖圖8-9(b)。P=1AB(b)CxxM(2)寫出各桿的彎矩方程(注意：坐標(biāo)原點的選取應(yīng)使、MP

一致，且以內(nèi)側(cè)受拉為正)BC桿：Mx-=qxMP-=22BA桿：Ma-=qaMP-=22(3)代入公式式計算M()==DEIqadxEIMpCV854322、求C(與前面的的步驟相相同)P=1AB(c)CxxBC桿：1-=M22-=qxMP1-=M22-=qaMPAB桿：求得：

EIqadxEIMMpC323==q()33例8-4求圖示桁桁架C點的豎向向位移CV，各桿EA相同。圖8-10(a)NP圖ABddddd-P00PPPPCP2-P2-解：(1)虛設(shè)單位位力系BC-1P=1N圖(b)A2222212122-22-(2)求NP

、N(并將結(jié)果標(biāo)在相應(yīng)圖中)(3)計算位移移34-N()()()=+--+-==DEAPddPdPdPEAlEANPCV83.6)]2221(2122)22)(2[(1計算時需需注意的是：不不要忘記記乘以桿桿長?？磿欣?-4，桁架架的位移移計算采采用的是是列表法法計算，，且書中的的例8-3、4、5都討論了了剪力、、軸力對對位移的的影響，，并與彎彎矩對位位移的影影響作了了對比。。35例8-5在例8-4中求CD桿的轉(zhuǎn)動動角度。。Nd21解：關(guān)鍵是虛設(shè)單位力系，在C、D兩點施加垂直CD桿的一對大小相等方向相反的集中力()形成單位力偶矩P=1。計算，可求得CD=-P/EA()。Dd14BCd21P=N圖(c)Ad14-4d24d24d2-d21P=d12圖8-1036例8-6組合結(jié)構(gòu)構(gòu)計算，，如圖8-11所示，梁梁式桿EI=const，桁桿EA=const。求C點的豎向向位移CV。圖8-11d4dP-P-PP/2P/2PCDA(a)P2BEP2解：(1)虛設(shè)單位位力系如如圖8-11b-11P=11/21/2(b)CDABE22-1ACDPP(c)P2P/2P/2ACD1/21/21(d)1237(2)求出：結(jié)果直接標(biāo)在圖中。M，NMNpp，，(3)根據(jù)圖8-11c、d，寫出彎矩矩表達式式。()()下拉為正下拉為正段xMPxMDCp2121-=-=()()下拉為正下拉為正段xMPxMDAp2121-=-=(4)計算CVNM()()++=+=D1433dEAPdEIPdlEANdxEIMppCV238§8-5圖乘法前面討論論過：計計算彎曲曲變形引引起的位位移時，，需要計計算積分分式：MdxEIMP當(dāng)我們考考慮到MP不僅是荷荷載產(chǎn)生生時，可可用更一一般的符符號MK表示。當(dāng)結(jié)構(gòu)構(gòu)桿件是直桿桿，且EI為常數(shù)時，可可有下式：MM=dxMEIdxEIMKK139針對這類問題題，我們討論論另一種求解解結(jié)構(gòu)位移的的方法(圖乘法)。因為當(dāng)結(jié)構(gòu)構(gòu)復(fù)雜或結(jié)構(gòu)構(gòu)受力相對復(fù)復(fù)雜時，用積積分法計算工工作量是相當(dāng)當(dāng)大的。一、圖乘公式式的推導(dǎo)任意曲線。求：+=ybxayyy2121為直線圖，是兩個函數(shù)，，設(shè)：是且21=?BAdxyyy2*y0dxdAx0xbxay+=1Bxy0圖8-12)2()1()(22221+=+=+=BABABABAdxbxydxaydxybxadxyy40：02)2(xbdxxybBAw==2)1(adxyaBAw==其中圖的面積；2(yw是w)形心的橫坐標(biāo)是圖的是w020xyx面積矩；21)(

