2021-2022學年第一學期徐匯區(qū)學習能力診斷卷高三數學一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，則_______．2.已知直線l的一個法向量是，則此直線的傾斜角的大小為__．3.已知復數滿足(為虛數單位)，則________.4.已知某圓錐的底面圓的半徑為，若其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側面積為_______．5.若函數為偶函數，則實_______．6.已知菱形的邊長為，點為該菱形邊上任意一點，則的取值范圍是_______．7.已知橢圓上一點P到兩焦點的距離之積為m，則當m取最大值時，點P的坐標為__.8.設且，則的展開式中常數項為_______．9.設函數，若將圖像向左平移個單位后，所得函數圖像的對稱軸與原函數圖像的對稱軸重合，則_______．10.秉承“新時代、共享末來”主題，第四屆“進博會”于2021年11月5至10日在上海召開，某高校派出2名女教師、2名男教師和1名學生參加前五天的志愿者服務工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教師不能安排在相鄰兩天，2名女教師也是如此，那么符合條件的不同安排方案共有_______種.11.已知數列和，其中是的小數點后的第位數字，(例如)，若，且對任意的，均有，則滿足的所有的值為_______．12.已知函數，設集合且，若對任意的，總有成立，則的最大值為_______．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分.每題有且只有一個正確選項）13.已知且，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件14.如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（）A.直線與直線垂直，直線平面B直線與直線平行，直線平面C.直線與直線相交，直線平面D.直線與直線異面，直線平面15.已知曲線，對于命題：①垂直于軸的直線與曲線有且只有一個交點；②若為曲線上任意兩點，則有，下列判斷正確的是（）A.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題C.①為真命題，②為假命題 D.①為假命題，②為真命題16.已知，記表示中的最大值，表示中的最小值，若，數列和滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，則存在正整數，使得 B.若，則C.若，則 D.若，則存在正整數，使得三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，與平面所成角的大小為，為中點.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小(結果用反三角函數值表示).18.已知向量，且，（1）求函數在上的單調遞減區(qū)間；（2）已知的三個內角分別為，其對應邊分別為，若有，，求面積的最大值.19.某公司經過測算，計劃投資兩個項目.若投入項目資金(萬元)，則一年創(chuàng)造的利潤為(萬元)：若投入項目資金(萬元)，則一年創(chuàng)造的利潤為（萬元）.（1）當投入兩個項目資金相同且項目比項目創(chuàng)造的利潤高，求投入項目的資金(萬元)的取值范圍；（2）若該公司共有資金30萬，全部用于投資兩個項目，則該公司一年分別投入兩個項目多少萬元，創(chuàng)造的利潤最大.20.在平面直角坐標系中，一動圓經過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線，是曲線上一點.（1）求曲線的方程；（2）過點且斜率為直線與曲線交于兩點，若且直線與直線交于點，求的值；（3）若點在軸上，的內切圓的方程為，求面積的最小值.21.設有數列，對于給定的，記滿足不等式：的構成的集合為，并稱數列具有性質.（1）若，數列：具有性質，求實數的取值范圍；（2）若，數列是各項均為正整數且公比大于1的等比數列，且數列不具有性質，設，試判斷數列是否具有性質，并說明理由；（3）若數列具有性質，當時，都為單元素集合，求證：數列是等差數列.