：bx0ax0badxyyBAwww+=+=所以0010，

bxayyxx+===時當(dāng)：021：ydxyyBAw=即M引入我們所討論的問題：KMyy21，有：MM011yEIdxMEIdxEIMABKABK==w這樣，我們將將問題的積分分運算轉(zhuǎn)化為為圖形的面積積、形心和豎標(biāo)問問題。對桿系系結(jié)構(gòu)每根桿桿件求和有：：41MEIydxEIMK0w=應(yīng)用圖乘法計計算時要注意幾點：(1)應(yīng)用條件：桿件應(yīng)是等等截面桿件，，兩個圖形中中應(yīng)有一個是是直線，標(biāo)距距y0應(yīng)取自直線圖圖中。(2)正負號規(guī)則：面積與標(biāo)距y0在桿的同一邊邊時，乘積y0取正號；與y0在桿的不同邊邊時，y0取負號。圖8-13給出了位移計計算中幾種常常見圖形的面面積和形心的的位置。在應(yīng)應(yīng)用拋物線圖圖形的公式時時，必須注意意在頂點處的的切線應(yīng)與基基線平行。42(a)abC(l+a)/3(l+b)/3lh2lh三角形=圖8-1332lh二次拋物線=(b)頂點l/2l/2hC(c)C頂點hl5l/83l/832lh二次拋物線=3lh二次拋物線=l3l/4l/4(d)頂點hC另外：書中還還給出了三次次拋物線及n次拋物線的計計算公式，課課后自己看一一下，一般用用不到，不用用特別記憶。。43二、圖乘技巧巧與特殊問題題的處理1、若兩個互乘乘的圖形都是是直線圖，則則標(biāo)距y0可取自任一圖圖，見圖8-14a。(a)y0M圖wy0MK圖圖8-142、若一個圖形形是曲線圖，，另一個圖形形是折線圖，，則應(yīng)分段計計算(以轉(zhuǎn)折點為分分段點)，見圖8-14b。M圖w1w2w3MK圖y1y2y3(b)M3312211yyydsMKwww++=443、若兩個圖形形都是梯形(圖8-15)，可以不求梯形形面積的形心心，而把一個個梯形分為兩兩個三角形或或一個矩形和和一個三角形形，分別應(yīng)用用圖乘法。圖8-15cadbM圖MK圖w1w2y1y2M2211yydsMKww+=其中標(biāo)距y1和y2可用下式計算算：dcydcy3231313221+=+=4、若直線圖中中具有正負號號部分時(圖8-16)，圖乘時可將將其中一個圖圖形看作底相相同、高分別別為a和b的兩個三角形。。45y2w1w2y1cabdDBACM圖MK圖圖8-16M2211yydsMKww-=其中標(biāo)距y1和y2可用下式計算算：dcydcy3231313221+=+=--注意：正負號部分是是指彎矩圖沿沿桿出現(xiàn)不同同側(cè)受拉現(xiàn)象象?？梢宰C明明：三角形補補齊的面積，上下兩部分分相等，且其形心位于同一豎線上，不影響計計算結(jié)果。5、當(dāng)MK圖為疊加圖時時(如圖8-17)，圖圖乘乘時時可可以以分分解解分分別別圖圖乘乘，，但但需需注注意意、y0的異異同同側(cè)側(cè)(注意意疊加加時時的的新新基基線線)。46圖8-17(c)KM82qlAB82qlKM(a)AMBMABCDKM(b)AMBMABCD將MK

圖分解為和圖分別與圖進行圖乘，然后相加，即得原結(jié)果。MKMMK左圖受荷簡支梁即有如上彎矩圖。AMBMql476、若若圖圖乘乘計計算算時時，，積積分分桿桿件件具具有有突突變變截截面面，，則則應(yīng)應(yīng)分分段段圖圖乘乘計計算算。。此此時時，，注注意意各各段段抗抗彎彎剛剛度度EI的值值。。7、若若桿桿件件為為小小曲曲率率曲曲桿桿時時，，也也可可以以使使用用圖圖乘乘法法。。三、舉例例例8-7求圖示(如圖8-18a)梁中點的的撓度CV，EI=5104kNm2。kNP12=2m2mABCmkNq/3=(a)圖8-18解：(1)虛設(shè)單位位力系(如圖8-18b)；P1=(b)M圖1y1y21/22/3M(2)作

、MP圖(如圖8-18b、c)；**12181.5(c)MP

圖(3)圖乘計算算。48因直線圖圖是折線線圖，應(yīng)應(yīng)分段圖圖乘，MP圖是疊加加圖分為為兩部分分1和2。===3/2181822111yw===2/125.123222yw()===+=D-mmmEIyyEICV52.01052.026)(232211ww該題容易易出的錯錯誤是：：MP圖作出后后，將C點作為全全拋物線線的頂點點進行計計算。值得提出出的是：：分塊后2是一具有有頂點的的全拋物物線，頂頂點是在在其中點點處。需指出的是：頂點的切切線平行行于基線線(此時新的的基線是是MP圖的疊加加線)；不具有有頂點的的拋物線線，其面面積和形形心的公公式不能能應(yīng)用。。49(4)討論：①當(dāng)梁上只只有均布布荷載q，而沒有集集中力作作用時，，MP圖是在在C點具有有頂點點的全全拋物物線，，圖乘乘時可可分為為一個個三角角形和和一個個拋物物線相相乘。。其結(jié)結(jié)果為為CV=10/EI。P1=M圖1y15/8*16MP

圖mkNq/3====858623211yw)(10)(211==DEIyEICVw②當(dāng)C點的集中力向上作用時，計算CV，此時圖不變。M50mkNq/3=P=12kN2m2m6MP圖**211.5P1=M圖1y1y21/22/3===326622111yw===2125.123222yw)(12.06)(22211-=-=+=DmmEIyyEICVww注意：：圖乘符符號。。51另外，，如果果考慮慮到MP圖的拋拋物線線，因因支反反力為為零，，則在在支座座處是是拋物物線的的頂點點，可可直接接圖乘乘。6MP圖*1P1=M圖1y13/4===434623111ywEIyEICV6)(211-==Dw結(jié)果與與前相相同，，但計計算要要簡單單一些些。③對于原原題，，可將將原荷荷載進進行分分解，，分別別考慮慮簡支支梁在在荷載載P=12kN及q=3kN/m作用下下C點的撓撓度，，然后后疊加加也可可以，，但是是，一一般不不這樣樣做。。52例8-8用圖乘乘法求求解圖圖8-19a所示簡簡支梁梁在均均布荷荷載q作用下的B端的轉(zhuǎn)角。圖8-19MP圖l/2l/2ql2/8(a)ABq(b)AB111/21/l1/lM

圖解：作出MP和圖，圖乘計算有：M()2421)832(11320EIqllqlEIyEIdxEIMMP-=-===Dw例8-9圖8-20a所示為懸臂臂梁，在A點作用荷載載P，求中點C的撓度C。53圖8-20(a)CABPlPl/6l/2l/2MP圖y0(b)l/21l/2l/2l/6CABM

圖解：作出MP和圖，圖乘計算有：M822212lll==w形心與右端的距離為l/6。在MP圖中，相應(yīng)豎距為。650Ply=)(485658111320====DEIPlPllEIyEIdxMMEIPCw討論：現(xiàn)在用另一一種方式進進行圖乘(圖8-21)。54l/21CABM