2021-2022學年第一學期徐匯區(qū)學習能力診斷卷高三數學一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，則_______．【答案】【解析】【分析】化簡集合M，N，根據交集計算求解即可.【詳解】，，故答案為：2.已知直線l的一個法向量是，則此直線的傾斜角的大小為__．【答案】【解析】【分析】設直線的方向向量為，直線的傾斜角為．利用，即可得出．【詳解】解：設直線的方向向量為，直線的傾斜角為．則，，，故答案為：．【點睛】本題考查了直線的方向向量與法向量、向量垂直與數量積的關系，考查了計算能力，屬于基礎題．3.已知復數滿足(為虛數單位)，則________.【答案】【解析】【分析】先求出復數，再利用復數的模的計算公式即可求出．【詳解】，，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查復數代數形式的運算法則以及復數的模的計算公式的應用，屬于基礎題．4.已知某圓錐底面圓的半徑為，若其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側面積為_______．【答案】【解析】【分析】根據底面圓的半徑求出圓錐的母線長，進而求出圓雉的側面積.【詳解】設底面圓的半徑為，圓錐的母線長為，則，因為其側面展開圖為一個半圓，所以.故答案為：5.若函數為偶函數，則實_______．【答案】【解析】【分析】根據函數是偶函數建立恒等式求解參數即可.【詳解】因為是偶函數，所以，所以，故答案為：16.已知菱形的邊長為，點為該菱形邊上任意一點，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】利用數量積的幾何意義求解即可.【詳解】為與在上投影的乘積，所以當在處時，投影最小為0，在C處時，投影最大為，所以的取值范圍為.故答案為：7.已知橢圓上一點P到兩焦點的距離之積為m，則當m取最大值時，點P的坐標為__.【答案】(0,3)或【解析】【詳解】∵橢圓，∴橢圓a=5，b=3設橢圓的左右焦點分別為F1、F2，得|PF1|+|PF2|=2a=10∵|PF1|+|PF2|≥∴點P到兩焦點的距離之積m滿足：m=|PF1|×|PF2|≤=25當且僅當|PF1|=|PF2|=5時，m有最大值25此時，點P位于橢圓短軸的頂點處，得P（0，3）或（0，﹣3）故答案為(0,3)或點睛：本題解題關鍵是利用好橢圓定義，|PF1|+|PF2|為定值，結合均值不等式，問題迎刃而解.8.設且，則的展開式中常數項為_______．【答案】【解析】【分析】據題意中的和展開式中的項相乘，與中的和展開式中的項相乘的結果相加，即可得到常數項.【詳解】的通項公式為，，的常數項為：.故答案為：9.設函數，若將圖像向左平移個單位后，所得函數圖像的對稱軸與原函數圖像的對稱軸重合，則_______．【答案】##1.25【解析】【分析】求出平移后的解析式，根據平移后的解析式圖象與原函數圖像的對稱軸重合得到，利用得到的取值范圍，進而求出，.【詳解】平移后的解析式為，因為與原函數圖像的對稱軸重合，所以，.所以，k∈Z，因為，所以，解得：，因為，所以，所以.故答案為：10.秉承“新時代、共享末來”的主題，第四屆“進博會”于2021年11月5至10日在上海召開，某高校派出2名女教師、2名男教師和1名學生參加前五天的志愿者服務工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教師不能安排在相鄰兩天，2名女教師也是如此，那么符合條件的不同安排方案共有_______種.【答案】【解析】【分析】男教師，女教師不能相鄰，使用間接法.【詳解】總的排列數是，男教師相鄰的排法為，女教師相鄰的排法為，男教師相鄰且女教師相鄰的排法為，所以共有不同安排方法為.故答案為：4811.已知數列和，其中是的小數點后的第位數字，(例如)，若，且對任意的，均有，則滿足的所有的值為_______．【答案】或##或【解析】【分析】據題意可推導出為周期數列，再分析可知，然后利用周期逐一驗證數列的各項與計算結果是否一致，即可找到所有符合題意的的值.【詳解】是的小數點后的第位數字，且.是以3為周期的數列，且各項為依次循環(huán)出現(xiàn).又,當時，，與數列各項均為正數相矛盾；當時，不符合題意，與數列中最大項為相矛盾；且，，與相矛盾，故舍去；，符合題意；與相矛盾，故舍去；，符合題意；綜上所述：對任意的，均有，則滿足的所有的值為或.故答案為：或12.已知函數，設集合且，若對任意的，總有成立，則的最大值為_______．【答案】【解析】【分析】分別討論情形下，由恒成立得出的范圍，即可求出的最大值.【詳解】當時，當時，恒成立，當時，，綜上，，故答案為：4二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分.每題有且只有一個正確選項）13.已知且，則“”是“”的（）A充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】D【解析】【分析】根據特例可判定兩個命題的關系，得出結論.【詳解】當時，，反之當時，，但，故“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D14.