圖圖8-21CABPlPl/3MP圖在圖中。MP2212==PllPlwM圖中，60=ly所以在)(1262132==DEIPllPlEIC這種算法錯錯在哪里？？在進行圖乘運算時，y0必須取自直線圖，但這里的圖是折線圖，而不是直線圖，這是一種常見錯誤。M55例8-10在例8-9中僅考慮均均布荷載q作用時，求求C點的撓度。。圖8-22Cql/2l/2頂點MP圖*3**21ql2/8ql2/2M圖y1(y3)P=1l/2y2該題在分段圖乘時，以C點為分段點，y0可以取自圖。M圖乘公式如如下：+=DyyEIC)(12211ww-y33w在這里有：：====3/)2/()3/2(4/231llylyy另外：本題還可以以用其他方方式圖乘計計算。56例8-11圖8-23a所示為一預(yù)應(yīng)應(yīng)力鋼筋混凝凝土墻板起吊吊過程中的計計算圖。已知知：板寬1m，厚2.5cm，混凝土容重為為25000N/m3。A和B為起吊點。求求C點的撓度。圖8-23(a)q=625N/m2.2m0.8mABC解：由已知數(shù)據(jù)求板自重：q=2500010.025=625N/m截面慣性矩：I=1002.53/12=130cm4

=1.310-6m4混凝土彈性模量：E=3.3106N/cm2=3.31010N/m2作MP、圖(圖8-23b、c)MMP圖(b)200123ql2/8M

圖(c)ACy2y1y30.8157MP圖的面積和圖的豎距計算如下：M,3.538.020031,5552.22.26258132,2202.2200213221======www)(6.08.043)(4.08.021)(533.08.032332211同側(cè)與反側(cè)與同側(cè)與www======yyy圖乘計算C點的撓度CV)(2.0)(85.01332211-=+-=DcmyyyEICVwww本題的特點：：1、計算中EI采用折減抗彎彎剛度0.85EI；2、2是頂點在AB跨中點的全拋拋物線；3、3是C點為頂點的拋拋物線。58例8-12求圖8-24a所示三鉸剛架架C鉸兩側(cè)截面的的相對轉(zhuǎn)角C，EI=常數(shù)。圖8-24qll/2C(a)l/2CP=1P=1(b)l/2l/2CMP圖(c)ql2/8ql2/8ql2/8ql2/8C1111M圖(d)59解：1、虛設(shè)單位力力系(圖8-24b)，在C點兩側(cè)施加一一對相反的單單位力偶。2、作出MP、圖(圖8-24c、d)；M3、圖乘計算。EIqllqllqlEIC8)]12831()32821[(2322-=--=q（）本題特點：C點是拋物線的的頂點。注意：還可以利用其其他方式進行行圖乘，但這這是最簡單的的一種計算方方式。書中例8-9和例8-10自學(xué)，注意圖圖乘方式。60§8-6溫度作用時的的位移計算對于靜定結(jié)構(gòu)來講：支座移動產(chǎn)生剛體位移移，不引起內(nèi)內(nèi)力；溫度改變產(chǎn)生變形和位位移，不引起起內(nèi)力，變形和位移是由材料的自由膨脹和收收縮產(chǎn)生。大跨度結(jié)構(gòu)要重視溫度變變化產(chǎn)生的影影響，因為此此時由于溫度度變化引起的的位移值較大大。一、位移計算算公式的推導(dǎo)導(dǎo)在圖8-25中，設(shè)桿件的的上邊緣溫度度為t1，下邊緣溫度為為t2，溫度沿桿件截截面厚度為線線性分布。此時，，桿件件的軸軸線溫溫度(平均溫溫度)為t0，上、下下邊緣緣的溫溫差為為t。61圖8-25(a)+t1+t2CBA(b)h1h2ht1t2dsdt2dst1dst0ds軸線12ttt-=D12210hththt+=在溫度度變化化的情情況下下，桿桿件不不引起起剪應(yīng)應(yīng)變，，引起起軸向向應(yīng)變變和曲率率。即：：總變變形是是由軸軸向變變形和和彎曲曲變形形共同同形成成的。。亦即是是說：：0=0；tae；0=hthttdsdD=-==aaqk)(12由圖8-25知：dstdsd==ael0dshthtthdstdstdD=-=-=aaaaq)(1212ds62度)材料的熱脹系數(shù)，單位/(ma這里：2210ttt+=當(dāng)桿件截面對稱時，所以，，溫度度作用用下結(jié)結(jié)構(gòu)位位移計計算公公式為為：MNdshtdstD+Daa0=若t0、t和h沿桿件件全長長為常常數(shù)，，則有有如下下公式式：MND+Ddshtdstaa0=MN或：httwawaD+D0=NM圖某桿的彎矩圖(軸力圖)的面積。為式中：)()(NMww63二、公公式使使用說說明⒈引起桿件同側(cè)受拉時，乘積取正；M、t⒉同號時，乘積取正。N0t、例8-13如圖8-26所示的的剛架架，外外部溫溫度為為+0o，內(nèi)部部溫度度為10o；各桿桿截面面為矩矩形，，截面面高度度h=60cm，a=6m，=0.00001。求C點的豎豎向位位移。。CN圖(b)P=1AB1M圖P=1ABCa(c)(a)aa+0o+0o+10o+10oABC圖8-26解：1、虛設(shè)單位力系，作、圖；MN642、計算算t0、t；0010010=-=Dt00052010=+=t3、計算算位移移C。MN)-0.93cm()31(5)(5231020=+-=-+-=+D=DhaaaahdstdshtCaaaaa實際變變形圖圖如右右圖：：0.93cm65§8-7互等定定理(§8-8)書中§8-7節(jié)的內(nèi)內(nèi)容已已在前前面講講過，，同學(xué)學(xué)們自自己看看看書書。本節(jié)討討論的的互等等定理理在超超靜定定結(jié)構(gòu)構(gòu)計算算中要要經(jīng)常常用到到，在在全部部線性性變形形體系系理論論中占占有重重要地地位；；不論論其結(jié)結(jié)構(gòu)形形式如如何、、荷載載形式式如何何變化化，都都包括括在下下述的的幾個個互等等定理理中。?；サ榷ǘɡ淼牡膽?yīng)用用條件件：適用于于線性性變形形體系系。(1)材料處處于彈彈性階階段，，應(yīng)力力與應(yīng)應(yīng)變成成正比比；(2)結(jié)構(gòu)變變形很很小，，不影影響力力的作作用。。功的互互等定定理，，嚴格格說是是“虛功功互互等等定定理理”是是最最基基本本的的互互等等定定理理，，其其他他互互等等定定理理是是在在此此基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上推推出出的的。。66一、、功功的的互互等等定定理理同一一線線性性體體系系的的兩兩種種狀狀態(tài)態(tài)Ⅰ、Ⅱ(圖8-27)。圖8-270,,gkeD，，，位移和應(yīng)變用，力系用QMNP(a)狀態(tài)ⅠP1′P2′a′b′0,,gkeD，，，位移和應(yīng)變用，力系用QMNP(b)狀態(tài)ⅡPa′′Pb′′1′′2′′建立立虛功功方方程程如下下頁頁：：67令狀狀態(tài)態(tài)Ⅰ的力力系系在在狀狀態(tài)態(tài)Ⅱ的位位移移上上作作虛虛功功，，可可寫寫出出虛虛功功方方程程如如下下：：++=D=dsGAQQkdsEIMMdsEANNPW12第一一個個下下標(biāo)標(biāo)表表示示受受力力狀狀態(tài)態(tài)，，第第二二個個下下表表示示相相應(yīng)應(yīng)的的變變形形狀狀態(tài)態(tài)。。令令狀狀態(tài)態(tài)Ⅱ的力力系系在在狀狀態(tài)態(tài)Ⅰ的位位移移上上作作虛虛功功，，可可以以寫寫出出虛虛功功方方程程如如下下：：++=D=dsGAQQkdsEIMMdsEANNPW21