如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（）A.直線與直線垂直，直線平面B.直線與直線平行，直線平面C.直線與直線相交，直線平面D.直線與直線異面，直線平面【答案】A【解析】【分析】由正方體間的垂直、平行關系，可證平面，即可得出結論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關系是解題的關鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關系.15.已知曲線，對于命題：①垂直于軸的直線與曲線有且只有一個交點；②若為曲線上任意兩點，則有，下列判斷正確的是（）A.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題C.①為真命題，②為假命題 D.①為假命題，②為真命題【答案】A【解析】【分析】化簡曲線方程，畫出圖像判斷①，利用函數單調減判斷②【詳解】曲線,當當當畫出圖像如圖，易知①正確；易知函數為減函數，則人任意兩點斜率，②正確故選：A16.已知，記表示中的最大值，表示中的最小值，若，數列和滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，則存在正整數，使得 B.若，則C.若，則 D.若，則存在正整數，使得【答案】B【解析】【分析】根據時，，利用二次函數的性質可得即可判斷A，當時，分類討論可判斷數列極限確定B，時判斷數列的增減性判斷C，由題意可得即可判斷D.【詳解】設的解為t，當時，,因為，所以，依次類推，，故A錯誤；當時，，當時，，所以B正確；當時，，所以是遞增數列，所以無極限，故C錯誤；因為，所以，故D錯誤.故選：B三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，與平面所成角的大小為，為中點.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小(結果用反三角函數值表示).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）、連接，根據題意找出與平面所成角，進而求出的值，然后由棱錐體積公式計算即可求解；（2）、連接，與交于點,連接,找出異面直線與所成的角，解三角形即可求出異面直線與所成角的大小.【小問1詳解】連接，平面，平面,,是在平面上的射影，即為與平面所成的角.與平面所成角的大小為，,又是邊長為的正方形，，在中，，四棱錐的體積為.【小問2詳解】連接，與交于點,連接,是邊長為的正方形，,點為中點，點為中點，又為中點，∥,即為異面直線與所成角,又,,,在中，,.異面直線與所成角的大小為.18.已知向量，且，（1）求函數在上的單調遞減區(qū)間；（2）已知的三個內角分別為，其對應邊分別為，若有，，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量性質和三角恒等變換求出，進而求出函數在上的單調遞減區(qū)間；（2）根據，求出，利用余弦定理和基本不等式求出面積最大值.【小問1詳解】∵，∴，即，所以，令，，解得：，，因為，所以，解得：，因為，所以，所以，函數在上的單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】，即，因為，所以，所以，解得：，因為，所以，從而，由基本不等式可得：，當且僅當時等號成立，即，解得：，由面積公式得：，當時，等號成立，所以面積的最大值為19.某公司經過測算，計劃投資兩個項目.若投入項目資金(萬元)，則一年創(chuàng)造的利潤為(萬元)：若投入項目資金(萬元)，則一年創(chuàng)造的利潤為（萬元）.（1）當投入兩個項目的資金相同且項目比項目創(chuàng)造的利潤高，求投入項目的資金(萬元)的取值范圍；（2）若該公司共有資金30萬，全部用于投資兩個項目，則該公司一年分別投入兩個項目多少萬元，創(chuàng)造的利潤最大.【答案】（1）（2）當萬元投入項目，萬元投入項目時獲得利潤最大【解析】【分析】（1）分和解不等式。再求并集即可求解（2）求出利潤的函數關系，分段求最大值即可求解【小問1詳解】當，解得；當，解得，綜上【小問2詳解】設對A項目投入資金萬元，則對B項目投入資萬元；所以，，當，當且僅當等號成立，且，故最大值為105當，，綜上當萬元投入項目，萬元投入項目時獲得利潤最大20.在平面直角坐標系中，一動圓經過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線，是曲線上一點.（1）求曲線的方程；（2）過點且斜率為的直線與曲線交于兩點，若且直線與直線交于點，求的值；（3）若點在軸上，的內切圓的方程為，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據拋物線的定義直接判斷出軌跡寫出方程即可；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程求出，再求出點坐標，計算，即可求解；（3）求出DE的長，再利用點到直線的距離求出三角形的高，代入面積公式，由均值不等式求最值即可.【小問1詳解】由題意，動圓圓心到與到直線距離相等，所以曲線